En comparación, las farmacéuticas, una vez que sacan al mercado un medicamento nuevo, tras años de investigación, rediseño, pruebas, autorizaciones, etc, sólo tienen diez años para disfrutar en exclusiva de los derechos industriales de su invento, a partir de los cuales el medicamento pasa al dominio público y cualquiera puede fabricarlo (es lo que se llama “genéricos”). La asimetría es tan tremenda que no me extraña que estas farmacéuticas dediquen cada vez más recursos a la investigación en cosmética y menos a crear medicamentos nuevos…

Pero dejemos este espinoso tema, y vayamos a lo que me trae hoy aquí: el Concierto para Piano y Orquesta núm. 2 de Piotr Ilich Tchaikowsky. Y no, no me he equivocado de número: es el número 2, en sol mayor, Op.44, no el archiconocido número 1, Op.23, que todo el mundo conoce (aquí tenéis un video del principio del concierto número 1 interpretado por Daniel Barenboim, con Zubin Mehta dirigiendo una orquesta desconocida, por si no sabéis de que hablo, para que veáis que efectivamente todo el mundo, incluidos vosotros, amables lectores, lo conoce). Porque el caso es que al ignorante de mí le gusta más, bastante más, el número 2. Si al número 1 le quitamos su arrollador comienzo, los tres o cuatro primeros minutos, le dejamos en el chasis, siempre según mi opinión, claro. Este número 2 de hoy, en cambio, está mucho mejor balanceado entre sus tres movimientos, destacando sobre todo el Andante, su espectacular movimiento lento, el segundo, una auténtica sorpresa, ya veréis por qué.

Piotr Ilich Tchaikowsky

Ya comenté brevemente algo sobre la vida de Piotr Ilich Tchaikowsky en el artículo dedicado a su Concierto para Violín y Orquesta, sin duda alguna el Everest de los conciertos para violín del repertorio. Recordar, únicamente su nacimiento en 1840 en una remota localidad minera de los Urales, en los confines de la Rusia europea, y cómo se empeñó en ser músico en lugar de funcionario, que era para lo que le educó su familia.

Su educación musical fue muy “occidental”, por llamarlo de alguna manera, al ser alumno de Antón Rubinstein, gran pianista y director, competidor directo de Liszt como intérprete, lo que le mantuvo relativamente alejado de la corriente nacionalista que tuvo su máximo exponente en el Grupo de los Cinco que ha aparecido por acá en varias ocasiones. Pero, aunque sus ideas musicales no coincidían al 100%, mantuvo siempre una buena y amistosa relación con sus componentes, en particular con Rimsky Korsakoff. Se respetaban unos al otro y viceversa.

Piotr Ilich tuvo una vida complicada, debido sobre todo a su reprimida y siempre ocultada homosexualidad, cosa muy, pero que muy mal vista en la época en la capital de los zares (y en todas partes, diría yo). Contrajo matrimonio con una alumna suya, Antonina Miliukova, pero fue un desastre; no llegaron a vivir juntos ni, desde luego, tuvieron ningún hijo; apenas tres meses después de la boda se separaron. Años después tuvo una relación platónica con la rica viuda Nadezha von Meck,^[1] admiradora suya que le “adoptó” como protegido, financiando sus actividades compositivas… Trece años duró esta relación, que mantuvo a Tchaikowsky con la estabilidad financiera y mental necesaria como para componer sus mejores obras.

Tchaikowsky falleció en San Petersburgo en 1893, a los 53 años de edad, tan solo nueve días después del estreno de su Sexta Sinfonía, la Patética. La versión oficial dice que falleció de cólera, debido al consumo de agua contaminada. Sin embargo, una estudiosa rusa asegura en los últimos tiempos que del estudio de no sé qué documentación se deduce que en realidad se suicidó, como consecuencia del dictamen de un cierto “tribunal de honor” extraoficial que le juzgó y le condenó a morir debido a su homosexualidad, al haber tenido un tormentoso romance con un joven miembro de la nobleza,^[2] y para evitar el escándalo mayúsculo que hubiera supuesto… sobre todo para él, claro, no para el noble.

Evidentemente, a estas alturas nadie lo va a saber con certeza, pero pocas dudas quedan a cualquiera que haya oído sus dos últimas Sinfonías. Su Quinta es abrumadora, con las aterradoras intervenciones del Destino (representado por el metal: trompetas, trompas y trombones) que se esparcen por toda la obra, cortando de raíz todo atisbo de alegría y lirismo de la obra. Pero ya el colmo es la Sexta, la Patética, su testamento, una auténtica autobiografía musical, con ese Adagio lamentoso final que rompe de plano con la tradición casi universal de acabar las obras con un movimiento alegre (un Allegro, vaya). Se trata de un aplastante movimiento final total y absolutamente premonitorio, un Adagio que, cuando termina, y con él la sinfonía, no sabes si aplaudir o irte a un rincón a llorar… A mí no me cabe la menor duda de que Piotr Ilich sabía perfectamente que su vida llegaba a su fin, que esa Sexta Sinfonía sería irremediablemente la última, pues sólo así se explica ese angustioso latir del corazón (son los contrabajos quienes laten, con un pizzicato en piano) con que termina la obra, latidos que se van ralentizando poco a poco, poco a poco… hasta que cesan. Del todo.

Desdichado Tchaikowsky. Genial Tchaikowsky.

Aunque su música fue bastante menospreciada por los críticos durante buena parte del Siglo XX, no cabe hoy la menor duda de que es uno de los más eximios compositores que sobre la faz de la Tierra hayan sido. Y su Segundo Concierto para Piano y Orquesta de hoy lo demuestra.

.

Compuesto entre 1879 y 1880, en los años de mecenazgo de Nadezha von Meck, fue dedicado al pianista Nikolái Rubinstein, hermano de Antón, considerado uno de los mejores pianistas del momento. Nikolái Rubinstein había sido muy crítico con el primer concierto del compositor (sí, ese tan famoso), pero luego, en vista de su éxito, tuvo que reconocer que se había equivocado y que la obra era excelente. Tchaikowsky quiso de esta manera agradecerle su postura; cuando le envió el primer texto, la respuesta de Rubinstein fue mucho más receptiva que con el primero. Pero cuando por fin el concierto estuvo listo para su estreno llegó la noticia de que el pianista había fallecido en París. De modo que el encargado del estreno, en 1882 y en Moscú, fue otro grande: Sergei Taneyev, antiguo alumno del propio Tchaikowsky, con la dirección del mismo Rubinstein del que una vez fue alumno: Antón. El círculo se cierra…

El Concierto no alcanzó los grados de popularidad que tenía su primer concierto, lo que desagradó profundamente a Tchaikowsky, que lo consideraba (con razón) como una de sus mejores obras. Y estaba particularmente satisfecho del Andante, el movimiento lento… Yo estoy de acuerdo con él: es una de sus mejores obras. Y el segundo movimiento es de los mejores movimientos lentos de todos los conciertos de piano que yo conozco. Espero que, tras escuchar el concierto, estéis de acuerdo conmigo.

La versión que vamos a escuchar es la de Konstantin Scherbakov al piano, con la Orquesta Filarmónica de Rusia dirigida por Dmitry Yablonsky. La duración total del concierto son unos cuarenta minutos, y son dos videos: el primero tiene el primer movimiento completo y el segundo, los dos restantes, que se ejecutan sin interrupción entre uno y otro, es decir, en attaca. El primer video son fotos de alguna ciudad presumiblemente centroeuropea que no reconozco; el segundo tiene paisajes de campos, lagos, castillos y montañas acompañando al Andante, y fotos de otra (o la misma) ciudad centroeuropea en el tercer movimiento. Las fotos originales seguramente serían buenas, pero en cualquier caso el video no las hace justicia. Pero la música es excelente, que es lo que importa.

Vamos ya con el primer movimiento, Allegro brillante e molto vivace:

En este movimiento hay muchos menos pasajes de lo que es habitual en que la orquesta toque simultáneamente con el piano, es decir, “compitiendo” el uno con la otra. Esta situación es muy normal en casi todos los conciertos de piano y orquesta, pero parece que a Tchaikowsky no le gustaba mucho esta combinación, por lo que este movimiento tiene muchas intervenciones de la orquesta sola, o cadenzas del piano solo, y pocas colaboraciones entre ambos. De lo que no cabe duda es que es un movimiento brillante, como bien dice su título.

Comienza con una brillante intervención de la orquesta, contestada en seguida por el piano. La música continúa desgranándose, con intervenciones solistas del piano, la primera en el minuto 1:30, respondidas por intervenciones puntuales de la orquesta, para luego volver el solo del piano… y así una y otra vez. En este movimiento no es muy habitual que piano y orquesta toquen a la vez, y cuando lo hacen la orquesta da el contrapunto al piano.

Así siguen las cosas, con brillantez inusitada, hasta que en el minuto 7:00, tras una larga introducción orquestal, cambia el tema. El piano ahora es más lírico, acompañado suavemente por la orquesta, para comenzar 30 segundos después una cadenza más, de minuto y medio, aproximadamente. Tras otra larga introducción orquestal, en el minuto 10:50 comienza una nueva, larga y muy lírica cadenza, que al rato se vuelve mucho más difícil, de virtuoso… es una delicia escuchar a Konstantin Scherbakov interpretando tan difícil pasaje con tanta autoridad. Esta larguísima cadenza (dura cuatro minutos, mucho más de lo que era normal hasta entonces), a mí me recuerda a la famosa cadenza del Concierto número 3 de Rachmaninoff, de la que es claramente precursora, de la que ya tuvimos oportunidad de hablar en el artículo correspondiente.

En el minuto 15:45 la orquesta interrumpe por fin al piano, recuperando el tema principal del movimiento. Tras un minuto, el piano recupera su protagonismo, en una repetición del primer tema, que se va desarrollando hasta que en minuto 19:15 comienza la coda final del movimiento, que termina por fin como transcurrió: de forma brillante.

Magnífico movimiento, sin duda. Gran Tchaikowsky. Para ver los otros dos movimientos es preciso cambiar de video. Vamos, pues, con el segundo movimiento, Andante non troppo:

Dije al principio que este movimiento (además de ser simplemente perfecto) venía con sorpresa. Y esta sorpresa es que se trata, en realidad, de un movimiento típico de un Triple Concierto (un concierto para trío de piano, es decir, violín, cello y piano, y orquesta), es decir, además de las intervenciones solistas del piano, hay otras muchas intervenciones solistas del violín del concertino (en la versión del video, Andrey Kudryavtsev) y del primer cello de la orquesta (en la versión del video, el propio director de la orquesta, Dmitry Yablonsky), configurando de facto un concierto para trío y orquesta (las intervenciones de ésta son siempre de acompañamiento, sin quitar el protagonismo al trío en ningún momento). El único Triple Concierto famoso del repertorio es el de Beethoven… que al ignorante de mí no le gusta. Nada de nada, por muy Beethoven que sea. Hasta el mejor escribano echa un borrón. Este Andante del Concierto número 2 de Tchaikowsky, sin embargo, me entusiasma.

Hay versiones de este concierto en que las partes solistas de violín y cello han sido reescritas para piano. No me gustan. Bueno, sí me gustan, pero mucho menos que el original. El lirismo de este movimiento es realmente superlativo.

Comienza con una breve introducción orquestal que da en seguida paso al violín solista que ataca el tema principal del movimiento, acompañado suavemente por la orquesta. En el minuto 1:05 llegamos por fin a ese pasaje mágico, bellísimo, realmente encantador, que es el tema principal del movimiento. En el minuto 2:25 es ahora el cello solista quien toma la línea principal de la música, ahora acompañado por el violín y la orquesta allá al fondo… Delicioso.

En el minuto 3:25, por fin, todos callan para que sea ahora el piano quien declame la melodía en solitario durante un minuto, luego acompañado por la orquesta y más adelante por violín y cello también. En el minuto 5:30 el tema cambia, siendo ahora el piano quien lleve la voz cantante, acompañado de la orquesta, pues violín y cello solistas ahora callan por un rato, hasta el minuto 7:10 en que vuelven a tomar el protagonismo en un dúo magnífico, que dura hasta que se les une el piano en el minuto 8:45, convirtiéndose nuevamente en un trío… la orquesta está callada en esta sección, dejándonos disfrutar de la melodía llevada por los tres instrumentos. Extraordinario pasaje, me parece a mí. Alrededor del minuto 10:00 se une por fin la orquesta en piano, mientras que el piano ahora calla.

El pasaje lo cierra el piano en el minuto 11:15, con un nuevo solo, que prepara el final del movimiento, suave final del Andanteque termina abruptamente en el minuto 13:25, interrumpido bruscamente por un clarinazo que comienza (en attaca) el tercer y último movimiento, Allegro con fuoco .

En este movimiento el violín y el cello se integran de nuevo en su lugar en la orquesta para acompañar al piano que, nuevamente, es el protagonista absoluto, como debe ser en un concierto para piano y orquesta como éste. Allegro con fuoco significa alegre con “fuego”, con pasión… y vaya si tiene pasión el movimiento. Se alternan las breves intervenciones solistas del piano con las respuestas de la orquesta siempre con variaciones del mismo tema inicial del movimiento. El ritmo es frenético en todo momento, exigiendo lo mejor del solista. Bueno, y de los profesores de la orquesta, también. En el minuto 18:55 cambia el ritmo por fin, pero sólo para preparar las intervenciones finales del piano, la coda del movimiento y del concierto, que termina por fin, con mucho “fuoco”, en el minuto 20:20.

Una gran ovación del público pone el broche de oro al concierto. Los intérpretes se la merecen, ciertamente.

.

Mientras que del concierto número 1 de Piotr Ilich Tchaikowsky hay numerosísimas versiones grabadas, de este número 2, Op.44, hay muchas menos, por alguna razón que, después de haberlo oído, no se entiende muy bien… pero es lo que hay. Recomendaré, para no equivocarme, la misma versión del video, con Konstantin Scherbakov al piano y Dmitry Yablonsky dirigiendo la Orquesta Filarmónica de Rusia, editada por Naxos (siempre una garantía de calidad y buen precio).

.

En Spotify hay un montón de versiones… pero ¡del omnipresente Op.23, el concierto número 1 de Tchaikowsky! Del número 2, el Op.44, éste del artículo, hay apenas cuatro o cinco; algunas son de la versión original antes de las sucesivas revisiones de Piotr Ilich, versión más larga que la que hemos oído; el andante de otras tiene el arreglo para piano que elimina el maravilloso trío de violín, cello y piano… En fin, de lo poco que queda he seleccionado la versión de la Orquesta de la Radio Nacional Polaca con Antoni Wit en la dirección y Bernd Glemser al piano, también de Naxos (qué casualidad), tan buena como la del video, cuyo enlace podéis encontrar aquí. No hay mucho donde comparar esta vez.

.

Escuchar música en directo es mejor que enlatada. Mucho mejor. Sí, es la misma cantinela de siempre, ¡qué le vamos a hacer! Pero… es que es la verdad.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. En realidad sería una relación epistolar, pues se relacionaban por carta: Nadezha puso como condición que nunca debían conocerse cara a cara.
2. Es decir, en términos del dichoso tribunal, por “haber seducido” a un inexperto, tierno e ignorante hijo de duque, conde o barón…

Una de dichas aplicaciones es el diseño y fabricación de los circuitos digitales, que permiten tomar un conjunto de entradas digitales binarias y obtener un resultado 1 ó 0. Pero como Macluskey está siguiendo los apuntes de hace un porrón de años, en aquel momento no se contaba nada de eso en la escuela. Cuando él estudió aquello, les contaron interruptores (pero no puertas lógicas) probablemente porque se pensaba que muchos ingenieros informáticos tendrían que dedicarse al hardware, y el tiempo ha demostrado que… se equivocaron. La inmensa mayoría de los ingenieros informáticos se dedican al software. De hecho, yo soy teleco y también estudié interruptores en la carrera (aunque unos pocos años después de Mac) y después puertas lógicas, pensando en que probablemente los telecos, esos sí, se iban a dedicar al hardware… pero jamás lo he usado en mi vida profesional.^[1]

Finalmente, aprovechando que me dais un púlpito al que subirme a largar, repasaremos un poquito las principales tecnologías hardware para hacer esto.

Este artículo puede enlazar detrás de casi cualquiera de los artículos introductorios de la serie de Macluskey, pero como probablemente el sitio natural sea justo después del del cálculo proposicional, ahí es justamente donde lo publicamos. Para seguir este artículo supondremos, además, conocimientos del artículo de álgebra de Boole y el del álgebra de circuitos. Revísalos si no los tienes frescos.

Para empezar a ver la utilidad de esto, y antes de entrar en formalismos, vamos a tratar de poner un ejemplo. Supongamos que yo tengo:

• Un sensor que me detecta si entra luz por la ventana. Si entra luz genera un 1, y si no, un 0 (ya veremos luego cómo representamos esto físicamente).
• Un sensor de movimiento que me detecta si estoy en la habitación, generando un 1 si estoy, y un 0 en caso contrario.
• Una luz que se enciende cuando recibe un 1, y se apaga cuando recibe un 0.

¿Podría yo crear un circuito digital que  encienda la luz cuando estoy en la habitación pero no entra luz por la ventana? A lo mejor me gustaría que la luz del pasillo se encienda automáticamente cuando viene alguien, pero, claro, solo cuando no sea de día.

Pues sí, podría diseñar un circuito digital que haga eso. El circuito más sencillo que lo logra es el siguiente:

¡Hey! ¿Qué son esos dibujos extraños que hemos puesto entre los sensores y la bombilla?

Esos dibujos son puertas lógicas.

La primera de las puertas lógicas, la que parece una D mayúscula, es una puerta AND. Su trabajo (la veremos formalmente más adelante) es poner un 1 en la salida si en ambas entradas hay un 1, y un 0 en cualquier otro caso.

La segunda de las puertas lógicas, la que parece un triángulo con un círculo en la punta, es una puerta NOT. Su trabajo es poner en la salida lo contrario de lo que haya en la entrada.

Piénsalo un poco, y resumamos en la siguiente tabla los cuatro posibles estados del sistema:

Si lo pensáis un poco, esa tabla resume lo que queríamos hacer: la luz se enciende si detecta a alguien, pero solo si es de noche.

Fácil, ¿verdad?

Existen 3 puertas lógicas básicas: AND, OR y NOT (supongo que, dada la serie en la que estamos, y dado que quizá adivinas algo de lo que vamos a decir en los próximo párrafos, no te sorprenden esos nombres…).

Una puerta AND se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada1	Entrada2	AND
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Una puerta OR se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada1	Entrada2	OR
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Finalmente, una puerta NOT se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada	NOT
0	1
1	0

¿Será, por un casual, el conjunto (S, OR, AND), junto con la puerta NOT, siendo S los dos posibles valores {0,1}, un álgebra de Boole? Ya sabemos cómo demostrarlo, si es necesario, por anteriores artículos de la serie… pero sí, obviamente, es un álgebra de Boole. De hecho, a poco inglés que sepamos, sabemos que AND significa Y, OR significa O y NOT significa NO… y eso nos da muchas pistas. No vamos a demostrarlo aquí, porque ya lo ha hecho Macluskey en otros artículos para otros casos; se hace igual.

Eso significa que podemos definir funciones a base de combinar puertas lógicas, y que podemos aplicarles a esas funciones todas las operaciones que veíamos en un álgebra de Boole, tales como la conmutatividad y asociatividad, las leyes de De Morgan, la simplificación de Karnaugh, su descripción en FND^[2] o FNC,^[3] o muchas otras. De hecho, es muy habitual definir las funciones de lógica digital precisamente con la misma notación que Macluskey ha usado en el resto de la serie: el símbolo de + para el OR; y el punto de multiplicación o simplemente nada para el AND. Para el NOT se usa a menudo una barra horizontal sobre la variable o una tilde tras ella… como hemos ido haciendo en el resto de la serie, vaya.

Por ejemplo, para definir nuestro circuito de arriba, si llamamos L al sensor de luz exterior, P al sensor de presencia y S a la salida, podemos decir que S=P·L’.

Saber que es un álgebra de Boole tiene su importancia. Por ejemplo, si definimos nuestra función digital en forma de tabla, podemos usar la simplificación de Karnough para encontrar la función digital que menos términos tiene (es decir, que menos puertas lógicas necesita). Esto tiene su importancia, porque a veces tener más puertas significa utilizar más mm² de la oblea de silicio, y, por lo tanto, el circuito resulta más caro.

O también, podemos encontrar la FND de cualquier circuito, para comprobar si dos circuitos lógicos son en realidad el mismo. Por cierto, que esta FND tiene una ventaja adicional: al parecer es relativamente sencillo, por la forma en que se fabrican los circuitos integrados,^[4] tomar todas las entradas, pasarlas agrupadas por un montón de puertas AND y el resultado pasarlo por una única puerta OR. Es decir, la representación FND de la función. Al parecer, dependiendo de la tecnología que se utilice, esto puede ser más fácil (es decir, más barato) que el circuito de Karnaugh equivalente, aunque aparentemente tenga más puertas.

Por comodidad, se suelen definir unas cuantas puertas lógicas más: XOR, NOR, XNOR y NAND. Pero no olvidemos que todas ellas se pueden representar simplemente como una combinación de AND, OR y NOT.^[5]

XOR es el OR eXclusivo que ya ha salido otras veces a lo largo de la serie, y se suele representar con un + rodeado en círculo: . A menudo se dice que esta es la puerta de la suma (y no el OR, como podría parecer por el símbolo), porque si sumo con sumas “normales”, me sale lo que dice la puerta XOR… ¡Por Tutatis! ¿Y el 0 de la última fila! Ten en cuenta que son sumas binarias, y 1+1=… 0… y me llevo 1 (este “me llevo 1” se suele llamar acarreo, y se puede calcular simplemente con el AND), del mismo modo que en nuestro sistema decimal habitual, “5+5=0 y me llevo 1″.

A	B	XOR
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR es simplemente la combinación de NOT y OR:

A	B	NOR
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

XNOR es nada más que la combinación de NOT y XOR y se suele representar con un punto en un círculo: . Se suele decir que esta es la puerta de la equivalencia, porque si os fijáis en la tabla veréis que comprueba si A y B son iguales.

A	B	XNOR
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Finalmente, la puerta NAND es la combinación de NOT y AND:

A	B	NAND
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Bueno, ¿y esto qué tiene que ver con el álgebra de circuitos? Porque mucho decir que es continuación del álgebra de circuitos, pero hasta ahora solo lo hemos tratado como una cosa independiente. Pues tiene que ver porque hasta ahora estas puertas lógicas que hemos visto son solo un concepto abstracto, que vive en el mundo de las ideas de Platón. ¿Cómo trasladamos esas puertas ideales a componentes físicos con los que construir un ordenador?

El cómo lo hagamos depende de la tecnología que empleemos, pero hoy en día casi siempre es con interruptores, como los que vimos en el capítulo III, dedicado al álgebra de circuitos.

