Первая публикация на русском языке (переводчик не указан):
Тарский А. Истина и доказательство // Вопросы философии. 1972. № 8. С. 136-145.

Предметом обсуждения в этой статье является старый вопрос, который довольно часто рассматривался в современной литературе, и поэтому нелегко сделать оригинальный вклад в его обсуждение. Я боюсь, что для многих читателей ни одна из идей, изложенных в этой статье, не покажется существенно новой. Однако я надеюсь, что они, возможно, проявят интерес к способу расположения и связывания материала¹.

Наша первая задача состоит в объяснении значения термина «истинное». Эта задача будет рассматриваться здесь в существенно ограниченном объёме. Понятие истины встречается во многих различных контекстах, и существуют несколько различных категорий объектов, с которыми сопоставляется термин «истинное». В психологических дискуссиях мы можем говорить об истинных чувствах, равно как и об истинных убеждениях; в рассуждениях из области эстетики может рассматриваться истинное содержание некоторого предмета искусства. В данной же статье нас интересует только то, что может быть названо логическим понятием истины. Говоря более точно, мы займёмся исключительно значением термина «истинное», когда этот термин используется по отношению к предложениям. По-видимому, таким было первоначальное использование термина «истинное» в человеческом языке. Предложения трактуются здесь как логические объекты — как некоторые ряды звуков или написанных знаков (конечно, не всякий такой ряд представляет собою предложение). Более того, говоря о предложениях, мы всегда имеем в виду повествовательные предложения.

Вероятно, наиболее известное из философских определений понятие истины дано в «Метафизике» Аристотеля: «В самом деле, говорить, что сущее не существует или не сущее существует, это — ложь, а говорить, что сущее существует, и не-сущее не существует, это — правда»².

Интуитивное содержание аристотелевской формулировки представляется довольно ясным. Тем не менее она оставляет желать лучшего с точки зрения точности и формальной корректности. В частности, эта формулировка непосредственно приложима лишь к высказываниям, которые «говорят» о чем-то, «что это есть» или «что этого нет»; в большинстве случаев было бы довольно трудно оценить высказывание в этой форме, не искажая его смысла и духа языка. Возможно, это и есть одна из причин того, почему в современной философии предлагаются различные заменители для аристотелевской формулировки. В качестве примера можно привести следующие:

Предложение является истинным, если оно отмечает действительное положение дел.

Истинность предложения состоит в его согласии (или соответствии) с реальностью.

Благодаря использованию технических философских терминов эти формулировки имеют весьма «учёный» вид, Однако меня не оставляет чувство, что эти новые формулировки, если их проанализировать более детально, окажутся менее ясными, чем формулировка, предложенная Аристотелем³.

На концепцию истины, которая нашла свое выражение в аристотелевой формулировке (и соответствующих формулировках более позднего происхождения), обычно ссылаются как на классическую или семантическую концепцию истины. Под семантикой мы подразумеваем ту часть логики, которая, грубо говоря, рассматривает отношения между лингвистическими объектами (например, предложениями) и тем, что выражается этими объектами. Семантический аспект термина «истинное» ясно раскрывается объяснением, предлагаемым Аристотелем, и некоторыми формулировками, которые будут приведены в нашем дальнейшем изложении. Мы попытаемся дать здесь более точное объяснение классической концепции истины, которое смогло бы заменить аристотелеву формулировку, сохраняя её основные идеи. Для этой цели мы должны прибегнуть к помощи некоторых технических средств современной логики. Мы должны будем также точно определить язык, с предложениями которого будем иметь дело. Это необходимо только потому, что последовательности звуков или знаков, которые являются истинными либо ложными, или, во всяком случае, осмысленными в одном языке, могут быть бессмысленными выражениями в другом.

Начнём с простой проблемы. Рассмотрим предложение русского языка⁴, значение которого не вызывает никаких сомнений, — например, «снег бел». Для краткости мы обозначим это предложение буквой «Ѕ», так что индекс «Ѕ» становится именем данного предложения. Зададим себе вопрос: что мы имеем в виду, когда говорим, что Ѕ истинно или что оно ложно? Ответ на этот вопрос будет простым. Говоря в духе аристотелева объяснения, что Ѕ истинно, мы просто имеем в виду, что снег бел, а говоря, что Ѕ ложно, мы подразумеваем, что снег не бел. Опуская символ Ѕ, мы получаем следующие формулировки:

(1) «снег бел» — истинно, если и только если снег бел.

(1') «снег бел» — ложно, если и только если снег не бел.

Таким образом, формулировки (1) и (1') обеспечивают удовлетворительные объяснения значений терминов «истинное» и «ложное», когда эти термины соотносятся с предложением «снег бел». Мы можем рассматривать формулировки (1) и (1') как частные дефиниции терминов «истинное» и «ложное», как их дефиниции по отношению к данному конкретному предложению.

На первый взгляд может показаться, что формулировка (1), когда она рассматривается в качестве дефиниции, обнаруживает существенный недостаток, широко обсуждавшийся в традиционной логике, ― порочный круг. Основание состоит в том, что некоторые слова, например, «снег», встречаются как в дефиниенсе, таки в дефиниендуме. Однако на самом деле их присутствие там является совершенно различным по своему характеру. Слово «снег» является синтаксической (или органической) частью дефиниенса. Действительно, дефиниенс есть предложение, и слово «снег» его подлежащее. Дефиниендум также есть некоторое предложение, оно выражает тот факт, что дефиниенс есть истинное предложение. Его подлежащим является название или имя дефиниенса, образуемое путём заключения дефиниенса в кавычки (когда мы говорим нечто о некотором объекте, мы всегда используем имя этого объекта, а не сам объект). Выражение, заключенное в кавычки, должно грамматически трактоваться как единое слово, не имеющее никаких синтаксических частей. Поэтому, в частности, слово «снег», которое вне каких-либо сомнений присутствует в дефиниендуме, не является в нём синтаксической частью. Логики средних веков сказали бы, что слово «снег» присутствует в дефиниенсе по suppositione formalis, а в дефиниендуме по suppositione materialis.

В формулировке (1) мы применили обычный метод образования имён высказываний или любых других выражений, состоящий в заключении данного выражения в кавычки. Этот метод имеет много достоинств, но он является также и источником трудностей, которые нет необходимости здесь обсуждать. Вместо того, чтобы заняться анализом этих трудностей, мы укажем другой способ, с помощью которого можно рассеять страхи перед порочным кругом. Имя (название) любого выражения можно образовать путём описания выражения буква за буквой. Используя этот метод, мы получим вместо формулировки (1) следующую, более длинную формулировку:

(2) Ряд из двух слов, первое из которых состоит из букв «С», «Н», «Е», «Г», а второе ― из букв «Б», «Е», «Л», является истинным высказыванием, если и только если снег бел.

Формулировка (2) не отличается от формулировки (1) по своему значению; последняя может рассматриваться просто как сокращённая форма формулировки (2). Конечно, новая формулировка менее прозрачна, чем старая, но она имеет то преимущество, что не порождает видимости порочного круга.

Частные дефиниции истины, аналогичные формулировкам (1) или (2), могут быть с таким же успехом построены для других предложений. Каждая из таких дефиниций имеет вид (3): Р истинно, если и только если Р, где Р обозначает некоторое предложение, для которого строится данная дефиниция. Специальное внимание следовало бы уделить тем ситуациям, когда предложение, которое нужно поставить на место Р, содержит слово «истинное» в качестве синтаксической части. Соответствующий эквивалент (3) не может тогда рассматриваться как частная дефиниция истины, поскольку если её трактовать как дефиницию, то она явно будет содержать порочный круг. Но даже и в этом случае формулировка (3) является осмысленной. Вообразим, например, что, просмотрев какую-то книгу, мы находим следующую фразу: (4) Не каждое предложение в этой книге является истинным. Применяя к формулировке (4) аристотелев критерий, мы видим, что предложение (4) является истинным, если на самом деле не каждое предложение рассматриваемой книги является истинным, и оно является ложным в противном случае. Иными словами, мы можем утверждать, что получим эквивалент предложения (3), заменив в нем Р на предложение (4). Разумеется, этот эквивалент имеет место только при таких условиях, когда предложение (4) является либо истинным, либо неистинным, но само по себе не позволяет нам решить, что же имеет место на самом деле. Для того, чтобы проверить утверждение, выраженное в предложении (4), нужно внимательно прочесть всю книгу и проанализировать истинность предложений, содержащихся в ней.

В свете предшествующего рассуждения теперь можно переформулировать нашу главную проблему. Мы ставим условием, что использование термина «истинное» по отношению к предложениям русского языка тогда и только тогда согласуется с классической концепцией истины, когда относительно любого предложения русского языка имеет место эквивалентность вида (3). Если это условие выполняется, можно сказать, что употребление термина «истинное» материально адекватно или просто адекватно. Таким образом, наша главная проблема состоит в следующем: можем ли мы установить, адекватно ли применение термина «истинное» для предложений русского языка и если да, то какими методами? Аналогичный вопрос, конечно, можно поставить и для любого другого языка. Проблема будет полностью решена, если мы сумеем построить общую дефиницию истины, которая будет не только формально корректна, но и материально адекватна.

