También eran de interés los problemas inversos de tangentes, en los que se buscaba determinar una curva a partir de alguna propiedad de sus tangentes. Y el primero en plantear uno de esos problemas fue nuestro protagonista, Florimond de Beaune (1601-1652), jurista francés discípulo de Descartes. El problema de De Beaune consistía en encontrar la curva de subtangente constante (Fede nos habló aquí de las subtangentes de la parábola).

Al parecer Descartes intentó resolverlo por métodos geométricos, pero no lo consiguió. Y tuvo que se Leibniz, con su recién estrenado Cálculo, quien lo consiguiera. Lo hizo en la primera publicación sobre el Cálculo de la historia, titulada “Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante las cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas” y publicada en 1684 en Acta Eruditorum. Al final del mismo Leibniz escribe lo siguiente:

Me agrada añadir como apéndice la solución del problema que Descartes, a propuesta de De Beaune, intentó pero no resolvió. Encontrar una línea de tal naturaleza que la proyección de cualquiera de sus puntos sobre un eje y el corte de la tangente en ese punto con dicho eje formen un segmento de longitud constante.

Ese segmento que el problema pide que sea de longitud constante es lo que se denomina subtangente.

Leibniz consigue resolver el problema en pocas líneas:

obteniendo que .

La situación se puede plantear como sigue:

De aquí, obligando a que sea constante, por ejemplo igual a , obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

Dicha ecuación es muy sencilla de resolver (es de variables separables). La transformamos en

e integrando a ambos lados obtenemos que

En la actualidad esto significa que la función que cumple que tiene subtangente constante es la función exponencial (inversa del logaritmo neperiano)

que es la solución de la ecuación diferencial (es decir, lo que queda si despejamos ).

Y para terminar os dejo un applet de GeoGebra en el que podéis ver que efectivamente la función exponencial tiene subtangente constante. Podéis cambiar el exponente y ver que si ponéis una función tipo en dicho exponente la subtangente se mantiene constante cuando movéis el punto a lo largo de la curva, mientras que si colocáis cualquier otra cosa, o cambiáis totalmente de función, eso no ocurre:

Por cierto, como es natural si tomamos la proyección del punto sobre el eje y el corte de la tangente en el mismo eje entonces es la función la que cumple que el segmento formado por esos puntos tiene longitud constante.

Fuentes y más información:

• La verdad está en el límite, de Antonio J. Durán.
• Biografía de Florimond de Beaune en MacTutor.
• Artículo original de Leibniz en Acta Eruditorum, con traducción al español.
• 7 de octubre: Florimond de Beaune en Divergiendo.
• El descubrimiento del Cálculo, de Bartolomé Barceló.

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Famelab es una iniciativa internacional cuyo objetivo es fomentar la divulgación científica a través de monólogos que versen sobre algún tema relacionado con la ciencia. Comenzó en 2005 en el Cheltenham Science Festival y desde 2007 se celebra en varios países de Europa, Asia y África y en Estados Unidos. En cada uno de ellos se realiza primero una preselección entre los trabajos recibidos y después se elige un ganador entre todos ellos, que es quien representa a dicho país en la fase internacional. Este año es el primero que se celebra en España y Eduardo, por tanto, se convierte así en el primer ganador de la fase nacional española y representará a España en la fase internacional en el Festival de Cheltenham del 4 al 8 de junio.

Y decíamos que el monólogo que ha presentado Eduardo se titula Un teorema es para siempre. Queréis verlo, ¿verdad? Pues aquí lo tenéis. Si no lo habéis visto os recomiendo que no os lo perdáis, y si lo habéis visto ya seguro que no os importa volver a verlo. A mí personalmente me ha encantado:

Lo dicho, a mí me ha gustado mucho. Mi más sincera enhorabuena para Eduardo, y mucha suerte para la final internacional.

Podéis encontrar más información sobre Famelab en la web española del proyecto, Famelab.es, y en la general, Famelab.org.

Y no quiero dejar escapar la oportunidad que me brinda este post para comentaros que nuestra querida Clara Grima también presentó un monólogo a este certamen, aunque por desgracia no llegó a entrar en los finalistas y se clasificó para la semifinal, aunque por desgracia no pudo asistir a la misma por cuestiones personales. Va sobre el elemento neutro de un grupo, y aquí lo tenéis:

¿Qué os han parecido? ¿Os han gustado? ¿Conocéis algún otro que trate de algo relacionado con las matemáticas? ¿Alguno de vosotros presentó un monólogo y nos lo quiere mostrar? Los comentarios son vuestros.

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Ahora Harald Helfgott parece que consigue cerrar el círculo y probar que la conjetura débil de Goldbach es cierta. Y ha sido el propio Tao quien lo ha anunciado en su cuenta de Google+ (a mí me llegó a través de este comentario de Nacho y a través de un mail de Rafael Tesoro). A falta de confirmación “oficial” (después de revisión y todo eso), la palabra de Tao no es un mal “seguro”.