Pero antes… vaya… antes aún vamos a dar un paso intermedio. Vamos a definir primero un interruptor ideal controlado por una señal. Bueno, mejor dicho, vamos a definir dos:^[6]

El interruptor de la izquierda, cuando recibe un 1 por la patilla de control, cierra el circuito (es decir, deja pasar la corriente); y cuando recibe un 0, lo abre. El de la derecha funciona exactamente al revés: cierra el circuito cuando recibe un 0 y lo abre cuando recibe un 1. Y ahora combinamos esos interruptores para conformar las puertas que hemos definido. Por ejemplo, veamos cómo es una puerta AND construida con estos interruptores:

Si lo pensamos un poco, vemos que este circuito cumple la tabla de la puerta AND: si alguna de las entradas A ó B es un 0, la parte superior del circuito está abierta, por lo que el 1 nunca llega hasta la salida, mientras que al menos uno de los interruptores de la parte de abajo lleva el 0 hasta la salida. Solo si ambas entradas son un 1 se cierra la parte superior y se abre la inferior, llevando el 1 hasta la salida.

De forma similar podemos construir todas las demás puertas lógicas (aunque no vamos a verlas… hacedlo mentalmente o en los comentarios si queréis).

Así que ya solo nos queda definir qué son el 0 y el 1 y cómo son esos interruptores. De nuevo, eso depende de la tecnología que estemos usando, pero es muy habitual decir que el 1 son 5V y el 0 son 0V (eso se llama “lógica TTL”). En otras tecnologías se usan +12/-12V, 3.3/0 ó cosas así.

Para los interruptores, la tecnología más antigua que conozco se basa en relés.^[7]. Un relé es una cosa muy tonta: un electroimán que cierra o abre un circuito. Veamos el dibujo:

El muelle mantiene el circuito abierto por defecto. Cuando en las patillas de control metemos por ejemplo 5V, circula un montón de corriente por ahí, produciendo un electroimán que atrae al metal del interruptor, cerrando el circuito. Ingenioso.

La tecnología es muy sencilla, fácil de fabricar, y se conoce desde que se conoce el electromagnetismo. La desventaja principal es que se basa en el movimiento de componentes físicos muy grandes, que tardan un montón en moverse. Cuando empieza a circular corriente por la bobina de control, empieza a atraer al interruptor para cerrarlo… pero ese cierre tarda unos cuantos milisegundos. Puede parecer que unos pocos milisegundos es muy poco tiempo, pero piensa en que el ordenador que tienes delante funciona probablemente a un par de GHz… 2 mil millones de conmutaciones por segundo. O más. Es decir, que cada conmutación debe tardar menos de medio nanosegundo… decididamente, unos pocos milisegundos es muuuuuucho tiempo. Y eso por no hablar del precio.

Eso no impidió que se construyeran ordenadores con esta tecnología. Eran ordenadores primitivos, lentos… pero vaya, ordenadores al fin y al cabo. Como curiosidad, para los que se dediquen a la programación, parece ser que el término bug proviene de que con esta tecnología los bichos (insectos, arañas, cosas así) se metían físicamente entre los contactos (bug es bicho en inglés) e impedían que los terminales hicieran contacto… y por lo tanto debugar era ir con insecticida y pinza a quitar físicamente los bichos del circuito.

También de esta época es la palabra hacker. Al parecer, si un relé pasaba mucho tiempo en una determinada posición, sus terminales se empezaban a oxidar y ya no se movían. Así que unos expertos iban a darle un golpe a la máquina, un onomatopéyico hack!, en donde lo necesitaba, para despegarlos (hack en inglés es algo así como “hachazo”).

Válvula de vacío (RJB1, cc-by-sa)

Con el tiempo vinieron los conmutadores de válvulas. No conozco en detalle el principio físico de las válvulas, pero las más comunes de ellas se basan en que, cuando pasa corriente por los terminales de control, sube la temperatura, aumentando la cantidad de electrones libres, lo que permite el paso de corriente entre las bornas del interruptor (¿algún físico en la sala que pueda ampliar la información?). También pueden usarse como amplificadores, aprovechando la parte de su curva de comportamiento en que hay una relación lineal entre entrada y salida.

Su principal desventaja, además del precio, es el tamaño.^[8] Aunque muchos melómanos siguen diciendo que los amplificadores de válvulas dan un sonido mucho más fiel al original que los de transistores (aunque con mi oído patatero soy incapaz de diferenciarlo),^[9] cuando se usan como conmutadores no les conozco ninguna ventaja frente a los transistores…

Y con esto, finalmente, llegamos a los transistores.

Distintos tipos de transistores... en encapsulados estandarizados (http://www.automation-drive.com)

Si el principio de funcionamiento de las válvulas era complicado, el de los transistores no te digo nada (a ver si alguien recoge el guante…). Al parecer, existen compuestos (típicamente de silicio con pequeñas cantidades de otros elementos, aunque se pueden usar otros, como el germanio) que no se pueden catalogar simplemente como conductores o aislantes… sino que, a pesar de que por defecto son aislantes, dependiendo de si por uno de los lados se les mete más o menos voltaje (o corriente, depende), empiezan a conducir (se les llama precisamente semiconductores). Uhm… ¿eso no es básicamente nuestro interruptor controlado por tensión?

Transistor bipolar NPN y PNP

El comportamiento detallado de un transistor (sus ecuaciones) depende del tipo que sea (bipolar, JFET, MOSFET…), pero cualitativamente podríamos describirlo así:

• Si la tensión entre Base y Emisor es muy pequeña, no circula corriente entre Colector y Emisor (es decir, son un interruptor abierto) . A esto se le llama zona de corte.
• Si la tensión entre Base y Emisor es muy grande, no solo circula corriente entre Colector y Emisor, sino que es virtualmente un cortocircuito, un interruptor cerrado. A esto se le llama zona de saturación.
• Si no es ni muy pequeña ni muy grande, la corriente que circula por el Colector es proporcional a la corriente que circula por la Base. A esto se le llama zona lineal.

Lo que hemos descrito es un transistor bipolar NPN. El PNP funciona igual, pero cambiando los signos de las tensiones y corrientes… la flecha da una pista de cómo circula la corriente. Los transistores JFET y MOSFET, aunque siguen ecuaciones distintas, y con nombres distintos, son cualitativamente parecidos.

Cuando estamos usando un transistor para hacer un amplificador, se utiliza la zona lineal, mientras que si lo que estamos haciendo es un interruptor controlable, se usan las zonas de saturación y corte… pues bien, podemos aprovechar eso para fabricar nuestros circuitos digitales.

Las ventajas de los transistores son muchas: pequeño tamaño (estamos hablando de nanómetros), pequeño consumo, muy baratos (aunque el proceso de fabricación es complicado, mucho más que el de un relé, está muy trillado ya en la industria), velocidades de conmutación asombrosamente altas (en electrónica de consumo estamos acostumbrados, por ejemplo, a microprocesadores que van a varios GHz… y eso es solo la electrónica de consumo).

La única desventaja que se me ocurre de los transistores frente a los relés es que en general estos soportan más corriente y más voltaje. Además… parece que empezamos a encontrar el límite. Parece que estamos haciendo ya transistores muy pequeños, en los que los “microcomponentes”^[10] de los transistores  se mide en “unos pocos átomos”, y en esas situaciones empezamos a chocar con la cuántica, el “efecto túnel” deja de ser despreciable y ya no está tan claro que podamos hablar de “circuitos abiertos” o “circuitos cerrados” y toda esa terminología electrónica.

Antes de despedirnos, una última salvedad: aquí hemos usado continuamente el término “digital” para referirnos a 1s y 0s, es decir, lógica digital binaria. Obviamente es posible otra lógica digital que no sea binaria, sino ternaria, cuaternaria… Esa lógica ya no es un álgebra de Boole, pero es matemáticamente posible (aunque poco usada, ya que no sé si hay alguna situación no-binaria que no pueda resolverse con un uso ingenioso de la lógica binaria).

Y con esto nos despedimos. Hemos repasado las tecnologías involucradas de las puertas lógicas hacia abajo, hacia la física (por supuesto, solo un análisis cualitativo; una fabricación real es bastante más complicada). Otro día quizá, aprovechando otro púlpito, introduzcamos un poco lo que hay desde las puertas lógicas hacia arriba, hasta llegar al ordenador que tienes en tus manos.

Fue un placer.

1. En la vida privada sí, pero es que soy muy friki.
2. Forma Normal Disyuntiva
3. Forma Normal Conjuntiva
4. Tiene que ver con la distribución física de las distintas bandas de dopaje sobre el silicio.
5. Se dice que el conjunto {AND, OR, NOT} es un conjunto completo (aunque no es el único que lo es) porque cualquier otro conjunto de puertas se puede representar con combinaciones de AND, OR y NOT… pero si realmente necesitabas esta nota es que necesitabas un texto un poco más profundo.
6. Existen tecnologías que utilizan un componente más, un atenuador o debilitador, pero se usa poco, así que no lo vamos a explicar. Una vez más, si necesitabas esta salvedad, es que necesitabas algo más que este artículo.
7. Bueno, existieron maquinas, basadas en piezas mecánicas o tuberías de agua que intentan ¡y consiguen! cosas parecidas. Existen desde hace ¡siglos!, pero no pasan de ser juguetes ingeniosos.
8. Macluskey, que ya va para anciano, vio la tele por primera vez en un aparato de válvulas, a fines de los cincuenta. Las válvulas, un par de docenas o así, eran casi más grandes que la pantalla, que no sería de más de doce pulgadas… Cuando las válvulas se fundían, entonces llamabas a un técnico que venía con su soldador y cambiaba la fundida por otra nueva y ¡hala!, unos meses más de tele.
9. Tiene que ver con que el comportamiento de las válvula es más lineal que el de los transistores.
10. Por llamarlos de algún modo… técnicamente, nos referimos al “tamaño de la puerta”… pero otra vez, si necesitabas eso, no necesitas este artículo.

Localización de la República Helénica en Europa. En verde clarito, la Unión Europea. (NuclearVacuum/Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported)

El país

Tras Chipre y España, Grecia es el tercer país que visitamos dentro de la Europa más meridional, y no será el último. Grecia, cuya capital es la ciudad de Atenas,^[4] comprende la península del Peloponeso y el sur de la península balcánica, compartiendo fronteras con Albania, al noroeste; Macedonia y Bulgaria, al norte, y Turquía, al nordeste. Se abre, además, al mar Jónico al oeste y al mar Egeo al este. Y es en el Egeo donde se encuentra la mayoría de las numerosísimas islas griegas: 9 000, ni más ni menos. La mayor de ellas es la isla de Creta,^[5] que marca el límite sur del mar Egeo, y destacan también los archipiélagos de las Jónicas,^[6] en el mar Jónico, y el Dodecaneso^[7] y las Cícladas,^[8] en el mar Egeo. Además, su costa es tremendamente irregular, hasta tal punto que Grecia es el undécimo país del mundo con más kilómetros de costa, por delante del Reino Unido y justo por detrás de China —que, dicho sea de paso, es setenta veces más extensa—.

La República Helénica tiene como forma de Estado la república parlamentaria, desde la abolición de la monarquía en referéndum en el año 1974, con el que finalizaba el reinado de Constantino II de Schleswig-Holstein-Sonderburg-Glücksburg —hermano de la reina de España, Sofía de Grecia—. Así, el puesto de jefe de Estado está desempeñado por un presidente —desde 2005, Károlos Papoúlias (Κάρολος Παπούλιας)—, y el jefe de Gobierno es el primer ministro —desde 2011, Loukás D. Papadímos (Λουκάς Δ. Παπαδήμος), que sustituyó el 11 de noviembre a G. A. Papandréou—. Por otra parte, si nos fijamos en la organización territorial del país, veremos que está dividido en 13 periferias,^[9] que están agrupadas, desde el 1 de enero de 2011, en siete administraciones descentralizadas:^[10] Ática; Macedonia-Tracia; Épiro-Macedonia Occidental; Tesalia-Grecia Central; Peloponeso, Grecia Occidental y Jónico; Egeo, y Creta.^[11] También pertenece a Grecia, en la costa del Egeo, la región autónoma autogobernada del Monte Athos,^[12] conformada únicamente por 20 monasterios y bajo jurisdicción directa del Patriarca Ecuménico de Constantinopla —algo parecido al «papa», pero de los cristianos ortodoxos griegos—, en la cual está vedada la entrada a mujeres a pesar de una resolución del Parlamento Europeo de 2003 en la que se pedía la supresión de dicha prohibición.

Grecia entró en la Unión Europea en la segunda ampliación de esta: la de 1981, en la que se pasaba de la CE-9 —la Comunidad Europea de los Nueve— a la CE-10 —la Comunidad Europea de los Diez—. Tan sólo Grecia entró ese año, como puedes ver; hasta la fecha, ha sido la única ampliación consistente en un solo país.

Antes del euro: la dracma griega

Breve contexto histórico

Antes de la introducción del euro en 2002, la moneda presente en los monederos de griegos y griegas fue la dracma,^[13][14] con símbolo «₯». Esta moneda tomaba su nombre de otra utilizada durante la Grecia antigua; de hecho, una de las monedas más conocidas de la Antigüedad es la tetradracma ateniense, una moneda de 4 dracmas con la cabeza de Atenea en el anverso y una lechuza en el reverso, de la que hablaré en detalle más adelante —pues tiene que ver, y mucho, con los actuales euros helenos—.

Pero no nos vayamos por las ramas. El dracma moderno tiene su origen en 1832, año en que al Reino de Grecia le era reconocida la independencia del Imperio Otomano. Sustituía, con razón 1:1, al fénix,^[15] una efímera unidad monetaria utilizada durante la Revolución Griega. Aquella primera dracma, que estaba dividida en 100 leptá,^[16] retomaba, aproximadamente, el estándar de la Antigüedad: las monedas de una dracma eran de 4,5 g de plata, mientras que las dracmas antiguas eran 4,3 g de plata. En el año 1868, Grecia se adhiere a la Unión Monetaria Latina, de la que hablé justo en el artículo anterior, y la dracma se mantuvo, durante décadas, en un período de estabilidad sin precedentes.

Billete de cien mil millones de dracmas, de 1944.

¿Hasta cuándo? Pues, como tal vez se te haya pasado ya por la cabeza, hasta la Primera Guerra Mundial y, con ella, la desaparición del patrón oro. Después de la finalización de la guerra, el gobierno heleno declaró la convertibilidad de la dracma a libras esterlinas británicas, pero el período de estabilidad de la moneda se había cerrado ya. Tras la hiperinflación provocada por las ocupaciones italiana y alemana durante la Segunda Guerra Mundial, la dracma vieja fue sustituida por otra.

Entra, así, a la circulación la segunda dracma, en el año 1944, cambiándose a la razón de una dracma nueva por cada cincuenta mil millones de dracmas viejas. No obstante, la confianza del público en la dracma estaba ya muy dañada, por lo que la gente prefería utilizar moneda extranjera y, sobre todo, oro, para sus pagos cotidianos. Además, la segunda dracma siguió inflándose hasta que, en 1954, Grecia se adhiere a los acuerdos de Bretton Woods y se introduce una tercera dracma, con equivalencia 1:1 000 con la segunda y una paridad con el dólar estadounidense de $ 1 = 30 ₯. La inflación no se detuvo en este punto, no obstante, y en el momento de la introducción del euro, el 1 de enero de 2002, la tasa entre la dracma y el dólar era, aproximadamente, de $ 1 = 400 ₯.

La transición al euro

Suspendo, por un momento, mi pijotera previsibilidad intercalando aquí esta breve sección, que no aparece en el resto de artículos de la serie. Tan inusual acontecimiento se debe a que Grecia entró en el euro «por los pelos», por decirlo de alguna manera, y esto va a repercutir en cierto modo en las monedas de euro griegas. Me explico.

Dije en el primer artículo de la serie que, a pesar de que los ciudadanos de la Eurozona primitiva comenzamos a usar el euro en 2002, éste era ya la moneda oficial de los países de la zona euro desde el 1 de enero de 1999. Pues bien, esto es cierto para todos los países que comenzaron con el euro en 2002… excepto Grecia. Porque Grecia, en 1999, aún no cumplía con los requisitos que imponía la Unión Europea para entrar a formar parte del euro. Después de que el entonces primer ministro, Kóstas Simítis (Κώστας Σημίτης), tomara las medidas necesarias para reenderezar la economía griega, el país adoptó el euro oficialmente el 1 de enero de 2001, aunque, como en el resto de países, no comenzó a circular en la calle hasta 2002. Las consecuencias de este retraso las veremos más adelante, pero antes echemos un vistazo a…

Las monedas del dracma griego

En efecto, improbable lector, como es tradicional, veamos una tabla con las últimas monedas que vieron los helenos antes de entrar a formar parte de ese gran proyecto que es la moneda única. Las imágenes —obtenidas, por cierto, de Wikipedia— son atroces, pero es lo que he podido encontrar.

Denominación	Reverso	Anverso	Imagen
1 ₯	Corbeta y valor facial	Laskarína Boumpoulína
2 ₯	Cañón, ancla, timón y valor facial	Mantó Mavrogénous
5 ₯	Valor facial	Aristóteles de Estagira
10 ₯	Átomo y valor facial	Demócrito de Abdera
20 ₯	Rama de olivo y valor facial	Dionýsios Solomós
50 ₯	Trirreme ateniense y valor facial	Homero
100 ₯	Estrella argéada y valor facial	Alejandro Magno

Puedes apreciar que todas las monedas llevan, en su anverso, a algún personaje célebre griego, bien de la Antigüedad —como Alejandro Magno, Aristóteles, Demócrito u Homero— bien de la Grecia moderna —como Boumpoulína, Mavrogénous y Solomós—. Aunque en las modernas monedas de euro sí veremos personajes célebres, no se trata de ninguno de ellos. En los reversos, quisiera destacar la corbeta de la moneda de una dracma y el trirreme de la de 50 ₯, pues los veremos de nuevo en breve.

Los euros griegos

Foto al canto: observa con fruición la imagen de la serie de monedas de euro griegas.

Los 8 valores del euro: caras nacionales griegas. (Imagen: Wikipedia, editada por Saúl Iglesias)

Cada valor porta un diseño diferente, como vimos también en las monedas austríacas y eslovenas. E, igual que en las monedas de Austria, estos diseños están agrupados en tres series: barcos en las monedas cobrizas y personajes célebres griegos en las de 10, 20 y 50 euro cent, mientras que las monedas de 1 y 2 € nos transportan hasta la Grecia clásica. Y todos los diseños, que veremos en detalle a continuación, han sido diseñados por una persona de quien ya hablamos en su momento: Geórgios Stamatópoulos (Γεώργιος Σταματόπουλος), a quien tal vez recuerdes por haber diseñado la moneda conmemorativa de la emisión conjunta «10 años de euro».

En detalle

0,01 €: El trirreme ateniense

Dibujo de un trirreme ateniense. (Dominio público)

En la moneda de un céntimo se exhibe un motivo rescatado de la antigua moneda de 50 ₯ —si bien con un diseño diferente—: un trirreme griego del siglo IV a. C. El trirreme, inventado en el siglo VII a. C., fue uno de los buques de guerra más célebres durante la Grecia clásica, y contaba con una sola vela y tres bancos de remeros —de ahí su nombre—. Según Jenofonte de Atenas, un trirreme podía alcanzar, empleando a la vez las velas y la fuerza humana, una velocidad de diez nudos, es decir, casi 20 km/h. Los trirremes eran ligeros y pequeños, lo que les confería una capacidad de maniobra sin igual, y su utilidad quedó demostrada con creces durante la Segunda Guerra Médica: fue en la batalla de Salamina, en el año 480 a. C., en la que los trirremes se estrenaron como barcos de guerra.

No obstante, no todo iban a ser ventajas: su construcción era muy costosa, y los remeros debían recibir una gran formación para que tres pisos de remeros pudiesen mantener la misma cadencia. De todos modos, observando el balance de la batalla de Salamina, está claro que todo ese coste merecía la pena: alrededor de 400 barcos griegos se enfrentaron en esta batalla contra más de 1 000 navíos persas —más los aportados por sus aliados: Egipto, Jonia, etc.—… y ganaron los griegos, aun encontrándose en clara inferioridad numérica.

0,02 €: La corbeta

Continuando con la serie de barcos, en la moneda de 2 euro cent aparece una corbeta de inicios del siglo XIX, similar a las que se emplearon durante la Revolución Griega (1821-1827). Su diseño es muy similar —idéntico, diría yo— al de la antigua moneda de 1 ₯.

La corbeta nació como un barco de guerra pequeño y manejable, de menor tamaño y peso que la fragata: mientras que una fragata tiene un peso de más de 2 000 toneladas, la corbeta pesa entre quinientas y 2 000. Para principios del siglo XIX, en que se sitúa la Revolución Griega, una corbeta promedio tenía una eslora de unos 100 pies o 30 m, y raramente tenía más de veinte cañones —diez por banda, como el velero bergantín de Espronceda—.

0,05 €: El petrolero

Para terminar con la evolución histórica de los barcos, llegamos al siglo XX y, con él, a su símbolo energético: el petróleo. En efecto, en la moneda de 5 céntimos de euro podemos ver un petrolero, del que poco puedo decir, pues no es ninguno en concreto sino un petrolero genérico.

En rojo, el Seawise Giant, rotulado como Knock Nevis, en comparación con algunos edificios conocidos. (Dick Zwiep/Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported)

Poco que decir pero, ya que has sacado el tema de los petroleros, hablemos un poco de su característica que más llama la atención: su tamaño. Los petroleros son, por norma general, barcos de grandes proporciones; para que te hagas una idea, aunque hoy el barco más grande del mundo es un portacontenedores —el Emma Mærsk—, todos los barcos que han disfrutado de dicho honor entre 1972 y 2010 han sido petroleros, empezando por el Globtik Tokyo, de 378,88 m de longitud, botado en 1972 y desguazado en 1986, y terminando por el inmenso Seawise Giant —renombrado como Knock Nevis—, el barco más grande jamás construido, botado en 1979 y desguazado en 2010. A efectos comparativos, los 458,45 m del Seawise Giant lo hacían más largo que la Torre Sears^[17] puesta en horizontal, que con sus 442 m de altura —sin incluir la antena— era el edificio más alto del mundo cuando el petrolero se botó. Estas dimensiones hacen que me entre la risa al observar el tamaño del granelero más largo del mundo —el Vale Brasil, 2011, 362 m—, el buque de pasajeros más largo del mundo —el Allure of the Seas, 2008, 360 m— o el portaaviones más largo del mundo —el USS Enterprise, 1961, 342 m—.

0,10 €: Rígas Feraíos

Rígas Velestinlís-Feraíos (1757-1798), en griego Ρήγας Βελεστινλής-Φεραίος, comienza la serie de personajes célebres helenos de las monedas doradas de céntimos. Rígas Feraíos fue un escritor y revolucionario griego, y su nombre —Velestinlís-Feraíos— proviene de su ciudad de origen: Velestíno, en el antiguo municipio de Ferés, que forma hoy parte del municipio de Rígas Feraíos (Tesalia), nombrado en honor al poeta.

Retrato de Rígas Feraíos, Andréas Kriezís, pre-1880. (Dominio público)

Hoy considerado en Grecia héroe nacional, Feraíos vivió en la época en la que Grecia estaba aún subordinada a una de las naciones más extensas y longevas que ha visto Europa: el Imperio Otomano. Época que, por fortuna para los griegos y desgracia otomana, coincide con el apogeo de la Ilustración. Con los precedentes de las Revoluciones americana (1775) y francesa (1789), vientos de cambio empezaban a cernirse sobre Occidente, y los grandes imperios empezaron a sentir escalofríos por lo que podría llegar a acontecer. El pueblo griego no iba a ser menos, y sería Feraíos uno de los que más fervorosamente abogaría por el resurgimiento de una nación griega.

