Las ilustraciones constituyen un apartado muy importante dentro de la elaboración del proyecto. Además de amenizar la lectura de la memoria, son unos elementos imprescindibles para explicar el funcionamiento de algún dispositivo, representar unos datos o unas infografías.

De hecho, en un proyecto como el que nos ocupa, es imprescindible el anexo de gráficas necesarias para el cálculo de los engranajes, ejes y otros elementos mecánicos. Podemos extraer dichas gráficas y esquemas de los libros mediante un escáner, pero todos sabemos que el aspecto no es del todo bueno: los cuadros no quedan orientados horizontalmente, la calidad de la imagen no es todo lo buena que debiera, no pueden ampliarse, etc. Por eso recomiendo hacer todas las imágenes en un programa de dibujo vectorial. Yo, por ejemplo, Dediqué muchas tardes a escanear gráficas del “Diseño en Ingeniería Mecánica” de J.E. Shigley y vectorizarlas. El resultado puede verse aquí:

Es además una buena opción para elaborar, en el campo de la ingeniería mecánica, los diagramas de momentos y cortantes, en el estudio de esfuerzos de una viga o eje, así como diagramas de sólido libre.

InkScape es un programa de dibujo de gráficos vectoriales, de código abierto. Los gráficos vectoriales, al contrario que los mapas de bits (formados por una matriz), están constituidos por formas geométricas y definiendo sus posiciones, colores, etc. De esta manera podemos aumentar o disminuir el tamaño de la imagen sin que la calidad se vea mermada.

Existen infinidad de tutoriales para aprender a realizar gráficos de este tipo, incluso videoturiales. Me gustaría destacar algunos de ellos:

• Iniciación en la edición de gráficos vectoriales con InkScape, por Gabriela Ponce
• El blog InkScape Turorials es muy bueno también. Tiene un post para hacer engranajes en este programa, de una forma muy esquemática.
• 35 videotutoriales de dibujo vectorial

En un engranaje helicoidal, el movimiento es transmitido por medio de una fuerza W, que es normal al diente. Su punto de aplicación se sitúa en el plano de paso y en el centro de la cara del engrane. Tal fuerza puede descomponerse en las tres direcciones principales de un sistema coordinado en el espacio.

Donde es la componente tangencial, contenida en el plano de giro del engranaje; es la componente radial, perpendicular al eje de giro, y es la componente axial, paralela al eje de giro.

Pero por lo general, no es un dato conocido, mientras que puede ser obtenida fácilmente. Así que atendiendo a la ilustración, podemos expresar también las distintas componentes de la carga como sigue:

La fórmula para determinar la tensión debida a la flexión a la que está sometida el diente del engranaje, viene dada por la expresión:

Los diferentes factores que intervienen los explico a continuación.

Factor de sobre carga,

Este factor tiene como finalidad tomar en cuenta todas las cargas que se aplican de manera externa en exceso de la carga tangencial nominal , como por ejemplo la variación en el valor medio del par torsor, debido probablemente al encendido de los cilindros en un motor de combustión interna.

En nuestro caso, el par lo provee un motor eléctrico que tiene un funcionamiento mucho más regular y homogéneo. En la tabla mostrada a continuación encontramos los valores de en función de la fuente motriz y la máquina a impulsar.

Factor dinámico,

Tiene en cuenta imprecisiones en la fabricación y acoplamiento de dientes de engranes en movimiento.

Aunque el factor puede extraerse de la gráfica anterior, la AGMA establece las siguientes expresiones para deducir su valor de una forma más exacta:

Donde,

La constante es definida por la AGMA como el número de control de calidad, en función de las tolerancias y la precisión del mecanismo. Las referencias que he visto, recomiendan emplear un número de control de entre 8 y 12 para el tipo de engranajes que se solicitan en un proyecto de este tipo (engranajes para sector de automoción). Personalmente, yo elegí un .

Factor de tamaño,

Refleja la falta de uniformidad de las propiedades del material debida al tamaño. Depende de, entre otros factores, del tamaño del diente, del diámetro de la pieza, el ancho de la cara o los tratamientos térmicos que haya recibido la pieza.

Por lo que he podido comprobar, hasta la fecha no se han establecido unos factores estándar de tamaño para los dientes de engranajes, así que la AGMA recomienda que el valor del factor sea , siempre que no exista un efecto perjudicial por el tamaño, de forma evidente.

