Ingeniería civil

Estado de deformación

2009-02-09T03:53:00.000-08:00

Todos los cuerpos sometidos a acciones sufren efectos cinemáticos denominados corrimientos. Pueden estar asociados a cambios de forma o no. En el primer caso los movimientos son de deformaciones y en segundo de cuerpo rígido.

El cambio de forma está asociado al cambio de la distancia entre puntos, si la misma es finita se habla de corrimientos, en cambio si es infnitésima se habla de deformaciones.

Los corrimientos son experimentados por puntos, mientras que los giros por direcciones.

Se denomina variación de la distancia a la proyección del corrimiento relativo entre dos puntos sobre la recta que los une.

Si se considera dos puntos infinitamente próximos, el desplazamiento de uno de los dos podrá expresarse como el desarrollo en serie de Taylor alrededor del otro punto. Al calcular el desplazamiento relativo como la resta de los desplazamientos de los puntos, se observará que el mismo depende de las derivadas parciales. Tanto la deformación como los giros rígidos producen movimientos relativos, a fin de identificar el movimiento relativo que produce cambio de forma, es decir deformaciones, se deberá dar una interpretación a las derivadas parciales.

Las variaciones lineales, es decir el desplazamiento relativo entre dos puntos en una dirección, se debe únicamente a las deformaciones, ya que la traslación es, por definición, la misma para todos los puntos. En cambio los movimientos relativos perpendiculares a esta dirección se deben tanto a los giros como a las deformaciones, por lo tanto habrá que hacer una descomposición para distinguirlos.

Se define como deformación lineal específica al cociente entre la variación de distancia entre dos puntos y la distancia inicial. Y distorsión angular específica a la variación del ángulo entre dos rectas. Se denomina estado de deformación a las deformaciones asociadas a las infinitas direcciones pasantes por un punto. Aquellas direcciones para las cuales no hay distorsión son las direcciones principales.

El corrimiento relativo puede expresarse matricialmente por dos tensores, uno de deformación (simétrico) y otro de rotación (antisimétrico).

Fuente : "Estado de deformación", Ingeniero Carretero.

Estado tensional

2009-02-05T18:57:00.000-08:00

Sea un sólido en equilibrio que es seccionado por un plano. Para mantener el equilibrio será necesario aplicar un par y una fuerza que representan la interacción entre los puntos de una parte y la otra. Se define como vector tensión al cociente entre la fuerza que actúa sobre una superficie elemental y dicha superficie. Dependiendo de la inclinación del plano con que se seccione al sólido se tendrán distintos vectores tensión. Por lo tanto los infinitos planos pasantes por un punto tienen asociados a ellos tensiones. A este conjunto de infinitas tensiones se lo denomina estado tensional y se lo representa mediante una matriz de 3x3 denominada tensor de tensiones. Mientras que para individualizar a un vector es suficiente conocer sus proyecciones sobre los tres ejes cartesianos, para individualizar al tensor de tensiones se necesitarán conocer las componentes de tres vectores tensión ortogonales.

Se suele descomponer al vector tensión en la dirección normal al plano (tensión normal) y en dos direcciones ortogonales contenidas en el mismo (tensiones tangenciales). Lo que permite asociar, adoptando la hipótesis de barra, a las componentes con las solicitaciones características Nx Qy Qz Mx My Mz, obteniéndose las ecuaciones de equivalencia. Por ejemplo, la integral en la superficie de la tensión normal es igual a la solicitación axil.

Planteando tres ecuaciones de nulidad de momentos en tres direcciones ortogonales se llega al teorema de Cauchy que dice que las tensiones tangenciales concurrentes a un lado son iguales.
Las tres ecuaciones restantes (de proyección sobre las tres direcciones) conducen a un sistema de ecuaciones diferenciales de 3 x 9, que, por Cauchy, se reduce a un sistema de 3 x 6. Para resolverlo se puede recurrir a la teoría matemática de la elasticidad o a la resistencia de materiales.

Existen planos para los cuales las tensiones tangenciales son nulas y la tensión tiene la direccion de la normal. Dichos planos son los "planos principales" y las tensiones asociadas a los mismos son las "tensiones principales". Para obtenerlas se deben calcular los autovalores del tensor de tensiones. Dependiendo de la cantidad de tensiones principales nulas se tendrán estados triples, dobles o simples de tensión. En los primeros la tensión toma cualquier direccion y módulo al variar el plano con el que se secciona, en los estados dobles, las tensiones se mantienen paralelas a un plano, y en el estado simple todas las tensiones son paralelas.