Nacido en el seno de una familia pudiente, acabaron llegando a oídos de Feraíos las noticias de las revoluciones que se estaban produciendo por todo el Viejo Continente, en especial la Revolución Francesa, y empezó a soñar con el cambio. Buscando una mayor independencia para los cristianos que se encontraban bajo el poder otomano, empezó a buscar apoyos entre la jerarquía eclesiástica ortodoxa, y sus aspiraciones se vieron avivadas cuando fue nombrado dragomán en el consulado francés de Bucarest. Quién sabe cuántas jugosas noticias llegadas de Francia tendría ocasión de traducir en este puesto, y quién sabe qué libertarias ideas le acudirían al seso… su versión en griego del himno revolucionario francés, La Marseillaise, da muestra de que la influencia de Francia en su pensamiento fue importante.

Con el tiempo, la idea fue creciendo: Feraíos editó el primer periódico en griego, Efimerís —«Εφημερίς»—, y dibujó un mapa de lo que, eventualmente, podía llegar a ser la Gran Grecia, que se extendía hasta el sur de Bulgaria y las costas turcas de los mares Egeo y Negro. Se encargó, además, de traducir, imprimir y distribuir folletines revolucionarios franceses, como la Declaración de los Derechos del Hombre y del Ciudadano de 1789. Lentamente, con parsimonia, fue sembrando una semilla que acabaría derivando, en la primera mitad del siguiente siglo, en la Revolución Griega.

Murió, cómo no, a manos de la jerarquía otomana, en 1798, cuando se dirigía a una entrevista con Napoleón —lo que da muestra de hasta qué punto había tenido éxito hasta el momento—. Los cómplices del gobernador otomano de Belgrado lo apresaron y torturaron, para ejecutarlo más tarde por orden del sultán Selim III y arrojarlo al río Danubio.

Asunto destacable en Rígas Feraíos, además de lo ya mencionado, es que solía escribir en una variedad de griego denominada griego demótico, que era la variante «popular» de la lengua, mientras que lo normal en el ámbito escrito era emplear el griego cazarévusa, culto pero anticuado. El cazarévusa sería la lengua oficial de Grecia hasta 1976, año en que, sin apenas hablantes ya, fue sustituido por el demótico —si bien un demótico «reajustado», con muchas influencias del cazarévusa—.

0,20 €: Ioánnis Kapodístrias

La moneda de 20 céntimos de euro, siguiendo con la serie de personajes célebres griegos, está protagonizada por el conde Ioánnis Antónios Kapodístrias, en griego Ιωάννης Αντώνιος Καποδίστριας, a veces llamado en español Juan Antonio Capo d’Istria.

Retrato de Ioánnis Kapodístrias, Dionýsios Tsókos, pre-1831. (Dominio público)

Ioánnis Kapodístrias nació en el seno de una familia noble: uno de sus ancestros había sido nombrado conde de Capodistria —hoy Koper, en Eslovenia— por el duque de Saboya, y Ioánnis había heredado el título. Nacido el 11 de febrero de 1776 en la isla de Corfú —entonces perteneciente a la República de Venecia—, hizo estudios de medicina, aunque, según parece, lo que se le daba bien era la política. En 1801, cuando las islas Jónicas se independizan para formar la República Septinsular,^[18] Kapodístrias entra a formar parte del gobierno del nuevo país. No lo debió de hacer del todo mal, pues los rusos, siete años después, se apresuran a «ficharlo» para la diplomacia zarista, y en 1813 es nombrado embajador ruso en Suiza. Tres años después, el zar Alejandro I de Rusia lo nombra ministro de Asuntos Exteriores adjunto.

No obstante, en el año 1821 comienza la Revolución Griega. El conde Ioánnis, que había fracasado en su intento de que el zar apoyase la revolución, se ve obligado a dimitir como ministro y exiliarse en Ginebra. Desde allí haría lo posible para ayudar a sus compatriotas a liberar el país del régimen otomano. Esta postura, y el buen nombre que se había labrado como político en toda Europa, hacen que, cuando Grecia consigue, por fin, su independencia, Kapodístrias sea elegido gobernador —jefe de Estado—. Desembarca en territorio heleno en 1828, estableciendo la capital en Egina, aunque ésta sería trasladada a Nauplia el año siguiente, y a Atenas en 1834.

Pronto se daría cuenta de que quienes le habían elegido gobernador de Grecia le habían hecho un flaco favor. El país estaba arruinado tras la guerra. A pesar de su programa de modernización, y sus intentos de recuperar la paz en Grecia, serán estos intentos los que acaben con su vida: Kapodístrias encarcela, en 1831, a Pétros Mavromichális,^[19] el bey de la península de Mani, una de las regiones más conflictivas de Grecia. La familia Mavromichális se lo tomó bastante mal, y el 9 de octubre de 1831 Ioánnis Kapodístrias era asesinado en Nauplia —a la sazón la capital de Grecia— por el hermano y el hijo de Pétros, Konstantínos y Geórgios Mavromichális.

Tras la muerte de Ioánnis, la jefatura del Estado fue asumida brevemente por su hermano pequeño, Avgoustínos Kapodístrias,^[20] dando comienzo a un período de anarquía que se cerraría en 1832 con el nombramiento de Otón de Wittelsbach, príncipe de Baviera, como rey de Grecia, bajo el nombre de Otón I.

0,50 €: Elefthérios Venizélos

Finalizando con la serie de personajes ilustres helenos, se nos muestra en la moneda de medio euro a Elefthérios Kyriákou Venizélos, en griego Ελευθέριος Κυριάκου Βενιζέλος, uno de los más prominentes políticos de la nación helena, varias veces Primer Ministro de Grecia entre 1910 y 1933.

Fotografía de Elefthérios Venizélos, Harris & Ewing, 1919. (Dominio público)

Elefthérios Venizélos, nacido en Creta en 1864, estudió Derecho en la Universidad Nacional y Kapodistríaca de Atenas.^[21] De vuelta a su tierra natal, participó activamente en el levantamiento de 1896 contra los otomanos —recuerda que, aunque Grecia era independiente desde 1832, Creta seguía bajo soberanía otomana—, levantamiento que derivó en el reconocimiento de la República de Creta. A partir de este punto, Venizélos sería uno de los principales impulsores de la unificación de Creta con Grecia, iniciativa conocida como «Énosis» —Ένωσις, en griego— que se haría realidad en 1913.

Su carrera política evolucionó a pasos agigantados: en 1905 se había convertido en primer ministro de Creta y, en 1910, de Grecia. Allí, pronto comenzaron los roces con el jefe de Estado, el rey Constantino I de Grecia: durante la Primera Guerra Mundial, por ejemplo, Venizélos insistía en aportar ayuda militar a la Triple Entente, conformada por Francia, el Reino Unido y Rusia, mientras que el rey era favorable a la Triple Alianza —Alemania, Austria-Hungría e Italia—. Estas diferencias entre ambos mandatarios llevarían a Venizélos a dimitir en 1915 y, aunque fue reelegido dos meses después, la relación entre ellos nunca se recuperó. Constantino I lo expulsó del gobierno de nuevo, cuando Elefthérios permitió la entrada de la Triple Entente en la ciudad de Salónica.

En 1924 se instaura en Grecia la Segunda República Helénica, y Elefthérios Venizélos regresa al gobierno entre 1928 y 1932. Tras su derrota, no obstante, comienzan a acumular poder los monárquicos, y Venizélos apoya un golpe de estado en 1935 para evitar el regreso de la monarquía a Grecia. Tras el fracaso del golpe y el regreso del rey Jorge II, Venizélos fue obligado a exiliarse. Moriría en París en 1936.

Si por algo se destacó Venizélos, además de por importar el liberalismo francés a Grecia, fue por su elocuencia y su capacidad para movilizar a las masas con la palabra. Incluso Constantino I, a pesar de sus malas relaciones con el político, llegó a afirmar:

Confieso que, cuando está conmigo, sus argumentos son tan convincentes que, rápidamente, comienzo a pensar que son los míos propios.

1,00 €: La tetradracma

Tras cerrar el capítulo de las personalidades célebres de Grecia, abrimos, en las monedas bimetálicas, el de la Grecia clásica. Y no se pueden juntar los términos «moneda» y «Grecia clásica» sin hablar de la que tal vez fue la primera moneda verdaderamente internacional de la Historia: la tetradracma ateniense.

Reverso de un tetradracma ateniense, c. 449-404 a. C. (Classical Numismatic Group, Inc./Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported)

En el anverso —que no aparece en la actual moneda de 1 €— de esta moneda del siglo V a. C. aparecía la cabeza de Palas Atenea, diosa griega de la guerra, la sabiduría y la justicia, entre otros atributos, y cuyo relevo en la mitología romana sería Minerva. Pero lo que debe llamar nuestra atención —y lo que sí aparece en la moderna moneda de un euro— es el reverso: una lechuza. La lechuza representaba, para los griegos, la sabiduría, y además era el símbolo de Atenas y de Atenea. También podemos ver, en la esquina superior izquierda, una ramita de olivo, el árbol consagrado a Atenea: en el mito de la fundación de Atenas, se decía que Atenea y Poseidón compitieron por el patronazgo de la región del Ática —donde se encuentra Atenas—; Poseidón regaló a los atenienses una fuente y Atenea un olivo, y los ciudadanos se decantaron por éste último, con lo que Atenea se convirtió en protectora de Atenas. Por último, aunque no se aprecia muy bien, a la derecha —donde ahora dice «1 ΕΥΡΩ»— se encontraba la inscripción «ΑΘΕ», abreviatura de «ΑΘΕΝΑΙΟΝ», que significaba «De los atenienses».

Debido al poderío militar y naval de Atenas durante el final de la época arcaica y toda la época clásica, las «lechuzas», como se conocía a las tetradracmas, circularon por todo el Mediterráneo, y su uso no decayó hasta que Alejandro III de Macedonia —más conocido por todos como Alejandro Magno— introdujo su propia tetradracma, que acabó sustituyéndola.

2,00 €: El rapto de Europa

Como culmen de la colección de monedas griegas de euro, y también guardando relación con la antigua Grecia, no había un motivo que relacionase más a Grecia con el continente europeo que el mito del rapto de Europa.

Enlèvement d’Europe, Noël-Nicolas Coypel, 1727. (Dominio público)

Europa era, según la mitología griega, hija de Agénor y Telefasa, reyes fenicios de Tiro. Mujer de belleza sin igual, Europa rechazaba a todos sus pretendientes, lo cual era bastante común entre las mujeres de belleza sin igual de la mitología griega. Pero hete aquí que Zeus, el Rey de los Dioses, se enamora perdidamente de ella, e intenta diseñar alguna treta para evitar que Europa lo rechace igual que a todos los demás.^[22] Así, no se le ocurre otra cosa que disfrazarse de toro, blanco como la nieve, y colarse en el rebaño de Agénor. Europa, cuando lo ve, queda prendada de su belleza, y, aunque temerosa al principio, acabó cogiendo confianza y sentándose en el lomo del toro, o sea, de Zeus. Éste, que había estado esperando el momento, echó a correr y se lanzó por un acantilado, antes de atravesar el Mediterráneo a nado hasta la isla de Creta, con la aterrada Europa montada sobre él.

Una vez en Creta, Zeus se transformó, revelando su verdadera identidad, y la violó bajo un platanero. Más tarde, el Rey de los Dioses pensó que, a lo mejor, no se había portado muy bien con la pobre muchacha, así que la casó con el rey de Creta, Asterión, que aceptó como suyos a los tres hijos que Europa tendría de Zeus.

Según la leyenda, Agénor y Telefasa recorrieron el continente junto a sus hijos —hermanos de Europa—, buscándola: «¡Europa! ¡Europa!», y los habitantes de las tierras por donde pasaban acabaron por llamar Europa al continente.

¡Ah!, por cierto, el canto de la moneda de 2 €: no es Tipo 1 ni Tipo 2, sino el texto «EΛΛHNIKH ΔHMOKPATIA ★», que significa «República Helénica».

Generalidades

Ahora que ya hemos visto lo que diferencia a las monedas griegas, vamos a centrarnos por un instante en aquello que las une. Para empezar, todas las monedas muestran las doce estrellas de la Unión, en las posiciones del reloj, además del año de emisión —es decir, que comienzan en 2002— y la firma del diseñador, las iniciales «ΓΣ» de Geórgios Stamatópoulos. También aparece en todas las monedas la marca de ceca, en este caso correspondiente a la Casa de la Moneda de Atenas, la Νομισματοκοπείο Αθηνών —«Nomismatokopeío Athinón»—: una hoja de acanto estilizada. Por cierto: en las monedas de 1 y 2 € el año aparece «a la española»: con una estrella en medio dividiéndolo en dos —por ejemplo, «20★02»—.

Otro detalle común que puede llamarnos la atención, y que ya vimos en Austria, es que el valor de la moneda se repite en el anverso. No obstante, si los austríacos habían merecido un tirón de orejas por ello, en el caso de Grecia esto está totalmente justificado; recordemos cuál es la norma al respecto —énfasis mío—:

La cara nacional no deberá repetir ninguna indicación de la denominación de la moneda, o de partes de la misma, ni el nombre de la moneda única o su unidad fraccionaria, a menos que dicha indicación se derive del empleo de un alfabeto diferente.

Resulta que los griegos emplean su propio alfabeto; por lo tanto, sí es correcto que aparezca en la cara nacional el valor facial de la moneda, con el texto «ΕΥΡΩ» —«evró»— para las monedas de 1 y 2 euros y «ΛΕΠΤΑ» —«leptá», o bien «ΛΕΠΤΟ», «leptó», en singular— para las monedas de céntimos. Llama la atención que, para denominar al euro cent, han rescatado el nombre tradicional de la moneda divisoria de la antigua dracma, el leptó.

Ampliación de una moneda griega de 2 € de 2002. En la estrella que divide el año se puede apreciar la «S», que indica que fue acuñada en Finlandia.

«Pero oye, Saúl, un momento», podría pensar alguien que siga leyendo este peñazo. «Al empezar el artículo decías que Grecia no entró al euro en 1999, sino en 2001, y que eso sería importante. ¿Y bien?»

Pues bien, ahora viene. Como Grecia adoptó el euro en 2001, se vieron con la papeleta de tener que producir, de la noche a la mañana, un montón de monedas en un año, mientras que el resto de países de la Eurozona habían tenido tres años. Claro, no daban abasto, así que tuvieron que encargar a otros países que les ayudasen. En concreto, la Monnaie de Paris, en Francia, les ayudó con las monedas de 1, 2, 5, 10 y 50 céntimos; la Rahapaja Oy, en Finlandia, fabricó monedas de 1 y 2 €, y la Real Casa de la Moneda – Fábrica Nacional de Moneda y Timbre, en España, echó una mano con las monedas de 20 céntimos de euro. A partir de 2003, se reanudó el ritmo normal y la Casa de la Moneda de Atenas se hizo cargo de la producción.

Por lo tanto, si nos encontramos con una moneda de Grecia fechada en 2002, podría entrarnos la duda de si es de las que se fabricaron en Grecia o en alguno de los otros tres países. Bien, no hay más que fijarse en las estrellas. Las monedas fabricadas por Finlandia llevan una «S» en la estrella de las 6 en punto —por «Suomi», «Finlandia» en finés—; las fabricadas por Francia, una «F» en la estrella de las 8 en punto —50 y 10 céntimos—, 2 en punto —5 y 2 céntimos— o 10 en punto —un céntimo—. Por último, las monedas fabricadas por España llevan una «E» grabada en la estrella de las 8 en punto.

Sin embargo, sí se echa en falta algo que es obligatorio: el identificador de país. En efecto: en ningún sitio dice que estas monedas sean griegas, por lo que se espera que, algún día, Grecia deberá cambiar su diseño para añadir el nombre del país o, como mínimo, una abreviatura.

Las monedas conmemorativas

Monedas conmemorativas de dos euros

El catálogo de monedas conmemorativas de dos euros griegas es más bien escasillo: dos monedas han sido acuñadas por la Casa de la Moneda de Atenas, una en 2004 y otra en 2010, además de las dos emisiones conjuntas de 2007 y 2009.

Serie de monedas conmemorativas griegas. En el centro, las dos emisiones conjuntas.

La moneda de 2004 fue emitida para celebrar los XXVIII Juegos Olímpicos, celebrados en Atenas. Era la primera vez que los Juegos Olímpicos se celebraban en Grecia desde los I Juegos Olímpicos de 1896, y también la primera vez que participaban todos los países del mundo desde Atlanta 1996. Con seis oros, seis platas y cuatro bronces, Grecia quedó en decimoquinta posición, justo por detrás de Rumanía, quedando en primera posición los Estados Unidos.

Moneda griega de oro de 100 €, emitida en 2004, en conmemoración de los Juegos Olímpicos de Atenas.

En cuanto a la moneda de 2010, conmemoraba el que, seguramente, sea el aniversario más antiguo de esta serie: los 2 500 años de la batalla de Maratón. La importancia histórica de la batalla de Maratón reside en que sentenció la Primera Guerra Médica a favor de los griegos, que derrotaron a los persas. Sin embargo, lo que ha pasado a la posteridad de esta batalla fue la hazaña de Filípides de Atenas, quien según la leyenda recorrió corriendo los 42 kilómetros que separaban Maratón de Atenas para anunciar que los griegos habían vencido en Maratón. Pronunció un débil «νενικήκαμεν» —«nenikíkamen», «hemos vencido»— antes de caer muerto, por culpa del agotamiento según algunos, debido a las heridas de la batalla según otros.

Monedas de coleccionista

Igual que en Francia, me ha sido imposible encontrar información actualizada para las monedas de coleccionista griegas, así que he recurrido a mi querido catálogo Leuchtturm para las monedas hasta 2007 y a la Wikipedia en inglés para las de 2008. Más allá de 2008, no tengo ni idea.

La inmensa mayoría de monedas de coleccionista griegas se emitieron entre 2003 y 2004, todas ellas en conmemoración de los Juegos Olímpicos de Atenas 2004. 25 monedas fueron emitidas, con los valores faciales de 10 € de plata esterlina o de 925 milésimas —17 monedas— y 100 € de oro 999 ‰ —8 monedas—. Como excepción, se emitió una moneda de 20 € en plata esterlina y otra de 200 € en oro 999 para conmemorar los 75 años del Banco de Grecia, en 2003.

A partir de ahí, sólo se han emitido monedas de diez euros, todas ellas en plata esterlina de 925 milésimas. Se acuñó una en 2005, tres en 2006, cuatro en 2007 y otra en 2008.

Y, con esto, doy por finalizado el artículo sobre las monedas de euro de Grecia. A los pocos que hayáis llegado a estas líneas finales, os adelanto que el próximo artículo será más breve —espero—, pues todas las monedas llevan el mismo motivo. Hablaremos entonces de la República de Irlanda. Hasta entonces.

1. En griego: Ελληνική Δημοκρατία, «Ellinikí Dimokratía».
2. En griego: Ελλάδα, «Elláda».
3. «República Helénica» es el nombre oficial de Grecia, como consta en el World Factbook de la CIA estadounidense.
4. En griego: Αθήνα, «Athína».
5. En griego: Κρήτη, «Kríti».
6. En griego se las conoce como el Heptaneso: Επτάνησα, «Eptánisa».
7. En griego: Δωδεκάνησα, «Dodekánisa».
8. En griego: Κυκλάδες, «Kykládes».
9. En griego: περιφέρειες, «periféreies».
10. En griego: αποκεντρωμένη διοίκηση, «apokentroméni dioíkisi».
11. Sus traducciones al griego son, respectivamente: Αττικής, «Attikís»; Μακεδονίας-Θράκης, «Makedonías-Thrákis»; Ηπείρου-Δυτικής Μακεδονίας, «Ipeírou-Dytikís Makedonías»; Θεσσαλίας-Στερεάς Ελλάδας, «Thessalías-Stereás Elládas»; Πελοποννήσου, Δυτικής Ελλάδας και Ιονίου, «Peloponnísou, Dytikís Elládas kai Ioníou»; Αιγαίου, «Aigaíou», y Κρήτης, «Krítis».
12. En griego: Άγιον Όρος, «Ágion Óros».
13. O «el dracma». De acuerdo con el Diccionario de la Lengua Española de la RAE, «dracma» es un nombre ambiguo, es decir, admite ambos géneros. Sin embargo, el Diccionario Panhispánico de Dudas recomienda su uso en femenino, más acorde con la etimología original.
14. En griego: δραχμή, «drachmí», pronunciado «drajmí».
15. En griego: φοίνιξ, «foínix»
16. Singular: leptó («λεπτά», en singular «λεπτό»).
17. Hoy, Torre Willis.
18. La República Septinsular estaba formada por las islas, hoy griegas, de Corfú, Paxós, Léucade, Cefalonia, Ítaca, Zacinto y Cítera.
19. En griego: Πέτρος Μαυρομιχάλης.
20. En griego: Αυγουστίνος Καποδίστριας.
21. Nótese el homenaje a Ioánnis Kapodístrias.
22. Parece ser que Zeus no tenía muy claro el concepto de «fidelidad» en el matrimonio, lo que fue origen de no pocos disgustos para su esposa, Hera, que, para más inri, era extraordinariamente celosa. Las múltiples aventuras amorosas de Zeus y sus tretas para evitar que Hera se enterase originaron multitud de situaciones bastante tronchantes en la mitología griega.

Ferrari de Felipe Massa (Flickr de julien.reboulet, cc-by-nc-sa)

Tras escribir un comentario sobre la recuperación de energía en artículo sobre los asteroides troyanos de El Tamiz, me di cuenta de que quizá no todo el mundo tenía claro qué era eso del KERS. Adelanto que yo tampoco conozco en detalle cómo funciona (si alguien lo conoce bien, que se anime a escribir un artículo), pero podemos aprovechar la pregunta para estudiar su fundamento físico.

El KERS fue un dispositivo que se implantó hace relativamente poco en la Fórmula 1, que permitía a los coches que lo tenían desarrollar un puntito más de potencia en algunos momentos, lo que les permitía adelantar a otros coches equivalentes, pero sin KERS (porque no todos lo tenían), sobre todo en tramos del circuito donde la velocidad punta fuera decisiva. En su momento se discutió mucho sobre su legalidad dentro del reglamento de la Fórmula 1, pero ahora parece haberse aceptado y todos los coches lo llevan (aunque con ciertas limitaciones por parte de los organizadores).

Os podéis imaginar que con la cantidad de dinero que mueve la Fórmula 1, los detalles de su funcionamiento son secretos de primer orden… pero vaya… algo podremos decir.

Lo mejor entonces es quizá ver cuál es su necesidad, y luego buscar la forma de abordar la solución.

Su necesidad se puede enfocar desde dos puntos de vista: desde el punto de vista físico/teórico y desde el punto de vista de las carreras de Fórmula 1. Veamos primero la necesidad física/teórica.