Factor de distribución de la carga,

Refleja la distribución no uniforme que se produce de la carga a lo largo de la línea de contacto. Se obtinene de la tabla siguiente:

Factor de espesor del aro,

La naturaleza de este factor es la existencia de engranajes que no tienen alma maciza, sino que están conformados con radios (engranajes de grandes dimensiones). En tales casos, cabe la posibilidad que el espesor del aro de material bajo los dientes del engrane no sea un soporte suficiente para que la raíz del diente sufra una falla por fatiga.

En este proyecto, este factor no entraña relevancia alguna, pues aunque cuento con la realización de unos ligeros rebajes en las caras de los engranajes para aligerar el conjunto, ésta práctica no llega a suponer ningún riesgo. Así pues, tomo el valor .

Factor geométrico,

Relaciona la forma del diente con un factor de concentración de esfuerzo por fatiga y una relación de repartición de la carga. El factor J de la AGMA para engranajes helicoidales, se obtiene de la gráfica siguiente:

Sin embargo, esta gráfica es válida cuando el engranaje con el que se conjuga es de 75 dientes. Es decir, si estamos calculando un piñón de 20 dientes para un par de y ángulo de hélice , el valor del factor geométrico será, aproximadamente, J = 0,43.

Cuando el elemento con el que engrana tiene un número de dientes distinto de 75, debe multiplicarse el factor J por otro factor J’, el cual es un factor multiplicador en función del número de dientes del elemento con el que se engrana un determinado engranajes; su valor se encuentra en otra gráfica:

Bibliografía

• J.E. Shigley, Richard G. Budynas, J. Keith Nisbett, Diseño en Ingeniería Mecánica, 2008.
• J.E. Shigley, Elementos de máquinas

* Gráficas elaboradas a partir de las encontradas en el libro “Diseño de Ingeniería Mecánica”. Ilustración propia (cc).

El también conocido como coeficiente de recubrimiento o relación de contacto, nos indica el número promedio de dientes de una rueda dentada que están engranando a la vez con los dientes de la rueda con la que está conjugada.

El contacto entre dientes empieza y termina en las intersecciones de las dos circunferencias de cabeza con la línea de presión. En la siguiente ilustración queda representado este hecho.

Aquí se muestra la zona de acción de los dientes conjugados.

Según la figura anterior, el contacto inicial se produce en a, y el contacto final ocurre en el punto b. Los perfiles de los dientes trazados por estos puntos cortan la circunferencia de paso en A y B, respectivamente.

Tal y como se indica, el arco AP recibe el nombre de arco de aproximación , mientras que BP es el arco de retroceso, . La suma de ambos se denomina arco de acción, .

Cuando el arco de acción es ligeramente mayor que el paso circular p, significa que cuando un par de dientes entran en contacto, otro par de dientes que ya estaban en contacto, no habrán llegado aún al punto b. Así que durante un instante, los dos pares estarán en contacto.

Se define, pues, la relación de contacto como el cociente entre el arco de acción y el paso base.

Por lo general, los engranajes no deben diseñarse con un grado de recubrimiento menor a 1.2. Esto se debe a que debemos tener un mínimo de dos dientes en contacto en algún momento de la transmisión: por ejemplo, con un coeficiente de recubrimiento de 1.3, el 30% del tiempo habrá dos pares de dientes en contacto, mientras que el resto del tiempo habrá sólo una pareja transmitiendo la potencia. Lo que se traduce en más esfuerzo sobre los dientes.

Un grado de recubrimiento mayor indica una mayor capacidad de transmitir carga y más rigidez, aunque no es fácil (ni económico) conseguirlo, pues se requiere una gran precisión.

A continuación se detalla de forma analítica el cálculo del arco de acción .

En la figura, tenemos que:

es el radio de la base.

es el radio de cabeza.

es la medida del radio primitivo o de paso.

es el ángulo de presión transversal, pues en nuestro caso estamos tratando con engranajes helicoidales.