Trabajos virtuales

2009-01-26T06:51:00.000-08:00

Resumen del apunte "Trabajos virtuales" de la página de Estabilidad llA de la FIUBA.

Trabajo de deformación

Una acción deformante originará en el sistema un pasaje desde un estado inicial de equilibrio a una posición final también de equilibrio. El trabajo de deformación elemental es el que realizan las fuerzas que actúan sobre cada una de las superficies de una parte infinitésima de un sólido deformable en el desplazamiento que las mismas experimentan durante la evolución desde el estado inicial al final.
Suponiendo que sólo existen fuerzas actuando en una sola dirección, por ejemplo la X. Las mismas realizarán trabajo sólo en la dirección perpendicular al plano. La variación del trabajo será:

(para ver esta fórmula, click en las imagenes de abajo de todo)

Análogamente con las otras direcciones.
Para las tensiones tangenciales se tiene:

(para ver esta fórmula, click en las imagenes de abajo de todo)

Análogamente con las otros planos.

Sumando, la expresión del trabajo queda expresada matricialmente:

(para ver esta fórmula, click en las imagenes de abajo de todo)

La obtención del trabajo realizado podrá determinarse mediante la integración a lo largo de la evolución de la deformación.
El trabajo que se realiza en cada una de las partes infinitésimas se denomina trabajo interno de deformación.
Este último será igual al que realizan las fuerzas exteriores.
Si el sistema tiene una respuesta lineal, es decir que los efectos son proporcionales a las causas, las integrales quedan:

(para ver esta fórmula, click en las imagenes de abajo de todo)

Suponiendo nulo al estado inicial, las variaciones se expresan como el estado final.

Sistemas constituidos por barras
Se adoptan rebanadas de barra de ancho infinitésimo dx en lugar de elementos infinitésimos de volumen dx dy dz.
Colocando que el sistema de referencia es la terna principal de inercia ubicada con el origen en el baricentro, y asumiendo la hipótesis de las secciones planas, la matriz f se transforma en la matriz diagonal que relaciona las solicitaciones con el cambio de forma del eje de la barra

Trabajo virtual

Es posible imaginar también el trabajo que realice un sistema de fuerzas en la deformación que produce otra causa deformante Para ello basta pensar en un sistema que se encuentre en equilibrio, ya deformado, bajo la acción de un determinado sistema de fuerzas. A este sistema de fuerzas se lo denominará sistema equilibrado.

Si se aplica una causa deformante a este sistema equilibrado se producirán en el mismo deformaciones. A este estado de deformación se lo denominará deformación virtual
El trabajo exterior será igual al producto de las fuerzas del vector Ce por el valor de los corrimientos que experimenta el sistema en la dirección de esas fuerzas {aCe,Cd}, que se identifica con dos subíndices, el primero que identifica la coordenada de las fuerza que realiza el trabajo y el segundo que identifica la causa que origina la deformación que se considera.
Entonces la expresión conocida como la resultante del teorema de los trabajos virtuales queda:

(para ver esta fórmula, click en las imagenes de abajo de todo)

Para la determinación de fuerzas incógnitas se debe ubicar a la incógnita dentro del sistema equilibrado y adoptar una deformación virtual que la ponga en evidencia de manera de explicitarla en la expresión
Para la determinación de desplazamientos se debe ubicarlo dentro de la deformación virtual y adoptar un sistema equilibrado que posibilite poner en evidencia el desplazamiento
Si se considera una única fuerza incógnita se puede aplicar un desplazamiento unitario
De la misma manera se pueden determinar desplazamientos si se aplica una fuerza unitaria

Solicitación axil

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Torsión

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Flexión y corte

(para ver esta fórmula, click en las imagenes de abajo de todo)

Artículo con fórmulas:

Historia de la ingeniería estructural (1º parte)

2009-01-18T15:35:00.000-08:00

Una de las especializaciones de la ingeniería civil es el estudio y aplicación de las estructuras, que son construcciones cuyo fin es transmitir cargas al suelo (ya sea el peso propio o acciones exteriores) sin perder la funcionalidad para las cuales fueron diseñadas.