Empecemos por un coche que está parado. Su energía cinética es 0 J, obviamente. Cuando lo aceleramos, empieza a ganar energía cinética. Pero esa energía no viene de la nada, hemos tenido que dársela con un motor… habitualmente, quemando hidrocarburos de forma más o menos sofisticada (es decir, quemando gasolina en un motor de combustión interna).

El coche va entonces a 300 km/h… llega a una curva… frena… y pierde toda esa energía cinética. Al salir de la curva vuelve a acelerar, otra vez consumiendo energía de los hidrocarburos, ganando energía cinética de nuevo… hasta que llega a otra curva y vuelve a frenar, perdiéndola otra vez. Y así una y otra vez.

Como es obvio, no es que la energía cinética desaparezca, sino que se transforma en otra forma de energía. La forma más común de frenar el coche es hacer que algo roce contra las ruedas, de modo que las ruedas se frenan, y el coche con ellas. Todos hemos montado alguna vez en bici, y hemos visto sus frenos:

Pastillas de freno de una bici (flickr de Yortw, cc-by-nc)

Pues en un coche es más o menos lo mismo: las pastillas rozan contra la rueda, frenándola… y obviamente la energía no desaparece, sino que se convierte en calor, mucho calor, desperdiciándose vilmente.

¿No sería maravilloso que pudiéramos aprovechar esa energía que se desperdicia? Ahí es donde entra el KERS: Kinetic Energy Recovery System, sistema de recuperación de energía cinética.

El KERS es un sistema que en vez de disipar la energía cinética en forma de calor, la convierte a otra forma de energía, para que pueda ser aprovechada más adelante. Ahora veremos más detalles, pero primero… ¿por qué es tan importante esto para la Fórmula 1?

Al parecer los organizadores de la competición definen limitaciones que los motores de los coches deben cumplir. Una es sobre la cilindrada máxima que pueden tener y las revoluciones máximas a las que pueden girar, y hay mil limitaciones y normas más. El caso es que el KERS permite recuperar energía durante la frenada, y reenviarla de nuevo hacia las ruedas en la aceleración, pero sin cambiar el motor (y por lo tanto cumpliendo las restricciones que impone la organización). Algunos opinaron en su momento que eso era incumplir el espíritu de la normativa de la competición, pero el caso es que al final se acabó aceptando y con el tiempo todos los equipos lo montan.^[1]

Para entender cómo funciona el KERS, podemos empezar por el siguiente dibujo.

Campo eléctrico (V) inducido por el campo magnético variable

Los bloques azul y rojo son imanes (no es que sean monopolos magnéticos, no te confundas por el color… solo están coloreados para poder identificarlos en la secuencia), y el cuadrado negro del centro es simplemente un pedazo de cable (se le suele llamar espira). Sabemos, porque nos lo ha contado Pedro, que un campo magnético variable produce un campo eléctrico. Así que si ponemos la espira en el centro y hacemos girar el imán alrededor de ella, estaremos haciendo que el campo magnético cambie, y por lo tanto se induce un campo eléctrico en la espira. Si conectamos los imanes a las ruedas del coche (para que giren) y la espira a una batería (para que se acumule), ya tenemos inventado un tercio del KERS.^[2]

Esto no es novedoso. Al fin y al cabo las turbinas de las centrales eléctricas funcionan según el mismo principio: el agua o el vapor mueven unas aspas que a su vez mueven un imán que induce un campo eléctrico en una espira. No solo las turbinas de las centrales eléctricas, sino que el alternador de los turismos ya funciona más o menos igual: vamos cargando la batería según se mueven el motor al circular.

La gracia es que a la vez que se produce ese campo eléctrico, se produce una fuerza (mecánica) que se opone al giro. La razón es que, una vez que empieza a circular corriente por el cable como consecuencia del giro (porque hemos conectado algo a la espira, cerrando el circuito), el propio cable genera a su alrededor un campo magnético (así funcionan los electroimanes, por ejemplo). Esto significa que ya no tenemos dos imanes y una espira, sino que tenemos tres imanes: los dos imanes originales y la espira por la que circula corriente. Pero la espira no es un imán cualquiera.

Campo magnético (en amarillo) inducido por la corriente que circula. No está a escala, solo es cualitativo.

La espira del dibujo podría convertirse en un imán con el polo norte hacia arriba y el sur hacia abajo o viceversa, claro; sin embargo, puesto que la corriente se está generando debido al campo magnético de los dos imanes, se da la circunstancia de que la corriente en ella siempre irá dirigida de modo que los polos del imán se opongan a la causa que creó la corriente (algo conocido como ley de Lenz, que Pedro aún no nos ha contado, pero que lo hará en algún momento del futuro). En cierto sentido, es como si el campo magnético inducido en la espira tratase de equilibrar la perturbación que lo creó y dejarlo todo como estaba al principio. Como consecuencia, el imán en el que hemos convertido la espira va cambiando de polaridad constantemente según giran los imanes, de modo que siempre atrae a los dos imanes “hacia atrás” en su movimiento, con lo que los imanes se van frenando en su giro si nadie lo impide.

Esto no debería sorprendernos: los imanes girando tienen una determinada energía cinética. Si al girar le dieran energía eléctrica a lo que haya conectado a la espira, sin que ocurriera nada más, estaríamos generando energía de la nada… y eso no es posible… ¿de dónde sale esa energía, entonces? De que la energía cinética de los imanes se reduce. Es decir, se frenan. Si dejamos que lleguen a pararse, habremos convertido toda la energía cinética en energía eléctrica en la espira.

Vale, ya tenemos otro tercio del KERS inventado: al poner unos imanes (conectados a las ruedas) girando alrededor de una espira que está conectada a una batería, los imanes (y con ellos las ruedas) se frenan.^[3]

“Un momento.”, oigo decir al más astuto de nuestros lectores, ” ¿No habías dicho que el alternador del coche funciona igual? ¿Eso quiere decir que el alternador está frenando al coche? ¿Entonces, cuál es la diferencia entre el alternador y el KERS?”.

Pues sí, efectivamente, el alternador del coche lo frena. ¿Quién te ha dicho que no lo hace? Lo que ocurre es que la energía necesaria para cargar la batería del coche es mucho menor que la que produce el motor, y entonces casi no se nota. Pero sí, lo frena un poquito.

La diferencia es que el alternador simplemente se conecta a las ruedas y genera energía eléctrica,^[4] mientras que en el caso del KERS la espira se introduce más o menos entre los imanes, según el piloto pisa mucho o poco el freno. Si lo pisa a fondo, la espira se introduce completamente entre los imanes, y el efecto es máximo. Si lo pisa solo un poco, solo se introduce ligeramente entre los imanes y su efecto es pequeño. Y además, el KERS está pensado específicamente para esto, no solo para cargar la batería del coche, así que se diseña mucho más potente.

De hecho, las dinamos de las bicis también funcionan según el mismo principio físico. Hoy en día es mucho más habitual llevar simplemente una linterna a pilas en la bici, pero antaño se solía llevar una dinamo que mediante algún artificio mecánico se podía conectar o no a la rueda.

Dinamo de una bici (flickr de feesta, cc-by-nc-sa). Si te fijas con mucho cuidado verás que no está en contacto con la rueda.

Pues bien, nuestros ciclistas recordarán que cuando la dinamo estaba conectada, costaba más mover la bici. Lo cierto es que cuando empecé a estudiar siempre sospeché que era más bien la (escasa) calidad de los componentes mecánicos de la dinamo lo que frenaba mi bici, más que el efecto inductivo, pero bueno.

Bueno, pues ya solo queda aprovechar esa energía eléctrica que hemos acumulado en la batería para dar ese puntito de gas adicional. Eso es sencillo: podemos conectar la batería a un motor eléctrico, unir ese motor de alguna forma a las ruedas y listo.^[5] En realidad, supongo que ni siquiera hará falta eso, porque una turbina y un motor son básicamente la misma cosa, pero al revés… pero vaya, solo estoy suponiendo.

Así que ya tenemos el KERS: cuando el piloto frena, en lugar de con los frenos convencionales, frena con estos frenos especiales (se suelen llamar genéricamente “frenos regenerativos”), cargando unas baterías. Luego, cuando necesita puntualmente más potencia, invierte el proceso, activando un motor eléctrico que se suma al motor de combustión y dándole un empuje adicional que puede resultarle decisivo para un adelantamiento. Dichas baterías se descargan rápidamente, pero no pasa nada, porque en las próximas frenadas se volverán a cargar.

Por cierto, que esto no es algo exclusivo de la Fórmula 1: existen turismos comerciales que utilizan sistemas parecidos, aunque no suelen usarlo para aumentar la velocidad del vehículo después, sino para cargar las baterías principales (en lugar de con un alternador convencional). También es hoy por hoy de uso común en ferrocarriles.

Y ya a modo especulativo… ¿se nos ocurre alguna alternativa de hacer esto mismo? Bueno… alguna hay. Para empezar, podríamos intentar aprovechar el calor disipado por los frenos convencionales. Existen materiales que, cuando se someten a diferenciales de temperatura, producen energía eléctrica. Su eficiencia es patética de momento, pero quizá en el futuro…

Otra forma podría ser aprovechar la energía cinética para comprimir algún gas, que pudiera acumularse en forma comprimida y se liberara luego cuando fuera necesario para mover las ruedas. En nuestros turismos ya tenemos el compresor del aire acondicionado, que aprovecha la potencia del motor para comprimir el gas refrigerante (obviamente, frenando al motor a la vez, por eso notamos que el coche tiene menos fuerza cuando tenemos el aire acondicionado puesto), y que se usará luego para enfriar el interior del vehículo al expandirse. Usar un sistema similar para acumular algún gas a presión podría no resultar descabellado.

Seguro que si pensamos un poco se nos ocurre alguna otra forma de acumular energía durante la frenada para usarla luego…

1. Ahora bien, el KERS tampoco es gratuito en términos de peso, por lo que dependiendo del tipo de circuito puede que ese puntito de potencia de más no compense el incremento de peso, y a veces lo ponían y a veces no, dependiendo de la carrera. Luego se dieron cuenta de que andar quitándolo y poniéndolo afectaba al reparto de pesos, y este a la aerodinámica, que es uno de los factores críticos de la carrera, y todos los equipos punteros han acabado poniéndolo siempre.
2. En realidad pueda que lo que permanezca fijo sea el imán y lo que se mueva sea la espira; o puede que la espira rodee al imán… pero la idea física es la misma. Y siempre siempre hay muchas vueltas de la espira, como una bobina, no una sola. Pero para entender el concepto, es mejor ese dibujo simplificado.
3. En realidad, los monoplazas de Fórmula 1 también llevan frenos convencionales, porque a velocidades bajas el KERS casi no frena.
4. En realidad ni siquiera esto es cierto… solo lo hace a veces, cuando la batería no está llena.
5. Bueno, sencillo de explicar. Además no solo hay que llevar ese motor eléctrico a las ruedas, sino que hay que hacer que su efecto se sume al del motor de combustión, en lugar de molestarse uno al otro. Por estas cosas es por lo que los ingenieros y mecánicos que trabajan en la F1 cobran una pasta gansa.

Sirva en mi descargo que nos hemos estado preparando para ello, pues hasta ahora hemos visto cómo es el álgebra de Boole con su Forma Normal Disyuntiva, luego entramos en la base del álgebra de Circuitos, y por fin, en el artículo anterior vimos el álgebra de Conjuntos desde la óptica del álgebra de Boole… pero ya con una cierta aplicación a la resolución de problemas lógicos, lo que muchos de vosotros llamaríais “Acertijos”, como el ínclito e incombustible “¿Cómo se llama el maquinista?”, que os dejé de regalo en el capítulo anterior de la serie. Espero que su resolución no os haya destruido muchas neuronas.

José Cuena Bartolomé controlando una pantalla (1987).

Como sabéis, porque lo he dicho en cada capítulo, en realidad estoy siguiendo mis emborronados apuntes de la asignatura de “Metodología” de Segundo de Informática, curso 1973-74, impartido por José Cuena Bartolomé, desgraciadamente fallecido en 1999, uno de los mejores profesores que he tenido en mi vida.

Supongo que os habréis dado cuenta del método didáctico seguido por Pepe Cuena para desasnarnos en estas lides…

Empezó por la base teórica, el álgebra de Boole, luego nos explicó aplicaciones de la misma a problemas distintos (los circuitos eléctricos, los conjuntos), para llegar al cálculo proposicional… Iba paulatinamente definiendo los ladrillitos con los que se construirían los edificios cada vez más altos de la Lógica. No daba nada por sentado, sino que definía las cosas de lo particular a lo general…

Al final del artículo incluiré unos párrafos explicando todo esto de forma más detallada, para que no os perdáis en lo que sigue. Leedlo y podréis seguir lo que queda de serie con facilidad… espero.

.

En fin, a estas alturas del curso (debía ser enero o febrero de 1974), Don José nos dijo que ya estaba bien de holgazanear, que ya iba siendo hora de entrar en materia, lógicamente, con la Lógica de verdad… y eso haremos en este capítulo dedicado al Cálculo Proposicional. Sigamos el razonamiento y las explicaciones de Don José…

Si estamos hablando de Cálculo Proposicional, es decir, Cálculo de Proposiciones, lo primero que habrá que definir es qué es para nosotros una Proposición: Una frase a la que podemos atribuir, sin el menor asomo de duda, un valor de Verdad o de Falsedad.

Atención: “Podemos atribuir” no indica que tengamos que saber exactamente si la frase es verdadera o falsa en un contexto, sino que tenemos los medios para saberlo. Por ejemplo, la frase “Está lloviendo” es una proposición a la que podemos asignar sin duda alguna un valor de verdad o falsedad… una vez que hayamos mirado por la ventana.^[1]

Entonces, frases del estilo “La frase que está Vd. leyendo es falsa” no es una proposición, pues no podemos asignarle un valor de verdad ni de falsedad ni de nada de nada, salvo quizá acordarnos amablemente de los ancestros del autor de la frase. En una palabra, el cálculo proposicional no es pertinente para tratar frases de esas tan comunes que cualquiera calificaría de “Verdades a Medias” o de “Medias Mentiras”, que para el caso es lo mismo. No es, por lo tanto, una herramienta adecuada para analizar frases y afirmaciones de políticos, economistas, abogados… Si lo hacemos llegaremos continuamente a contradicciones y sinsentidos, así que mejor dejar el análisis de sus afirmaciones a avezados analistas y tertulianos varios, aunque me dé la sensación de que acertarían más leyendo los posos del té… En fin, dejemos este espinoso tema para esos avezados analistas y tertulianos que nos siguen, y centrémonos en el cálculo de proposiciones, de ésas de las que con todo rigor podemos estar seguros si son verdaderas o falsas…

.

Naturalmente, podemos unir varias proposiciones elementales (del estilo de “Llueve”, “Soy agricultor” o “La Tierra se mueve”) en una proposición compuesta, para lo que tenemos que unirlas mediante nexos. Estos nexos posibles son ni más ni menos que las conjunciones copulativas y/o las disyuntivas. En una palabra, mediante las conjunciones Y y O. Y también podemos negarlas (“No llueve”), mediante la partícula NO.^[2]

Podemos decir, por tanto, que “Llueve Y NO me mojo”, o que “Llueve O me mojo”. En este último caso, y que quede claro de aquí para siempre jamás, decir “Llueve O me mojo” quiere en realidad decir “Llueve O me mojo O ambas cosas”.

Si lo que queremos decir es que “O bien Llueve, o bien Me mojo, pero no simultáneamente”, cosa que en el cálculo proposicional y en la vida real es perfectamente posible, veremos más adelante que eso se trata de un “O lógico exclusivo”, y no de un “O“ normal. Lo digo porque en el lenguaje cotidiano se usa muchas veces el “O” con sentido exclusivo, y todo el mundo lo entiende así. Por ejemplo, si alguien nos pregunta “¿Adónde quieres cenar, en un chino o en un italiano?”, o bien “¿Dónde quieres que vayamos hoy, al cine o al teatro?”, prácticamente todo el mundo entiende que ambas opciones son exclusivas: si vamos al cine queda descartado el teatro y viceversa, y si vamos al italiano, el chino se queda hoy sin algunos clientes… Si a cualquiera de esas preguntas contestas “¡A ambos sitios!” lo más normal es que quien pregunta se quede sorprendido… no espera tal contestación (e incluso puede ser directamente imposible, si ambas actividades son a la misma hora).

Repito para que quede claro, cristalino: En cálculo proposicional, el “O” implica siempre, siempre, “Uno u Otro o Ambos a la vez”. Siempre.

Veamos, pues, usando la ínclita Forma Normal Disyuntiva, que para algo la expliqué hace un tiempo, cómo se comportan estas proposiciones compuestas (aquí, obviamente, V significa “Verdadero” y F, “Falso”):

A estas tablas tan monas se les denomina, de forma no muy imaginativa pero ciertamente descriptiva, “Tablas de Verdad”, y serán muy importantes en todo lo que sigue.

Tablas de Verdad. Anotarlo en algún rinconcito del cerebro para que no se olvide…

.

También podemos negar una proposición, dando origen a una proposición nueva, como “No llueve”, que será verdadera cuando “Llueve” sea falsa y viceversa. Entonces la tabla de verdad de una negación sería algo tan tonto como:

En jerga “cálculoproposicionalística”, las proposiciones genéricas que se usan en las fórmulas no suelen designarse con x, y, z… como es habitual en casi todas las ramas de la Matemática, sino más bien con p, q, r…. Además, en lugar de “Y”, “O” o “NO”, se usan los símbolos siguientes: , para el “y”,  para el “o”, y  para el “no”, aunque también se puede usar el símbolo  para denotar la negación; de ambas formas podéis encontrarlo, aunque yo usaré normalmente el signo .

Además, y ya puestos, podemos cambiar la representación de los propios valores posibles, asignando un “1” al valor Verdadero y un “0” al valor “Falso”. En realidad no hemos cambiado nada, tan sólo la forma de escribirlo… Sabiendo esto, podemos reescribir las tablas anteriores de la forma siguiente:

¿De acuerdo? Obviamente, si tenemos varias proposiciones (frases) mezcladas con “o” e “y”, algunas de ellas negadas y otras no, por muy complicada que sea la frase, siempre podemos conocer el valor de verdad de la proposición completa en base a la explotación de la correspondiente tabla de verdad. Muy útiles, las tablas de verdad, como veis.

Por ejemplo, sea la proposición , de la que queremos establecer su tabla de verdad en función de los valores de las proposiciones elementales p, q y r. Para facilitarnos la vida, usaremos algunas variables intermedias: llamaremos s al resultado de la proposición (ahora la fórmula original será , y luego llamaremos t al resultado de .

Construyendo la tabla de verdad paso a paso (tabla que, debido a que son tres las variables, tendrá ocho posibles combinaciones de valores, como supongo os habéis dado cuenta),^[3] llegamos a los valores de verdad resultantes:

NOTA: Podemos obtener con toda sencillez la fórmula equivalente en Forma Normal Disyuntiva de dicha fórmula simplemente explotando la Tabla de Verdad, creo que se ve claro mirando dicha tabla de verdad, ¿no es cierto?

Si queremos, por fin, conocer la tabla de verdad del O lógico exclusivo (lo denominaré por hacerlo de alguna forma; así al menos es como se identifica el XOR en el diseño de puertas lógicas)^[4] al que antes hice referencia (donde es cierta una proposición u otra, pero no ambas a la vez), no es ni más ni menos que la siguiente:

Y su fórmula resultante (en Forma Normal Disyuntiva) será .

.

Bueno, pues ahora sólo queda pensar un poco acerca de la naturaleza íntima de las proposiciones y las operaciones que las afectan… Mmmmm… veamos qué tenemos…

Un conjunto de elementos que pueden admitir sólo dos valores (0, 1), y dos operaciones cerradas que operan sobre ellos ()… Mmmmm… Esto me suena. ¿No será esto, por una casualidad, un álgebra de Boole?

.

Vamos a comprobarlo, y para ello habrá que verificar si todo este sistema cumple los axiomas de Huntington (1904). En el primer capítulo de la serie conté cuáles eran estos axiomas. Id allí si queréis refrescarlos.

Habría que comprobar, sucesivamente, si las operaciones “Y” y “O” referidas a proposiciones que pueden ser Verdaderas o Falsas exclusivamente (ya sabéis, eso de las “Verdades a Medias” no funciona muy bien en Cálculo Proposicional) cumplen los cuatro axiomas. No voy a detallar paso a paso las demostraciones, dejando al lector, si lo desea, probar los axiomas uno a uno, demostrando si se cumplen o no. Para ello utilizará seguramente las correspondientes tablas de verdad que tan útiles son…

Uno: ¿Son las operaciones “Y” y “O” conmutativas? Pues sí, lo son. Intuitivamente, parece que igual da decir “Llueve o Me mojo” que “Me mojo o Llueve”…

Dos: ¿Tienen las operaciones un elemento neutro? Evidentemente. El valor “Falso” (0) es el elemento neutro del “O” (“Llueve O Cualquier Cosa Falsa”^[5] es equivalente a “Llueve”, pues tiene su misma tabla de verdad), mientras que el valor “Verdadero” (1) es el elemento neutro del “Y” (“Llueve Y Cualquier Cosa Verdadera”^[6] es equivalente a “Llueve”, pues también tiene su misma tabla de verdad).

Tres: ¿Cumplen las operaciones la propiedad distributiva? Esto es menos evidente, pero si construís las tablas de verdad, veréis que, efectivamente, se cumple a rajatabla la propiedad distributiva, tanto del “Y” respecto del “O”, como del “O” respecto del “Y”.

Cuatro: ¿Tiene cada elemento un complementario? Esto sí que es sencillo: al haber sólo dos valores posibles, es sencillo ver que “Verdadero” es el complementario (el contrario) de “Falso”, y viceversa.^[7][8][9]

Por lo tanto, Señoras y Señores, el cálculo proposicional es un álgebra de Boole. Y yastá.

Todos los artilugios, teoremas y procedimientos que funcionan para un álgebra de Boole funcionan también en Cálculo Proposicional. Hala! Ya sabemos bucear entre Verdades y Mentiras…

.

Ya os podéis imaginar que todo esto es vital para poder diseñar y escribir programas eficientemente.

Efectivamente, todo aquél que haya escrito un  programa en su vida (y eso incluye haber metido alguna fórmula medianamente compleja en una hoja electrónica) ha tenido que lidiar con el famoso “IF“. El “Si” condicional que gobierna el flujo de los programas.

Muchas veces sirve escribir el if consultando una única proposición. Por ejemplo, en un cajero automático: Si el saldo de la cuenta es menor que el dinero que el cliente desea llevarse, denegar la operación. Fácil

Pero es muy normal tener que lidiar con proposiciones complejas que hay que evaluar para decidir por dónde debe seguir el programa…

Verbigracia:  Si el cliente es nuevo y tiene una marca de captación mayor de 7, o, siendo antiguo, tiene un saldo superior a x Euros y no tiene ninguna marca de “Cliente especial” siempre que el director de la sucursal no le haya calificado como de tipo 1 ó 3, o bien el director de la regional le haya calificado como de tipo 6, pero no de tipo 9, y además está como titular en una cuenta en la que alguno de los otros titulares sea un cliente preferente… entonces le concedemos el préstamo.

