Gaussianos http://gaussianos.com Porque todo tiende a infinito Thu, 19 Nov 2009 06:00:18 +0000 http://wordpress.org/?v=2.6.1 en 37.0625-95.677068gaussianoshttp://feedburner.google.com El postulado de Bertrand http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/-rnePy0JNmM/ http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/#comments Thu, 19 Nov 2009 06:00:18 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1946 Introducción

En el artículo del pasado lunes sobre Joseph Bertrand hablamos de su famoso postulado, cuyo enunciado es el siguiente:

Postulado de Bertrand

Dado n un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo p entre n y 2n, es decir:

\forall n > 1, \exists p \mbox{ primo tal que } n < p < 2n

En este mismo artículo comentamos que la primera demostración conocida de la veracidad de esta conjetura se debe a Chebychev, y que tanto Ramanujan como Ërdos habían dado más adelante pruebas más simples de este hecho. La de Ërdos la podéis consultar aquí y la de Ramanujan es la que vamos a desarrollar en esta entrada.

Demostración de la veracidad del postulado de Bertrand

La demostración que vamos a reproducir aquí, atribuida a Ramanujan, puede resultar algo complicada de seguir. Por ello debemos estar muy atentos a cada paso.

Sea x un número natural mayor que 1. Comenzamos definiendo \nu (x) como la suma de los logaritmos de todos los números primos menores o iguales que x, es decir:

\nu (x) = \displaystyle{\sum_{p \le x, \; p \; primo} log(p)}

Tomamos ahora las siguientes expresiones:

\psi (x)= \nu (x)+ \nu(x^{\textstyle{\frac{1}{2}}})+ \nu (x^{\textstyle{\frac{1}{3}}})+ \ldots (1)
log [ x ] ! = \psi (x)+\psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x)+ \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x)+ \ldots (2)

donde [ x ] es la parte entera de x (es decir, el mayor número entero que es menor que x).

A partir de (1) se obtiene fácilmente (sólo con realizar las operaciones) que:

\psi (x)-2 \psi ( \sqrt{x} )= \nu (x) - \nu (x \textstyle{\frac{1}{2}})+ \nu (x \textstyle{\frac{1}{3}}) - \ldots (3)

Y a partir de (2), también de forma sencilla, obtenemos lo siguiente:

log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] != \psi (x)- \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x)+ \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) - \ldots (4)

Dado que \nu (x) y \psi (x) son funciones crecientes, obtenemos a partir de (3) y (4) que las siguientes desigualdades son ciertas:

\psi (x)-2 \psi (\sqrt{x}) \le \nu (x) \le \psi (x) (5)
\psi (x)- \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x) \le log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] ! \le \psi (x) - \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x) + \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) (6)

Por otra parte, puede demostrarse que (a ver quién se atreve a hacerlo en los comentarios):

log (\Gamma (x))-2 log (\Gamma \textstyle{\frac{1}{2}} x+\textstyle{\frac{1}{2}}) \le log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] ! \le log (\Gamma (x+1))-2 log (\Gamma \textstyle{\frac{1}{2}} x+\textstyle{\frac{1}{2}}) (7)

Ahora, ayudándonos de la aproximación de Stirling obtenemos lo siguiente a partir de (7):

log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] ! < \frac{3}{4} x, \mbox{ si } x > 0 (8)

log [x ] !-2 log [ \textstyle{\frac{1}{2}}x ] ! > \frac{2}{3} x, \mbox{ si } x > 300 (9)

Uniendo ahora la información proporcionada por (6), (8) y (9) se ve claramente que:

\psi (x)- \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x) < \frac{3}{4} x, \mbox{ si } x > 0 (10)
\psi (x)- \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x)+ \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) > \frac{2}{3} x, \mbox{ si } x > 300 (11)

Tomemos ahora la expresión (10) y cambiemos x por \textstyle{\frac{1}{2}} x, \textstyle{\frac{1}{4}} x, \textstyle{\frac{1}{8}} x, \ldots y sumemos los resultados. Obtenemos lo siguiente:

\psi (x) < \frac{3}{2} x, \mbox{ si } x > 0 (12)

Uniendo en este punto la información proporcionada por (5) y (12) llegamos a (13):

\begin{matrix} \psi (x) - \psi (\textstyle{\frac{1}{2}} x) + \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) \le \\ \le \nu (x) + 2 \psi (\sqrt{x}) - \nu (\textstyle{\frac{1}{2}} x) + \psi (\textstyle{\frac{1}{3}} x) < \\ < \nu (x) - \nu (\textstyle{\frac{1}{2}} x)+\textstyle{\frac{1}{2}} x + 3 \sqrt{x} \end{matrix}

Y utilizando este punto (13) junto con el (11) se obtiene:

\nu (x) - \nu ( \textstyle{ \frac{1}{2}} x) > \frac{1}{6} x - 3 \sqrt{x} , \mbox{ si } x > 300 (14)

Por otra parte, es evidente que:

\frac{1}{6} x- 3 \sqrt{x} \ge 0, \mbox{ si } x \ge 324

En consecuencia tenemos:

\nu (2x)- \nu (x) > 0, \mbox{ si } x > 162 (15)

Este hecho finaliza la demostración para x > 162. ¿Por qué? Muy sencillo. Recordemos que \nu (x) era la suma de los logaritmos de todos los números primos menores o iguales que x, y lo que hemos obtenido que es que esa suma es mayor para 2x que para x. Esto sólo puede ocurrir si en la suma para 2x aparece algún logaritmo más que los que aparecen en la suma para x. Y para que ello ocurra debe haber algún número primo entre x y 2x (no puede ser el propio 2x, ya que es un número par y por tanto compuesto) que aporte ese logaritmo a la suma. Es decir, hemos demostrado que para x \ge 162 existe al menos un número primo entre x y 2x. Comprobando ahora la veracidad de la conjetura para valores de x menores que 162 (sencillo) se demuestra en su totalidad el postulado de Bertrand.

Fuente:

Como habéis podido ver la demostración es relativamente elemental, pero algo complicada de seguir. Además contiene algunos pasos que no se demuestran pero que no parecen totalmente evidentes. No estaría mal que alguno de vosotros los aclarara en un comentario.

]]> http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/feed/ http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/ Osados http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/dnyqudw00FM/ http://gaussianos.com/osados/#comments Wed, 18 Nov 2009 06:00:16 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1937

¿Cómo osamos hablar de las leyes del azar? ¿No es el azar la antítesis de toda ley?

Joseph Bertrand

MacTutor

¿Estáis de acuerdo?

]]> http://gaussianos.com/osados/feed/ http://gaussianos.com/osados/ Factores primos http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/9TjJJVEAel8/ http://gaussianos.com/factores-primos/#comments Tue, 17 Nov 2009 06:00:04 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1942 Os dejo el problema de esta semana:

Demuestra que el número 19^{1976}+76^{1976}:

  1. Es divisible por el primo de Fermat F_4=2^{2^4}+1, y
  2. Es divisible por al menos otros cuatro números primos distintos aparte de F_4.

A por él.

]]> http://gaussianos.com/factores-primos/feed/ http://gaussianos.com/factores-primos/ Joseph Bertrand: un postulado para la eternidad http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/IbeHnJIfBt0/ http://gaussianos.com/joseph-bertrand-un-postulado-para-la-eternidad/#comments Mon, 16 Nov 2009 06:00:02 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=467 Joseph BertrandJoseph Louis François Bertrand fue un matemático francés del siglo XIX que nació en París el 11 de marzo de 1822 y murió en la misma ciudad el 5 de abril de 1900. Sus trabajos se centraron principalmente en teoría de números, geometría diferencial, teoría de la probabilidad, economía y termodinámica.

