Mathematik http://der-ketzer.com/blogcito/mathe Donde los tontos creemos que sabemos algo Mon, 25 May 2009 01:06:32 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0 ¿Integral? http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/05/24/%c2%bfintegral/ http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/05/24/%c2%bfintegral/#comments Mon, 25 May 2009 00:34:45 +0000 Der Ketzer http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/?p=74 Otra de esas integrales fáciles (después de Sistemas Dinámicos, creo que todas las integrales son ya fáciles hehehe)

\int 4\sqrt x dx = 4 \int \sqrt x dx = 4 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 4*\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + c = \frac{8}{3} \sqrt {x^3}+c

\int \frac{4}{x^3} dx = 4\int x^{-3} = 4*\frac{1}{-2} *x^-2 +c = \frac{-2}{x^2} +c

\int \frac{9x^2+5x-2}{\sqrt x} dx = \int \frac{9x^2}{\sqrt x} dx + \int \frac{5x}{\sqrt x} dx - \int \frac{2}{\sqrt x} dx

Si me equivoqué me avisan :)

]]> http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/05/24/%c2%bfintegral/feed/ 0 PE – Problema 235 http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/03/06/pe-problema-235/ http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/03/06/pe-problema-235/#comments Sat, 07 Mar 2009 05:23:19 +0000 Der Ketzer http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/?p=53 Vine a escribir el problema aquí, porque allá se ve simplemente HORRIBLE…

Sea la progresión geométrica u(k) = (900-3k)r^{k-1}

Siendo S(n) = \displaystyle \sum_{k=1}^n u(k)

Hallar el valor de r tal que S(5000) = -600,000,000,000

Pues recordando mi curso de Matemáticas discretas llegué a la siguiente conclusión:

\displaystyle \sum_{k=1}^n u(k) = \displaystyle \sum_{k=1}^n (900-3k)r^{k-1} = \displaystyle \sum_{k=1}^n 900r^{k-1}-3kr^{k-1}

Por lo tanto lo podemos separar en dos sumas y despues restarlas. Por nuestro curso (hehe) de Mathes discretas sabemos lo siguiente:

\displaystyle \sum_{k=1}^n 900r^{k-1} \equiv (1-r)\displaystyle \sum_{k=1}^n 900r^{k-1} = 900-900r^n

\implies \displaystyle \sum_{k=1}^n 900r^{k-1} = \frac{900-900r^n}{1-r} = 900 \left [ \frac{r^n-1}{r-1} \right ]

Por el otro lado, tenemos la seguna parte de la sumatoria que nos da:

\displaystyle \sum_{k=1}^n 3kr^{k-1} = 3\displaystyle \sum_{k=1}^n kr^{k-1}

También por nuestro curso de Mathes discretas al ver la fórmula de la sumatoria kr^{k-1} nos damos cuanta que no es otra cosa mas que una derivada r^k\frac{d}{dk} = kr^{k-1}

Asi que concluimos la siguiente derivada de nuestra progresión:

3\displaystyle \sum_{k=1}^n kr^{k-1} = 3 \left [ \frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2} - \frac{(n+1)r^n}{1-r} \right ]

Al juntar todo obtenemos

\displaystyle \sum_{k=1}^n u(k) = 900 \left [ \frac{1- r^n}{1-r} \right ] - 3 \left [ \frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}\right ] - 3\left [ \frac{(n+1)r^n}{1-r} \right ]

= 900 \left [ \frac{1- r^n}{1-r} \right ] - 3\left [ \frac{(n+1)r^n}{1-r} \right ] - 3 \left [ \frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}\right ]

= \left [ \frac{900-900 r^n - 3(n+1)r^n}{1-r} \right ] - 3 \left [ \frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}\right ]

= \left [ \frac{900-900 r^n - 3nr^n+3r^n}{1-r} \right ] - 3 \left [ \frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}\right ]

= \left [ \frac{900-897 r^n - 3nr^n}{1-r} \right ] - 3 \left [ \frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}\right ]

= \left [ \frac{900-(897 - 3n)r^n}{1-r} \right ] - 3 \left [ \frac{1-r ^{n-1}}{(1-r)^2}\right ]

= \frac{900 (1- r^n)(1-r)}{(1-r)^2} - \frac{3(1-r ^{n-1})}{(1-r)^2} - \frac{3 (n+1) r^n (1-r)}{(1-r)^2}

= \frac{900 (1- r^n)(1-r) - 3(1-r ^{n-1}) - 3 (n+1) r^n (1-r)}{(1-r)^2}

= \frac{900-900r-900r^n+900r^{n+1}-3+3r^{n-1} -3r^nn+3r^{n+1}n-3r^n+3r^{n+1}}{(1-r)^2}

De ahí concluimos sustituyendo que:

-600,000,000,000 =

\frac{900-900r-900r^{5000}+900r^{5001}-3+3r^{4999} -3r^{5000} 5000+3r^{5001}5000-3r^{5000}+3r^{5001}}{(1-r)^2}