(!!)^[10]

Estaréis pensando… ¡qué condiciones tan retorcidas se ha sacado de la manga el Macluskey…! Pues no, amigos, no. Cosas mucho más complicadas todavía he tenido que escribir a lo largo de mi vida profesional… Y lo peor no es que esa condición sea alambicada, no: lo peor es que ¡Hay que programarla!, es decir, hay que escribir un programa que refleje fielmente esa condición de negocio. Y no sólo tiene que reflejar con fidelidad la condición de negocio, sino que tiene que hacerlo de la manera más simple y eficaz posible. Es más, de éstas habrá muchas, pero muchas, en cualquier Sistema que se precie…

¿Os dais cuenta ahora de lo importante que resulta conocer el Cálculo Proposicional para poder hacer esto correctamente?

La de programas que han fallado miserablemente por no tener correctamente programado el “if” correspondiente… Es, con gran diferencia, el principal motivo de fallo de los programas de todas partes: un if mal programado.

El Funcionamiento de una Alarma

El verbo “IF” es el usado universalmente para designar la instrucción condicional; luego, según el lenguaje de programación usado, se escriben de una forma u otra tanto las comparaciones que forman las proposiciones individuales^[11] como las uniones entre ellas: Y (que casi siempre se pone en inglés: AND), O (lo mismo: OR) o NO (NOT),.

En Cobol, por ejemplo, se usan en inglés tal cual (AND, OR, NOT), lo mismo que en otros muchos lenguajes, como en SQL, pero en C, por ejemplo, igual que en Java o en PHP, se usa && para el Y, || para el O y ! para el NOT,^[12] y en Excel, versión española, se usa O(a,b,…), Y(a,b,…) y NO(a), y así.

Obviamente, la misma explicación sirve para las condiciones de terminación de los bucles DO-UNTIL o DO-WHILE, así que me ahorro seguir.

Y hoy en día hay muchísimos componentes y mecanismos industriales (como la alarma que funciona según el diagrama de la derecha) que tienen empotrado un software… un software casi siempre llenito de IF’s…

Bueno, pues ahora ya sabéis que, como todo esto es un álgebra de Boole, puedes aplicar todas sus reglas (que son las mismas del Cálculo Proposicional) para simplificar el contenido del if, o bien usar su FND para tratar de comprender uno que ya está programado.

Como bien dice J, “Ay, si me hubieran dado un mísero euro por cada vez que me he encontrado un if kilométrico^[13] que siempre era “true” (verdadero) o siempre era “false” (falso, claro),  o bien que se podía simplificar a uno mucho más sencillo“…

.

Ya para acabar, dije antes que, como el Cálculo Proposicional forma un álgebra de Boole,  ya sabemos bucear entre Verdades y Mentiras… pero no. No del todo.

Los humanos somos tan raros hablando y formulando frases, que hay que profundizar un poco más para poder usar esta herramienta en proposiciones formales. Pero eso lo iremos viendo en siguientes capítulos, que éste va quedando largo. Para empezar, hablaremos de la implicación lógica, la dichosa y a priori tan poco comprendida implicación lógica. A ver si, antes simplista que incomprensible, consigo explicarme y que se entienda tan “enrevesada” cosa, y por qué es como es y no de otra manera… Siento el suspense, pero no queda otra que esperar hasta el siguiente capítulo de “Eso que llamamos Lógica”, próximamente en sus pantallas…

.

NOTA IMPORTANTE

… para poder seguir el resto de la serie sin perderse.

Dije al principio del artículo que el método seguido por José Cuena para enseñarnos Lógica, dentro de su asignatura de “Metodología”, se basaba en introducir poco a poco los conceptos teóricos de lo particular a lo general, de tal modo que cada concepto explicado tuviera siempre otros conceptos en los que asentarse. En un símil del mundo de la construcción, primero definía cómo hacer un ladrillo, luego cómo construir una pared con ladrillos, luego cómo construir una habitación a base de paredes, una casa a base de habitaciones, una urbanización a base de casas…

Este método se denomina en la jerga informática “bottom-up“, de abajo arriba, de lo particular a lo general, en contraposición al método “top-down“, de arriba abajo, que funciona exactamente al revés: de lo general a lo particular. Ambos métodos funcionan, claro, pero bajo mi modestísimo punto de vista, en la enseñanza de cualquier tipo de temario se debe preferir el método “bottom-up”. Por ejemplo, antes de enseñar al niño a leer palabras completas se le enseña a leer letras individuales, y antes de leer frases, se le enseña a leer palabras. Y antes de enseñar a multiplicar, se enseña a sumar…

Todo esto puede parecer evidente, obvio, casi de Perogrullo. Pero resulta que, para lo que viene a continuación, para la exposición de los intríngulis de la Lógica, este sistema “bottom-up” puede resultar contraproducente, puede dificultar la comprensión de lo expuesto en cada momento. No es que falte nada, que no falta, está todo, todo, pero… no sé cómo decirlo, descolocado, desordenado… al menos desde cierto punto de vista.

Me he dado cuenta de ello, poco a poco, en los intensos debates^[14] que hemos mantenido Pedro, J y yo durante la revisión de los artículos de la serie. Ellos ponían pegas, porque no entendían ni las explicaciones ni los ejemplos, no porque estuvieran mal, sino porque les faltaban cosas obvias para ellos que yo (o sea, Pepe Cuena) estaba pasando por alto… Luego, al revisar el siguiente artículo, decían: “Ah!, claro, es que lo que yo echaba en falta en el artículo x, lo explicas luego en el artículo x+1, o en el x+2…“.

Disculpadme: No puedo ser mucho más preciso al respecto si no quiero destripar lo que queda de serie; sólo contaros que estos malosentendidos son debidos fundamentalmente, según mi entender, a la diferencia entre su formación (de J y de Pedro) y la mía: mientras su enorme formación es de corte marcadamente científico, la escasa mía es más bien de corte generalista: ellos echaban en falta, necesitaban para entender bien los conceptos que las cosas se expusieran de un modo diferente, mejor, en un orden diferente al que se exponen en la serie. Y hasta aquí puedo leer…

En fin, tras todos estos intensos intercambios, he modificado sustancialmente los artículos para, sin perder esa orientación “bottom-up” ni destripar nada de lo que quede ni usar nada que no haya sido explicado, ir dando al lector las armas para ir siguiendo la explicación y que no se pierda en disquisiciones que serán resueltas más adelante.

O sea: no voy a dar por sentado nada. Nada de nada. Voy a ir avanzando pasito a pasito por el proceloso mundo lógico hasta llegar a su glorioso final. Pero, por favor, creedme, ¡no os impacientéis! Cuando acabe la serie, todo lo necesario para razonar e inferir cosas a partir de otras estarán explicadas, desde lo particular a lo general, “bottom-up”. Nada faltará, el círculo estará cerrado, todo encajará.

Como si fuera una buena novela de suspense, por favor, seguid la exposición, aceptar las cosas como las iré contando y en el orden en que las iré contando, y el final seguro que os satisfará. Pero, permitidme que insista… ¡No   Os   Impacientéis!

.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Aunque hay veces que no sé yo… como decía un amigo mío sevillano, preguntado sobre el tiempo que hacía cierto día en Sevilla: “Llover, llover, lo que se dice llover… llueve. Pero llover, llover, lo que se dice llover… pues ¡no llueve! ¡Ah, qué maravillosa riqueza la del idioma español!
2. La conjunción NI, que es copulativa también, en realidad es la suma de NO y de Y, así que en realidad no es atómica.
3. Por ser 2 (estados) elevado a 3 (variables).
4. Su nombre “de guerra” es Exclusive Or, en inglés. Aunque en realidad todo el mundo se refiere a él por su abreviatura: XOR, que es como se llaman normalmente las instrucciones de ordenador que lo implementan.
5. Cualquier Cosa Falsa sería una proposición que resulte siempre falsa, como por ejemplo “Macluskey tiene menos de treinta años”… ¡quién los pillara!
6. Cualquier Cosa Verdadera sería una proposición que resulte siempre verdadera, como por ejemplo “Macluskey tiene más de treinta años.
7. Truco para descreídos: cuando hablé de circuitos eléctricos en el tercer capítulo de la serie, sí que demostré con santa paciencia todos y cada uno de los dichosos axiomas. Si vais allí y cambiáis “Cerrado” por “Verdadero”, y “Abierto” por “Falso”, y además cambiáis “En Serie” por “Y” y “En Paralelo” por “O”, pues ya lo tenéis todo demostrado.
8. Bueno, en realidad, lo que ocurre es que las estructuras matemáticas subyacentes a la Lógica Proposicional son las mismas que la de los Circuitos eléctricos.
9. … Uff ¿A ver si va a ser verdad que al final las máquinas dominarán el mundo…?
10. Con razón se conceden tan pocos préstamos.
11. En el ejemplo, Cliente Nuevo=SI; Marca de Captación>7; Saldo>X; Tipo de Cliente=1; etc, etc.
12. Que ya son ganas de molestar, con lo fácil que es lo de AND, OR, NOT…
13. Por supuesto, siempre escrito por otros, claro, faltaría más, no iba yo a hacerlo mal…
14. Y esta vez, cuando digo intensos, es que han sido intensos.

Además, como el año pasado, quiero aprovechar la ocasión para espolearos; si te aburren las estadísticas y no vas a leer el resto de la entrada, al menos salta a la conclusión y escucha el sermón que suelto, ¡estaría bueno!

Artículos

El montante de artículos publicados en El Cedazo es ya de 359 entradas, de las cuales 107 fueron publicadas durante 2011. A lo largo de este año hemos incrementado el número de artículos en un 30%, lo cual es tremendo –en parte por la juventud de la página, pero aún así–, y dice mucho del trabajo de autores y editores.

A lo largo de 2011 hemos publicado artículos un total de 24 autores, y la mayor parte del peso de la página lo han llevado unos pocos, todos ellos “veteranos” de El Cedazo; fundamentalmente J, Macluskey, chapu77 y Saul_IP. Creo que todos los autores, y especialmente estos cuatro, se merecen un beso en los morros por lo que nos han enseñado — sí, sí, ¡en los morros!

Algunos de los artículos más leídos durante 2011 tal vez os sorprendan:

1. Con 55 855 visitas en 2011 y 105 011 en total, Percepción Visual – La Psicología de la Forma, un artículo suelto de Lucas.

2. Con 28 054 visitas, Los billetes del euro, un artículo de la serie El Euro de Saul_IP.

3. Con 15 294 visitas, Física Extraña (4): La bicicleta, un artículo de la serie Física Extraña de Rantamplan (serie continuada posteriormente por J).

4. Con 11 153 visitas en 2011 y 17 570 en total, Entendiendo la declaración de la renta (II), un artículo de la serie Entendiendo… de J con la colaboración de Macluskey.

5. Con 8 657 visitas, Aviones de combate de la II Guerra Mundial (V) – Messerschmitt Bf 109, un artículo de la serie Aviones de combate de la II Guerra Mundial de zhalim.

Como véis, hay dos veteranos que siguen generando atención constante: el artículo de Lucas sobre psicología de la forma, que supera con creces a cualquier otra cosa publicada en El Cedazo en cuanto al número de visitas –a pesar de que Lucas nos ha dejado cosas muy superiores, en mi opinión, como su Eso que llamamos tiempo– y el de J sobre la declaración de la renta, ¡la pela es la pela!

Además, es un orgullo que el artículo de Mac sobre la Pasión según San Mateo haya sido incluida como enlace externo en la página de Wikipedia dedicada a esta obra. Ése es exactamente el objetivo de El Cedazo: contribuir cosas nuevas a la red, que refritos ya hay bastantes.

Visitas

Para poner las cosas en perspectiva, así fueron los datos del año antepasado: en la primera mitad de 2010 tuvimos unas 29 000 visitas mensuales, y en la segunda mitad del año 36 000. La media del año fue, por tanto, de unas 33 000 visitas mensuales.

El primer semestre de 2011 tuvimos unas 46 000 visitas mensuales, un 28% de aumento respecto al semestre anterior, y en la segunda mitad del año crecimos hasta 49 000 visitas mensuales, un crecimiento más modesto del 7% En 2011 hemos tenido una media de 47 000 visitas mensuales, es decir, el crecimiento anual es del 42%.

Aquí tenéis las visitas mensuales de El Cedazo de un par de años, terminando en diciembre:

Suscriptores

En 2010 empezamos el año con 2 082 suscriptores por RSS y correo electrónico y terminamos con unos 2410, con una media de alrededor de 2 200 suscriptores a lo largo del año. En 2011 hemos terminado con 2 869 suscriptores y una media de alrededor de 2 500, un aumento del 14% respecto al año pasado — lento pero seguro.

Os dejo una gráfica no demasiado afortunada (comprime las fechas más antiguas horizontalmente) de la evolución de los suscriptores a lo largo del tiempo, desde el comienzo de la página –lo relevante es la línea verde–:

Conclusión

Creo que seguimos por muy buen camino. A lo largo del año se han publicado unos cuantos artículos excepcionales y muchos muy buenos, además de por el excelente trabajo de los autores, por la labor incansable de J y Mac, los editores, que se merecen un segundo beso en los morros (¡en los morros!) por su trabajo de editores además de como autores.

Dicho esto, tengo que ser pesado y repetir lo que dije el año pasado por estas fechas: sigue habiendo pocos autores. Sin ustedes, señores míos, esto no funciona. Si se convierte en el cortijo de Mac y J, por mucho que ellos trabajen, no funciona. Si me pongo a escribir artículos yo, no funciona. Esto funciona porque un grupo de gente con interés y conocimiento en muchas áreas diferentes se ponen a contarse cosas unos a otros lo mejor que saben.

Es evidente que hace falta esfuerzo y tiempo para hacerlo –también es verdad que no tanto como parece al principio–, y que colaborar de manera regular como hacen chapu77, Saul_IP, J y Mac es difícil, y no hace falta que mucha gente haga eso: un grupo pequeño de autores regulares complementa estupendamente a otros esporádicos que contribuyen algo cuando tienen ocasión.

Pero nos hace falta exactamente eso: más autores esporádicos que le hinquéis el diente a esto y le cojáis gusto, aunque sólo podáis escribir un artículo cada luna o cada estación.

¡Desasnad, malditos!

Cayo Julio César (wikipedia)

Estimados lectores, agradezco a quienes aún mantienen el interés por esta serie que reconozco se está extendiendo, pero lamentablemente me es imposible continuar reduciéndola sin dejar fuera detalles jugosos. Así pues, continuemos con nuestro amigo Cayo Julio César.

En la entrega anterior vimos el final de la campaña en la Galia. Sin lugar a dudas ha sido una campaña extensa y sangrienta, pero bien le valió la pena a César, ya que le dio prestigio en Roma y se ganó el amor de sus hombres para que lucharán incondicionalmente por él.

En ésta entrega veremos a César ante una encrucijada. ¿Se rebelará a los mandatos de Roma? ¿Volverá a entrar en Roma un general con su ejército, como en su día hizo Sila? Los acontecimientos de este artículo marcarán para siempre a Roma e iniciarán el inevitable proceso del fin de la República.

Como siempre hago, aclaro que relato acontecimientos que sucedieron antes de la llegada de Cristo, por lo que las fechas mencionadas serán todas asumidas como a. C. Sólo aclararé con d. C. si algún hecho ocurrió después de Cristo.

Se derrumba el triunvirato

Habíamos dicho que en Roma, durante el año 52, las bandas que respondían a distintos partidos políticos causaban caos y desorden en la ciudad. Clodio lideraba una de las bandas, ya que quería ser procónsul (especie de gobernador). En el mismo año Clodio es asesinado en una pelea callejera por miembros de otras bandas, lo que empeoró aún más el caos en Roma. Por esto, y mientras César peleaba contra Vercingétorix, Catón el Joven, propuso en el Senado hacer de nuevo cónsul a Pompeyo. La diferencia es que en este caso él sería el único cónsul. Así fue. Pompeyo fue designado cónsul único por el Senado para poner orden entre las bandas, tarea que cumpliría muy bien. Además, le extendieron su gobernación en las provincias que ya manejaba, Hispania y África.

Pompeyo, en su rol de policía, llevó a juicio a Milón, recordemos que era el líder de la banda opositora a Clodio, también a miembros de la banda y a miembros de la banda del fallecido Clodio; esta vez no hubo ejecuciones como las hubo con el caso Catilina, sino que más bien fueron exiliados. También pasó leyes que bajaron la corrupción y la compra de candidatos en las elecciones. La cuestión era que los candidatos a cónsul u otro puesto de magistrado solían endeudarse para comprar favores, y una vez con el poder debían saldar las deudas con sus acreedores, por lo que solían exprimir a las provincias para esto. En algunos casos dejaban que los acreedores hicieran sus negocios en las mismas. Las nuevas medidas dificultaron este proceso.

Pompeyo, recordemos viudo al morir la hija de César, terminó casándose con Cornelia, hija de Quinto Metelo Escipión Násica, un optimate que odiaba a César. Cornelia era, a su vez, reciente viuda de uno de los hijos de Marco Craso: Publio Licinio Craso. Como ven, el círculo social en Roma era pequeño. Su nueva mujer acercaría a Pompeyo a los optimates, cosa que él siempre deseó y siempre le negaron por no provenir de familia patricia. Entre sus obras arquitectónicas, Pompeyo comenzó a construir un fastuoso teatro que llevaría su nombre.

Hablemos ahora un poco de Cicerón.

A la vuelta de su exilio mejoró sus relaciones con César. Pero no logró evitar que éste y Pompeyo comenzaran a distanciarse.  Los triunfos de César acrecentaron su poder y popularidad, igualando a Pompeyo en el común de la gente. En Roma, los aristócratas temían el crecimiento de César, y que rompiera con el statu quo. Muchos, incluyendo a Pompeyo, se arrepintieron de haberlo apoyado y ayudarlo a crecer. Puntualmente, Pompeyo aún creía que las victorias de César en las Galias no lo ponían a su altura como comandante, pero temía que muchos creyeran que sí, y comenzaba a celarle.

Todos contra César

Catón ve en Pompeyo al único capaz de frenar a César; además, Pompeyo no es muy hábil en el arte de la política, lo cual lo hace más manipulable.

Estamos en el año 51 y el cónsul Marco Claudio Marcelo, un optimate anti-césar, junto a Metelo Escipión Násica (el suegro de Pompeyo), Catón y varios otros optimates, lideran la coalición anti César.  El Senado en sesión decide no prorrogarle más el cargo de procónsul y adelantar el fin del mismo. Domicio Enorbarbo le reemplazaría al mando de la provincia. Luego de mucho debate decidieron esperar a que expire su proconsulado. Que sería a principios del año 50.

Pompeyo Magno (Wikipedia)

César solicitó entonces los mismos privilegios que le otorgaron a Pompeyo, es decir, poder presentarse a consulado y mientras tanto mantener sus provincias, pero los optimates se opusieron. Pompeyo no supo bien de qué lado estar, pero sí sabía que su orgullo le impedía quedar mal en Roma frente a un general rebelde de “inferior calidad”.

En complicidad con Pompeyo, los optimates piden a ambos que entreguen una legión para destinarla a la futura campaña contra los partos. Pompeyo le pide a César que entregue la legión que le había prestado tras la derrota de Cota y Sabino en la Galia. César comprende bien la maniobra: Él perdería dos legiones: la propia y la que Pompeyo le prestó; de todas formas no las entrega sin antes haberlas premiado económicamente.

César sabe que si vuelve a Roma como simple ciudadano el Senado le apresará por desacato, por romper la paz con los germanos, o le enjuiciarán por cualquier cosa que encuentren a mano. César, con el dinero de las Galias, compraba amistades haciéndose cargo de sus deudas. Uno de estos hombres es Curión quien le resultará muy útil. Curión, elegido tribuno de la plebe para el año 50, propone una ley que garantizaría a César que se haría una excepción a una ley: normalmente los aspirantes al cargo de cónsul debían presentarse en Roma. César sabía que si hacía eso, es decir, presentarse en Roma, perdería la inmunidad que le otorgaba el cargo de procónsul y sería un civil más, por ende correría entonces el riesgo de que los aristócratas anti César le intentaran enjuiciar. Ahora, esta nueva ley no lo hacía más necesario y César podría presentarse a cónsul sin necesidad de salir de su provincia Cisalpina. El propio Cicerón apoyó la moción en el Senado cuando fue presentada. Pero Catón y los anti César ardían de rabia, y la rechazaron.

Curión manda entonces a decir en Roma que César propone que tanto Pompeyo como él dejarían las armas, es decir abandonarían su cargo de comandantes de legiones, y se presentarían en Roma como simples ciudadanos y dejarían que el pueblo decidiera por votación. Esta jugada aclaraba algunas sospechas entre los ciudadanos sobre las intenciones belicosas de César y la aplaudieron con felicidad. A Pompeyo le agradaba la idea, sin embargo el Senado deseaba solamente desarmar a César y le acusaban de intentar llevar a Roma a una nueva guerra civil como la que protagonizaron Mario y Sila.

Uno de los cónsules del año 50 era otro miembro de la familia Claudia, Marcelo. Él le confirió a Pompeyo la sagrada tarea de proteger Roma, y le dieron dos legiones, las mismas dos que le habían quitado a César e iban a partir en la campaña contra los partos. Pompeyo era atraído de a poco por los optimates del Senado, pero aún no sabía por qué lado definirse. César era poderoso y podía ser un aliado útil. Por otro lado, César aún tenía una pizca de esperanza sobre Pompeyo, aunque sabía que no podía confiar plenamente en él

En el año 49 los dos cónsules elegidos son de corte aristocrático. Uno de ellos es Léntulo y nuevamente el otro es miembro de la familia Claudia y también se  llamaba Marcelo, mientras que los tribunos de la plebe son del partido de César, entre ellos Marco Antonio, quien fuera cuestor de César y recientemente participara en la campaña contra Vercingétorix.

César sabe que debe hacer todo lo posible por ser cónsul y llegar al poder máximo de forma legal. Él reconoce que ningún gobierno que llegó al poder por la fuerza se pudo sostener, por lo que planeó su nueva estrategia ante la dureza del Senado: Se trasladó al cuartel de su XIII legión en Rávena y ordenó a las legiones de las Galias más cercanas que comenzaran a movilizarse. Todavía hizo un último intento político, mandando a decir por medio de Marco Antonio y Curión que pide que hasta que haga posesión del consulado, si gana, claro está, que solamente le quede la gobernación de Iliria y el mando de dos legiones, entregando la Galia Cisalpina y la Transalpina. Recordemos que el resto de las Galias recién conquistadas no eran aún una provincia formal, sino que quedaron sometidas a la protección de Roma. Incluso más tarde rebaja sus exigencias, diciendo que entregaría su cargo y bajó su pretensión a una única legión hasta el resultado de las elecciones y no hasta el día de la fecha en el que se hiciera cargo del consulado.

Cicerón estaba de acuerdo, pues deseaba apaciguar los ánimos, y también Pompeyo. Lamentablemente, los optimates senatoriales vieron esto como una expresión de la debilidad de César, y nuevamente Léntulo, como cónsul, rechaza el pedido y ordena que César se presente y entregue el mando de las legiones. Marco Antonio, como tribuno de la plebe veta la moción.