При некоторых специальных предположениях построение общей дефиниция истины не представляет особого труда. В самом деле, предположим, что нас интересует не весь русский язык в целом, а только какой-то из его фрагментов и что мы хотим определить термин «истинное» исключительно по отношению к предложениям этого фрагмента языка. Обозначим этот фрагмент через М. Будем считать, что М имеет точные синтаксические правила, которые позволяют нам в каждом частном случае отличать предложения от выражений, которые предложениями не являются, и что число всех предложений в М конечно (хотя, возможно, и очень велико). Заготовим полный список всех предложений в М, предположив, например, что в языке М существует ровно 1000 высказываний, и договоримся употреблять символы S₁, Ѕ₂, ..., Ѕ₁₀₀₀ как сокращённые обозначения предложений данного списка. Далее, для каждого из предложений S₁, Ѕ₂, ..., Ѕ₁₀₀₀ построим частные дефиниция истины, подставляя последовательно эти высказывания вместо Р в обеих сторонах схемы (3). Наконец, составим логическую конъюнкцию всех этих частных дефиниций, то есть соединим их в одно утверждение с помощью соединительного союза «и». Единственная вещь, которую остается сделать, ― это придать результирующей конъюнкции иную, но логически эквивалентную форму, такую, чтобы она удовлетворяла формальным требованиям, накладываемым на дефиниции правилами логики:

5) Для каждого высказывания Х (в языке М) Х является истинным, если и только если
либо S₁ и Х идентично с S₁,
либо Ѕ₂ и Х идентично с Ѕ₂,
….............................................
….............................................
либо, наконец, Ѕ₁₀₀₀ и Х идентично с Ѕ₁₀₀₀.

Таким образом, мы получили утверждение, которое может рассматриваться как искомая общая дефиниция истины для языка М; она формально корректна и материально адекватна в том смысле, что из неё в качестве следствий могут быть получены частные определения истинности для любого предложения языка М. Между прочим, отметим, что схема (5) является предложением русского языка, но, очевидно, не предложением языка М, поскольку схема (5) содержит все предложения языка как собственные части, но не совпадает с каким-либо из них. Дальнейшее обсуждение будет способствовать более глубокому пониманию этого важного обстоятельства.

По очевидным причинам очерченная выше процедура не может быть проделана в отношении русского языка в целом. Пытаясь составить полный список предложений русского языка, мы с самого начала сталкиваемся с той трудностью, что правила русской грамматики (как и любого другого разговорного языка) не определяют точно форму выражений (ряды слов), которые следовало бы рассматривать как предложения; некоторое выражение, например, какое-нибудь восклицание, может функционировать как предложение в одном случае и не выполнять этой функции в другом. Более того, множество всех предложений русского языка бесконечно, по крайней мере потенциально. Несмотря на то, что утверждение о конечном числе всех предложений, сформулированных до настоящего момента людьми письменно и устно, является истинным, вероятно, никто не согласился бы с тем, что этот список исчерпывает все предложения русского языка. Напротив, представляется весьма вероятным, что, просматривая такой список, каждый из нас легко смог бы произнести такое предложение на русском языке, которого нет в этом списке.

Из этих замечаний не следует, конечно, что искомая дефиниция истины для произвольных предложений русского языка не может быть получена каким-то другим способом, использующим иные идеи. Существует, однако, причина более серьезная и фундаментальная, которая, по-видимому, ставит под сомнение такую возможность. Простейший аргумент в пользу такого предположения связан с антиномией лжеца. Антиномия лжеца имеет древнее происхождение. Её обычно приписывают знаменитому греческому логику Эвбулиду. Она мучила многих логиков античности и послужила причиной преждевременной смерти по крайней мере одного из них, а именно Филета из Кос⁵. В древности, в средние века и в новое время было обнаружено много других антиномий. В то время как многие из них сейчас, по существу, забыты, антиномия лжеца все еще анализируется и обсуждается в современных работах⁶. Вместе с некоторыми современными антиномиями, открытыми на рубеже столетия (в частности с антиномией Рассела), она оказывает существенное влияние на развитие современной логики.

В литературе по этому предмету можно обнаружить два диаметрально противоположных подхода к антиномиям. Один подход к ним является пренебрежительным, когда их трактуют как софистические выдумки, созданные преимущественно pour epater le bourgeois (для ошеломления обывателей), как несерьезные и скорее злобные шутки, которые в лучшем случае доказывают лишь остроумие их авторов. Противоположиый подход, характерный для некоторых мыслителей девятнадцатого столетия и в меньшей степени для мыслителей текущего столетия, зиждется на убеждений, что антиномии составляют весьма существенный элемент человеческого мышления, что они должны вновь и вновь возникать в интеллектуальной деятельности и их наличие есть основной источник действительного прогресса. Как это часто случается, истина, вероятно, находится где-то посередине. Лично я как логик не смог бы примириться с тем мнением, что антиномии составляют перманентный элемент нашей системы знания. Однако я ни в малейшей степени не склонен трактовать антиномии пренебрежительно. Появление антиномий является для меня симптомом болезни. Любая антиномия, начиная с предпосылок, кажущихся интуитивно очевидными, при использовании форм рассуждения, которые кажутся интуитивно несомненными, приводит нас к бессмыслице, к противоречию. Всякий раз, когда это случается, мы должны подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации, которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от антиномий, но и не допустить появления новых. С этой целью мы проверяем нашу реформированную систему мышления всеми имеющимися в нашем распоряжении средствами и прежде всего пытаемся воссоздать старую антиномию в новой обстановке (надеясь, конечно, что эта попытка потерпит неудачу). Такая проверка — очень важная область мыслительной деятельности, родственная проведению решающих экспериментов в эмпирической науке.

С этой точки зрения рассмотрим теперь более подробно, как можно было бы избежать противоречий, порождённых антиномией лжеца. Радикальное и самое лёгкое решение проблемы состояло бы в том, чтобы убрать слово «истинное» из русского словаря или по крайней мере воздержаться от пользования им в любой серьезной дискуссии. Те, кому подобная ампутация русского языка покажется несостоятельной и незаконной, возможно, могли бы склониться к более компромиссному решению, которое можно было бы назвать (следуя Т. Котарбинскому) «нигилистическим подходом к теории истины». Согласно этому подходу, слово «истина» не имеет никакого независимого значения, но может быть использовано только как компонент двух осмысленных выражений: «это истинно, что…» и «это неистинно, что…». Эти выражения трактуются таким образом, как если бы они были единым словом, не имеющим никаких органических частей. Приписываемое им значение таково, что они могут быть немедленно элиминированы из любого предложения, в котором они встречаются. Например, вместо того, чтобы говорить: «это истинно, что все коты чёрные», — мы можем просто сказать: «все коты чёрные». Или вместо «это не истинно, что все коты чёрные», мы можем сказать: «не все коты чёрные».

В других контекстах слово «истинное», по мнению сторонников этой точки зрения, не имеет смысла. В частности, оно не может быть использовано как реальный вещественный предикат. Пользуясь терминологией средневековой логики, мы можем сказать, что слово «истинное» возможно употреблять синкатегориматически в некоторых специальных ситуациях, но нельзя употреблять категориматически. В частности, с «нигилистической» точки зрения предложения, приводящие к антиномии лжеца, не могут рассматриваться как осмысленные, и антиномия просто исчезает.

К сожалению, многие случаи использования слова «истинное», которые в других отношениях кажутся вполне разумными и законными, также должны быть поставлены под сомнение.

Легко показать, что «нигилизм» в теории истины признает только на словах некоторые популярные формы человеческой речи, а на самом деле устраняет понятие истины из концептуального строя человеческого разума.

Поэтому мы рассмотрим другой выход из затруднения и попытаемся найти решение, которое, по существу, сохранит в целостности классическую концепцию истины. Для этой цели подвергнем анализу те свойства обыденного языка, которые являются реальными источниками антиномии лжеца. В этом плане внимание привлекает прежде всего такое свойство естественных (разговорных) языков, как их универсальный характер. Предполагается, что обыденный язык должен обеспечить адекватные средства для выражения всего того, что может быть выражено вообще в каком бы то ни было языке. Он непрерывно расширяется для того, чтобы удовлетворить этому требованию. В частности, он семантически универсален в следующем смысле: совместно с лингвистическими объектами, такими, как предложения и термины, которые являются компонентами этого языка, в него включаются также и имена этих объектов; кроме того, обыденный язык содержит семантические термины — «истина», «имя», «обозначение» которые прямо или косвенно связаны с отношениями между лингвистическими объектами и некоторой внелингвистической реальностью. Следовательно, для каждого предложения, сформулированного в обыденном языке, мы можем сформулировать на том же самом языке другое предложение относительно того, истинно оно или ложно. Используя дополнительный «трюк», мы можем даже построить в языке то, что иногда называется самореферентным высказыванием, то есть высказывание, утверждающее своё собственное значение истинности. В том случае, если Ѕ утверждает свою собственную ложность, мы можем доказать, что Ѕ как истинно, так и ложно, и тем самым прийти к антиномии лжеца.

Однако нет никакой необходимости использовать универсальные языки во всех возможных ситуациях. Такие языки, вообще говоря, вовсе не необходимы для целей науки (под наукой я понимаю здесь всю сферу интеллектуального исследования). В частной области науки, скажем, в химии, мы рассматриваем некоторые специальные объекты, такие, как химические элементы, молекулы и т. д., а не лингвистические объекты, например, предложения или термины. Язык, который столь хорошо подходит для этого рассмотрения, является ограниченным языком, его словарь имеет пределы. Он должен содержать наименования химических объектов, термины, подобные терминам «элемент» или «молекула», а не имена лингвистических объектов и, следовательно, не должен быть семантически универсальным. То же самое справедливо и для большинства других областей науки. Ситуация становится до некоторой степени запутанной, когда мы обращаемся к лингвистике. Язык лингвистики, несомненно, должен быть насыщен именами лингвистических объектов, однако не следует отождествлять язык лингвистики с языком или какими либо языками, которые являются объектами лингвистических дискуссий. Язык лингвистики должен содержать имена лингвистических компонент обсуждаемых языков, но не имена своих собственных компонент, и, таким образом, он опять-таки не должен быть универсальным в семантическом плане. То же самое справедливо и по отношению к языку логики или, скорее, той части логики, которая известна как металогика и метаматематика. В этом случае мы опять-таки интересуемся определёнными языками, прежде всего языками логических и математических теорий (хотя, конечно, мы обсуждаем эти языки с иной точки зрения, чем это имеет место в случае лингвистики).