Si bien existen estructuras de gran envergadura desde la época de los egipcios, la ingeniería estructural es considerada como una ciencia recién a partir de 1638 cuando Galileo intentó analizar una viga. Al parecer, hasta entonces, se seguía un criterio puramente empírico para construir.

Imhotep, constructor de la pirámide de Sakkara, es considerado como el primer ingeniero estructural. Las construcciones egipcias usan únicamente vigas y columnas como herramientas estructurales, a diferencia de los Asirios, un pueblo ubicado en la región del alto Tigris, que incorporan también el arco.

La estática es una parte de la mecánica fundamental en el cálculo de las estructuras. Estudia el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en reposo. Matemáticamente se puede expresar al equilibrio como la nulidad de las fuerzas y los momentos en las tres direcciones cartesianas, aunque esta no es la única forma. El fundador de la estática fue Arquímedes con su obra "Tratado sobre el equilibrio de las superficies", en el cual aparecen los conceptos de palanca y centro de gravedad.

Famosos por sus puentes y acueductos, los romanos sobrepasaron a sus antecesores y contemporáneos en los desarrollos de Ingeniería. Desarrollaron el arco semicircular y la cúpula, cuyas ventajas son que, si se les da una forma en particular, hacen que la estructura trabaje sólo a esfuerzo normal. Esto es muy útil para materiales que trabajan bien a compresión y mal a tracción como por ejemplo dos ladrillos uno al lado del otro.

Para que un cuerpo esté en equilibrio, no deberá trasladarse ni rotar. En el siglo XV Leonardo da Vinci introdujo el concepto de momento de una fuerza, el cual es empleado para estudiar giros. Matemáticamente se lo define como el producto vectorial entre el vector fuerza y el vector distancia al punto en cuestión.
Hacia el siglo XVI se comenzaron a utilizar las primeras cerchas, que son armaduras de barras rectas unidas mediante nodos. Si las fuerzas son aplicadas en dichos nodos, la estructura trabaja sólo a esfuerzo normal. Esto último se puede demostrar empleando las ecuaciones diferenciales de la estática.
El estudio de la resistencia de los materiales es otra herramienta básica en el cálculo de estructuras. Galileo Galilei fue el fundador de esta disciplina con su libro "Dialogo sobre dos nuevas ciencias" en donde estudia la falla de una viga en voladizo.
Isaac Newton (1642-1727) introduce el principio de acción y reacción en su obra "Philosophiae naturalis principia mathematica", el cual es utilizado para calcular los esfuerzos que realizan los componentes de la estructura (barras, apoyos, etc.). Por cada fuerza que actúe sobre un cuerpo, este realizará una fuerza igual pero de sentido opuesto.

Estructuras

2009-01-16T06:39:00.000-08:00

CN TOWER (Toronto)

TORRE EIFFEL (Paris)

TORRE DE PISA (Italia)

TORRE ESPACIAL (Argentina)

ARCO DEL TRIUNFO (Francia)

PIRÁMIDE DE GIZA (Egipto)

MAESLANTKERING (Holanda)

Edificios

2009-01-14T18:32:00.000-08:00

Empire State (EEUU)

Chrysler Building (EEUU)

Sears Tower (EEUU)

Cavanagh (Arg) Le Parc (Arg)Torres Petronas (Kuala Lumpur) Taipei 101 (China) Burj (Dubai)

Sailboat-Shaped Hotel (Dubai) Shanghai World Financial Center (China)

Puentes

2009-01-14T15:52:00.002-08:00

GOLDEN GATE (San Francisco)

HARILAOS TRIKOUPIS (Grecia)

VIADUCTO DE MILLAU (Francia)

AKASHI-KAIKYO (Japón)

PUENTE LUPU (China)

PONTE ESTAIADA OCTAVIO FRIAS (Brasil)

Magnitudes físicas y modelos matemáticos

2009-01-14T15:52:00.001-08:00

Las magnitudes físicas son aquellas propiedades de los cuerpos capaces de ser medidas. Se clasifican en tres grupos: escalares, vectoriales y tensoriales.

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan individualizadas a través de un número real ya que sólo tiene sentido hablar de su valor absoluto. Ej: masa, tiempo, temperatura, presíón.

Cuando se necesita saber dirección, sentido y valor absoluto, se está en presencia de una magnitud vectorial. El ejemplo más intuitivo de este tipo de magnitud es la fuerza, ya que no sólo se necesita saber qué tan grande es el esfuerzo que se está haciendo si no que también se debe saber hacia dónde (no es lo mismo mover un objeto hacia la derecha que hacia la izquierda).