Estamos en enero del 49. Léntulo, Catón, Metelo Escipión Násica  y otros senadores aristócratas, enfurecidos, declaran el senatus consultum ultimum, donde convocan a todos los magistrados (cónsules, procónsules, etc.) a presentarse ante Roma. Esta medida no puede ser vetada según las leyes y se usa sólo en caso extremo. La idea era exponer el desacato de César, un simple procónsul desobedeciendo al Senado. Habrase visto…

Marco Antonio, Curión y todo aquel que simpatice por César debe huir de Roma, pues su seguridad no puede ser garantizada. Todos estos marchan a Rávena a reunirse con él, quien, ya enfurecido, le comenta a su fiel tropa lo sucedido e insulta a los gobernantes de Roma y su corrupción.

No quedan ya más caminos políticos por recorrer. César, en sus escritos, dirá que no le dejaron alternativa.

Cruce del Rubicón

Hagamos una pausa y reflexionemos. César se disponía a enfrentar al Senado romano. Al legítimo Senado romano. ¿Esto fue acaso bien tomado por sus hombres? César les expuso sus argumentos y les contó cómo fue que en Roma la aristocracia senatorial echó a los tribunos de la plebe. Si bien era un acto deleznable… ¿alcanzaba? Pues bien, se cree también que el carisma personal de César, la buena relación que tenía con sus hombres luego de la durísima campaña en la Galia, sumado a la probabilidad de ser nuevamente gratificados económicamente por él, les ayudó a tomar la decisión. Los soldados sabían que los apoltronados políticos de Roma no valorarían sus esfuerzos como lo haría César.

Río Rubicón

En total, César tenía aproximadamente entre 35 y 50 mil hombres, pero estaban todos al norte de Rávena, por lo que se dispuso a llamarlos mientras daba su primer paso. Mandó una pequeña escuadra, en secreto y disfrazados, a tomar la ciudad de Ariminum, del otro lado del Río Rubicón, que marcaba la frontera entre Roma y su provincia Cisalpina. Luego, con sólo trescientos caballos y cinco mil infantes de la legión XIII, decidió cruzar el río con celeridad, así no dio tiempo en Roma a preparar una defensa. César no tenía Imperium (mando) al sur del río Rubicón por lo que no podía legalmente cruzar el río con su ejército sin autorización.

César iría con todo. Algunos dicen que dudó un rato antes de cruzar, pero de todas formas lo hizo y pronunció su famosa frase, originalmente del poeta Meandro, “Alea jacta est”, es decir, “las cartas se han echado”.

No hay vuelta atrás, al cruzar el río inmediatamente se puso en rebeldía contra el Senado de Roma.

Roma arde en confusión. Las noticias llegan y muchos inmediatamente huyen, mientras otros se quedan sin entender que sucederá. Nuevamente, al igual que hizo Sila, un general amenaza con entrar en Roma por la fuerza. La facción enemiga de César no sabe bien qué hacer. Acusan a Léntulo, recordemos cónsul de ese año, de haber sido muy duro con las propuestas del César. Acusan a Pompeyo de haberlo apoyado y se ríen de él cuando en una ocasión, en el Senado mismo, se jactó de que solamente bastaba que golpeara el piso fuerte con el pie y Roma se llenaría de tropas leales. ¿Pues y ahora, qué? Están solos, el grueso de las tropas de Pompeyo estaba en Hispania. César, como de costumbre, fue muy veloz, y Pompeyo no pudo organizar ninguna defensa. Hay que decir aquí que la Guardia Pretoriana se crearía tiempo después.

Huir de Italia

Pompeyo decidió que no podía enfrentarse a César, ni siquiera al pequeño ejército que trajo, ya que, aunque eran pocos, se trataba de veteranos curtidos. Los cónsules y algunos senadores huyen sin otra alternativa. Incluso Labieno, recordemos otrora legado de César en las campañas en la Galias y unos de sus mejores generales, le abandona para aliarse con Pompeyo a favor de la causa de la República; se cree que no fue por motivos ideológicos, sino más bien personales. Sentía celos de estar a la sombra de César. Pompeyo  organiza la retirada hacia Grecia junto con los principales enemigos de César. Entre ellos estaba Bruto, el hijo de Servilia, la amante de César,  quien dejó a un lado una rencilla con Pompeyo, pues éste ejecutó a su padre en la vieja rebelión de Lépido. Se embarcarían en el puerto de Brindisi.

César, aún en Ariminum recibió enviados de Pompeyo proponiendo evitar la guerra. César estaba de acuerdo, pero respondió que Pompeyo debía licenciar primero su ejército y entonces él haría lo mismo. Los senadores y Pompeyo rechazaron esto, ya que desconfiaban de él de la misma manera que César lo hacía de ellos. Además, César contaba con ventaja de la sorpresa y no quería perderla. La cosa quedo en nada.

A medida que avanza, los pueblos se van entregando a César sin ofrecer resistencia. Tenía prohibido a sus hombres arrasar y saquear las ciudades: César quería demostrar que él no era como Sila. César pasaría de largo de Roma y se concentraría en presionar a su enemigo que huía hacia Brindisi. Ya contaba a estas alturas con la legión XIII, XII y VIII, más 22 cohortes de reclutas de la provincia transalpina.

Léntulo, el cónsul, quiso huir con el dinero del tesoro, pero no llegó a tiempo y se dirigió a Corfinium, donde estaba Domicio Enobarbo, quien iba a reemplazar a César en la gobernación, con treinta cohortes equivalentes a tres legiones. César se dirigió allí y se dispuso a sitiar la ciudad. Domicio planeó su huida, pero sus hombres, al enterarse de esto, se entregaron pacíficamente. Domicio mismo le pidió a su médico un veneno para quitarse la vida. Una vez tomado el veneno le llegaron noticias de que César era benévolo con sus enemigos y que les perdonaba. Arrepintiéndose de haber tomado el veneno, se desespera, pero su médico le dice entonces que no se preocupara, pues le había administrado sólo un somnífero.

En el fondo, César respiró aliviado. Lo último que necesitaba era perder el tiempo en un sitio prolongado, así que podía continuar la persecución de Pompeyo.

Habiendo entonces César perdonado a Domicio y a unos 50 senadores, les habló de paz y de los motivos de su pacífica entrada en Italia. Domicio finalmente huye hacia los aristócratas, aunque sin sus tropas. El hombre seguirá molestando, como veremos más adelante. De todas formas, la gente comenzaba a calmarse al ver que César era benévolo con quienes eran sus enemigos, y no lo tomaron como un nuevo Mario o Sila, sedientos de sangre. En sólo dos meses César conquistó la península itálica y les pisaba los talones a Pompeyo y su séquito aristocrático.

Pompeyo reunió lo poco que pudo en Brindisi y embarcó su ejército a Grecia. Ya más tranquilo allí, se dirigió a Macedonia. Con ayuda de sus contactos en el este podría entrenar sus legiones y juntar provisiones para enfrentar a César.

Con el escabullimiento de Pompeyo terminó la persecución, y César volvió a Roma y se reunió con los senadores que quedaban. Habló sobre paz, unión y hermandad. Les pidió que hiciesen llegar a quienes huyeron mensajes de confraternidad. Su idea era que volvieran y poder hacer las paces, y así darle legalidad a su ascenso en el poder. Metelo, tribuno de la plebe, se le opuso hablando de ilegalidad en el proceder de César. A esto él, sacado de quicio, responde que “son épocas de guerras, y no de leyes”. A continuación mandó a romper las cerraduras que guardaban el tesoro que le negaban.

Durante este tiempo intercambió correspondencia con Cicerón para ganárselo a su bando, pero éste le respondía ambiguamente y no deseaba tomar partido alguno.

Hispania

Estamos en abril del mismo año 49. El plan de César era debilitar los puntos fuertes de Pompeyo, que se entretenía organizando sus tropas en Grecia. Es decir, atacar a sus legiones en Hispania al mando de Varrón y Lucio Afranio, que no son tan buenos comandantes pero que aún eran leales a Pompeyo. Recordemos que Pompeyo era el gobernador de aquella provincia aunque la gobernaba desde Roma. Por esto César dijo su famosa frase. “Voy a enfrentar un ejército sin general para luego enfrentar un general sin ejército”

Dejó a Marco Antonio a cargo de Roma y a Curión encargado en Sicilia de asegurar las provisiones de cereales a Roma. Se dirigió hacia Hispania con tropas cruzando por el sur de Francia con idea de entrar por el norte de Hispania. En el camino por el sur de Francia se encontró con  una resistencia en Masilia (la actual Marsella), vieja colonia griega. Peor aun, estos habían dejado que Domicio Enobarbo, un viejo conocido, ¿se acuerdan?,  organizara las defensas de la ciudad. Puso pues sitio a la ciudad y continuó el viaje hacia la península ibérica.

Marco Antonio (Wikipedia)

Ya en Hispania, luego de mucho esfuerzo, logró sitiar a los pompeyanos en Ilerda (la actual Lérida). Estos huyeron, pero serían luego capturados. La mayoría de los legionarios se pasaron a su bando. Los comandantes capturados fueron liberados, pero rompieron su palabra y huyeron de Hispania para reunirse con Pompeyo. En ese momento Masilia también capituló.

César logró el objetivo de privar a Pompeyo de sus tropas de Hispania y asegurarse el lado occidental del imperio. Ya podía concentrarse en el mismo Pompeyo.

Cómo dijimos, Curión se encargó de asegurar Sicilia de los pompeyanos, pero luego, en África y tras derrotar a algunos pompeyanos,  fue derrotado y muerto por tropas del rey númida Juba I, a quien César enfrentará más adelante.

Mientras vuelve de Masilia, César se entera de un incidente que afectó a la famosa IX legión que estaba estacionada en Piacenza. Esta legión era una veterana de las Galias, pero algunos cabecillas organizaron una sublevación. Resulta que se les adeudaba dinero de la campaña en Brindisi. Además, la inactividad de hombres rudos provoca malestar entre los mismos, sumado al hecho que César les tenía prohibido saquear la tierra italiana y hacerse del botín, ya que esta orden era parte fundamental en su política de invasión pacífica. Un cóctel feroz.

César se dirigió hacia allí y amenazó con diezmar (eliminar un hombre cada 10) la legión y luego pasarla a retiro. Los legionarios estaban horrorizados. Ante el pedido de muchos de ellos, cambió de opinión y astutamente logró que saltaran a la vista los incitadores de la rebelión. Ésta fue la primer insubordinación que sufrió, pero a partir de allí la IX legión peleó mejor que nunca.

César volvió a Roma y organizó el Senado para que le declarase dictador, con el fin de llamar a elecciones y poder gobernar luego legítimamente como cónsul. Ordenó, además, restituir los derechos cívicos de los hijos de los desterrados por Sila en aquella guerra Civil y fueron permitidos los retornos de las personas que Pompeyo extraditó en su limpieza de Roma. Adicionalmente, tomó medidas sobre las deudas de las personas.

Luego de once días de dictadura renunció a su puesto y ganó las elecciones para el año 48. Fue elegido cónsul en la Comitia Centuriata junto a Servilio Isáurico, logrando así un aire de legalidad con el fin de seguir diferenciándose de la cruel guerra civil anterior.

Mientras tanto, mantenía correspondencia con Cicerón, con quien tenía buena relación y que aún se mantenía neutral. Sin embargo, la amistad y el respeto entre ambos no gravitaron para que se pasara a su lado. Cicerón no vuelve a Roma como quería César, y se juntó finalmente con Pompeyo. Lo mismo harán otros senadores. De todas formas la mayoría de los senadores se mantuvieron neutros.

Campaña griega

Mientras esto sucedía, Pompeyo había logrado reunir 9 legiones, muchas de las cuales eran nuevas, compuestas por reclutas. Pero gracias a sus contactos en Asia había conseguido organizar bien sus suministros y conseguido dinero para la paga del ejército. Metelo Escipión le traería 2 legiones más de Siria y durante este tiempo se dedicaría a entrenarlas personalmente él mismo. Contaba con 57 años.

En enero del año 48, César, en pleno invierno, y para sorpresa de muchos, cruza  el mar Jónico desde Brindisi con 7 de sus 12 legiones, bajo la amenaza de la flota aliada de Pompeyo al mando del viejo conocido Bíbulo, quien odiaba a César. César logra desembarcar en el reino del Épiro. Las restantes legiones cruzarían luego al mando de Marco Antonio. Algunos barcos de la flota fueron capturados en el camino de vuelta, ya que Bíbulo estaba preparado, y esto mermó la línea de comunicación, con lo que César quedaría un tiempo aislado. En inferioridad numérica y logística, César se dispuso a tomar dos ciudades buscando desesperadamente alimentos. Lo logra con éxito, tomando casi todo el Épiro, por lo que se envalentona y decide tomar la principal fuente de abastecimiento de Pompeyo, Dirraquio.

Pompeyo, con el apoyo de Labieno, el ex general de César, consciente de ello, se le adelanta con sus 9 legiones y bloquea el paso. César contaba con 7 legiones y distaban de estar al máximo de sus fuerzas, por lo que se retiró.

César estaba desesperado porque llegaran los refuerzos de Marco Antonio, por lo que se hace él mismo al mar escondido como esclavo en una pequeña embarcación, sin embargo las fuertes tormentas lo mandarían de nuevo a la costa. Según Plutarco, en plena tormenta le dijo al piloto para tranquilizarle y darle ánimos, “Sigue, buen hombre, ten buen ánimo; no temas, que llevas contigo a César y su fortuna”, en alusión al buen destino que César tenía asegurado y la suerte que siempre le acompaña.

Finalizamos aquí la entrega. En la próxima veremos los enfrentamientos entre dos colosos: César y Pompeyo.

P-38 en vuelo

A finales de los años 30, tras dos décadas de paz, EEUU se había convertido en una potencia industrial sin igual. Desde que, durante la Guerra de Secesión, el norte industrial derrotara al agrario sur, la idiosincrasia estadounidense se ha centrado en la industria y la innovación como foco de riqueza. En el momento del ataque japonés a Pearl Harbor su industria bélica no está demasiado desarrollada, ya que la oposición del pueblo hacia las guerras es muy grande. Tras ese fatídico día, toda la industria se vuelca en la fabricación de maquinaria de guerra.

El día del ataque a Pearl Harbor, el 7 de Diciembre de 1941, no sólo la configuración económica cambia, sino que EEUU se ve obligado a cambiar sus tácticas navales. Tradicionalmente, la fuerza de una armada hasta esa precisa fecha siempre habían sido los enormes acorazados armados con grandes cañones balísticos, pero buena parte de los grandes acorazados estadounidenses resultan destruidos en Pearl Harbor. Los barcos más grandes que todavía conservan son los portaaviones,^[1] simples buques de apoyo con armamento muy ligero en la doctrina militar del momento.

Como un barco es algo muy complejo y extremadamente caro de fabricar, Estados Unidos se encuentra de repente privado de fuerza naval convencional, así que se ve forzado a cambiar su táctica. Los portaaviones se convierten en los buques insignia de las flotas, pero, al estar ligeramente armados, son incapaces de enfrentarse cara a cara con los acorazados japoneses. Debido a esto, se dedican a atacar con flotas de aviones desde enormes distancias mientras eluden cualquier tipo de batalla gracias a la gran velocidad que son capaces de desarrollar. Así, toda la fuerza estadounidense en el teatro del Pacífico recae en los escuadrones aéreos.

La unidad principal de estos escuadrones es el caza que nos ocupa hoy.

El P-38 tiene el honor de ser el único caza estadounidense en prestar servicio durante toda la duración de la guerra, ya que se comienza a diseñar en 1937,  en respuesta a una petición del gobierno para disponer de un interceptor rápido de gran altitud. Las especificaciones obligan a que el diseño tenga una velocidad máxima de, al menos, 580km/h y pueda ascender 20.000 pies^[2] en menos de 6 minutos.

Para la potencia de los motores de la época, esto es un desafío prácticamente inalcanzable. Considerando que es imposible que un modelo de un sólo motor pueda cumplir estas especificaciones, Lockheed propone un prototipo extremadamente raro para un caza: un bimotor con dos motores Allison V-1710 con turbocompresores que entregan una potencia máxima de 1.450cv cada uno. Los motores están situados en las alas, montados en dos minifuselajes cuyos extremos traseros se unen para formar una distintiva cola doble. El espacio para el piloto y el armamento se dispone en una góndola central, entre los dos motores y sin relación con la cola. Una cúpula transparente cubre al piloto, permitiendo una excepcional visibilidad.

Foto muy artística de un P-38 en vuelo

Pese al atrevimiento del diseño, o más probablemente a causa de él, su rendimiento resulta sorprendente, así que se encarga rápidamente la construcción del primer prototipo, que vuela por primera vez en Enero de 1939. Fabricado completamente en acero inoxidable y aluminio para reducir peso, este primer prototipo bate el record de velocidad para una aeronave militar: 720km/h.^[3] Este prototipo demuestra enseguida que el avión tiende a desviarse por efecto del torque de las hélices, con lo que en los modelos de producción se montan las hélices en contrarrotación, girando hacia afuera de la cabina para que el aire generado no desvíe la trayectoria de las balas.

En cuanto al armamento, se experimenta sobre el tablero de diseño con una combinación de ametralladoras y cañón hasta que al final queda armado en todas sus versiones de la misma forma: cuatro ametralladoras de 12.7mm y un cañón de 20mm, todo ello agrupado en el morro. Esta agrupación, al igual que sucede con el Bf 109 alemán, le permite disparar mucho más lejos que los aviones cuyo armamento está situado en las alas.

La ampliación de distancia a causa de la agrupación se debe a que las enormes balas de una ametralladora de calibre 50 como las que lleva el P-38^[4] tienen potencia suficiente para dañar un avión a más de 1.000 metros de distancia.^[5] Cuando un avión lleva las ametralladoras en las alas, éstas se apuntan para converger en un punto justo delante del morro del avión a unos 230 metros de distancia.^[6] Así, un caza con el armamento dispuesto en las alas tiene que acercarse peligrosamente a su objetivo para poder apuntarle con una cierta precisión. Este acercamiento es muy peligroso en máquinas que viajan a velocidades cercanas de los 600km/h, ya que si el objetivo impactado hace algún efecto inesperado, como tener el mal gusto de explotar durante un derribo en persecución,^[7] el piloto derribador  tiene muy poco tiempo para apartarse de una bola de piezas de metal en llamas. Mientras tanto, un P-38 que dispara en línea recta desde la nariz es capaz de ofender a su enemigo a 1.000 metros, lo que combinado con su fantástica velocidad horizontal y de ascenso, le permite derribar enemigos sin que éstos tengan siquiera la posibilidad de devolver el golpe.

Todas estas características hacen que su distintiva silueta sea la más temida por los pilotos japoneses y alemanes durante toda la guerra, granjeándose el mote de fork-tail devil.^[8]

P-38 donde se pueden apreciar los depósitos externos de combustible

Una consecuencia secundaria de la enorme potencia que los dos motores le proveen es que el avión dispone de una fantástica capacidad de carga. Un P-38 puede cargar hasta 1.450kg de bombas, con lo que algunos de ellos son modificados en el campo para poder funcionar como bombardero en horizontal y en picado.^[9] Además, en su configuración de caza puede cargar dos depósitos supletorios que aumentan su ya de por sí largo alcance hasta un rango de 5.000km, lo que resulta de una impagable utilidad en el teatro del Pacífico, donde las distancias de vuelo son enormes.

Aunque se gane su fama en el Pacífico, este avión lucha en todos los teatros de la guerra. Aunque no es una visión habitual en los cielos de Europa, una cantidad significativa de P-38 desempeñan sus tareas como escolta de bombarderos, tarea para la que están mejor adaptados que el resto de cazas debido a su gran autonomía y techo de vuelo.

Como no puede ser de otra forma, un diseño tan atrevido no está exento de problemas. Ya los primeros pilotos de pruebas reportan una potente vibración en la cola en picados a gran velocidad. Esta vibración se demuestra posteriormente muy peligrosa, ya que es producto de la compresión del aire a grandes velocidades y grandes altitudes. Este gravísimo problema evita que el aire llegue al timón de profundidad situado en la cola, la superficie de control que regula el cabeceo, con lo que el avión es incapaz de salir de un picado. Intentando saber por qué se produce este efecto, varios aviones se estrellan matando a los pilotos sin determinar nada concluyente. Pero estamos ya a principios de 1942, cuando todos los aviones fabricados son necesarios en el frente para enfrentarse a la poderosa fuerza aérea japonesa. Los primeros pilotos de P-38, al igual que los pilotos de Spitfire, aprenden a no hacer prolongados picados que les lleven a sobrepasar los 830km/h, el punto crítico en el que se empieza a producir el problema de compresibilidad a 20.000 pies.

En 1943, tras mucho batallar con el gobierno, Lockheed consigue por fin un túnel de viento y rápidamente sus ingenieros identifican el problema: es la propia aerodinámica del avión la que provoca la compresibilidad sobre el timón de cola, lo que se soluciona poniendo unos flaps adicionales accionados mediante un mecanismo hidráulico de alta velocidad, que se activan durante los picados para “romper” el efecto de compresibilidad. Sin embargo, debido a la alta demanda de producción, Lockheed no tiene tiempo material de parar la producción de su fábrica de Burbank, California, durante varios meses para introducir este cambio en el modelo productivo.

En vez de eso, se fabrican “kits” de flaps que pueden ser instalados en cualquier parte. A todos los P-38 producidos a partir de Agosto de 1943 se les instalan los flaps en la fábrica, nada más salir de la cadena de producción. Para el resto, se envían los kits a las unidades que operan los P-38 alrededor del mundo para que los mecánicos puedan modificarlos en el campo.

Las barras blancas y negras de este P-38 indican que forma parte del contingente del desembarco de Normandía

A pesar de que es un modelo que actúa en todas partes, su rendimiento es muy desigual según el ejército operador. Así, en el Pacífico funciona genial. Se convierte en el caza que más aviones japoneses derriba de toda la guerra.^[10] A pesar de que es incapaz de maniobrar más rápidamente que el ligerísimo y temido A6M Zero japonés, la combinación de su tremenda velocidad, capacidad de trepada y concentración de fuego le otorga una ventaja muy difícil de superar.

Sin embargo, en Europa se encuentra con graves dificultades. En primer lugar, por causas logísticas, la genial idea de los motores contrarrotarios para compensar el torque es desechada, y los P-38 enviados a Inglaterra sólo llevan motores que giran hacia la izquierda, haciendo que el avión tenga una clara tendencia a derivar hacia esa dirección. Además, los eficientes turbocompresores que lo habían convertido en una efectiva ave de presa a grandes altitudes son eliminados. A estas modificaciones técnicas, se le añade el bajo octanaje de la gasolina europea comparada con la estadounidense: los potentes y fiables motores Allison necesitan gasolina de altísima calidad. La pobre gasolina europea hace que su potencia sea muy baja y, además, propensos a calarse en pleno funcionamiento.

Por todos estos problemas, cuando los dos primeros prototipos son evaluados en Inglaterra, el alto mando inglés se enfada con los estadounidenses por venderles lo que consideran unidades defectuosas, cancelando de inmediato los encargos de unidades que hay pedidos.

Para agravar más aún la precaria situación de los pocos P-38 que hay operando en Europa, el avión cargado con kits de flaps para evitar la compresibilidad en los cazas que operan en Europa es derribado por un piloto de la RAF, que lo confunde con un alemán, con lo que los P-38 europeos jamás solucionaron ese gravísimo problema.