Теперь возникает вопрос: при каких условиях может быть установлено непротиворечивое и адекватное употребление понятия истины для семантически ограниченных языков научных рассуждений? Главные условия, которым должен удовлетворять язык, состоят, во-первых, в строго однозначном и исчерпывающем описании словаря языка и, во-вторых, в формулировании синтаксических правил относительно составления осмысленных выражений из слов, перечисленных в словаре. Более того, синтаксические правила должны быть чисто формальными, то есть относиться только к форме (виду) высказываний; функция и значение некоторого выражения должны зависеть исключительно от его формы. В частности, рассматривая некоторое выражение, мы должны иметь возможность в каждом случае определить, является ли данное выражение предложением, или нет. Недопустимо, чтобы некоторое выражение выполняло в одном месте функцию предложения, а выражение точно такой же формы не выполняло этой функции в другом месте или чтобы некоторое предложение утверждалось в одном контексте, тогда как предложение точно такой же формы отрицалось в другом. (Отсюда, в частности, следует, что указательные местоимения и наречия, такие, как «это» и «здесь», не должны включаться в словарь языка). Языки, которые отвечают этим условиям, рассматриваются как формализованные. Когда обсуждаются формализованные языки, нет никакой необходимости проводить различие между выражениями одной и той же формы, написанными или высказанными в различных местах; мы часто говорим о них так, как если бы они были одним и тем же выражением.

Формализованные языки полностью адекватны для представления структуры логических и математических теорий. Я не вижу никаких оснований, почему бы их нельзя было приспособить для использования и в других научных дисциплинах, в частности для развития теоретических разделов эмпирических наук. Мне бы хотелось подчеркнуть, что, когда я использую термин «формализованные языки», я отнюдь не имею в виду исключительно лингвистические системы, формулируемые преимущественно в символах, и ничего по существу противоположного естественным языкам. Напротив, реальный интерес представляют только такие формализованные языки, которые являются фрагментами естественных языков (фрагментами, снабженными полными словарями и точными синтаксическими правилами), или такие, которые по крайней мере могут быть адекватно переведены на естественные языки.

Существуют также некоторые другие дополнительные условия, от которых зависит возможность построения формального правильного и материально адекватного определения множества истинных предложений языка. Следует, например, проводить строгое различие между языком, который является предметом обсуждения и для которого мы намереваемся сформулировать дефиницию истины, и языком, на котором эта дефиниция должна быть сформулирована и изучены её приложения. Первый называется языком-объектом, а второй — метаязыком. Метаязык должен быть достаточно богатым и, в частности, он должен включать в себя язык-объект как свою часть. В самом деле, согласно условию материальной адекватности, дефиниция истины должна включать в качестве следствий все частные дефиниции истины для конкретных предложений языка-объекта. Поскольку все эти следствия сформулированы в метаязыке, можно сделать вывод, что каждое предложение языка-объекта должно также быть и предложением метаязыка. Более того, метаязык должен содержать имена предложений (и другие выражения) языка-объекта. Он должен также содержать некоторые дополнительные термины, необходимые для обсуждения свойств языка-объекта, а именно термины, обозначающие некоторые специальные множества выражений, отношения между выражениями и операции над выражениями. Например, мы должны иметь возможность говорить о множестве всех предложений или об операции соединения, посредством которой, ставя одно из двух данных выражений непосредственно после другого, мы получаем новое выражение. Таким образом, метаязык, содержащий достаточные средства для определения множества истинных предложений какого-либо языка, должен быть существенно богаче языка-объекта; он не может совпадать с последним или быть переводимым в него, поскольку в противном случае оба языка окажутся семантически универсальными, и антиномию лжеца можно будет реконструировать в обоих.

Если выполняются все описанные выше условия, построение искомой дефиниции истины не представляет принципиальных трудностей. Однако в техническом отношении это достаточно сложная процедура, чтобы можно было подробно объяснить её здесь. Для любого данного предложения языка-объекта мы можем легко сформулировать соответствующую частную дефиницию формы (3). Однако, поскольку множество всех предложений в языке-объекте является, как правило, бесконечным, мы не можем достигнуть общей дефиниции с помощью простой конъюнкции всех частных дефиниций. Тем не менее во многих случаях оказывается возможным построить общее определение.

Очень грубо говоря, мы поступаем следующим образом. Прежде всего рассматриваем простейшие предложения, которые не содержат каких-либо других предложений в качестве своих составных частей. Для этих простейших предложений можно определить условия их истинности непосредственно (используя ту же самую идею, которая ведёт к частным дефинициям). Затем, используя синтаксические правила, касающиеся формирования сложных предложений из простых, расширяем дефиницию на любое составное предложение языка. В данном случае используется метод, известный математикам как рекуррентная дефиниция. По некоторым техническим причинам метод рекурсии используется для определения понятия выполнения, а не истины. Истина затем легко определяется в терминах выполнимости.

Что бы ни было получено с помощью построения материально адекватной дефиниции истины для какого-либо научного языка, один факт, видимо, будет несомненным: эта дефиниция не дает нам пригодного критерия, на основании которого можно было бы определить, является ли некоторое частное предложение в данном языке истинным или ложным (и она, конечно, вообще не предназначается для этой цели). Рассмотрим, например, следующее предложение: «Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке». Если нас интересует вопрос, истинно ли это предложение, и мы обратимся за ответом к дефиниции истины, нас постигнет разочарование. Единственная информация, которую мы получим, будет состоять в том, что данное высказывание является истинным в том случае, если биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, и ложным, если они не всегда пересекаются в одной точке. Но только геометрическое исследование может решить, как обстоит дело в действительности. Аналогичные замечания применимы к высказываниям из области любых других частных наук: решение вопроса о том, истинно данное предложение или нет, является задачей конкретной науки, а не логики или теории истины.

Некоторые философы и методологи склонны отрицать любую дефиницию, которая не даёт критерия для решения вопроса о том, подпадает ли данный частный объект под определяемое понятие, или нет. В методологии эмпирических наук такая тенденция представлена доктриной операционализма. Философы-математики, принадлежащие к конструктивистской школе, также, видимо, обнаруживают подобную тенденцию. Однако, в обоих случаях люди, придерживающиеся такого мнения, оказываются в меньшинстве. Достаточно очевидно, что при последовательном проведении этой программы многие отрасли современной математики должны были бы исчезнуть, а теоретические разделы многих эмпирических наук (физики, химии, биологии) — претерпеть существенные деформации. Дефиниции таких понятий, как атом или ген, так же как и большинство дефиниций в математике, не содержат каких-либо критериев для решения вопроса о том, подпадает ли тот или иной объект под термин, определенный именно таким образом.

Поскольку дефиниция истины сама по себе не обеспечивает нас критерием истинности и в то же время поиски истины справедливо рассматриваются как сущность научной деятельности, проблема нахождения по крайней мере частичных критериев истины и разработки процедур, которые могли бы позволить нам признать или отрицать истинность как можно большего количества высказываний, представляется очень важной. Такие процедуры, конечно, известны, некоторые из них применяются исключительно в эмпирических науках, другие — преимущественно в дедуктивных. Понятие доказательства — второе понятие, обсуждаемое в данной статье, — относится именно к процедуре установления истинности предложений в дедуктивных науках. Эта процедура является существенным элементом того, что известно под названием аксиоматического метода — метода, наиболее широко используемого в настоящее время для разработки и изложения математических дисциплин.

Аксиоматический метод является продуктом длительного исторического развития. Некоторые представления об этом развитии будут, вероятно, существенными для понимания современного понятия доказательства⁷. Первоначально математика была совокупностью высказываний, касавшихся некоторого класса объектов или феноменов. Эта совокупность не имела никакого структурного порядка; высказывание рассматривалось как истинное либо потому, что казалось интуитивно очевидным, либо потому, что было доказано на основе некоторых интуитивно очевидных высказываний (то есть если было показано посредством некоторого интуитивно несомненного аргумента, что оно есть следствие этих высказываний). Критерий интуитивного доказательства (и интуитивной несомненности аргументов) применялся без каких-либо ограничений. Каждое предложение, признаваемое за истинное на основании этого критерия, автоматически включалось в дисциплину. Такое описание, по-видимому, соответствует, например, геометрии в том виде, как она была известна древним египтянам и грекам доевклидова периода.

Однако вскоре было понято, что критерий интуитивного доказательства весьма далёк от непогрешимости и часто ведёт к серьёзным ошибкам. Развитие аксиоматического метода можно рассматривать как выражение тенденции ограничить обращение к интуитивной очевидности. Эта тенденция проявляется прежде всего в стремлении доказать как можно больше предложений и, следовательно, ограничить, насколько это возможно, число предложений, принимаемых за истинные только на основе интуитивной очевидности. Идеалом с этой точки зрения было бы доказательство истинности каждого предложения, которое принимается за истинное. По вполне очевидным причинам этот идеал не может быть реализован: мы доказываем каждое предложение на основе других предложений, а эти другие предложения — на основе дальнейших предложений, и так далее. Если мы хотим избежать как порочного круга, так и бесконечного регресса, нужно где-то прервать эту процедуру.

В качестве компромисса между недостижимым идеалом и реализуемыми возможностями возникли два принципа, которые были последовательно применены при построении математических дисциплин. Согласно первому из этих принципов, каждая дисциплина начинается с перечня небольшого количества предложений, именуемых аксиомами или исходными предложениями, которые представляются как интуитивно самоочевидные и признаются истинными без каких-либо дополнительных подтверждений. Согласно второму принципу, никакое предложение в рамках данной дисциплины не рассматривается как истинное до тех пор, пока мы не будем в состоянии доказать его исключительно с помощью аксиом и тех предложений, которые доказаны раньше. Все те предложения, которые могут признаваться за истинные на основании этих двух принципов, именуются теоремами или доказуемыми предложениями данной дисциплины. Два аналогичных принципа касаются употребления терминов при построении дисциплины: согласно первому из них, сначала перечисляют незначительное число терминов, именуемых неопределяемыми или исходными терминами, которые выступают в качестве непосредственно понимаемых и которые мы решаем использовать (при формулировке и доказательстве теорем), не расширяя их значения. Согласно второму принципу, договариваются не использовать никаких дополнительных терминов, если мы не в состоянии объяснить их значение с помощью исходных неопределяемых терминов и терминов, ранее определённых.