Partimos de que el arco de acción viene dado por:

Por otro lado, tenemos que

Siendo,

y

Sustituimos en la anterior ecuación y obtenemos:

Además, por analogía, para se tiene que:

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la del arco de acción, se obtiene la siguiente expresión:

Mucho ojo si trabajáis con engranajes de dientes rectos: sabemos que , así que para el caso de engranajes rectos, y, por lo tanto, en la expresión de , queda como:

Al tratarse de engranajes helicoidales, intervienen otros factores en el grado de recubrimiento, así que llamaremos grado de recubrimiento debido al perfil tangencial al obtenido de la expresión:

Ahora debemos tener en cuenta que el contacto en el diente helicoidal se realiza a lo largo de una línea recta en su propia cara. Denominamos al salto de base de un diente, que es el arco que avanza un extremos del diente respecto del otro extremo, medido sobre el cilindro base.

Coeficiente de recubrimiento del salto de base, en engranajes helicoidales.

Por tanto, el coeficiente de recubrimiento viene dado por la suma del coeficiente correspondiente al perfil transversal del diente, más el coeficiente del salto de base:

Bibliografía:

• J. E. Shigley, “Teoría de máquinas y mecanismos”.

Me gusta diseñar. Me encanta calcular. Pero me fascina apretar tuercas, el contacto de la mano con el acero a través de una fina capa de lubricante que te pringa por doquier. Pocos niños han disfrutado un día de Reyes tanto como yo esta tarde… Otras veces he desmontado y montado otros mecanismos sin tanta excitación, pero supongo que el hecho de estar diseñando algo como lo que uno tiene entre manos, le da un matiz especial: superior.

Hoy he tenido la oportunidad de meterle mano a un reductor de velocidad real, ¡y además nuevecito! Es una fortuna poder contar con un taller en momentos como este, la verdad, y más con un mecanismo tan limpio. Más que nada por la carga didáctica de esta experiencia.

El reductor que se ha sometido a mi diez-once es de los italianos Bonfiglioli, con una relación de transmisión de 33,2 a 1. Desconozco la potencia. Después pude estimar con cierto atino el módulo de los engranajes que lo componen: dos pares de engranajes helicoidales.

La idea era ver cómo los ingenieros de verdad hacen reductores de verdad, porque yo puedo calcular con una precisión inusitada, pero si luego no sé que debo poner retenes, juntas tóricas, roscas autocentrantes, etc., no me vale de nada hacer tanto número. Aquí lo que se pretende es sorprender al tribunal del proyecto, asi pues debemos poner toda la carne en el asador.

Ahora debo montarlo para devolverlo al dueño: toquemos madera… Más adelante comentaré algunos detalles que me han parecido interesantes para implemetanlos (a.k.a. “copiarlos”) para mi proyecto. Estas cosas motivan…

En el proyecto voy a incluir las tablas que estoy empleando para obtener factores de fatiga, superficie, etc. Así como las gráficas y figuras pertinentes. Y si las tablas no son demasiado largas, las voy a escribir también en , que quedan con un aspecto muy bueno y se pueden realizar referencias como dios manda.

Vamos a ver cómo se elabora una tabla, cómo se insertan columnas y filas múltiples.

Los paquetes que vamos a necesitar son estos:

\usepackage{multirow}	% Para poder unir filas en las tablas

\usepackage{colortbl}	% Para colorear tablas

Por defecto, Latex nos permite unir columnas, así que no es necesario un paquete específico.

Caminando se aprende a caminar, así que vamos a ver los ejemplos y cómo sería su código correspondiente.

Tabla normal

El entorno para crear la tabla es tabular y presenta la siguiente sintaxis:

\begin{tabular}{l c r}
	Celda 11	&	Celda 12	&	Celda 13	\\
	Celda 21	&	Celda 22	&	Celda 23	\\
	Celda 31	&	Celda 32	&	Celda 33	\\
\end{tabular}

En la primera fila, vemos que tras iniciar el entorno tabular se introduce {l c r}. Eso indica las columnas que tendrá nuestra tabla y su alineación (left, center, right). Si se quieren centrar todas las columnas, sería de esta forma {c c c}.

Las filas se dividen en cada columna utilizando el símbolo & y se finaliza con \\, dando paso a la siguiente fila.