A partir de aquí tenemos varias opciones…

  1. Vamos a Linux, instalamos maple y le decimos solucionar
  2. Traemos la TI y la intentamos resolver (personalmente no creo que la capacidad de la TI pueda hacerlo)
  3. Programamos algo que resuelva eso. ¿Cómo? Pues mi primera aproximación sería por Métodos numéricos creo que se llama, no lo sé, pero mi idea es buscar de k=1 \to \infty hasta que encontrar un n que sea mayor a nuestro valor buscado, por lo tanto tomando n-1 empezamos por los decimales, ya que únicamente requieren 12 decimales, seria una busqueda de 10^{12} = 1,000,000,000,000 opciones, worst-case, que en realidad creo es mas rápido.
]]> http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/03/06/pe-problema-235/feed/ 2 PF – Problema 14 http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/03/06/pf-problema-14/ http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/03/06/pf-problema-14/#comments Sat, 07 Mar 2009 04:34:57 +0000 Der Ketzer http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/?p=41 \left ( \frac{x+y}{2} \right ) ^n \leq \frac{x^n+y^n}{2}

]]> http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/03/06/pf-problema-14/feed/ 0 Sigue la ayuda http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/02/22/sigue-la-ayuda/ http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/02/22/sigue-la-ayuda/#comments Mon, 23 Feb 2009 02:44:34 +0000 Der Ketzer http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/?p=30 No sé en verdad donde preguntan esto… Será en la primaria hahahaha… Pero una manita nunca es mala hehehe…

r^2+8 \geq 5 pues simplemente restamos 8 y tenemos r^2 \geq -3 y bueno, de ahí ya sabemos la respuesta, sea r \in \mathbb{R} \vee r \in \mathbb{C}, r \geq \sqrt{3}i

]]> http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/02/22/sigue-la-ayuda/feed/ 0 Integral ociosa http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/02/16/integral-ociosa/ http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/02/16/integral-ociosa/#comments Tue, 17 Feb 2009 03:22:59 +0000 Der Ketzer http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/?p=21 Hace poco me preguntaron: ¿Cuál es la integral siguiente?:

\int{\frac{ t^{3}}{ \sqrt{ (a^4 + t^4)}},{dt}}

Y bueno… Después de pensar un rato… Mi solución fue esta:

Tomando a v=t^{4} y {dv}=4t^{3}{dt} por lo que \frac{dv}{4}=t^{3}{dt} tenemos entonces sustituyendo \int{\frac{ dv}{4 \sqrt{ (a^4 + v)}}}.

Si sacamos \frac{1}{2} nos queda entonces \frac{1}{2}\int{\frac{ dv}{2 \sqrt{ (a^4 + v)}}}.

Sabiendo que \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Por lo que concluimos que \frac{1}{2}\int{\frac{ dv}{2 \sqrt{ (a^4 + v)}}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^4+v}.

Y eso evidentemente es volviendo a sustituir \frac{1}{2}\sqrt{a^4+v}=\frac{ \sqrt{a^4+t^4}}{2}

]]> http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/02/16/integral-ociosa/feed/ 0 PF – Problema 49 {qed} http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/02/14/pierre-fermat-problema-49/ http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/2009/02/14/pierre-fermat-problema-49/#comments Sun, 15 Feb 2009 04:02:00 +0000 Der Ketzer http://der-ketzer.com/blogcito/mathe/?p=8 Demostrar que \frac{1}{3}<ln(1.5)<\frac{1}{2}

Bueno pues la idea es la siguiente: Si tengo a<b<c sabemos por leyes de ordenamiento que a<b y b<c entonces a<c, de acuerdo? Así que basta con demostrar que a<b<c se cumple si a<b y b<c.

Así que e^{\frac{1}{3}}<\frac{3}{2} \wedge \frac{3}{2}<e^{\frac{1}{2}} en otras palabras que \sqrt[3]{e}<\frac{3}{2} \wedge \frac{3}{2}<\sqrt{e}.

Ahora bien, tomando un valor aproximado de e como 2.72 (que me imagino nos lo sabemos de memoria) tenemos asi que \sqrt[3]{2.72}<\frac{3}{2} \wedge \frac{3}{2}<\sqrt{2.72}.

Sacamos el cubo y el cuadrado, respectivamente, de ambas ecuaciones y tenemos 2.72<\frac{27}{8} \wedge \frac{9}{4}<2.72.

Si hacemos las simples divisiones de los quebrados tenemos 2.72<3.375 \wedge 2.25<2.72.

Por lo que queda demostrado :)

Yo sé, posiblemente no es una demostración así woao que elegante, pero el concurso es de opción múltiple, sin calculadora y la meta es responder todos los problemas sin demostración. La demostración es la segunda fase, pero como no creo pasar ni del Kinder, no me preocupa hehe.

Saludos

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Para esto tengo dos ideas, primero saber cual es la suma de la sumatoria y por el otro lado se me ocurrió separar la suma, considerando que el resultado es un entero, ya sea par o impar, y de ahí desarrollar todo hasta llegar a una contradicción. Lo que nos daría lo siguiente (el problema es que llego a un problema hehehe, ya veremos cual).

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