Es, en definitiva, un avión con claroscuros, pero un avión que demuestra que un diseño atrevido y desafiante tiene una gran ventaja sobre otros aviones de su tiempo, a despecho de los numerosos problemas que una idea no convencional puede acarrear. Lo cierto es que los japoneses le tenían un respeto reverencial, y lo consideraban, con diferencia, el avión más complicado de derribar de todos a los que se enfrentaron durante la Segunda Guerra Mundial.

1. Ninguno de los tres portaaviones de la flota se encontraba en Pearl Harbor ese día, lo que ofrece a los teóricos de la conspiración la posibilidad de esgrimir teorías como que el presidente Roosevelt sabía desde hacía tiempo por comunicaciones japonesas descifradas que se iba a producir un ataque, pero dejó morir a sus soldados para conseguir convencer al pueblo americano de ir a la guerra.
2. Más de 6.000 metros.
3. El record anterior lo batió en 1935 mister Howard Hughes en su H-1, tal y como cuentan en la altamente recomendada película “El Aviador”.
4. Y todos los demás cazas de la USAF.
5. Y para partir por la mitad a un hombre a más de 1.500.
6. Dependiendo del modelo va entre 90 y 300, siendo 230 el estándar habitual en la USAF y la RAF.
7. Es decir, derribar al oponente una vez puesto en su cola, con los dos aviones viajando uno detrás del otro.
8. Diablo de doble cola.
9. En picado, tras la resolución de sus problemas de compresibilidad, como se explica más adelante.
10. Este dato tiene un poco de truco: es también el avión que más tiempo lucha en ese teatro de operaciones

Dado su puesto de compositor de corte, donde dependía del favor de sus patrones para seguir subsistiendo, Boccherini tuvo al principio que “españolizar” un tanto sus maneras musicales italianas, al principio un poco forzado por la circunstancias, pero después fue abducido por la cultura y la música popular española, y así se convirtió de hecho en el máximo exponente de esa misma música española, o sea, la producida en España, de finales del Siglo XVIII.

Y una de esas obras tan españolas del toscano Boccherini es la obra de hoy: El Quinteto de Guitarra núm. 4 en re mayor, G448, conocido por su sobrenombre de “Fandango”.^[1]

Luigi Boccherini

Luigi Rodolfo Boccherini nació en Lucca, Toscana, en 1743, en una familia de artistas: su padre era músico, una hermana suya, bailarina, y su hermano, poeta y libretista para compositores como Salieri (sí, el malo de la peli “Amadeus”, cosa que en la vida real no era… malo, quiero decir) o Haydn. Luigi, en cambio, se interesó por el cello desde joven, y en principio fue conocido sobre todo como cellista. Formó parte de uno de los primeros cuartetos de cuerda estable de que se tiene noticia, interpretando obras de Haydn y también suyas, y fue saltando de ciudad en ciudad, de protector en protector y de mecenas en mecenas, buscándose la vida como todos los artistas de la época, hasta que en París conoce al embajador español en la Corte francesa, Joaquín Anastasio Pignatelli, que le convence para que se instale en Madrid, en la corte del rey Carlos III. Y a Madrid viaja a fines de 1768. Nunca dejaría España desde entonces.

Carlos III, hijo de Felipe V, fue rey de España de rebote a la muerte de su hermano Fernando VI. Fue un rey ilustrado e inteligente que había sido Rey de Nápoles antes que de España, y trajo a España un notable cambio de actitud. Cambió las finanzas, reformó las leyes (el Código Civil español de la actualidad es básicamente el de Carlos III), hizo grandes reformas en los trazados urbanos de las ciudades más importantes (en Madrid seguimos diciendo, doscientos cincuenta años después, que Carlos III ha sido el mejor alcalde de Madrid), y bajo su reinado tuvo un resurgimiento la cultura en general, aunque el rey no era, precisamente, muy amante de la música. En la Corte había ya una plantilla de músicos, muchos de ellos italianos importados desde la corte de Nápoles, que, a la llegada de Boccherini a Madrid, tomaron al músico de Lucca como un competidor más… o sea, mal.

El caso es que en 1769, con 26 años de edad, Luigi Boccherini, por casualidad, conoce al infante Luis Antonio de Borbón y Farnesio, el hermano menor del rey Carlos III, y al año siguiente es nombrado violonchelista y compositor de la capilla real del infante don Luis (virtuoso di camera e compositor di musica), con un sueldo, acorde con el puesto, de 30.000 reales, que era de los más altos de la corte, lo que indica la gran estima que don Luis le tenía, o lo buen músico que era, que es lo más lógico.

Comienza entonces la etapa de mayor producción musical del artista, sobre todo música de cámara (cuartetos y quintetos de cuerda, sobre todo), que es la música que le ha hecho famoso hoy en día.

En 1776 su protector, don Luis, contrae nupcias morganáticas^[2] con María Teresa de Vallabriga, y como consecuencia fue obligado a “retirarse” de la corte (palabra fina para decir “fue exiliado”). Tras un año dando tumbos por España, recala por fin en Arenas de San Pedro, pequeña población cerca de la Sierra de Gredos, en Ávila, a apenas ciento sesenta kilómetros de Madrid, pero para los efectos casi como si fuera en mitad del altiplano andino. Y a su “retiro” se llevó, naturalmente, a toda su corte, incluyendo a su orquesta y, claro está, a su director. Sin embargo, a pesar de su aislamiento durante siete u ocho años, Boccherini continuó en contacto con las casas editoriales más importantes, que dieron a conocer su música por toda Europa.

Curioso paralelismo con Joseph Haydn, que también pasó una buena porción de su vida aislado en el Palacio campestre de los Esterházy, en Esterháza. Hay que contar aquí que el gran auge de la música de cámara en la época, composiciones para tres, cuatro o cinco instrumentos de los que la mayoría, o todos, son de cuerda, fue la consecuencia de la educación standard del aristócrata standard del Siglo XVIII, dentro de la cual la música formaba parte importante. La gran mayoría de nobles eran amantes de la música, lo que estaba muy bien visto, y muchos de ellos eran intérpretes ellos mismos, por lo que la demanda de nuevas obras para que se interpretaran en los palacios, muchas veces por sus propios dueños, era incesante. Esto hacían los grandes editores, como Ignaz Pleyel, discípulo de Haydn y el editor parisino de Boccherini y de tantos otros: pagaban los manuscritos originales a los autores, los editaban y luego vendían las copias a las diferentes casas nobles para su interpretación en los salones de sus palacios.

Así siguieron las cosas para Luigi Boccherini, en un plácido e inspirado aburrimiento (en esta época compuso sus obras más brillantes), hasta que en 1785 falleció su esposa y, al poco tiempo, su patrón, don Luis. Así que Luigi tuvo que volver a Madrid con sus seis hijos, nuevamente a ganarse la vida, a buscarse un mecenas. Recordad que en la época clásica los músicos sólo podían ganarse bien la vida si encontraban un protector para el que trabajar: un duque, un infante, un rey, un arzobispo… sólo tras Beethoven fue posible que los músicos pudieran vivir de sus conciertos y vender su música al mejor postor. Boccherini consiguió dos nuevos mecenazgos que le permitieron sacar adelante a su familia, el de María Josefa Pimentel, marquesa de Benavente y duquesa de Osuna,^[3] y el del rey Federico Guillermo II de Prusia, gran amante de la artes y músico él mismo, en concreto cellista como el propio Boccherini, que le nombró compositor de Corte, pero sin imponerle la obligatoriedad de residir en Berlín.

.

Permitidme un pequeño off-topic, una curiosidad sobre el rey Carlos III y el abuelo de Federico Guillermo II de Prusia, también rey prusiano y con su mismo nombre: Federico Guillermo I de Prusia, apodado “El Rey Sargento”. Con ocasión de la boda de Carlos III con María Amalia de Sajonia, en 1738 (Carlos era por entonces Carlos VII de Nápoles, y María Amalia sólo tenía catorce años de edad), le regaló una pequeña marcha musical para pífanos y tambores, hay quien dice que compuesta por él mismo aunque no hay seguridad el respecto, conocida como la “Marcha de Granaderos”. A Carlos III le gustó, más por motivos sentimentales, por ser un regalo a su esposa, que musicales, y le gustaba oírla.

El matrimonio de Carlos y María Amalia era un matrimonio concertado, como casi todos los de la realeza, pero el caso es que se enamoraron perdidamente el uno de la otra y viceversa. Tras darle nada menos que trece hijos, de los que sólo siete llegaron a la edad adulta, Maria Amalia falleció en 1760, a los 36 años de edad, de tuberculosis. Carlos llegó a decir que “en 22 años de matrimonio, éste (su fallecimiento) es el único disgusto serio que me ha dado”.

A continuación podéis ver sendos retratos de los protagonistas de la historia: Carlos y Amalia.

A Carlos, la Marcha de Granaderos regalada por su tío político le recordaba siempre que la escuchaba a su querida difunta esposa,^[4] por lo que, para dar gusto al monarca, que para eso era monarca, se interpretaba cada vez que entraba o salía de Palacio… y de esta manera, de simple Marcha de Granaderos se convirtió en Marcha de Honor y, con el tiempo, en Marcha Real. En la actualidad es el himno nacional español, y ése es el motivo por el que es uno de los poquísimos himnos nacionales del mundo mundial que no tienen letra. Ninguna, pese a algunos loables esfuerzos para ponérsela.

Aún recuerdo, sonriéndome, las caras de los waterpolistas españoles cuando, tras ganar la medalla de oro en el Campeonato Mundial de Waterpolo de Fukuoka, Japón, en 2001, y tras la ceremonia de imposición de medallas, el locutor anunció por megafonía que “había un problema técnico con el sistema de reproducción de himnos”, y solicitaba amablemente, en inglés, claro, que “los propios jugadores entonaran el himno nacional”… Naturalmente, tras unos instantes de confusión (seguramente debido al endémico escaso conocimiento de la lengua de Shakespeare que tenemos los de aquí), los jugadores se arrancaron, entre visibles muestras de chufla y chirigota, con un “chunda-chunda-tachunda-chunda-chunda-chúuun….”.

Los educados y siempre protocolarios japoneses, lo mismo que los yugoslavos y rusos que compartían podio con los españoles, todos ellos se quedaron perplejos, y me imagino que todo aquel desconocedor de la circunstancia que vio aquello debió colegir que “estos españoles están locos”. Que también, pero esta vez había sus motivos.

Fin del off-topic. Volvamos a Boccherini…

.

Tras obtener estos dos nuevos patrocinios, Boccherini vivió tranquilo unos años, pero Federico Guillermo II falleció en 1797 dejando a Prusia en la bancarrota (de música sabía un rato, pero parece ser que dirigir un país no era exactamente lo suyo), y María Josefa de Benavente-Osuna dejó de ser su protectora de la noche a la mañana al año siguiente, por causas desconocidas, a lo que se unieron más desgracias personales (la muerte de su segunda esposa y de cuatro de sus seis hijos), por lo que pasó los últimos años de su vida en mala situación personal y económica, a pesar de contar durante un tiempo con el patrocinio de Lucien Bonaparte, embajador francés en la corte española.

Falleció en 1805, a los 62 años de edad. Fue enterrado en lo que es hoy la Basílica Pontificia de San Miguel, en la calle del Sacramento, en pleno barrio de los Austrias madrileño. Pero en 1927 Mussolini pidió a Miguel Primo de Rivera, a la sazón el dictador de España, retirar sus restos para ser enterrados en el panteón de hombres ilustres de su Lucca natal, donde permanecen desde entonces. Aún se puede leer en Madrid un rótulo conmemorativo de Luigi Boccherini en la casa donde vivió muchos años y donde murió, al principio de la Calle de Jesús y María, cerca de la Plaza de Tirso de Molina.

Quizá su obra más conocida sea su famoso Minuetto del Quinteto de Cuerdas, Op.11,5, muy utilizado en películas y series y tal^[5], y también la “Música Nocturna de las Calles de Madrid”, el Quinteto de Cuerda Op. 30,6.^[6]

Boccherini escribió una ingente cantidad de música, casi toda ella de cámara: 124 quintetos de cuerda, 90 cuartetos, 48 tríos… Aunque siguió en buena medida los modelos compositivos creados por Joseph Haydn para los cuartetos de cuerda, sin embargo, mientras que en la música de Haydn el cello prácticamente sólo tiene un papel acompañante, similar al continuo barroco, Boccherini dio en sus obras bastante más protagonismo al cello, pues él mismo era cellista, además un auténtico virtuoso de una maestría que pocas veces ha sido alcanzado con posterioridad, según cuentan las crónicas. En sus quintetos para dos violonchelos, forma compositiva que inventó, uno de los cellos es tratado prácticamente como un cello solista, por lo que están considerados como una suerte de concierto para cello y cuarteto de cuerda. También fue un innovador en cuanto a que fue él quien primero compuso quintetos de piano (piano y cuarteto de cuerda).

La música popular española le influyó bastante durante su prolongada estancia en España, y en muchas obras suyas se puede ver esta influencia. Por ejemplo, en sus Quintetos de Guitarra, una auténtica novedad (no sé de ningún otro Quinteto de Guitarra que no sea de Boccherini), que sólo se le hubiera podido ocurrir componer en un país donde la guitarra tiene tanta tradición como es España, pues sólo en España podía haber peticiones de tales obras.

Sin embargo, los quintetos de guitarra de Boccherini no son, por lo que se sabe, obras originales, sino que eran transcripciones de otras obras suyas para otros instrumentos que adaptó él mismo para guitarra. De los doce que compuso (de los que sólo han sobrevivido ocho hasta nuestros días), nueve provienen de quintetos de piano (para piano y cuarteto de cuerda) y los otros tres de otras obras suyas, como quintetos de flauta, para dos cellos, etc, y todos ellos conservan la misma tonalidad de la obra original.^[7] La causa de esa reescritura de la partitura de piano a guitarra tiene un origen muy noble… El Marqués de Benavente, esposo de su protectora la Duquesa de Osuna, era un consumado guitarrista. Y lo demás sigue la lógica habitual de la época: su patrón toca la guitarra, su patrón necesita obras para exhibir su habilidad ante sus cortesanos, ergo su músico protegido escribe obras para guitarra y para que su señor se luzca con ellas… en este caso ni siquiera escribió obras originales: tomó otras obras suyas y las transcribió, cambiando, por ejemplo, la parte de piano para el nuevo instrumento.

Un Quinteto de Guitarra es una composición de cámara escrita para un conjunto de cinco instrumentos, de los que cuatro de ellos son normalmente el típico cuarteto de cuerda (dos violines, una viola y un cello), y el otro es una guitarra. No es un concierto para guitarra y cuarteto de cuerda, es decir, la guitarra no tiene en general un papel preponderante en la obra, sino que es un instrumento más en la composición, que en ocasiones se trata como un instrumento puramente armónico y rítmico acompañando a la cuerda de arco, en ocasiones amalgamándose con las cuerdas para aportar su especial cualidad tímbrica, y en ocasiones, por fin, como instrumento puramente solista… Ahora bien, como en cualquier caso tiene una sonoridad completamente distinta del resto de instrumentos de cuerda frotada, la guitarra da bastante juego en el marco de la obra. Ahora lo veremos.

.

De los ocho Quintetos de Guitarra que han llegado intactos hasta nuestros días, los dos más conocidos son el número 9, “La Ritirata de Madrid”,^[8] y el número 4 “Fandango”. El resto son igualmente deliciosos, que los tengo todos en disco, pero vamos a escuchar precisamente el “Fandango”. Alguno había que elegir, y éste es especialmente bonito, pues su último movimiento es eso: un fandango que incluso necesita percusión (castañuelas, naturalmente, y sistro, una especie de antiquísima pandereta oriental) y en él se distinguen más de lo habitual esos rasgos españoles que tantas veces se encuentran en la música de Luigi Boccherini. Todos ellos fueron compuestos en algún momento de la década de los noventa del Siglo XVIII, pues en 1798, tras la pérdida del patrocinio de la Duquesa de Osuna, se los ofreció a su editor parisino, Pleyel, para su publicación. Se desconoce cuánto dinero le reportó, pero seguramente sería más bien poco.

El Quinteto “El Fandango” proviene originalmente de dos quintetos para dos cellos, donde uno de los cellos ha sido sustituido por la guitarra. Tiene tres movimientos y viene a durar en total unos diecisiete minutos. La versión que escucharemos es la de Pepe Romero a la guitarra con un Conjunto de músicos de la Academy of St. Martin in the Fields, en concreto Iona Brown y Malcolm Latchem, violines, Stephen Singles, viola, y Denis Vigay en el papel de Boccherini, digo… en el cello. Ah, y Tristan Fry a las castañuelas y el sistro, que no se me olvide. Quizá hubiera sido mejor ver a Pepe Romero y a sus compañeros divirtiéndose mientras tocan el fandango, pero, por una vez y sin que sirva de precedente, se trata de un video (en realidad son dos videos, pues la obra no cabe en uno solo) de fotos fijas de vistas del Madrid antiguo que es realmente maravilloso, o al menos a mí, madrileño de pura cepa (y de tercera o cuarta generación, que eso sí que es raro), me parece maravilloso. No es que tenga mucha calidad, claro, porque las fotos, de las que la más moderna debe ser de 1920 o así, son como son, en blanco y negro y conservadas de aquella manera, pero… ¡Ah, que delicia ver la Puerta del Sol, Cuatro Caminos, el Rastro, la Plaza de la Villa o la Plaza Mayor como estaban hace más de cien años!^[9] Además, tiene una buena calidad de sonido, y no hay problema alguno de partición, pues los dos primeros movimientos están en el primer video, y el tercero y último (que es el que propiamente contiene el fandango), en el segundo. En definitiva, una delicia de video, y una delicia de música, de la que poco hay que comentar. Es preciosa.

Veamos y oigamos ya el Quinteto de guitarra núm. 4, Fandango. He aquí el primer movimiento Pastoral:

Esta Pastoral, o pieza de temática pastoril o bucólica, muy de moda durante toda la época barroca y clásica, es un tema tranquilo y muy de virtuoso, donde la voz cantante la llevan los violines con sordina. La guitarra es casi siempre un acompañamiento del resto de instrumentos, aunque tiene también su parte solista, intercambiando papeles con violines, viola y cello.

Con los suaves acordes de la guitarra termina la pastoral en el minuto 4:35, y comienza el segundo movimiento, Allegro maestoso, en el que la guitarra apenas tiene papel solista, y en cambio lo tiene el cello, el omnipresente cello del virtuoso Boccherini. Aun llamándose Allegro maestoso, no es un movimiento tan majestuoso como podría parecer por el título. Es un movimiento amable, elegante, sencillo y muy lírico, muy “de Boccherini”, justamente famoso por la elegancia galante de sus composiciones.

El video termina, y para ver la conclusión del Quinteto, hay que cambiar de video. Veamos el tercer movimiento: Grave assai – Fandango:

Comienza con una introducción lenta (grave), con bastante protagonismo de la guitarra, introducción que se demora hasta el minuto 1:25, en que comienza el fandango propiamente dicho, con un evidente cambio de ritmo… y de alegría. Todo fandango que se precie se basa en las repeticiones del mismo tema, en lo que musicalmente se conoce como ostinato, y aquí no va a ser menos. Boccherini exige el uso de elementos de percusión (sistro y castañuelas) porque en los fandangos tradicionales eran parte indispensable de la música, para ayudar a marcar el ritmo de los danzantes, o sea, en puridad no es el Fandango un quinteto, sino un sexteto para guitarra y percusión… disfrutemos de la danza, precursora del fandango aflamencao que es hoy uno de los palos de ese españolísimo flamenco declarado recientemente Patrimonio de la Humanidad.

De momento, vemos que el protagonismo de la música la llevan los violines, con la guitarra marcando el ritmo, con rotundos rasgueos de tanto en cuando, pero en el minuto 2:30 se produce un precioso dúo de guitarra y cello, marca de la casa Boccherini… y así sigue el baile. Sobre el minuto 3:40 se producen cuatro espectaculares glissandos descendentes del cello, acompañados del repicar de la pandereta (el sistro) que merece la pena remarcar; sobre el minuto 4:40 hay un bello solo de guitarra seguido de otro de cello… Por fin en el minuto 5:30 se produce la primera intervención de la percusión tan española de las castañuelas, que ya no nos abandonarán con su repiqueteo hasta el final del fandango.

Y el fandango se acaba, y el video también. No sé qué me da más pena, si que se acabe la música o el video. Me traen tantos recuerdos las fotos…

.

No existen muchas grabaciones de los quintetos de guitarra de Boccherini, que yo sepa. La de Philips con los ocho quintetos conocidos, con el Academy of St. Martin in the Fields Ensemble y Pepe Romero, grabado entre 1978 y 1980, es quizá la primera grabación completa, y sigue siendo la referencia hoy en día. Hay algunas versiones más, y el placer de descubrirlas es una delicia… .

En Spotify sólo he encontrado una versión, para mí desconocida, del Drottningholm Baroque Ensemble y Jakob Lindberg, que también tiene allí subidos el resto de Quintetos de Guitarra, no sólo el Fandango, versión que no está nada mal. Esta versión es algo más lenta que la de Pepe Romero, tiene separados en dos cortes distintos el último movimiento, por una parte el “grave assai” y por otra el fandango propiamente dicho, donde se ahorran la pandereta, aunque no las castañuelas. Usa, además, una versión más larga del Fandango propiamente dicho, pues mientras que la versión que hemos oído en los videos dura unos seis minutos, aquí dura unos once y medio, maravilla que consiguen por el simple procedimiento de repetir prácticamente todo el fandango completo cuando llega a su final… mejor, más tiempo de disfrute. Sinceramente, desconozco quién está ejecutando la versión “original-original”, si Pepe Romero, la corta, o Jacob Lindberg, la larga. En cualquier caso, el enlace está aquí.

.

La especial sonoridad de la música de cámara, con tan pocos instrumentos en el escenario, permite distinguir muy bien la melodía de cada uno de ellos, cómo se complementan, cómo compiten unos contra otros…. Y como permite más libertad de expresión de cada participante que en una orquesta, resulta mas sutil, si se me permite la expresión, que la música sinfónica. Por eso es tan importante, en este caso, el directo. Ni el mejor stereo puede transmitir tanta sutileza.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. No hay enlace: no existe la entrada en ninguna Wikipedia, que yo haya encontrado.
2. Toma ya el palabro “morganático”: un enlace es morganático cuando se contrae entre dos personas de diferente rango social, por ejemplo un infante real con una plebeya, como era el caso, de tal modo que ninguno de los contrayentes cambia su rango social. Estaba muy, pero que muy mal visto… en la nobleza, por lo que era habitual que si un noble decidía esposar con una plebeya (o una noble con un plebeyo, tanto da) fuera ninguneado, expulsado, exiliado… Ahora ya no deben de pasar esas cosas, viendo cómo son los matrimonios de la realeza.
3. Los Duques de Osuna tenían en la época casi tanto poder y posesiones como la mismísima Corona… aunque menos que los de Alba, claro.
4. De hecho, cómo sería su amor por ella que Carlos III, rey de España viudo y con apenas 44 años, nunca se volvió a casar, cosa bastante extraña dentro de la lógica del tradicional intercambio de cromos que se traían las monarquías en la época.
5. Aunque el Minuetto de Boccherini no era la sintonía de “Érase una vez el hombre”, como dice erróneamente la Wikipedia española: en realidad esa sintonía era el Septimino de Beethoven.
6. Que desde que se usó como parte de la banda sonora de la película “Master & Commander”, protagonizada por el hierático Russel Crowe, se hizo muy popular. ¿No la has visto? Pues ahórratela: es un pestiño.
7. “Blanco amarillento”, que dirían Les Luthiers…
8. Hace mención al toque de retreta en el Palacio Real de Madrid, toque diario de corneta que, tocado a la caída de la tarde, indica el fin del día militar.
9. O sea, casi, casi cuando nació el Macluskey, estaréis pensando, ¿no, malpensados? Pues no, os equivocáis. Soy viejo, pero no tanto. Cuando nací ya había agua corriente en casa y todo, que lo sepáis.