Эти четыре принципа суть краеугольные камни аксиоматического метода, и дисциплины, разрабатываемые в соответствии с этими принципами, называются аксиоматическими теориями.

Вплоть до конца девятнадцатого столетия понятие доказательства имело главным образом психологический характер. Доказательство было некоторой интеллектуальной деятельностью, целью которой было убеждение самого себя и других в истинности обсуждаемого предложения. На аргументы, применяемые при доказательствах, не накладывалось никаких ограничений, за исключением того, что они должны быть интуитивно убедительными. Однако в какой-то период начала чувствоваться необходимость подвергнуть понятие доказательства более глубокому анализу, который имел бы результатом ограничение ссылок на интуитивную очевидность в данном контексте. Это было, вероятно, связано с развитием некоторых специфических направлений в математике, в частности с открытием неевклидовых геометрий. Такой анализ был осуществлён логиками, начиная с Г. Фреге, что привело к введению нового понятия — понятия формального доказательства, которое оказалось адекватной заменой и существенным усовершенствованием старого психологического понятия.

Первый шаг к обеспечению математической теории понятием формального доказательства состоит в формализации языка этой теории, в том смысле, который уже обсуждался в связи с дефиницией истины. В результате формализации получаются формальные синтаксические правила, позволяющие, в частности, просто по виду выражений отделить предложения от таких выражений, которые предложениями не являются. Следующий шаг ― формулирование немногих правил доказательства (или вывода). Число правил доказательства невелико, и их содержание несложно. Интуитивно все эти правила доказательства представляются непогрешимыми в том смысле, что предложение, которое непосредственным образом выводится из истинных предложений с помощью какого-либо из этих правил, должно быть истинным само по себе. В действительности же оказывается, что непогрешимость правил вывода может быть установлена на основе адекватной дефиниции истины. Наиболее известным и важным примером правил доказательства является правило отделения modus ponens. Согласно этому правилу (которое в некоторых теориях является единственным правилом доказательства), предложение q непосредственно выводимо из данных предложений, если одно из них есть условное предложение вида «если p, то q», тогда как другое есть р (здесь p и q являются, как обычно, сокращенными обозначениями любых предложений формализованного языка).

Теперь можно объяснить, в чём состоит формальное доказательство предложения. Сначала применяют правила вывода к аксиомам и получают новые предложения, непосредственно выводимые из аксиом. Затем те же правила применяют к новым предложениям (или совместно к новым предложениям и аксиомам) и получают новые предложения и т.д. Если после конечного числа шагов мы приходим к некоторому предложению, то говорим, что оно формально доказано. Данную процедуру более точно можно выразить следующим образом: формальное доказательство предложения Ѕ состоит в построении конечной последовательности предложений, такой, что (1) первое предложение есть какая-либо аксиома языка, (2) каждое из последующих предложений есть или некоторая аксиома, или непосредственно выводимо с помощью одного из правил вывода из каких-либо предложений, предшествующих ему в этой последовательности, и (3) последним предложением в этой последовательности является Ѕ.

Любая аксиоматическая теория, язык которой формализован и для которой имеет силу понятие формального доказательства, называется формализованной теорией. Мы оговариваем в качестве особого условия, что единственным доказательством, которым можно пользоваться в формализованной теории, является формальное доказательство. Ни одно предложение не может рассматриваться как теорема, если оно не появляется в списке аксиом или для него не может быть найдено формальное доказательство. Метод изложения формализованной теории на каждой стадии её развития является в принципе очень элементарным: мы сначала перечисляем аксиомы, а затем все известные теоремы в таком порядке, что каждое предложение из списка, не являющееся некоторой аксиомой, может быть непосредственно установлено как теорема просто путём сравнения его вида с видом предложений, которые предшествуют ему в списке, без привлечения для этого сложных видов рассуждения и убеждения. (Мы здесь не говорим о психологическом процессе, посредством которого теоремы открывались на самом деле). В результате обращение к интуитивной очевидности существенно ограничивается; сомнение относительно истинности теорем хотя целиком и не элиминируется, однако сводится к возможным сомнения относительно истинности немногих предложений, перечисленных в качестве аксиом, и к сомнениям в непогрешимости немногих простых правил доказательства. Мы можем добавить, что процесс введения новых терминов в язык теории также может быть формализован с помощью специальных формальных правил образования дефиниции.

Известно, что все существующие математические дисциплины могут быть представлены как формализованные теории. Формальные доказательства в них могут быть приведены для самых глубоких и самых сложных математических теорем, которые первоначально были установлены с помощью интуитивных аргументов.

Несомненно, что великим достижением современной логики была замена старого психологического понятия доказательства точным, простым понятием чисто формального характера, но именно простота нового понятия оказывается ахиллесовой пятой. Чтобы оценить понятие формального доказательства, мы должны выяснить его отношение к понятию истины. Прежде всего формальное доказательство является процедурой, стремящейся к получению новых истинных предложений. Такая процедура будет адекватной только в том случае, если все предложения, полученные с помошью доказательства, будут истннными, а все истинные высказывания могут быть доказанными. Таким образом, естественно возникает проблема: является ли на самом деле формальное доказательство адекватной процедурой для получения истины? Иными словами, совпадает ли множество всех (формально) доказуемых предложений с множеством всех истинных предложений? Мы рассмотрим эту проблему на материале частной, очень элементарной математической дисциплины, а именно арифметики натуральных чисел (элементарной теории чисел). Мы предполагаем, что эта дисциплина представляет собой формализованную теорию. Словарь теории состоит из переменных, таких, как m, n, p..., представляющих произвольные натуральные числа, из цифр 0, 1, 2..., обозначающих конкретные числа, символов, обозначаюших некоторые обычные отношения между числами и операции над числами, например, =, <, >, +, −, и, наконец, некоторых логических терминов ― пропорциональных связок («и»›, «или», «если», «не») и кванторов (выражений типа «для каждого числа», «для некоторого числа n»), синтаксических правил и правил вывода.

Из первого раздела мы знаем, что, взяв данный язык как язык-объект, мы можем построить соответствующий метаязык и сформулировать в нём материально адекватную дефиницию истины. Это позволяет нам утверждать, что все предложения, определённые с помощью этой дефиниции, составляют множество истинных предложений. В самом деле, дефиниция утверждает, что некоторым условиям, сформулированным в метаязыке, удовлетворяют все элементы этого множества, то есть все истинные предложения, и причём только эти элементы. Еще более легко можно сформулировать в метаязыке множество доказуемых предложений (дефиниция полностью согласуется с объяснением понятия формального доказательства, которое было дано во втором разделе). Строго говоря, дефиниции как истины, так и доказуемости принадлежат к новой теории, сформулированной в метаязыке и специально предназначенной для изучения формализованного арифметического языка. Новая теория называется метатеорией, или, более точно, метаарифметикой. Мы не будем рассматривать здесь в деталях тот путь, следуя по которому строится метатеория, её аксиомы, неопределяемые термины и т.д. Мы только обращаем внимание на то, что в рамках этой метатеории мы формулируем и решаем проблему, совпадает ли множество доказуемых предложений с множеством истинных предложений.

В нашей работе «Понятие истины в формализованных языках» было показано, что решение проблемы является негативным. Мы дадим здесь очень приближённое описание того метода, с помощью которого было получено это доказательство. Главная идея доказательства тесно связана с той идеей, на которую опирался Гёдель в своей знаменитой статье о неполноте формальных теорий⁸.

В разделе первом было отмечено, что метаязык, который позволяет нам определить и обсуждать понятие истины, должен быть достаточно богатым. Он содержит в целом весь язык-объект как свою часть, и поэтому мы можем говорить на нём о натуральных числах, множествах чисел, отношениях между числами и т.д. Но он также содержит и термины, необходимые для обсуждения свойств языка-объекта и его компонент. Следовательно, мы можем говорить на метаязыке о выражениях и, в частности, о предложениях, о множествах предложений, об отношениях между предложениями и т.д. Следовательно, в метатеории мы можем изучать свойства этих различных видов объектов и устанавливать связи между ними. Используя описание предложений, получаемых с помощью синтаксических правил языка-объекта, легко расположить все предложения (от простейших до всё более и более сложных) в бесконечный ряд и последовательно пронумеровать их. Мы соотносим с каждым предложением натуральное число таким образом, что два числа будут соотноситься с двумя различными предложениями. Другими словами, мы устанавливаем взаимнооднозначное соответствие между предложениями и числами. Это, в свою очередь, приводит к подобному же соответствию между множеством предложений и множеством чисел, а также отношений между предложениями и отношений между числами. В частности, мы можем рассматривать номера доказуемых предложений и номера истинных предложений. Для краткости мы назовем их доказуемыми номерами и истинными номерами. Наша главная проблема сведётся тогда к вопросу: являются ли тождественными множество доказуемых номеров и множество истинных номеров?

Ответ на этот вопрос будет отрицательным. Очевидно, достаточно указать только одно свойство, которое принадлежит одному множеству и не принадлежит другому. Это свойство, которое мы обнаружим, может представляться неожиданным, относящимся к виду deus ex machina.

Внутренняя простота формального доказательства и (формальной) доказуемости будет играть здесь основную роль. Мы видели в разделе втором, что значение этих понятий объясняется, по существу, с помощью некоторых простых отношений между предложениями, приписываемых им немногими правилами доказательства. Читатель мог бы вспомнить здесь правило modus ponens. Соответствующие отношения между номерами предложений точно так же просты; оказывается, их можно охарактеризовать с помощью простейших арифметических операций и отношений, таких, как сложение, умножение и равенство, то есть охарактеризовать в терминах, существующих в нашей арифметической теории. Как следствие, множество доказуемых номеров может быть охарактеризовано таким же образом, хотя это множество и было первоначально определено в метаязыке (путем ссылки на соответствующее множество доказуемых предложений). Эта дефиниция может быть заменена некоторым её эквивалентом, сформулированным в языке-объекте. Тем самым дефиниция доказуемости будет переведена с метаязыка на язык-объект.

