ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Линейные преобразования ПДСК на плоскости

Fri, 13 Nov 2009 08:55:47 +0000

Пусть дана координатная плоскость Oxyz. Рассмотрим поворот осей координат вокруг начала координат на некоторый угол.

Читать полностью »

Свойства матрицы перехода

Thu, 12 Nov 2009 19:52:14 +0000

Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера над полем K. Если для любого столбца выполняется равенство , тогда .

Доказательство. Пусть – столбцы матрицы А, – столбцы матрицы В, – канонический базис пространства столбцов .

Читать полностью »

Изменение координат вектора при изменении базиса

Wed, 11 Nov 2009 05:50:13 +0000

Пусть , – два базиса произвольного векторного пространства V и пусть – произвольный вектор. Обозначим через и – столбцы координат вектора х относительно старого и нового базисов соответственно. В таких обозначениях справедлива следующая теорема, которая устанавливает связь между координатами одного и того же вектора в двух различных базисах.

Читать полностью »

Вычисление матрицы перехода в пространстве столбцов

Tue, 10 Nov 2009 15:48:19 +0000

Для вычисления матрицы перехода применяется равенство (4). Пусть векторы и старого и нового базиса являются столбцами одной высоты, т.е. являются векторами пространства . Тогда столбцы старого и нового базисов образуют матрицы: , . Подставляя их в равенство (4), получаем матричное равенство:

. (5)

Читать полностью »

Матрица перехода

Mon, 09 Nov 2009 12:30:44 +0000

Пусть , – два базиса произвольного векторного пространства V над полем K. Назовем первый базис "старым", а второй "новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:

Читать полностью »

Изоморфизм векторных пространств

Sun, 08 Nov 2009 06:28:10 +0000

Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем К. Отображение называют гомоморфизмом (или линейным отображением) векторного пространства в векторное пространство , если , :

1) ;

2) . Читать полностью »

Обсудить

Действия с векторами в координатной форме

Sat, 07 Nov 2009 10:25:21 +0000

Пусть – базис векторного пространства V над полем K и – произвольный вектор векторного пространства V. Из определения базиса следует, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом:

.Читать полностью »

Существование базиса векторного пространства.

Fri, 06 Nov 2009 18:22:24 +0000

Определение. Векторное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.

Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что базис такого пространства вообще существует. Все ранее полученные свойства были получены в предположении, что базис существует. Следующая теорема закрывает этот вопрос.

Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.) Читать полностью »

Размерность векторного пространства.

Thu, 05 Nov 2009 20:07:48 +0000

Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.

Доказательство. Читать полностью »

Базис векторного пространства

Wed, 04 Nov 2009 07:05:28 +0000

Определение. Система векторов векторного пространства над полем К называется порождающей (образующей) системой векторов этого векторного пространства, если она представляет любой его вектор, т.е. если найдется такой набор скаляров , что . Читать полностью »

Системы столбцов арифметического векторного пространства столбцов

Tue, 03 Nov 2009 20:02:57 +0000

Теорема.

1) Система столбцов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда в системе найдется хотя бы один столбец, который линейно выражается через другие столбцы данной системы. Читать полностью »

Подсистемы системы векторов векторного пространства

Mon, 02 Nov 2009 11:56:35 +0000

Определение. Любое непустое подмножество системы векторов называется подсистемой данной системы векторов.

Пример. Читать полностью »