Hijo del físico Alexandre Jacques François Bertrand, Joseph estuvo rodeado de matemáticas durante toda su vida. Duhamel (seguro que a quienes hayáis estudiado ecuaciones en derivadas parciales os suena) era amigo de su padre y se encargó de la tutela de nuestro protagonista tras la muerte de éste, y su hermana Louise estuvo casada con Hermite. Además Picard se casó con una hija de estos últimos.

Sea como fuere Bertrand demostró grandes capacidades científicas desde pequeño. Con 9 años ya era capaz de comprender álgebra y geometría elemental y hablaba en latín con fluidez. Con 11 años se le permitió asistir a algunas clases en la École Polytechnique y con 16 obtuvo su primer título. Un año después se doctoraba gracias a una tesis sobre termodinámica. Este mismo año, 1839, entró oficialmente en la École Polytechnique y publicó su primer trabajo, concretamente sobre teoría matemática de la electricidad. En 1841 entró como profesor en el Liceo Saint-Louis, puesto que ocupó hasta 1848. Más adelante fue profesor en la École Polytechnique (una de las escuelas de ingenieros francesa más prestigiosa) y del Collège de France. También fue miembro de la Academia de Ciencias de París.

Entre sus trabajos podemos destacar los siguientes:

  • Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme, trabajo dedicado a ciertos estudios sobre grupos que a la postre se convirtió en su mayor contribución a la teoría de números.
  • Reedición de Mécanique analytique de Lagrange.
  • Méthode des moindres carrés, traducción al francés del trabajo de Gauss sobre teoría de errores y el método de los mínimos cuadrados.
  • Notas sobre teoría de probabilidad.

Además de por sus publicaciones académicas, Bertrand fue famoso por publicar libros de texto. Entre ellos destacan:

  • Traité d’arithmetique
  • Traité élémentaire d’algèbre

dirigidos a alumnos de secundaria, y:

  • Traité de calcul différentiel et de calcul intégral
  • Thermodynamique
  • Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité

para alumnos de niveles superiores.

Su libro Calcul des probabilitiés, publicado en 1888, merece ser comentado por contener una famosa paradoja sobre probabilidades que a partir de ese momento pasó a conocerse como paradoja de Bertrand. Bertrand formula la siguiente cuestión:

Consideremos un triángulo equilátero inscrito en un círculo. Supongamos que elegimos al azar una cuerda de la circunferencia de dicho círculo. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más grande que el lado del triángulo?

En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver los tres argumentos, aparentemente válidos, que da Bertrand para resolver este problema. Y podéis comprobar que los tres dan probabilidades distintas. ¿Por qué? A grandes rasgos la clave de la paradoja es el significado de al azar en la elección de la cuerda.

Aparte de ésta hay otras dos paradojas que se atribuyen a Joseph Bertrand:

Joseph BertrandPero sin duda el aspecto de su vida matemática que ha hecho famoso a Bertrand para siempre ha sido el conocido como postulado de Bertrand, cuya formulación es la siguiente:

Dado n un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n.

Es decir, Bertrand postuló que para todo número natural mayor que 1 siempre existe un número primo que queda entre ese número natural y su doble.

En realidad esta es la versión débil del postulado de Bertrand. La versión más fuerte dice que para todo n número natural mayor que 3 existe un número primo p tal que n < p < 2n-2, aunque como hemos comentado antes es la primera versión la que se conoce como postulado de Bertrand.

Bertrand conjeturó dicha propiedad de los números primos en 1845, pero no consiguió demostrarla. Tuvo que ser Chebychev quien, en 1850, dio la primera demostración que se conoce de dicho resultado. Más adelante Ramanujan y el genial Paul Ërdos dieron demostraciones más simples. Igual durante esta semana nos encontramos con alguna de ellas por aquí…

Como detalle final señalar que Bertrand sufrió en 1842 un accidente de tren cuyo resultado fue rotura de nariz junto con unas marcas en la cara que mantuvo a lo largo de su vida.