С другой стороны, обсуждение понятия истины в обыденных языках решительно наводит на предположение о том, что никакого подобного перевода для дефиниции истины получить нельзя, ибо в противном случае было бы доказано, что язык-объект является в некотором смысле семантически универсальным, и это грозило бы вновь появлением антиномии лжеца. Мы подтверждаем это предположение, доказывая, что если бы множество истинных номеров могло быть переведено на язык арифметики, то в таком случае антиномия лжеца появилась бы и в этом языке. Однако, поскольку мы сейчас имеем дело с ограниченным формальным языком, антиномия приобрела бы здесь более утончённую форму (по сравнению с обычными формулировками антиномии лжеца).

Таким образом, множество доказуемых номеров не совпадает с множеством истинных номеров, поскольку первое определимо на языке арифметики, тогда как последнее не определимо. Следовательно, множества доказуемых предложений и истинных предложений не совпадают друг с другом. С другой стороны, используя дефиницию истины, мы легко доказываем, что все аксиомы арифметики являются истинными и все правила доказательства являются непогрешимыми. Следовательно, все доказуемые предложения являются иститиными, тогда как обратное высказывание не имеет силы.

В результате мы приходим к выводу, что существуют предложения, сформулированные на языке арифметики, которые являются истинными, но не могут быть доказаны формально на основе аксиом и правил доказательства, принятых в арифметике. Можно подумать, что данное заключение существенным образом зависит от специфических аксиом и правил вывода, выбранных для арифметической теории, и что окончательный исход дискуссии мог бы быть иным, если бы мы соответственным образом обогатили теорию, введя в неё новые аксиомы или новые правила вывода. Однако более тщательный анализ показывает, что вывод очень мало зависит от специфических свойств обсуждаемой теории и что он распространяется и на большинство других формализованных теорий. Предполагая, что некоторая теория включает в себя арифметику натуральных чисел (или что по крайней мере арифметика может быть реконструирована в ней), мы можем повторить существенную часть аргументации в практически неизменном виде. Таким образом, мы вновь придём к выводу, что множество доказуемых предложений данной теории отличается от множества истинных предложений. Более того, если мы можем показать (как это часто бывает), что все аксиомы теории являются истинными и все правила вывода непогрешимыми, то мы далее заключаем, что в данной теории существуют истинные предложения, которые недоказуемы. За исключением некоторых элементарных теорий вывод о несовпадении понятий истинности и доказуемости справедлив по отношению ко всем другим формализованным теориям и, следовательно, имеет почти универсальный характер.

Доминантная роль, которую в общей аргументации играет антиномия лжеца, раскрывает в интересном свете замечания, сделанные в первом разделе относительно роли антиномий в истории человеческой мысли. Антиномия лжеца впервые появляется в нашей дискуссии как разновидность злой силы, обладающей большой разрушительной энергией. Она принуждает отклонить все попытки прояснения понятия истины для естественных языков и заставляет ограничиться формализованными языками научного рассуждения. В качестве гарантии против возможного появления данной антиномии мы вынуждены были существенно усложнить дискуссию, вводя различие между языком и его метаязыком. Однако впоследствии в новой ограниченной области оказалось возможным «приручить» деструктивную энергию и использовать её в мирных, конструктивных целях: антномия не появляется, но её основная идея используется для достижения существенного методологического результата с далеко идущими следствиями.

Тот факт, что философские следствия этого результата негативны по своему характеру, нисколько не уменьшает его значения. Этот результат показывает, что в сфере математики понятие доказуемости не является совершенным заместителем понятия истины. Вера в формальное доказательство как адекватный инструмент для установления истины всех математических утверждений является необоснованной. За начальным триумфом формальных методов следует серьезное затруднение.

Понятие истины для формализованных теорий может быть введено посредством формально точной и материально адекватной дефиниции. Поэтому оно может быть использовано без каких-либо ограничений и оговорок в метатеоретических дискуссиях. Понятие истины действительно стало фундаментальным металогическим понятием, которое приводит к важным проблемам и результатам. С другой стороны, понятие доказательства также не потеряло своего значения. Доказательство все еще является единственным методом, используемым для утверждения истинности предложений в рамках любой математической теории. Однако теперь мы осознаем тот факт, что существуют предложения, сформулированные на языке данной теории, которые являются истинными, но недоказуемыми, и мы не можем не принимать в расчёт возможность того, что некоторые такие предложения имеются и среди тех, в которых мы заинтересованы и которые мы пытаемся доказать. Следовательно, в некоторых ситуациях у нас неизбежно должна возникать потребность расширения множества доказуемых предложений. С этой целью мы обогащаем данную теорию, включая новые предложения в систему её аксиом или вводя в неё новые правила доказательства. Осуществляя это, мы пользуемся понятием истины как своеобразным ориентиром, ибо мы стремимся добавлять новые аксиомы или новые правила доказательства только в том случае, если имеем основание полагать, что новые аксиомы являются истинными предложениями или что новые правила доказательства, если их применять к истинным предложениям, не могут привести к предложениям ложным.

В обогащённой теории множество доказуемых предложений является более обширным, чем в исходной теории, но оно всё еще не содержит всех истинных предложений. Этот процесс расширения теории, конечно, может быть повторен бесконечное число раз. Понятие множества истинных предложений функционирует, таким образом, как некий идеальный предел, который никогда не может быть достигнут, но к которому мы пытаемся приблизиться путем постепенного расширения множества доказуемых предложений. (Вероятно, понятие истины, хотя и по другим причинам, играет аналогичную роль и в сфере эмпирического знания). В истории математики не существует конфликта между понятиями истины и доказательства.

___________________________

¹ С детальным обсуждением предмета можно познакомиться по монографии автора «Понятие истины в формализованных языках», входящей в книгу «Логика, семантика, метаматематика» (A. Tarsky. Logic, Semantics and Metamathematics. Papers from 1923 to 1938. Oxford. 1956, pp. 152-278). Читатель может также получить из этой монографии более подробные библиографические ссылки, опущенные в данной статье. Против изложенных здесь идей выдвигались различные возражения, многие из них обсуждались в моей работе «Семантическая концепция истины и основания семантики» (A. Tarsky. The Semantic Conception of Truth and the Foundations of Semantics. «Philosophy and Phenomenology Research», 1944, vol. 4, pp. 341-376). вернуться к тексту ^

² Аристотель. Метафизика, IV, 7, 1011 b 20. М.—Л., Соцэкгиз, 1934, стр. 75. Здесь и в последующем обсуждении слово «ложный» означает то же самое, что и выражение «неистинный», и может быть заменено последним. вернуться к тексту ^

³ В современной философской литературе обсуждаются также и некоторые другие концепции и теории истины, например, концепция утилитарности и теория когеренции. Эти концепции, видимо, являются концепциями исключительно нормативного характера и слабо связаны с действительным использованием термина «истинное». Ни одна из них не сформулирована пока ещё с достаточной степенью ясности и точности. Они не будут обсуждаться в этой статье. вернуться к тексту ^

⁴ У автора в этом и других аналогичных местах речь идёт о соответствующих выражениях английского языка. вернуться к тексту ^

⁵ См. B. Mates. Stoic Logic. Berkeley and Los-Angeles, 1953, в частности, стр. 42, 84. вернуться к тексту ^

⁶ Исчерпывающее её обсуждение можно найти в обширном труде: Rivetti Barbo. L’antinomia del mentitore nel pensiero contemperanto. Da Peirce a Tarski. Milan, 1961. вернуться к тексту ^

⁷ Идеи, представленные в последующей части этого раздела, подробно разработаны в моей книге «Введение в логику и методологию дедуктивных наук». М., ИЛ, 1949, гл. VI. Некоторые очень близкие идеи могут быть обнаружены в более ранней литературе. Например, в статье Б. Паскаля «De l’esprit geometrique et de l’art de persuader». In: B. Pascal. Oeuvres complètes. Paris, 1954. вернуться к тексту ^

⁸ K. Gödel. On Formally Indecidable Propositions in the Principia Mathematica and Related Systems. In «The Indecidable». N.Y. 1965, pp. 5-58. вернуться к тексту ^

1. Выступление С. М. Антакова
«Возможность истории II. Генеральный метод истории» — часть 1

Видео, 25 минут (.mpg 489 Мб)

2. Выступление С. М. Антакова
«Возможность истории II. Генеральный метод истории» — часть 2

Видео, 23 минуты (.mpg 429 Мб)

3. Выступление С. М. Антакова
«Возможность истории II. Генеральный метод истории» — часть 3

Видео, 14 минут (.mpg 261 Мб)

4. Свободное обсуждение доклада С. М. Антакова

5. Аудиозапись доклада С. М. Антакова

Аудио, 1 час 2 минуты (.wma, 122 Мб)

6. Аудиозапись вопросов по докладу С. М. Антакова

Аудио, 44 минуты (.wma, 84 Мб)

7. Аудиозапись выступлений других участников семинара

Аудио, 1 час 6 минут (.wma, 130 Мб)

1. Выступление С. М. Антакова «Возможность истории I. Апория трансцендентальных оснований субъект-объектного дуализма теоретического знания»

Видео, 1 час 15 минут (.mpg 1,4 Гб)

2. Обсуждение доклада

Видео, 13 минут (.mpg, 285 Мб)

3. Аудиозапись полной версии семинара

Аудио, 2 часа 18 минут, 272 Мб.

4. Текстовая версия доклада

Текст во многих местах изменён и расширен по сравнению с устным докладом, в нём, в частности, появился новый раздел «Кривизна (несоизмеримость, или иррациональность) бытия относительно мышления. Континуум как модель бытия».

Материал закрыт для просмотра с 30 ноября 2010 г.