El aspecto de la tabla anterior es este:

Tabla en Latex simple

Podemos delimitar la tabla con líneas, añadiendo \hline antes o después de cada fila, y escribiendo el símbolo | en la definición de las columnas: { | l | c | r | }.

\begin{tabular}{| l | c | r |}
	\hline
	Celda 11	&	Celda 12	&	Celda 13	\\
	\hline
	Celda 21	&	Celda 22	&	Celda 23	\\
	\hline
	Celda 31	&	Celda 32	&	Celda 33	\\
	\hline
\end{tabular}

Que produce esto la siguiente tabla:

Tabla delimitada por líneas

Otra combinación:

\begin{tabular}{| l  c | r |}
	\hline
	Celda 11	&	Celda 12	&	Celda 13	\\
	\hline \hline
	Celda 21	&	Celda 22	&	Celda 23	\\
	\hline
	Celda 31	&	Celda 32	&	Celda 33	\\
	\hline
\end{tabular}

Ejemplo de tabla en Latex

Tabla con columnas múltiples

Para ello vamos a emplear el comando \multicolumn{nº de columnas}{alineación}{texto}

\begin{tabular}{| l | c | r |}
	\hline
	\multicolumn{2}{|c|}{Celdas 11 y 12}	&	Celda 13		\\
	\hline
	Celda 21	&	Celda 22	&	Celda 23		\\
	\hline
	Celda 31	&	\multicolumn{2}{c|}{Celdas 32 y 33}		\\
	\hline
\end{tabular}

Cuyo resultado sería este:

Tabla con columnas múltiples en Latex

Tabla con filas múltiples

El comando para unir filas es: \multirow{nº de filas}{ancho}[desplazamiento vertical]{texto}

\begin{tabular}{| l | c | r |}
	\hline
	\multirow{2}{*}{Celdas 11 y 21}	& Celda 12 & \multirow{3}{3cm}{Celdas 13, 23 y 33}	\\
	\cline{2-2}
				&	\multirow{2}{*}{Celdas 22 y 32}	&		\\
	\cline{1-1}
	Celda 31	&				&		\\
	\hline
\end{tabular}

Tiene como resultado:

Tabla con filas múltiples

Como vimos en la generación del perfil del diente, mediante una evolvente, se presenta la característica de que la normal común a una pareja de estos dientes en su punto de contacto (el punto que queda entre C y E, en el dibujo), es tangente a ambas circunferencias base. Y, además, el contacto entre los dientes siempre se produce sobre esta línea que denominamos “línea de engrane” (ver El Perfil del diente).

"Terms of involute gear engagement" de Wikipedia

La línea azul, tangente a las circunferencias base en color verde (los podemos denotar como T1T2), es la línea de engrane y forma un ángulo con la recta que une los centros , el ángulo de presión. Pues bien, si los engranajes entran en contacto antes del punto T1 o se separan después de T2, se producirá un fenómeno conocido como interferencia.

Para saber en qué punto empiezan a tocarse los dientes y dónde comienzan a alejarse, basta con realizar los siguientes pasos:

1. Dibujamos las circunferencias primitivas de cada engranaje, uniendo la línea de los centros.
2. Trazamos una perpendicular en el punto de contacto de las “supuestas” ruedas de fricción: esto es, el punto de contacto entre las primitivas (C)
3. Ahora establecemos el ángulo de presión y trazamos una línea significativa que pase por el punto C.
4. Trazamos dos perpendiculares a la línea anterior de manera que pasen por sendos centros. Esto nos da el radio de las circunferencias base, que procedemos a trazar.
5. Ahora dibujamos las circunferencias exteriores de cada engranaje (radio primitivo + addendum) e identificamos los puntos donde nos corta a la línea de engrane, que serán A y B según la imagen anterior, que pasa a llamarse segmento de engrane.

Por lo tanto T1T2 > AB, quedando este segmento comprendido dentro del primero. De lo contrario, existirá interferencia.

Otra forma de interferencia, es la que se produce cuando la circunferencia base queda sobre la la propia base del diente: es decir, Diámetro base > Diámetro de pie. Esto tiene lugar cuando un engranaje tiene un número de dientes reducido.

Como sabemos, el diente involuto o de evolvente se define únicamente a partir de la circunferencia base. En los casos donde la profundidad del diente se extiende más allá de tal circunferencia, vamos a tener una zona del diente que no será involuto y no habrá un contacto de dientes conjugados. La punta del diente de la rueda interferirá con la zona “no involuta” del diente del piñón.