Así que seguiré con la asignatura de Metodología de Segundo de Carrera, impartida por Don José Cuena Bartolomé en el Instituto de Informática (antes de que se convirtiera en Facultad), allá por finales del año 1973 o principios de 1974…

Entonces, tras contar teoría sobre al álgebra de Boole y de su inmediata aplicación a los Circuitos Eléctricos, Pepe Cuena entró a destripar la Teoría de Conjuntos (ésa que conocíamos malamente del Bachillerato, con sus diagramas de Venn y todo eso), pero con una orientación bastante diferente de la que habíamos visto, con una orientación muy… lógica, si se me permite la expresión. Enseguida veréis por qué digo esto…

Los conjuntos, definidos de la forma clásica, es decir, todos aquellos grupos de elementos dentro del “Conjunto Universal” que son factibles de agruparse por cualquier criterio, más las operaciones Union (+) e Intersección (·)^[2] forman un álgebra de Boole, eso es algo bastante claro. De hecho, fue este conocimiento (al que llegamos tras horas de frustrantes especulaciones, como conté en el primer artículo de la serie) el que nos libró de ser ingresados en un frenopático cuando nos enfrentamos por vez primera con el álgebra de Boole, así que lo dábamos por descontado.

Dos conjuntos típicos en un Diagrama de Venn

Para los que tengáis un poco oxidados los conjuntos, aquí tenéis un par de ellos para vuestro uso y disfrute, A (azul) y B (rojo), inmersos en un “Conjunto Universal” verde que te quiero verde…

La intersección entre A y B es la parte gris rayada; la unión entre A y B es… lo que no es verde; el complementario de A es lo que le falta para ser el Universal, es decir, lo que no es azul (y el complementario de B, lo que no es rojo), etc, etc. Para fijar ideas, suponer, por ejemplo, que el conjunto A son “los rubios” y el conjunto B, “los que tienen más de cincuenta años“, y rápidamente podéis poner cara y ojos a cada uno de los grupitos que aparecen en el dibujo…

También os acordaréis de que un conjunto puede contener a otro. Por ejemplo, el conjunto de los europeos contiene al conjunto de los españoles, y a su vez el conjunto de los españoles está contenido en el conjunto de los europeos, y decimos que “los españoles” son un subconjunto de “los europeos”… Hasta aquí no creo que haya descubierto nada nuevo.

Entremos, pues, en materia:

.

Es evidente que, lidiando con conjuntos:

1- Las dos operaciones (+,·, es decir, Unión e Intersección) son conmutativas.

2- Existe un elemento neutro para cada operación: el Conjunto Vacío, o 0, para la unión (+) y el Conjunto Universal, o 1, para la intersección (·).

3- Ambas operaciones cumplen la propiedad distributiva respecto de la otra ( A·(B+C) = A·B+A·C; y A+(B·C) = (A+B)·(A+C) ).

4- Todo Conjunto A tiene su complementario A’ tal que A+A’=1 y A·A’=0, es decir, el Conjunto A’ es el Universal menos el propio conjunto A.

Así que no queda la menor duda de que los conjuntos, con la Unión y la Intersección, forman un álgebra de Boole.

.

En teoría de conjuntos, una cierta información aplicada a un cierto conjunto permite determinar un subconjunto de él. Por ejemplo, si tenemos el conjunto de todas las ovejas de un rebaño, aplicando una cierta información, un cierto atributo de ellas (el de ser negras, por ejemplo) define un subconjunto del anterior, el que forman las ovejas negras del rebaño, o sea, aquellas ovejas que, perteneciendo al rebaño, son negras, es decir, aquellas ovejas en las que se cumple que la frase “ser negra” es verdadera.^[3]

Como no todas las ovejas del rebaño son negras (o sí, quién sabe, pero en principio esto es irrelevante), se define la relación “Estar contenido en” () por la que denotamos que todos los elementos de un determinado conjunto pertenecen también a otro conjunto de rango superior. Así, el conjunto de las ovejas negras de un rebaño está contenido en el conjunto de todas las ovejas del rebaño. No hay mucha ciencia en esto…

Estrictamente, un conjunto A es contenido por uno B () cuando todos los elementos de A están también en B, pero el conjunto B puede tener más elementos que no estén contenidos en A… o no, en cuyo caso A y B serían iguales (). En este caso, tanto A contiene a B como B contiene a A.

Si os acordáis del segundo artículo de la serie (dedicado sobre todo a definir la Forma Normal Disyuntiva), comenzaba explicando en él qué era la relación “ser menor o igual que”: (que se definía como ), y cómo esta relación “menor o igual que” definía en un álgebra de Boole una relación de orden parcial. Pues bien, tratándose de conjuntos, la relación “es contenido por” es equivalente a la relación , y, por tanto, es también de orden parcial.

Como consecuencia, sólo queda decir que es lo mismo que decir que . O sea, en español corriente, que si un conjunto A está contenido en otro conjunto B, entonces la intersección de A con el complementario de B es el conjunto vacío.

Y… no pongáis caras raras, que es evidente. Echad una ojeada al siguiente dibujo (que ya salió antes en la serie), y lo entenderéis.

Una Relación de orden en Conjuntos

Si A está contenido en B, entonces la intersección de A (la zona azul) con el complementario de B (B’, o sea, la zona gris) es el conjunto vacío, pues no comparten ni un solo elemento… Fácil.

.

Bien, con esto, ya tenemos todo lo que necesitamos para operar con conjuntos. Porque al saber que el álgebra de conjuntos es un álgebra de Boole, sabemos que en la relación de orden se cumple la propiedad transitiva, es decir, si y , entonces … y eso nos lleva probablemente a entender de una forma nueva^[4] las implicaciones de la teoría de conjuntos… Veamos un ejemplo.

Supongamos que tenemos una serie de afirmaciones que se suponen ciertas referidas a un cierto entorno, un país, pueblo… o a toda la humanidad, tanto da:

1 – Un hombre que no es feliz no es dueño de sí mismo.

2 – Todo hombre casado tiene responsabilidades.

3 – Todo hombre, o bien está casado o es dueño de sí mismo o ambas cosas.

4 – Ningún hombre con responsabilidades puede pescar todos los días.

¿Qué podemos decir de esta comunidad de vecinos, aplicando lo que sabemos de teoría de conjuntos y del álgebra de Boole?

.

En primer lugar, consideramos como Conjunto Universal el que engloba a todos los hombres de ese entorno al que se refiere el enunciado (país, ciudad, continente…) y definimos luego una serie de conjuntos (todos ellos obviamente contenidos en ese Conjunto Universal) que definimos según la propiedad o propiedades definidas por las frases. En una palabra, cada afirmación está definiendo de forma implícita un subconjunto del Conjunto Universal… y estos subconjuntos son los siguientes (en todos los casos, x representa a un hombre perteneciente al Conjunto Universal):

Conjunto F: x es feliz.

Conjunto D: x es dueño de sí mismo.

Conjunto C: x está casado.

Conjunto R: x tiene responsabilidades.

Conjunto P: x puede pescar todos los días.

Si no supiéramos nada más, si no conociéramos las relaciones entre estos subconjuntos, esto podríamos representarlo, grosso modo, de la siguiente manera (siendo el conjunto H de todos los hombres, el Universal):

Posibles Conjuntos y Subconjuntos de H

Cualquier representación sería factible, claro. Pero es que en realidad sí que tenemos información adicional que nos ayuda a establecer determinadas relaciones entre esos conjuntos… veamos cómo:

1 – Un hombre que no es feliz no es dueño de sí mismo: Esta frase podemos expresarla como que el conjunto de de los “no felices” está contenido en el conjunto de los “no dueños de sí mismos”, y lo representamos como , pero también como , pues al complementar ambos términos de la ecuación cambia el signo de la relación, o sea, el orden.

Traduciendo esta afirmación, , al español corriente, lo que significa es que el conjunto de los Dueños de sí mismos está contenido en el de los Felices, es decir, los dueños de sí mismos son felices, cosa implícita en la frase del enunciado (de hecho es, estrictamente, la misma frase, pues contiene la misma información), pero que no es, ni mucho menos, tan evidente.

Si os acordáis del segundo artículo de la serie, cuando entonces . Pues esa propiedad es la que hemos usado aquí para “dar la vuelta a la tortilla” a la frase.

Por tanto, de la imagen genérica que teníamos antes, ya podemos decir algo más sobre este par de conjuntos en particular. A continuación, una representación de estos dos conjuntos (subconjuntos del Universal H, en realidad) tal como son uno respecto del otro: F contiene a D.

Los Felices y los Dueños de sí mismos.

Sigamos con el resto de enunciados:

2 – Todo hombre casado tiene responsabilidades. Es decir: , pero también , por la misma razón que antes.

3 – Todo hombre, o bien está casado o es dueño de sí mismo o ambas cosas. En una palabra:, pues la unión entre los conjuntos C (los casados) y D (los dueños de sí mismos) abarca a todos los hombres. Por lo tanto, siendo H el universal, podemos reescribir la ecuación como … o , que, como sabéis, es lo mismo.^[5]

Sí, es así, es lógico: si C y D cubren conjuntamente todo el Universal, el H, podemos decir que todos los hombres (elementos del conjunto universal) pueden estar en una de estas tres situaciones, y sólo en una: pertenecen a C, pero no a D; pertenecen a D, pero no a C; o bien pertenecen simultáneamente a C y a D. No hay nadie que esté en C’·D’. El siguiente diagrama lo ilustra, siendo la parte marcada en turquesa la intersección de ambos conjuntos C y D.

Los Casados y los Dueños de Sí mismos.

Luego la intersección de los complementarios de cada conjunto (C’ y D’) es el conjunto vacío. ¿Sí?

Bien, entonces tenemos que . Si recordamos la definición de la relación de orden parcial “Es Contenido” (), sabíamos que . Luego el hecho de que sea quiere decir, simultáneamente, dos cosas:

Una: que . Dos: que .

No os hagáis cruces, que es algo evidente: si lo hacemos ahora al revés, vemos que la relación implica que . Pero también la relación implica que , que es lo mismo. Luego ambas relaciones de inclusión son válidas. Echad un ojo al diagrama de más arriba para entenderlo, si aún os quedan dudas.

Por tanto, el tercer enunciado podemos descomponerlo en dos ecuaciones independientes: y (que, por cierto, son cada una de ellas la complementación de la otra).

4 – Ningún hombre con responsabilidades puede pescar todos los días. Es decir:  (los que tienen responsabilidades son un subconjunto de los que no pescan cada día), y también  (los que pescan cada día no tienen responsabilidades).

Si ahora empezamos a ir tomando los enunciados, y aplicando la propiedad transitiva inherente a la relación de orden , tenemos que:

De (4) y  (2), tenemos que : Los que pescan no están casados.

De la anterior y  (3), tenemos que : Los que pescan son dueños de sí mismos.

De la anterior y (1), tenemos que : Los que pescan son felices.

Bueno, ¡tampoco es tanta sorpresa!

Con todo este conocimiento podríamos representar todos estos conjuntos, por ejemplo, mediante la imagen siguiente:

Configuración final de los diversos conjuntos

Donde los que pescan son el grupo amarillo que, ni están casados, ni tienen responsabilidades, pero sí que son dueños de sí mismos y felices; el grupo de los que tienen responsabilidades son todos los casados más el grupito azul claro, que sí son dueños de sí mismos y, por tanto, felices, pero no están casados. El grupo de los felices son todos los dueños de si mismos más la franja roja (están casados, y no son dueños de sí mismos)… en fin, creo que es suficiente.

.

Igual esta ristra de ecuaciones os ha dejado temblando… porque he hecho una serie de conversiones y operaciones que quizá os hayan sorprendido, puesto que estamos hablando de casados, de gente que pesca y de los que son felices o no, y no estamos acostumbrados en absoluto a pensar en conjuntos de personas en términos algebraicos. Y llega entonces el tándem Cuena-Macluskey y se lía a poner ecuación tras ecuación…

Lo que he hecho han sido, en realidad, tres pasos, a saber:

Primero: He convertido los enunciados del problema a ecuaciones algebraicas (de álgebra de Boole, pero algebraicas, al fin).

Segundo: He operado con las ecuaciones, simplificado, etc, aplicando las reglas que conocemos para el álgebra correspondiente hasta llegar a un resultado (o varios parciales, tanto da).

Tercero: He “traducido” el resultado o resultados parciales nuevamente a lenguaje cotidiano: Los que pescan son felices, por ejemplo. Hala.

Y todo esto es una forma de proceder bastante extraña.

.

¡Un momento! ¿Seguro que ésta es una forma extraña de proceder? ¿Seguro? Pongamos otro problema diferente:

“Pepito tiene diez caramelos. Le da tres a su hermana. ¿Cuántos caramelos tiene ahora Pepito?“.

¿Qué hacemos para resolver este singular y dificilísimo problema de Quinto de Carrera?

Primero: Convertimos el enunciado del problema a ecuaciones algebraicas (de álgebra numérica “normal”). Decimos que , siendo x el número de caramelos de Pepito antes de la dádiva a su hermana, y que , siendo y el número de caramelos que le quedan a Pepito al final y 3, los caramelos que intervienen en la transacción.

Segundo: Operamos con las ecuaciones, simplificando, etc, hasta llegar a un resultado (o varios parciales, tanto da). Aquí, diremos que . El resultado final buscado es .

Tercero: Traducimos el resultado nuevamente a lenguaje cotidiano. Los caramelos que le quedan a Pepito son 7. Hala.

Luego… ¿Qué he hecho yo en el problema de los felices y los casados que no pescan que sea distinto a lo que hacemos normalmente para resolver problemas de cualquier tipo…? Nada. Nada de nada. Únicamente he usado álgebra de Boole en lugar de la “normal”, pero el método utilizado es ni más ni menos que el de toda la vida.

Espero que esta diatriba os haya tranquilizado. Un poco, al menos.

.

Llegados a este punto en el que ya no estamos seguros de que si somos felices es porque pescamos o que si nos casamos es porque no sabemos lo que hacemos, vamos a hablar de las ecuaciones booleanas y las cosas que les pasan que son de utilidad para nosotros.

En primer lugar, cualquier ecuación puede reducirse a una equivalente en que el segundo miembro es nulo.^[6] Así, se reduce simplemente a , es obvio, pero ¿qué hacemos con la igualdad, ?

Pues es, simultáneamente, y . La primera da origen a que , mientras que la segunda da origen a que .

Sumamos miembro a miembro, y tenemos que .

O sea, podemos sustituir por .

Además, y como acabamos de observar, podemos reducir cualquier sistema de ecuaciones booleanas a un única ecuación (lo acabamos de hacer, de hecho, en el ejemplo). Si tenemos un par de ecuaciones del tipo y (como acabamos de ver, toda ecuación puede reducirse a una igualdad con el segundo miembro igual a cero), podemos concluir que .

Por si quedan dudas, tomamos la primera ecuación, , y sumamos la identidad a cada miembro, lo que nos deja . Pero B es cero, así que .

Por cierto, el sistema es dual, como casi todo en álgebra de Boole: si las ecuaciones fueran y , entonces podríamos reducirlas a .

Este procedimiento puede generalizarse para cualquier número de ecuaciones, por lo que es evidente que efectivamente es posible reducir cualquier sistema de ecuaciones booleanas a una única ecuación.

Lo que sí puede ocurrir es que un sistema de ecuaciones booleanas sea inconsistente, es decir, que no haya ningún valor posible de sus variables que cumpla todas las restricciones. Esto se puede ver fácilmente al reducir el sistema de ecuaciones original a una sola ecuación y luego aplicar reducciones… por ejemplo, el sistema de estas tres ecuaciones es inconsistente: ; ; . No voy a decir por qué, para no estropearos el placer de descubrirlo vosotros mismos…

Y si os quedáis con ganitas de más, intentad demostrar si es inconsistente o no el sistema de tres ecuaciones booleanas siguiente: ; ; .

.

Sigrid de Thule: el amor platónico del Capitán Trueno

Veamos ahora un ejemplo muy característico, en forma de acertijo de tipo de los que podéis encontrar en los dominicales, debajo del crucigrama y al lado del Sudoku. Dice así:

“Del mítico reino de Thule no se sabe nada… ha estado sumido en la bruma del misterio años y años. Y más años. De hecho, sólo se sabe que su princesa Sigrid era el gran amor (platónico, desde luego) del Capitán Trueno cuyos tebeos^[7] tanto leí en mi infancia…

“Pero cuatro thulianos, de turismo en un barco, naufragan frente a las costas de Galicia y, antes de perecer ahogados, dan alguna información sobre el reino de Thule. Esto es lo que cuentan:

“El náufrago número 1 dice que “En el reino de Thule todo el mundo que lleva pluma roja, o está casado o tiene perro o ambas cosas”, y a continuación expira con expresión beatífica.

“El náufrago número 2 asegura que “En el reino de Thule no hay ningún casado que no lleve pluma roja, a menos que sea brujo”, e inmediatamente fallece plácidamente.

“El náufrago número 3 afirma que “Todos los thulianos propietarios de perro que llevan pluma roja están casados”, y muere tranquilamente al instante.

“Por fin, el náufrago número 4, entre estertores, asevera que “No hay brujos en Thule”, y exhala su último suspiro con una sonrisa en su faz.

“¿Qué información nos han dado, en realidad, los cuatro náufragos?”

¿?

No, no me preguntéis por qué razón cuatro honrados y felices ciudadanos del mismísimo y misterioso reino de Thule, en su última hora, dan una información tan idiota. Es lo que tienen los acertijos booleanos…

Vamos con las ecuaciones que descifran los cuatro mensajes, teniendo en cuenta que los conjuntos básicos que aparecen en las declaraciones de los thulianos son:

R: x lleva una pluma roja.

P: x es propietario de un perro.

C: x está casado.

B: x es brujo.

1 – En el reino de Thule todo el mundo que lleva pluma roja, o está casado o tiene perro o ambas cosas, que se representa como , o sea, , o sea, (por la Ley de De Morgan).

2 – En el reino de Thule no hay ningún casado que no lleve pluma roja, a menos que sea brujo, lo que se representa como , es decir, .

3 – Todos los thulianos propietarios de perro que llevan pluma roja están casados, que se representa como , o lo que es lo mismo, .

4 – No hay brujos en Thule, que se representa (y ésta sí que es fácil) como .

.

Espero que, hasta aquí, no haya habido problema para entender de dónde salen estas ecuaciones.

Ahora sumamos todos los primeros miembros y los segundos, que obviamente darán 0, y tenemos que: .

Ahora se trata de simplificar un poco, a ver qué sale. Reordenando:

Ahora, los dos términos centrales podemos sustituirlos por , dado que sabemos que y por consiguiente y entonces . Por tanto, reordenando, queda:

;  sacando factor común (por la propiedad distributiva) , queda:

, y como , queda finalmente:

.

Ahora, en base a los términos de la ecuación, e igualando a cero cada uno de ellos (todos ellos son cero; si no, recordad, no podrían sumar cero)^[8] calculamos las relaciones “contenido por” (). Como , podemos inferir que:

, luego ; por otra parte , luego ; y por fin, .

De las dos primeras deducimos que C contiene a R, pero también que R contiene a C… ergo . Así que podemos por fin informar a nuestros superiores que:

, es decir, traduciendo de nuevo al lenguaje cotidiano, todos los casados de Thule y sólo los casados llevan pluma roja, y

, o sea, no hay brujos en Thule. Ésta es, en definitiva, la información obtenida de los cuatro náufragos.

Supongo que os habéis dado cuenta de que, dado que una de las premisas es que “no hay Brujos en Thule“, es decir, , bien podía haber eliminado de antemano esa B de las ecuaciones donde aparece sumando, puesto que vale 0… Sí. Podía haberlo hecho, pero si no lo he eliminado ha sido para realizar la demostración en su caso general. En cualquier caso, podéis rehacer, si queréis, el razonamiento eliminando donde proceda ese B que es 0… y os dará exactamente lo mismo. Al menos, debería dar lo mismo.

.

¿Dolor de cabeza? Psé, tampoco es para tanto, de veras. Si os han quedado ganas de más, ahí va un clásico, que no voy a resolver para no estropear el disfrute:

“En un tren viajan tres empleados de ferrocarriles, el jefe de tren, el maquinista y el camarero, de nombres White, Black y Brown, aunque no necesariamente en ese orden, y viajan también tres viajeros que tienen los mismos nombres, White, Black y Brown. Tenemos además los siguientes datos sobre ellos:

“El viajero Black vive en Washington, pero el camarero vive a mitad de camino entre Washington y New York, mientras que el viajero que se llama igual que el camarero vive en New York. El viajero Brown gana doscientos mil dólares justos al año. El empleado de ferrocarriles de nombre White gana siempre al ajedrez al jefe del tren. Uno de los viajeros es vecino del camarero y gana exactamente, hasta el último céntimo, el triple que él.

Y la pregunta es… ¿Cómo se llama el maquinista?”^[9]

.

Hasta aquí esta visión de la teoría de conjuntos con un poco de… lógica. En el próximo episodio de la serie entraré, de una santa vez, de la mano de Don José, en el Cálculo Proposicional. Pero… antes simplista que incomprensible, ¡eh! Hasta la próxima.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Se suponía en aquellos lejanos tiempos que igual nos tendríamos que dedicar al diseño de hardware, así que se contaban todas estas cosas; en la realidad, el 95% o más de nosotros nos dedicamos al software.
2. Aviso: Usaré siempre + y · en vez de y .
3. Ovejas negras: la intersección entre “las ovejas” y “las cosas que son negras”… o algo así.
4. Bueno, igual no.
5. Aplicando la Ley de De Morgan.
6. No sólo en las ecuaciones booleanas; es obvio que en las algebraicas “normales” también.
7. Aún no sabíamos que se llamaban comics.
8. En álgebra de Boole, para que una suma de términos a+b+…c dé 0 es necesario que cada uno de los sumandos, a, b…c, sea 0, es decir, el conjunto vacío si hablamos de Conjuntos. Obviamente esto no es ni mucho menos cierto en álgebra numérica “normal”, pero sí en la de Boole.
9. Aunque yo conozco el acertijo desde hace más de cuarenta años, incluso mucho antes de estudiar lógica, es relativamente fácil encontrar el acertijo y su solución en la Red. No lo hagáis: con un poquito de paciencia se resuelve bien, y es muy agradecido de resolver… ¡y siempre podéis torturar a algún amigo o pariente con el dichoso maquinista!