Дедукция из этих начал различных логических систем означает их прямое математико-логическое обоснование в том смысле, который вкладывался в понятие обоснования Декартом и Гуссерлем, и принципиально отличается от сложившегося в ХХ веке традиционного математико-логического обоснования, которое является, по существу, косвенным. Методология последнего разрабатывалась К. Поппером применительно к области математического естествознания. Своеобразное epochē Поппера, обратное к феноменологическому, заключалось в его сознательном отказе обсуждать прямой метод, выраженном в терминах отделения «контекста открытия» от «контекста обоснования». Тем самым обоснование редуцируется им к вполне опредмеченной, манипулятивной и лишенной трансцендентальных корней «деятельности», то есть к механическому процессу («пробам и ошибкам»).

Исходным предметом классической онтологии, обосновывающей силлогистики Н.А. Васильева и аристотелевскую, является простой (неделимый) предмет, называемый монадой. Её мышление парадоксально (противоречиво) — так Парменид мыслит бытие в виде ограниченного Сфайроса — и потому порождает три двойственных (двусложных) предмета, называемых диадами, и одиннадцать триад (тройственных предметов). Протологика доводит число диад до пяти, а триад – до пятидесяти четырех, рассматривая также различные единства этих предметов, мыслимые в двух модусах – конъюнктивном и дизъюнктивном.

К этим предметам в протологике добавляются также её служебные предметы — иконы и имена. Иконы, простые (неделимые) имена и сложные имена-описания суть предметы своего рода, выражающие предметы онтологии, создающие предметы протологики и указывающие на предметы. Имена могут порождаться по внутренним правилам языка независимо от онтологии и в силу этой автономии языка могут быть «пустыми» («ложными», «неправильными» в отношении онтологии), то есть ничего не выражать и не создавать и ни на что не указывать. Это создает кардинальное затруднение протологики и логики, известное как проблема истины.

В классической протологике можно определить только пять простых категорических протологических суждений, тринадцать простых категорических и двенадцать сложных категорических протологических умозаключений, но они являются прообразами бесконечного множества простых категорических суждений и умозаключений классической логики.

Эффективность предложенной концепции обоснования продемонстрирована её развитием вплоть до полной дедукции двух близких разновидностей классической силлогистики — аристотелевской и неаристотелевской (Н.А. Васильева). Эта дедукция является, по существу, переводом протологических силлогизмов на языки соответствующих логик. В частности, строго и экономно дедуцированы полные списки правильных модусов простого категорического силлогизма в силлогистиках Васильева (девять модусов) и аристотелевой (двадцать четыре модуса), решены поставленные Васильевым вопросы о законе исключенного третьего (или его аналогах) и исключенного противоречия.

Теорема Гёделя говорит о формальной арифметике в терминах непротиворечивости и полноты, которые можно определить для любой формальной системы известным образом. Система непротиворечива, если не позволяет доказать ни одного ложного предложения, и полна, если позволяет доказать все истинные предложения, написанные по её правилам. Центральным пунктом Гёделева доказательства является демонстрация так называемого предложения (формулы) Гёделя G. Оно появляется за пределами арифметики чудесным образом, в силу безграничной творческой способности языка, и выражает собственную недоказуемость. Его смысл передаётся неформальным предложением «Я – недоказуемое предложение». Иными словами, G есть предложение «Предложение G недоказуемо». Удивительным образом «G» равносильно «G недоказуемо».

Можно представить, что идея доказательства заключается в рассмотрении альтернатив «G доказуемо» и «G недоказуемо». Если G доказуемо, то G ложно, поскольку говорит о собственной недоказуемости. Но если G доказуемо и ложно, то арифметика противоречива. Ну а если G недоказуемо, то G истинно, так как и утверждает собственную недоказуемость. Тогда арифметика неполна. Истинна первая либо вторая альтернатива. Так получается дизъюнктивная формулировка теоремы Гёделя: (формальная) арифметика противоречива либо неполна. Если первая альтернатива ложна, то вторая истинна. Эта даёт одну из четырёх возможных импликативных формулировок, самую известную: если арифметика непротиворечива, то она неполна.

То, что действительно сложно в доказательстве теоремы – это формализация (арифметизация) предложения Гёделя, то есть его построение по синтаксическим правилам логико-арифметической системы. Для этого и служит хорошо известная идея гёделевых номеров.

Предложение Гёделя аналогично предложению лжеца «Я лгу», рассматриваемого в антиномии лжеца. Говорят, что «разрушительная» для знания, как любое противоречие, антиномия лжеца решается Гёделем (и Тарским) путём разделения понятий истинности и доказуемости (материального и формального аспектов истины) и преобразуется в средство доказательства положения, имеющего большое познавательное значение. И это, якобы, есть положение о (безусловной) неполноте формального, то есть подлинно научного, знания.

Последнее можно оправдать только верой. Поскольку нам труднее смириться с противоречивостью знания, чем с его неполнотой, и поскольку с противоречиями мы успешно справлялись, а неполнота почти всякого знания кажется очевидной и в исторической перспективе неустранимой, мы верим в непротиворечивость знания. А значит, признаём предложение Гёделя истинным.

Дадим предложению лжеца имя Е в честь Евбулида, предполагаемого автора антиномии. Удивительным образом «Е» равносильно «Е ложно». Антиномия лжеца заключается в рассмотрении альтернатив «Е истинно» и «Е ложно», подобных альтернативам «G доказуемо» и «G недоказуемо». Если Е истинно, то Е ложно, поскольку говорит о собственной ложности. По той же причине, если Е ложно, то Е истинно. В любом случае наше знание о «лжеце» и, следовательно, о мире, в котором есть «лжец», оказывается противоречивым.

Однако можно заметить тонкое различие в понимании истинности антецедента и консеквента импликаций «Если Е истинно, то Е ложно» и «Если Е ложно, то Е истинно». Полагаемая антецедентом истина (ложь) не доказывается, а полагается произвольно, и в этом смысле она материальна. Ложность (истинность) консеквента дедуцируется из (смысла) предложения Е и с этой точки зрения формальна. Формальность истины (лжи) в этом контексте понимается не так, как в пропозициональной логике, а специальным образом – как её, истины (лжи) доказуемость (опровержимость). Соответственно, и материальность истины (лжи) надо понимать как её недоказуемость (неопровержимость).

Впрочем, есть основания считать истинность антецедента формальной именно потому, что она произвольна, а истинность консеквента – материальной, поскольку она интуитивно извлечена из смысла предложения лжеца. Однако вопрос, является ли данная истина материальной или формальной, не всегда корректен. Так, вводя аксиому в теорию, какую истину мы этим полагаем – материальную или формальную? Аксиома – граница между позитивным (предметным, формальным) знанием и позитивным же незнанием. Она – начало цепочки слов, выражающей доказательство, и, в силу причастности к концу этой цепочки – формальная истина. Она же есть конечный результат в целом безотчётного интуитивного мышления и тем самым – материальная истина.

Так или иначе, антиномия лжеца преобразуется в рассмотрение следующих альтернатив. Если Е материально истинно (истинно, но недоказуемо), то Е формально ложно (опровержимо). Если же Е материально ложно (ложно, но неопровержимо), то Е формально истинно (доказуемо). Противоречие исчезает, преобразуясь в выражение логических презумпций ложности (виновности) и истинности (невиновности), которые выбираются нами как средства разрешения неопределённости (неполноты) знания в зависимости от наших прагматических целей.

Может показаться, что предложение, утверждающее собственную недоказуемость, незаконно и не годится для доказательства теоремы о неполноте теории, ибо говорит нечто о самом себе, а не о внетеоретической реальности – предмете теории. Но предложение Гёделя отрицает представление о себе как результате процесса доказательства, и это значит, что оно говорит не столько о себе, сколько о своём истоке и своей истории, не представленной в теории последовательностью слов, начинающейся с аксиом. Оно говорит о своей «беззаконности», или, говоря языком Канта, ноуменальности, существовании в силу «свободной причинности». Следовательно, оно выражает трансцендентальную истину в её несогласных (материальном и формальном) аспектах, что вполне согласуется с предложением считать формулу Гёделя образом метафизического высказывания лжеца «Я лгу».

Симметричная конструкция
Работа Алексея Андреева

Так, можно прочитать или услышать², что религия и философский идеализм являются симулякрами. В таком случае симулякр приносит пользу своему пользователю как орудие субъективной диалектики, как разновидность аргумента к авторитету, к которому прибегают в случае нехватки философско-научных аргументов для убеждения тех, для кого постмодернизм обладает притягательностью авторитета. Но почему идеализм является симулякром, а материализм — нет, почему в таком случае философия и культура вообще не оказываются симулякрами, это наш философ объяснять отказывается. Вот если бы он был последователен, то называл бы, глядя на Бодрийяра (в «Системе вещей») симулякрами («образами без прообраза») Природу и Историю.

Хотя бы поэтому рассматриваемое понятие и способы употребления соответствующего термина заслуживают внимания. Следовало бы объяснить притягательность «симулякра» для многих авторов. Ведь определяют же его попросту как муляж; имитацию образа, за которым нет действительности; пустую скорлупу и т. п., а, тем не менее, «муляжу» и прочим понятным словам предпочитают таинственный «симулякр». И, думаю, дело здесь не только в слепом следовании философской моде.

Свершение невозможного, Р. Магритт, 1928

Что, если симулякр принципиально нельзя определить, или, определяя его, необходимо допускать заведомое противоречие в определении? Может быть, симулякр, как экзистенция, неопределим, ибо не есть эссенция? Действительно, анализ показывает, что симулякр есть теоретический образ самого диалектического субъекта, озабоченного отнюдь не формальной логичностью, а практической (материальной) адекватностью, то есть, в частности, материально понимаемой пользой. А тот, кто без всякой рефлексии и философского отчёта использует «симулякр» в качестве бранного слова, сам при этом уподобляется симулякру и допускает, таким образом, перформативное противоречие. Является лжецом, которого, впрочем, трудно разоблачить.