Las magnitudes tensoriales como la tensión, requieren al menos 9 componentes escalares para su determinación.

Para representar los fenómenos físicos mediante modelos matemáticos, habrá que tener en cuenta el tipo de datos que se tiene tanto a la entrada como a la salida.

Si ambos datos (entrada y salida) son escalares, el fenómeno será representable mediante una función escalar. Uno ingresa un número, aplica la función y obtiene otro número. Por ejemplo la tempreratura de una particula a cada instante: el dato de entrada será el tiempo y obtendrá, luego de aplicar la función, la temperatura.

Si en lugar de un partícula se tratara de algo no representable mediante un punto, como por ejemplo una habitación, la temperatura variaría no sólo con el tiempo, si no que también punto a punto. Por lo tanto se necesitarán cuatro datos para saber la temperatura en un punto: tres que ubiquen al punto espacialmente y uno que indique el instante de tiempo. El fenómeno será modelable mediante un campo escalar.

En los casos en los que se involucran magnitudes vectoriales, el modelo matemático tendrá que ser tal que a la salida haya un vector y a la entrada un escalar o un vector según corresponda.

La velocidad de un cuerpo rígido es la misma para todas las partículas que lo conforman (la velocidad de los asientos de un auto es la misma que la de las luces o del paragolpes), por lo tanto será necesario como dato de entrada únicamente el tiempo (un escalar) obteniéndose a la salida un vector. La herramienta matemática a utilizar en este tipo de casos será la función vectorial.

Distinto es el caso de los fluídos que no presentan rigidez y , por lo tanto, la velocidad es distinta para cada partícula. Al igual que en el ejemplo de la habitación, los datos de entrada serán la posición de la partícula a analizar y el instante de tiempo, pero ahora se obtendrá como resultado un vector (el vector velocidad) y no un escalar como lo es la temperatura. Este tipo de situaciones son modelizadas meditante campos vectoriales.

Vemos así como ciertas operaciones matemáticas que en principio parecerían ser totalmente abstractas debido a la cantidad de dimensiones que emplean, pueden ser aplicadas para fenómenos cotidianos.

Sears Tower

2009-01-14T13:56:00.000-08:00

Ubicada en Chicago, con 442 metros de altura y 110 pisos es el cuarto edificio más alto del mundo, por debajo del Burj de Dubai (aún en construcción), del Taipei 101 y de las torres Petronas.

Debe su nombre a la compañía que la encargó y fue diseñada por el arquitecto Bruce Graham y el ingeniero estructural Fazlur Khan.

Transcurridos nueve años desde la finalización de su construcción, se añadieron dos antenas de televisión que miden 77 y 86 metros de altura que son iluminadas por distintos colores según la época del año. Además poseen un TLD (Tuned Liquid Dampener) en la punta para contrarrestar la influencia del viento.

Sus columnas y vigas de acero forman un sistema mega módulo. Apoya su estructura en tubos cuadrados de acero soldado, de los que estan colgados los pisos haciendo más ligera a la estructura. Estos tubos sirven también para contrarestar las cargas laterales y de gravedad. Con el fin de disminuir el esfuerzo de corte provocado por el viento se añadieron reticulados en la parte superior, que se encuentran ocultos tras las bandas negras, que son persianas que permiten la ventilación.

Las ventanas son lavadas de manera automática por limpiadores robóticos que operan ocho veces al año.

Consta de un observatorio en el piso 103 en cual los turistas pueden experimentar cómo se balancea el edificio los días de viento. Su parte superior es el punto más alto de Illinois.

Ejercicio resuelto de flexión compuesta anelástica

2009-01-14T13:55:00.000-08:00

Se calcula la fuerza P compatible con las condiciones impuestas por dos caminos: trabajando con los signos correspondientes (tracción positivo y compresión negativo) y trabajando con el módulo (poniendo "a mano" el signo)

Problema de valores iniciales resuelto

2009-01-13T17:39:00.000-08:00

A continuación, la resolución numérica de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden mediante los métodos de Euler, Euler modificado y Runge Kutta 4.
La aproximación por RK4 es la más precisa a pesar de tener el paso mas grande. Esto se debe al orden superior del método.
Este mismo ejercicio se puede encontrar en el libro Burden