Fuentes:

]]> http://gaussianos.com/joseph-bertrand-un-postulado-para-la-eternidad/feed/ http://gaussianos.com/joseph-bertrand-un-postulado-para-la-eternidad/ Maldita inactividad http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/d30qYQCkLgo/ http://gaussianos.com/maldita-inactividad/#comments Wed, 11 Nov 2009 06:00:48 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1934

Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelecto.

Leonardo da Vinci

INFINITUM. Citas matemáticas

Eso es lo que poco a poco nos está pasando a más de uno (dios, con lo que yo era en los últimos cursos de carrera…). Aunque, no lo puedo negar, este blog está consiguiendo que ese proceso de destrucción sea más lento. ¿Qué pensáis? ¿Alguno se ve reflejado en esta frase?

]]> http://gaussianos.com/maldita-inactividad/feed/ http://gaussianos.com/maldita-inactividad/ Uno de congruencias http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/vv5JvgL0AI4/ http://gaussianos.com/uno-de-congruencias/#comments Tue, 10 Nov 2009 06:00:07 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1931 Ya que nuestro artículo de ayer lunes está relacionado con congruencias aquí os traigo como problema para esta semana uno también relacionado con ellas. Ahí va el enunciado:

Determina todos los enteros positivos n \ge 2 que satisfacen que para cualesquiera enteros positivos a,b primos relativos con n se cumple lo siguiente:

a \equiv b (mod \; n) si y sólo si ab \equiv 1 (mod \; n).

Suerte.

]]> http://gaussianos.com/uno-de-congruencias/feed/ http://gaussianos.com/uno-de-congruencias/ Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrado http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/ow1EXxeL6To/ http://gaussianos.com/todo-primo-congruente-con-1-modulo-4-es-suma-de-dos-cuadrado/#comments Mon, 09 Nov 2009 06:00:49 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1912 Introducción

El resultado que da título a este artículo es bien conocido:

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados.

Este resultado fue propuesto por Fermat a través de una carta enviada a Marín Mersenne. Como era habitual en él, Fermat no dio ninguna demostración de este hecho. La primera que se conoce se debe a Euler, que consiguió demostrar el resultado utilizando el método del descenso infinito. Después Lagrange, Gauss y Dedekind (entre otros) dieron otras demostraciones o simplificaciones de éstas.

En este artículo vamos a ver una demostración bastante elegante (aunque no constructiva) debida a Don Zagier que me envió vengoroso hace ya bastante tiempo después de publicarla en su propio blog. Vamos con ella.

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados

En primer lugar vamos a escribir el enunciado de nuestro teorema:

Teorema:

Todo primo p congruente con 1 módulo 4 (esto es, p \equiv 1 (mod \; 4)) puede expresarse como suma de dos cuadrados.

Demostración

Tomamos p un número primo y comenzamos definiendo el siguiente conjunto:

S=\{(x,y,z)\in \mathbb{N}^3|\ x^2 + 4yz=p \}

Un par de consideraciones sobre S:

  • Ninguno de los elementos de S tiene una coordenada nula, ya que si alguna de ellas fuera cero p no podría ser un número primo.
  • El conjunto S es finito, ya que todas las coordenadas de un elemento de S son menores que el propio p.

Vamos a definir ahora la siguiente aplicación f: \; S \rightarrow S:

f(x,y,z)= \left \{ \begin{matrix} (x+2z,z,y-x-z), \; si \; x < y-z \\ (2y-x,y,x-y+z), \; si \; y-z < x < 2y \\ (x-2y,x-y+z,y), \; si \; x > 2y \end{matrix} \right.