Доверимся Бодрийяру и примем, что «Симулякр – это вовсе не то, что скрывает собой истину, – это истина, скрывающая, что ее нет. Симулякр есть истина»³. Понять это можно, признав: симулякр есть истина, говорящая, что она – ложь. Вот и Джеймисон определяет симулякр как «точную копию, оригинал которой никогда не существовал»⁴. Но использование термина «копия» с необходимостью предполагает существование оригинала. И это существование тем более необходимо в силу того, что копия называется точной (или неточной), только если она сравнивается с оригиналом. Поэтому определение Джеймисона внутренне противоречиво и, с классической точки зрения, так «определённый» симулякр есть ложь-противоречие. Тем не менее, есть возможность признать, что он существует, если понимать его как лжеца из антиномии лжеца: то, что говорит последний, ложно, но оно сказано и тем самым онтологически истинно.

Противоречие Джеймисона можно решить, признав, что «копия без оригинала» – это и есть оригинал. В этом скрывается возможность позитивности симулякра. И вместе с негативностью открывается его когнитивная амбивалентность. И тогда симулякр есть «лжец», признающийся в том, что он лжёт; он есть онтологизированная (персонифицированная) антиномия лжеца. Сущность не может существовать, если она противоречива в себе, следовательно, симулякр не сущность, но само личностное и самопротиворечивое существование. В частности, таковы гегелевский Абсолютный Дух и диалектическая самосознающая материя диалектических материалистов.

«Дверь, отверстие в стене для входа и выхода...»
(Словарь русского языка)

Итак, симулякр, как «лжец» из антиномии лжеца, не истинен и не ложен, он не истинствует и не лжёт. Он простое есть, он истинен сам по себе, в онтологическом понимании истины. Так истинна культура, не будучи образом природы или божественной идеи. Однако «объективный наблюдатель» может интерпретировать его как истинствующего либо лгущего. Обе интерпретации тогда были бы частичными и ложными в смысле лжи как неполноты (недостатка) истины редукциями.

Антиномия лжеца является прообразом математически строгого рассуждения, показывающего несовершенство доказательного знания, то есть несовместимость его идеалов непротиворечивости и полноты. Далее, из антиномии следует, что я как свидетель высказывания (другого человека) «Я лгу» не могу узнать, истинно ли это высказывание, пользуюсь методами «позитивных» наук (пользуясь, как сказал бы Дильтей, методом «наук о природе», то есть методом объяснения). Тем не менее, можно (но совершенно не обязательно) непосредственно, не рассуждая, понять высказавшегося как высказавшего истину. «Я лгу» истинно, как крик младенца или вопль «Каюсь, грешен!»

Знание, если это объективируемое, сообщаемое другому знание, несовершенно именно потому, что невозможно сообщить некоторую истину (в частности, выражаемую предложением «Я лгу»), которая, таким образом, оказывается неотчуждаемой. Это несовершенство знания, очевидно, есть его неполнота.

Рассуждая о симулякре, постмодернисты ссылаются на Платона, однако это не должно вводить в заблуждение: их понимание симулякра существенно отличается от платоновского. У Платона «симулакрум» – это «копия копии», «вырожденная копия», прообраз которой – не трансцендентная вечная и совершенная идея, а её несовершенная копия. Это «тень тени», несомненная ложь. Такое понимание является репрезентационистским, поскольку исходит из классического репрезентационистского определения истины как истины-корреспонденции (знания-образа, соответствующего предмету знания как прообразу). Постмодернисты отказываются от трансцендентного прообраза, отказываются от репрезентационизма и принимают кантианский конструктивизм, изменяя при этом – что вполне понятно – оценку симулякра с отрицательной на положительную. У них симулякр истинствует, а не лжёт. Или, лучше сказать, истинствует, даже когда лжёт. Истинствует и вместе с тем лжёт, как лжец из антиномии лжеца.

Таким образом, понятие симулякра могло возродиться у постмодернистов лишь на почве кантианского конструктивизма. Если использовать постмодернистский термин «симулякр» в его точном значении, то у Канта всякий феномен может быть назван симулякром, так как он не является образом вещи в себе (объекта), но сконструирован интеллектом.

¹ Можейко М. А. Симулякр // Новейший философский словарь. 2-е изд., перераб. и доп. Мн.: Интерпрессервис; Книжный Дом, 2001. С. 900.
² Прохоров М. М. Реальное, мнимое, симулятивное: бытие и мышление. Пленарный доклад на конференции 21.11.09. Приятно видеть плоды кантианской критики: в публикуемом в данном сборнике тексте М. М. Прохоров снял наиболее одиозные устные утверждения.
³ Jean Baudrillard, Simulacres et simulation, Galilee, 1981, p. 9. Цит. по: Зенкин С. Жан Бодрийяр: время симулякров // Бодрийяр Ж. Символический обмен и смерть / Пер. и вступ. статья Зенкин С. Н. 2-е изд. М.: Добросвет, КДУ, 2006. С. 8.
⁴ Цит. по: Можейко М. А.. Симулякр // Новейший философский словарь. 2-е изд., перераб. и доп. Мн.: Интерпрессервис; Книжный Дом, 2001. С. 900.

Разум в поисках основания

Работа Алексея Андреева — «Весенние наблюдения звезд»

Догматическую же метафизику критическая философия «чистого разума» находит безосновательной и потому ненаучной. Таким образом, первая «Критика» представляет собой фундаменталистскую метафизику. Поскольку своеобразное обоснование или, лучше сказать, моральное оправдание догматической метафизики всё же проводится Кантом в «Критике практического разума», в последней можно усмотреть – при надлежащем определении философского нефундаментализма – образец именно нефундаменталистской метафизики. Итак, две метафизики, «вторая критическая», содержащаяся во второй «Критике», и догматическая, критикуемая в первой «Критике», оказываются (с точки зрения результата, а не метода) тождественными у самого Канта.

Кантианская «первая» (фундаменталистская) критика метафизики имеет своим началом антиномии чистого разума, – самопротиворечия, к которым приходит догматический разум, когда отвечает на метафизические вопросы, полагаемые им корректными. Критика решает антиномии путём полагания вещи в себе, то есть разделения феноменального («позитивного») и ноуменального («негативного») «предметов», разделения, из которого в конечном итоге и следует признание некорректности догматически-метафизических вопросов и ненаучного характера метафизики. В предшествующих антиномике разделах «Критики чистого разума» Кант обосновывает математику и математическое естествознание как научные дисциплины. Он не подозревает, что в будущем в них самих будут открыты антиномии, подобные (а в своей трансцендентальной глубине тождественные) космологическим и угрожающие их основаниям, как будто уже найденным Кантом. В конце XIX – начале XX вв. стали известны антиномии в самой математике (особенно в теории множеств): антиномии Кантора, Рассела, Ришара и др. В этот ряд по праву ставится и антиномия лжеца. Известная ещё в древности, она донесла до ХХ века свой по видимости неисчерпаемый метафизический потенциал, став основанием семантической теории истины и теоремы о невыразимости истины Тарского, теоремы о неполноте формальной арифметики Гёделя и ряда гуманитарных (психологических, социологических, философско-исторических) концепций.

Антиномия, или внутреннее противоречие

Работа Алексея Андреева — Internal contradiction

Антиномии, или парадоксы, были обнаружены и в неклассической, в частности, квантовой, механике. В отношении квантовомеханических парадоксов кантианство оказалось наиболее уместной философией, явно или неявно использованной в копенгагенской интерпретации квантовой механики. По существу, эти парадоксы были решены Бором по неявному образцу кантианского решения космологических антиномий. Вместе с тем, из достижений посткантианских математики и теоретического естествознания квантовая механика более, чем открытие неевклидовых геометрий, обнаружила неадекватность кантианской философии науки в том, что та радикально отделила «физику» от метафизики и математику от «метаматематики». (Последнее имя можно писать без кавычек, поскольку оно, благодаря Гильберту, закрепилось за ветвью математики, обосновывающей прочие ветви математики, но не обосновывающей саму себя). Математический дуализм (двойственность) квантовой механики соответствует антиномичности «чистого разума», обнаруживаемой тогда, когда он ставит перед собой задачу познания «негативных предметов». Дуалистическая корпускулярно-волновая картина мира, или онтология, рисуемая квантовой механикой, соответствует двум догматическим метафизикам, предстающим в тезисах (с одной стороны) и антитезисах (с другой стороны) космологических антиномий. Таким образом, квантовая физика имеет отчётливый метафизический характер, и она неклассична относительно продолжаемой Кантом классической (фундаменталистской) традиции радикального размежевания метафизики и «физики».

Д. Ритцер — Иммануил Кант

Если, как полагал Кант, антиномии действительно свидетельствуют о ненаучности знания, то обнаруженные в основаниях математики и теоретической физики антиномии и парадоксы ставят под сомнение научность этих дисциплин, наделяют их «ненаучным» статусом метафизики и стирают чёткие границы между математикой, физикой и метафизикой, установленные Кантом и всей предыдущей традицией, идущей от Парменида. Это показывает, что кантианская философия математики и математического естествознания нуждается в глубокой коррекции, которая может быть проведена согласно принципам критической философии самого же Канта (а также нефундаменталистской философии Гегеля). Развитие науки с конца XIX века привело к необходимости снова ставить и решать проблемы обоснования и критериев научности. Более того, оно потребовало возвращения единства математики, физики и метафизики, утраченное традицией Парменида, Платона и Канта.

Парменид спас теоретическое знание от противоречия, им же и открытого, обрекая его на неполноту. Противоречивым оказалось знание о движении и множестве, то есть о природе, и неотделимое от него математическое знание. Элейская мысль устремилась в следующем направлении: знание о движении и множестве противоречиво, однако противоречия можно избежать, если отказать движению и множеству в статусе истинно сущего. Такое решение и приняли элеаты, и их выбор есть вместе с тем выбор неполноты, ограничивающий знание метафизикой (онтологией – учением о парменидовом бытии). Пифагорейская «наука» (математика и физика) была при этом отвергнута.