Por cierto, para quienes vean en esto un avance para la demostración de la conjetura fuerte de Goldbach (la de siempre: todo número par mayor que 2 es igual a la suma de dos números primos) ahí va una mala noticia: no parece que sea así, ya que el método de demostración utilizado en la mayoría de los resultados exitosos relacionados con la conjetura débil de Goldbach no parece llevarse bien con la fuerte. Una lástima, pero habrá que seguir intentándolo.

No empieza mal la semana para la teoría de números. Ayer se avanzaba en el estudio de los primos gemelos y hoy parece que se demuestra la conjetura débil de Goldbach. ¿Qué será lo próximo?

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Esta conjetura puede formularse así:

Existen infinitas parejas de números primos tales que .

Reformulación que induce platearse el siguiente resultado:

Conjetura(N): Existen infinitas parejas de números primos tales que .

Bien, pues lo que parece que ha demostrado Zhang es la Conjetura(70000000), es decir, que existen infinitas parejas de números primos tales que

Veremos si la demostración resulta correcta (después de su necesario proceso de revisión) y, en ese caso, si esto anima a continuar con el estudio de esta interesante, y complicada, conjetura.

Más información en Not Even Wrong y en The Aperiodical.

Y si alguien tiene/encuentra más información sobre el tema agradeceremos que la comparta con nosotros en un comentario.

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Sea un cuadrilátero convexo tal que

y

¿Qué forma tiene el cuadrilátero ?

A por él.

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Los contenidos que se pueden encontrar en ella son lo siguientes:

• Antonio Gallastegi, Ricardo Grande, Irene Llana y Víctor Manero nos cuentan las últimas noticias y anuncios de interés.
• Jon Asier Bárcena nos habla sobre varios cursos online para estudiantes.
• Manuel Santos nos ofrece una reseña del libro Ciencia e Hipótesis de H. Poincaré.
• Daniel Girela nos presenta el Máster en Modelización para la Ciencia y la Ingeniería que oferta la Universitat Autònoma de Barcelona en Al acabar la carrera, ¿qué?
• Josué Tonelli-Cueto y Ricardo Grande entrevistan a Christiane Rousseau, presidenta del Mathematics of Planet Earth 2013
• Imanol Pérez nos presenta el problema de la catenaria y el coseno hiperbólico.
• Andrea Aresti y Julene Escudero nos hablan de trucos de magia matemáticos en el artículo abraMATabra.
• Irune Gurrutxaga nos habla de la vida y contribuciones de Ramanujan en Un paseo por la historia.
• Jone Uria nos presenta unos bertsos muy matemáticos, que comparan la evolución de una persona con la de los números.
• Y en el concurso de Txomin se resuelven los problemas 3 y 4.

Puede accederse online a este séptimo número en este enlace y descargarse gratuitamente en este otro enlace. No os la perdáis, el trabajo de estos chicos lo merece.

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Estudia si existe una sucesión estrictamente creciente de enteros que cumple las dos condiciones siguientes:

i) Todo número natural puede ser escrito como suma de dos términos, no necesariamente distintos, de la sucesión.

ii) Para cada entero positivo , se verifica que .

Que se os dé bien.

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Dos concursantes se enfrentan a dos tipos de pruebas que se repiten varias veces durante el programa:

• Cifras: se eligen al azar seis cantidades, que pueden ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 50, 75 ó 100, y se escoge, también al azar, un número de tres cifras. El objetivo es conseguir dicho número utilizando las seis cantidades iniciales y las operaciones de sumas, resta, multiplicación y división, o, en su defecto, la mejor aproximación posible a tal número.
• Letras: se eligen al azar nueve letras del abecedario y el objetivo de cada concursantes es formar con ellas la palabra más larga posible que aparezca en el diccionario de la RAE.

La prueba de letras tiene algún detalle más (los concursantes eligen alternativamente y dicen si quieren vocal o consonante, no valen los plurales ni los tiempos verbales excepto infinitivo, gerundio y participio, etc), pero como nos vamos a centrar en la de números tampoco nos importan demasiado ahora.

La cuestión es que la mayoría de las veces (al menos según mi propia experiencia) aparecen combinaciones de números que permiten encontrar el número exacto, aunque, evidentemente, no siempre tienen la misma dificultad. Los “fáciles” suelen encontrarlos la mayoría de los concursantes, pero hay algunos “difíciles” que se les suelen resistir. De todas formas, seguro que habéis visto a más de un concursante encontrar uno de esos “difíciles” de alguna forma bastante ocurrente, ¿verdad? Bien, pues seguro que no son nada comparables a las que os voy a mostrar aquí.

La primera de ellas es la más antigua de todas. Pertenece al programa inglés Countdown, es del año 1997 y su protagonista es James Martin. El número a conseguir es el 952, y debe hacerse con los números 25, 50, 75, 100, 3 y 6. Antes de ver el vídeo os animo a intentarlo. Os dejo un huequecito para que no veáis la solución (aparece en el vídeo antes de reproducirlo)…

…¿ya? Pues ahí va el vídeo:

Impresionante, ¿verdad? Reproduzcamos las operaciones:

Repito: impresionante. La risa nerviosa de la chica que tiene que comprobar que los cálculos son correctos es descriptiva de la situación. Por cierto, nuestro amigo Tito Eliatron ya nos enseñó este vídeo hace un tiempo.