Algunos comentarios sobre esta f:

  • La aplicación está bien definida, ya que todas las coordenadas son positivas (teniendo en cuenta los conjuntos de definición de cada trozo) y la terna resultante en cada caso vuelve a ser un elemento de S (esto último puede comprobarse de forma sencilla desarrollando las operaciones correspondientes en cada caso).
  • La aplicación f es una involución, es decir, una función que cumple que f(f(x,y,z))=(x,y,z). Esto también es sencillo de demostrar, pero al igual que en el caso anterior debemos tener cuidado con el tipo de terna que obtenemos. Por ejemplo, si (x,y,z) está en el tercer tramo, su imagen es (x-2y,x-y+z,y), que pertenece al los del primer tramo ya que x-2y < x-2y+z. Aplicándole f a este punto y realizando las operaciones correspondientes vemos que obtenemos de nuevo (x,y,z). El resto de casos se comprueban también de manera sencilla.
  • La aplicación f tiene un único punto fijo (es decir, un punto (x,y,z) tal que f(x,y,z)=(x,y,z)).. Para el primer tramo, un punto fijo implicaría y=z, por lo que la última coordenada sería -x, cosa que es imposible. Para el tercer tramo debería cumplirse que x=x-2y, por lo que y debería ser cero, hecho que tampoco puede producirse. Por ello los únicos puntos fijos que tenga f deben ser del segundo tramo. Si eso ocurre debe ser x=y, por lo que la búsqueda de puntos fijos se centra ahora en encontrar puntos (x,x,z) \in S, es decir, que verifiquen x^2+4xz=p. Si sacamos x factor común tenemos la igualdad p=x(x+4z), lo que implica (por ser p primo) que x=1. Por ello el único punto fijo de f es (1,1,z). Además de aquí también obtenemos que es necesario que p=4z+1.

Utilizando ahora el hecho siguiente:

Un conjunto finito y su subconjunto de puntos fijos para cualquier involución tienen la misma paridad.

Como f tiene un único punto fijo, su subconjunto de puntos fijos tiene cardinal impar. Por ello S también tiene un número impar de elementos.

Definimos ahora una segunda aplicación g: \; S \rightarrow S que también es una involución:

g(x,y,z)=(x,z,y)

El hecho de que g es una involución es evidente. Pero además, como S tiene cardinal impar entonces el conjunto de puntos fijos de g también tiene un número impar de elementos, por lo que debe existir al menos un punto fijo. Dicho punto fijo será entonces de la forma (x,y,y). Pero como este punto es un elemento de S se tiene lo siguiente:

p=x^2+4y^2=x^2+(2y)^2

con lo que nuestro número primo p de la forma p=4z+1 cumple que se puede escribir como suma de dos cuadrados, concretamente los de x y 2y. \Box

Actualización:

Para quien quiera profundizar os dejo un enlace JSTOR donde puede consultarse el artículo original:

Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144, doi:10.2307/2323918
http://www.jstor.org/pss/2323918

Para finalizar comentar que las consideraciones adicionales que aparecen en el artículo de vengoroso no forman parte de la demostración original de Zagier.

]]> http://gaussianos.com/todo-primo-congruente-con-1-modulo-4-es-suma-de-dos-cuadrado/feed/ http://gaussianos.com/todo-primo-congruente-con-1-modulo-4-es-suma-de-dos-cuadrado/ ¿Qué estamos haciendo? http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/vFTwnV-NOug/ http://gaussianos.com/%c2%bfque-estamos-haciendo/#comments Thu, 05 Nov 2009 06:00:59 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1909 Este artículo ha sido promovido para aparecer en la portada de Menéame. Si te ha gustado y quieres votarlo haz click en este enlace y pulsa en Menéalo.

Introducción

Según el Decreto 85/2008, de 17-06-2008, por el que se establece y ordena el currículo del bachillerato en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha:

El bachillerato, de acuerdo con lo establecido en la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación, forma parte de la educación secundaria postobligatoria y su finalidad es la de proporcionar a los alumnos formación, madurez intelectual y humana, conocimientos y habilidades que les permitan desarrollar funciones sociales e incorporarse a la vida activa con responsabilidad y competencia. Asimismo, capacitará a los alumnos para acceder a la educación superior.