Fresa madre

Pero claro, como el piñón ha sido conformado con una fresa madre, el filo de la herramienta también habrá interferido con esa zona y habrá eliminado el material que se haya encontrado a su paso, generando así lo que se conoce como un diente rebajado. A éste fenómeno se le conoce como socavación o simplemente rebaje.

Sin embargo, debemos evitar esto, pues produce una debilitación en la raíz del diente. Si lo asemejamos a una viga empotrada en voladizo, ahí se producirán los mayores momentos y podría crearnos unos problemas que no habíamos previsto en los cálculos.

Así que, como decía, se deben desechan los engranes con un número de dientes relativamente bajo.

Robert L. Norton, Figura 11-11

Y aquí va una animación que representa el estudio de interferencia de uno de mis pares de engranajes: 50/16

Click para verlo ampliado.

Referencias y Enlaces

Interference in involute gears [ppt]
Robert L. Norton, “Diseño de maquinas”.
G. Niemann, “Elementos de maquinas”.
Wikipedia: Engranaje ~ Gear.

He estado probando algunas cosillas del Estudio de movimiento de este programa para el que será mi futuro reductor de velocidad. Montando los engranajes que ya tengo diseñados sobre los ejes, aun sin calcular… Pero es que gusta también un poco de acción entre tanto número.

Por lo tanto, esos ejes no son los definitivos, ni la disposición. Aun no he decidido si distribuir los ejes en una forma triangular, en línea (opción con menos papeletas…) o entrelazados entre sí.

Para realizar el movimiento de cámara, he utilizado una trayectoria dibujada con una spline en un boceto que posteriormente oculté. La verdad es que da buenos resultados y no es muy difícil de hacer, cuando ya se sabe dónde tocar claro.  Así como las relaciones de posición, que tiene unas cuantas. Estoy aprendiendo a hacer videotutoriales, así que espero que pronto pueda empezar a publicar algo.

Mientras tanto, os dejo los archivos de ensamblaje del tren de engranajes para poder retocar y mirar cosas.

Archivos para Solidworks 2008

Quien haya instalado Solidworks en español, seguramente habrá tenido problemas con la librería de materiales al intentar asignar uno a una pieza cualquiera.

Esto implica que no podemos hacer uso de las propiedades de dichos materiales, empleando COSMOS, o simplemente obtener un renderizado semejante al aspecto real de la pieza.

El mensaje que devuelve es el siguiente:

Base de datos de materiales incompatible. Probablemente la versión de esta base de datos es superior y no es compatible con la versión actual.

La raíz de este error es que el archivo con la base de datos incluye la letra ñ y vocales con tilde, que el programa no puede reconocer. Yo he editado mi fichero solidworks materials.sldmat y he sustituido la letra “ñ” por “n” y las vocales con tilde por la misma vocal sin tilde.

Dejo aquí el archivo para descargar: Solidworks Materials Database [Click derecho > Guardar como...]

Hay que llevarlo al directorio en la ruta “C:/Archivos de programa/SolidWorks/lang/spanish/sldmaterials/” y sustituir el que ya existe.

Vamos a continuar con el tema de los cálculos cinemáticos.

Como vimos, para una relación de transmisión , nos servían dos parejas de engranajes. La relación de transmisión promedio era . Vamos a ver qué hacemos con esto…

La relación promedio es un valor orientativo de nuestras relaciones de transmisión intermedias y . Lo que normalmente se viene haciendo es que se toma un número cercano a aquél y se multiplica por la relación total dividida por el mismo número. Por ejemplo, tomaremos 8:

Lo cual, como es evidente, sigue siendo igual a 50, nuestra relación de transmisión…

Ahora imponemos un número mínimo de dientes. Lo ideal es un mínimo de 18, pero podríamos establecer el límite en 16. ¿Qué ocurre si ponemos menos? Pues que habría muchas probabilidades de que se produjera interferencia entre los perfiles de los dientes de engrane. Estoy preparando un post sobre este tema, lo prometo…

En el Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, se explican las siguientes ecuaciones para saber cuál es el mínimo número de dientes para un ángulo de presión y el mayor engrane para un piñón mínimo:

Nosotros vamos a elegir un , que es algo normal. Si nos fijamos en las fracciones de antes, las podemos asemejar a . Y como los engranajes de entrada y son los más pequeños (los que menos dientes tienen), pues estamos reduciendo velocidad, vamos a establecerlos en 16 dientes. Las fracciones quedarían, pues, de la siguiente forma:

Es decir, que vamos a tener dientes, dientes y dientes.