Después de esta exhibición aritmética parece complicado ver algo del estilo, ¿verdad? Pues lo hay. Vamos a ver un par de casos del programa australiano Letters and Numbers, que se emitió desde agosto de 2010 a junio de 2012.

En el primero de ellos los concursantes tienen que obtener el número 821 usando 25, 100, 75, 50, 6 y 4. Uno de ellos lo consigue. Os dejo un minutito a vosotros para que lo intentéis…

…¿lo habéis conseguido? Vamos a ver la respuesta:

Muy parecido al anterior, y por tanto igualmente sorprendente. Las operaciones, en este caso, son las siguientes:

Y el segundo de ellos tiene como protagonista a la chica que realiza las comprobaciones: Lily Serna, matemática australiana. Los concursantes deben obtener el número 431, y tienen disponibles los números 75, 25, 50, 100, 8 y 2. Ellos no lo consiguen, pero ella sí. A ver si podéis vosotros…

…¿lo habéis encontrado? Veamos cómo hacerlo:

Magnífica manera de llegar al 431, ¿verdad? Aquí os dejo las operaciones:

Como ya he dicho antes, muchos de los números exactos que se han conseguido en programas de este tipo ha sido muy meritorios (de la versión española recuerdo uno que encontró Carlos, uno de sus concursantes más conocidos, usando las curiosas propiedades del número 37), pero encontrar estos es realmente magnífico. Y todo ello en un minuto, que es lo que se deja a los concursantes para pensar.

¿Y el de Lily? ¿Tiene ella algún tipo de ayuda por pertenecer al programa? Pues la verdad es que no lo sé (en el vídeo no se aprecia), aunque parece que no. Si alguien nos lo puede confirmar sería magnífico. Lo que sí sé es que en las versiones modernas del programa en España la persona encargada de los números sí que parece tener un ordenador a su lado del que puede ayudarse (tampoco estaría mal tener confirmación de este dato).

Y si alguno de vosotros sabe de algún otro vídeo del estilo a estos que no dude en comentarlo.

He recordado este tema gracias a estos dos vídeos aparecidos en FinoFilipino, blog de humor duro pero recomendable para quienes (como yo) gusten de humor absurdo y extraño.

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Según Tao, en ese momento Paul Erdös estaba comentándole cosas sobre un problema de matemáticas. Aunque no sabe exactamente cuál era, recuerda que estaba relacionado con una sucesión de enteros (no podía se de otra forma) y un número libre de cuadrados.

Parece ser que la foto se hizo en la Universidad de Adelaida durante la ceremonia de entrega de premios de la Australian Mathematics Competition. Al año siguiente Tao participó en la Olimpiada Matemática Internacional, consiguiente una medalla de bronce. En la edición siguiente consiguió una de plata y en la posterior una de oro (Terence Tao en la IMO).

Sin duda una gran foto. Una imagen que rezuma matemáticas. Una tierna instantánea que, por qué no, representa algo así como un traspaso de poderes matemáticos. El maestro Erdös moriría 11 años después, año en el que el alumno Tao era ya prácticamente una eminencia. Y con padrinos como Erdös (parece ser que hasta escribió una carta de recomendación para ayudar a que Tao entrada en la Universidad de Princeton) no me extraña nada.

Vía la cuenta de Twitter de Mezvan (como he dicho alguna que otra vez, si no lo seguís ya estáis tardando).

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Hoy toca felicitar a @gaussianos pero es que cumple un número tan insulso…

— Txema Campillo (@Txemacg) 1 de mayo de 2013

@txemacg ¡¡Muchas gracias!! . ¿Insulso? ¿Por? :S

— gaussianos (@gaussianos) 1 de mayo de 2013

@gaussianos si no recuerdo mal, no es primo, no es potencia de 2, es un simple par

— Txema Campillo (@Txemacg) 1 de mayo de 2013

Cierto, el 34 no es primo, sino que es compuesto: 34=2·17. Pero no es un compuesto cualquiera, sino que es uno de los llamados semiprimos, por ser producto de dos números primos. Al igual que el 33, es un número deficiente, ya que la suma de sus divisores, excepto él mismo, es menor que el propio número, es un número malvado, al tener un número par de unos en su expresión binaria, , y es libre de cuadrados.

Pero no queda aquí la cosa. El 34 es un número de la sucesión de Fibonacci, concretamente , situado entre el 21 y el 55:

También es el número natural más pequeño que cumple que sus vecinos (33 y 35) tiene el mismo número de divisores.

Y para finalizar la propiedad más interesante: el 34 es la constante mágica del maravilloso cuadrado mágico de Durero:

Solamente por esta característica yo lo incluiría dentro de los números interesantes, aunque no está de más recordar que todos lo son.

Si conocéis alguna propiedad del 34 que veáis interesante y que no hayáis nombrado no tenéis más que comentarlo.

Información obtenida de:

• Tipos de números, aquí en Gaussianos.
• NumberGossip, de Tanya Khovanova.
• What’s special about this number, web de la que ya hablamos hace mucho tiempo por aquí.

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