Es decir, que uno de los objetivos del Bachillerato es preparar a los alumnos para su etapa universitaria, si es que eligen ese camino. De hecho se entiende que es uno de los objetivos principales, si no el que más, ya que el temario que se imparte en 2º de bachillerato está basado en el temario de selectividad (se llame como se llame en cada momento), cuya nota completa las notas de la época de instituto para obtener una calificación que servirá para acceder a estudios universitarios.

Quedando claro este punto uno no entiende muy bien ciertas decisiones. Paso a explicar por qué os estoy contando todo esto, dejando claro antes que toda la información que aparece en este artículo es aplicable solamente a Castilla-La Mancha. Carezco de información sobre si en el resto de comunidades las cosas van a pasar a ser igual que aquí. Me gustaría que si alguien posee dicha información que nos lo haga saber en un comentario.

Cambios

Desde hace unas semanas (y creo que todavía continúan) se están celebrando las reuniones provinciales de coordinación de cada una de las asignaturas de bachillerato. En dichas reuniones se dan las pautas de los temarios de selectividad para que el programa de cada asignatura se ajuste a estos temarios. Un amigo que es profesor en un instituto, donde se encarga (entre otras asignaturas) de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, me comentó cómo fue y lo que allí se dijo, y eso mismo es lo que os voy a contar yo a vosotros.
Para tirarse de los pelos
El primer comentario es evidente: ¿cómo se puede celebrar una reunión en la que se dan pautas para el desarrollo del programa de una asignatura un mes después (y en algunos casos más) del comienzo del curso? ¿Y si en ese tiempo se ha impartido algo que luego no aparece en el programa de selectividad? ¿No se puede hacer la reunión a principios de septiembre? Parece que no. Aunque bueno, este punto tampoco es tan grave.

Lo más importante de dicha reunión es que va a haber cambios en el temario de selectividad. Algunos de estos cambios son los siguientes:

  • Se suprimen los determinantes.
  • No van a entrar los sistemas de ecuaciones lineales dependientes de algún parámetro.
  • Las derivadas que aparezcan en los exámenes serán de funciones muy sencillas. Básicamente se pedirán derivadas de polinomios, cocientes de polinomios y funciones exponenciales sencillas. Por ejemplo, no aparecerán derivadas de funciones trigonométricas.
  • Desparecen completamente las integrales.

Cualquier alumno que lea esto, o que haya sido informado en clase, estará contento. Menos temario es igual a menos que estudiar y por tanto aprobado más sencillo. Pero cualquier persona que conozca un poco el mundo universitario comprenderá que estas medidas son una auténtica barbaridad, un camino hacia el suicidio académico.

¿Por qué? Muy sencillo. En esta zona (supongo que en otras muchas pasará lo mismo) la gran mayoría de las personas que acceden a la universidad después de haber cursado el Bachillerato en Ciencias Sociales se matriculan en ADE (Administración y Dirección de Empresas). Esto no es una opinión, es un hecho fácilmente comprobable. En esta carrera las matemáticas son parte fundamental, sobre todo en los primeros cursos. Y el hecho de reducir tan drásticamente el temario de 2º de Bachillerato hará que los alumnos lleguen cada vez menos preparados para afrontar los estudios para los que, en teoría, se les prepara en esta rama del bachillerato. De hecho ya en los últimos años se ha empezado a notar que la preparación es cada vez más pobre, o al menos yo lo he notado en la gente que acude a la academia donde trabajo para solicitar clases particulares. Y a partir de ahora, con estos cambios, la cosa va a ir a peor. ¿La preparación para la universidad no era uno de los objetivos más importantes de esta etapa? ¿De verdad que estamos respondiendo a este objetivo?

Evidentemente no soy el único que ha pensado en ello. En la propia reunión uno de los profesores asistentes preguntó sobre este hecho a la persona encargada de la misma:

Muchos de mis alumnos entran después en ADE, donde se van a encontrar varias asignaturas de matemáticas para las que no van a estar preparados con este temario.