Ahora, nos surge un problema: si elegimos un módulo 3, por decir algo orientativo, vamos a tener unos engranajes demasiado grandes. Sin ir más lejos, el engrane de salida del primer par () tendría un diámetro de 384 mm. Como, tras los cálculos a flexión del diente necesitemos un módulo 4, tendríamos un engranaje de medio metro… con un piñón de 64 mm. Hasta el tutor me ha dicho que eso queda horrible Por esta razón, vamos a ver qué pasaría si utilizamos tres pares de engranajes –si, ya sé lo que dije de los pecados mortales…

Vamos a escoger 4 como relación intermedia:

De forma sencilla, hemos conseguido un tren de engranajes, con dos pares intermedios y los tres piñones iguales, con la ventaja económica y constructiva que eso nos otorga. Esta es mejor solución que la primera.

La conclusión que saco de aquí, es que en el futuro, consideraré que la relación máxima entre un par de engranajes es 8.

La involumetría es el estudio de la geometría de la involuta. ¿Qué es la involuta? ¿Es lo mismo que la evolvente? (mal expresada en ocasiones como “envolvente”). ¿Cuál es la diferencia? ¿Son errores de traducción o cada uno tiene un significado geométrico distinto?

Definamos los siguientes conceptos: evolvente, evoluta, involuta y envolvente.

• Evoluta: En inglés evolute. Se define como el lugar geométrico de todos los centros de curvatura de una curva cualquiera. Para saber más: Evoluta en Wikipedia y en Wolfram [en]
• Evolvente: Es la anterior “curva cualquiera”, es decir, aquella que da lugar a una evoluta. Parece ser que es lo que en inglés se entiende por involute.
• Involuta: En inglés involute. Se supone que es aquella curva indeformable que genera una curva de evolvente. Vamos, que es lo mismo que la evolvente. Estos anglicismos…
  Sus ecuaciones paramétricas son estas:
  
  
• Envolvente: Es la curva tangente a cada miembro de una familia de curvas o rectas, sin pertenecer esa curva a tal familia.

Después de todo el lío de curvas tangentes a otras y entre sí, vamos al grano. Lo que nos interesa es la evolvente o involuta para generar nuestro perfil de diente. Llámese como se quiera, yo elijo evolvente.

El perfil del diente de un egranaje de evolvente viene generado por la evolente de la circunferencia base, la cual dijimos que tenía un diámetro .

Aquí tenemos una animación del punto de contacto entre dos perfiles de engranajes involutos realizada por la web HowStuffWorks.

Voy a seguir el “Teoría de Máquinas y Mecanismos” de Shigley para describir cómo trazamos tal curva.

Generación de una evolvente o involuta a partir de un círculo base

Si nos fijamos en la imagen, vamos a partir de un círculo base de radio y de centro . La línea del radio corta a la circunferencia en el punto y se traza una tangente en ese punto, donde trazaremos nuestro segmento , de longitud . La línea del radio, forma un ángulo con el segmento . Como el triángulo es rectángulo, se cumple que , que es también la longitud del archo . Además, como la longitud de un arco de circunferencia es el radio del arco multiplicado por el ángulo en radianes, tenemos que .

Igualando, tenemos que , lo que pasará a ser la función “involuta de phi”: equivale al águlo que describe una curva trazada por un punto de una cuerda enrollada en el círculo base. Un ejemplo: si . La tabla 6 del apéndice del Shigley, consiste en una lista ángulos con su correspondiente álgulo de arco evolvente () ya tabulados.

Cómo generar el perfil del diente con la evolvente.

Enlaces de interés y referencias bibliográficas.

• Don Jose María Rico Martínez, “Análisis diferencial de la curva involuta de un círculo”.
• Curvas Técnicas: Evolvente (UPM)
• Referencias conceptuales
• J.E. Shigley, “Teoría de máquinas y mecanismos”.
• G. Niemann, “Tratado teórico-práctico de elementos de máquinas”.