Respuesta (aproximada) del encargado de la reunión:

A mí simplemente me han dicho que os comunique esta información. Las consecuencias que tengan estos cambios en el devenir de los alumnos en la universidad se salen de mi cometido.

Entiendo que si este señor se encarga únicamente de dicha reunión no tiene nada que ver con las implicaciones de los cambios que van a realizarse, pero creo que por encima de él si que hay gente cuya influencia en el éxito o fracaso de los alumnos en su etapa universitaria es máxima, por lo que bajo mi punto de vista deberían preocuparse algo más por ello.

Cualquiera de vosotros que sea profesor de este curso del que hablamos podría pensar en impartir los contenidos que se eliminan a sabiendas de que los alumnos los van a necesitar. Algo así como no entran en selectividad, pero yo los imparto y les evalúo sobre ellos ya que el conocimiento de los mismo va a ser muy importante. Tampoco creo que vaya a servir esta medida, ya que en la reunión también se dijo que a nadie se le ocurriera suspender a un alumno por no superar los exámenes relativos a los temas que se eliminan. O sea, que tú puedes enseñarles algo sobre integrales y hacerles un examen sobre ello, pero un suspenso en dicho examen no podrá tener ninguna influencia sobre la nota final del curso. Como los alumnos lo saben, ¿pensáis que se preocuparían por estudiar en este caso? Lo dudo.

Esto, junto con otras medidas que se han producido y se están produciendo, parecen indicar que se está intentando igualar por abajo, es decir, que se está intentando que todo el mundo llegue a poseer unos estudios mínimos eliminando temario y facilitando en demasía los aprobados. Esto, bajo mi punto de vista, acaba perjudicando a los que quieren continuar estudiando. Los estudios son duros en el sentido de que hay que trabajar para conseguirlos, y por desgracia no todo el mundo está dispuesto a asumir la responsabilidad que conlleva dicho trabajo. Y como no todo el mundo llega a terminar esos estudios, ¿les regalamos el aprobado perjudicando así a los que más se lo merecen?

Hoy más que nunca me gustaría saber vuestra opinión sobre este tema, así como conocer cómo están las cosas en el resto de comunidades.

Y para terminar otra pregunta:

¿Qué os parece la propuesta/idea de alargar la enseñanza obligatoria hasta los 18 años?

Y dejo mi opinión: una locura.

]]> http://gaussianos.com/%c2%bfque-estamos-haciendo/feed/ http://gaussianos.com/%c2%bfque-estamos-haciendo/ Dos clases http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/R5GuOcxjabQ/ http://gaussianos.com/dos-clases/#comments Wed, 04 Nov 2009 06:00:21 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1906

Hay dos clases de contribuciones matemáticas: las obras que son importantes para la historia de las matemáticas y las que sencillamente constituyen un triunfo del espíritu humano.

Paul Joseph Cohen

INFINITUM. Citas matemáticas

¿A cuál de ellas pensáis que corresponde nuestro artículo del lunes sobre funciones sin primitiva elemental?

]]> http://gaussianos.com/dos-clases/feed/ http://gaussianos.com/dos-clases/ Circunferencia y triángulo http://feedproxy.google.com/~r/gaussianos/~3/oEewj3uL82I/ http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comments Tue, 03 Nov 2009 06:00:32 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=1899 Vamos con el problema de esta semana:

Tenemos una circunferencia de radio R y un triángulo dentro de ella como muestra la figura:

Circunferencia y triángulo

El lado AB del triángulo es un diámetro de la circunferencia y el punto C pertenece a la misma.

Sabiendo además que \textstyle{\frac{\mbox{Area del circulo}}{\mbox{Area del triangulo}}=2 \pi}, demostrar que los dos ángulos más pequeños de dicho triángulo miden exactamente 15^\circ y 75^\circ.

Ánimo, que no es difícil.

]]> http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/feed/ http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/