Курт Гёдель

Искусственным размежеванием науки и философии, или «физики» и метафизики, а также отсутствием интереса у большинства математиков к основаниям математики (то есть к философии) и у большинства философов к математике можно объяснить известные протесты математиков и философов против использования теоремы Гёделя о неполноте в роли философского аргумента. В действительности же Кант предвосхитил в первой «Критике» (1781) идею этой знаменитой теоремы (1931). Он ясно высказал мысль: как только разум в своем стремлении к полноте знания (а в «гегелевской» исторической перспективе это значит – к полноте своего бытия, или бессмертию) пытается постичь мир в целом, он вступает в самопротиворечие, избавиться от которого можно только ценой неполноты теоретического научного знания. Налицо то же отношение несовместимости между критериями полноты и непротиворечивости совершенного теоретического знания, которое ровно через 150 лет было выявлено в отношении образцового математического знания – формальной (теоретической) арифметики – теоремой Гёделя. Последний вывел его из формального аналога антиномии лжеца, в основании же последней, так же как апорий Зенона и кантианских антиномий, лежит антиномия опредмечивающего мышления («антиномия Парменида»).

Как видно, Кант повторил выбор Парменида: спасая теоретическое знание от противоречий (антиномий чистого разума), он ограничил его. При этом, однако, Кант отказал в научности метафизическому знанию, зато признал и обосновал в качестве научного математическое и физическое знание.

В философии науки известны проблемы демаркации, то есть разделения знания. Для фундаменталистской (ищущей основания знания) философии науки они не менее важны, чем проблемы обоснования знания, и непосредственно связаны с ними, как то можно видеть на примере кантианского разделения научного знания и метафизики. Демаркацию обычно определяют как разграничение, установление пределов, маркерных линий. Демаркация – частный случай маркирования (клеймения), наделения искусственными признаками. Но приставка «де» означает удаление, отмену, так что демаркацию можно понимать не только как установление границ, но и как их устранение.

Многие старые проблемы метафизики имею характер демаркации. Философия сначала пытается теоретически разделить один из своих эмпирически данных предметов (например, знание) на две противоположности, а достигнув этой цели, находит состояние разделённости неудовлетворительным и стремится восстановить исходную целостность, произведя её теоретический синтез на новых основаниях. Успех же в решении проблем разъединения и соединения всегда относителен, всегда уязвим для критики.

   Фотография сделана Pierre J.

Проблема демаркации есть проблема разумного раздела или передела. Но чтó разумно? Представления о разумности менялись в истории мысли. Вот почему однажды разделённое приходилось воссоединять и разделять заново.

Разумность демаркации есть её искусственность. Граница между земным и небесным мирами представлялась людям античности и средневековья естественной и разумной, а людям нового времени – иллюзорной и искусственной. Известные нам границы между живым и неживым, разумным и неразумным, искусственным и естественным, совершенным и несовершенным, прошедшим (свершвшимся) и будущим (несвершённым) мнятся нам как разумные и естественные. Но устоит ли наша вера перед очередной критикой разума?

По существу, решая проблему демаркации, Дильтей определил Naturwissenschaft (естествознание, буквально «наука о природе») как науку о природе, а Geisteswissenschaften (гуманитарные науки, буквально «науки о духе») – как науки о духе. С точки зрения критической философии, это дильтеево разделение естествознания и истории (то есть гуманитарных знаний) по их предполагаемому предмету выглядит поверхностным и картезиански-субстанциалистским. Позднее неокантианцы-баденцы (Виндельбанд и Риккерт) поступили более утончённо, положив в основу размежевания не предмет как производное метода, а самый метод.

Но и их решение неудовлетворительно. Во-первых, генерализующий (по Риккерту – собственно естественнонаучный) метод обнаруживается и в историческом познании, а индивидуализирующий (собственно исторический) метод – в естествознании. Не только в физике, но и в истории можно выделить эмпирический и теоретический уровни познания, отвечающие на вопросы «как это было?» и «почему это было?» соответственно. История тоже может успешно предсказывать (а физика – ошибаться в своих предсказаниях). Во-вторых, что более важно, но менее заметно, генерализация и индивидуация не являются собственными методами естествознания и истории, которыми учёные сознательно пользовались бы для достижения своих научных целей. Это методы-эпифеномены, методологические (а именно, логические) образы физики и истории, созданные сторонним наблюдателем-философом с целью, чуждой физикам и историкам, пока они не перешли на философскую позицию, – теоретически (метатеоретически) реконструировать предметные области и методы этих наук.

Сегодня философская воля направлена на устранение «методологической пропасти» между природоведением и гуманитарией, отвергнутой не столько Виндельбандом и Риккертом, сколько их предшественниками на этом поприще – признанными основателями метафизической традиции Парменидом² в древности, а в новое время – Декартом и Кантом. Установить границы сегодня позволительно только для того, чтобы тут же их уничтожить, показав их условность и относительность или, при более радикальном взгляде, их невозможность.

Чистая история и её предмет

Далее реализуется явно объективистский подход к проблеме предмета истории, предполагаемый уже одним лишь использованием термина «предмет истории». Когда Дильтей утверждает, что дух есть предмет исторического познания, то не предполагает ли он тем самым возможность опредмечивания этого духа? В полагании духа предметом истории можно усмотреть диалектическое противоречие и решить его так, что дух, хотя и опредмечивается, но в истории познания не может быть опредмечен полностью. Опредмечивающее исследование духа подобно бегу зеноновского Ахиллеса за черепахой.

Разделить предмет познания по основанию качества (модусов) времени – более плодотворная идея, чем соответствующие идеи Дильтея и неокантианцев. Противопоставление главных ветвей знания по модусам времени глубже, чем противопоставление, производное от оппозиции картезианских субстанций, и само могло бы служить прообразом последнего. И разве здравомыслящие современники Дильтея стали бы отрицать, что предметом истории является прошлое? Надо только договориться о том, чтó есть прошлое.

Следующее принципиальное определение при желании можно упрекнуть в некоторой тавтологичности, но, как известно логикам, не существует полезных определений, которые были бы безупречными и в прочих отношениях. Что касается изощрённых логиков (как, например, Есенин-Вольпин³), то они, напротив, исходят из признания абсолютной ценности тавтологии. Но более серьёзным обвинением было бы признание этого определения объективистским, лаже кантиански-объективистским. Ведь известный субъективизм Канта дополняется его не менее очевидным объективизмом, так же как агностицизм в отношении вещей самих по себе – оптимизмом в отношении познаваемости явлений.

Итак, прошлое как предмет чистой истории (то есть истории, не нуждающейся в естественнонаучном методе) есть идеальное совершенное (завершённое) событие или последовательность таковых, не оставляющая различимых естественных (непроизвольных) следов, или образов, которые сделали бы возможным собственно естественнонаучное исследование предмета.

Из этого определения следует, что знание предмета чистой (неестественной) истории возможно лишь благодаря созданию и сохранению искусственных следов (образов) исторических событий, то есть благодаря культивированию культуры.

Поскольку естественная человеческая память о чисто исторических событиях исчезает достаточно быстро (в частности, по причине смерти свидетелей), постольку предмет чистой истории включает в себя настоящее. Строго говоря, история не знает различия между прошлым и историческим настоящим, – настоящим в том условном смысле, который только что был разъяснён: настоящее событие то, физические следы которого различимы.

Поясню эту мысль следующим образом. В настоящем имеет место событие, которое всегда можно описать чисто физически, как всякое более или менее сложное физическое явление. Так, например, Витгенштейн утверждал, что мир определён фактами и тем, что это все факты⁴, и предлагал представить полное описание мира – все движения всех тел в живом и неживом мире, все состояния сознания всех когда-либо живших человеческих существ⁵. Однако физические следы любого случайного события (имею в виду отличие случайного как иррегулярного от регулярного, отличие социально-исторического события от такого физического события, как, например, видимое обращение небесных светил вокруг Земли) быстро исчезают. Но если иррегулярное событие имело смысл и значение для людей, они пытаются сохранить его в памяти и искусственной памяти, создавая его след, искусственный образ. Быстрое естественное разрушение следов иррегулярных событий и естественное сохранение образа прошлого регулярно повторяющегося события путём его многократного повторения определяет лицо естественной истории, реконструируемой естествознанием. Такая история диаметрально противоположна общественной (гуманитарной) истории.

На этом пути можно применить математически-философские соображения и показать условность и размывание границы между историей (сферой иррегулярного, случайного) и естествознанием (сферой регулярного или регуляризуемого, детерминированного). Только бесконечный ряд событий может быть безусловно иррегулярным и абсолютно случайным, но в опыте таких рядов не может быть дано.

Представление о будущем

Исходя из презумпции дуализма, противостояния, контрадикторности естествознания и истории как регионов научного знания, необходимо признать, что предмет естествознания противостоит предмету истории. Такова логика Дильтея, противопоставлявшего природное и духовное в предмете знания, и баденцев, противопоставлявших общее и особенное в методе. В силу указанного предложения о трансформации проблемы демаркации, аналогичное противопоставление должно иметь место и в отношении исторического времени. Но что противостоит прошлому? Будущее?

Верящих в исторический прогресс легко было бы убедить в последнем. Ведь если история повёрнута лицом к прошлому, чтобы видеть, как мало в нём утешительного, то, конечно, естествознание, или научный Разум (то, что профанная методология называет наукой в значении социального института), с оптимизмом смотрит в будущее. Предсказание и есть одна из трёх главных функций науки (функции науки суть то, за что её ценит ненаучное «общество») или, лучше сказать, самая главная, тогда как две другие, – описание и объяснение, – суть только помогающие в осуществлении первой. Наука всегда умела предсказывать локальные явления и на основе этого принимала всё возрастающее участие в творении будущего. Познание предмета науки всё очевиднее становилось его созданием (преобразованием), теоретический (чистый, созерцающий) Разум выказывал себя всё более как практический Разум, и это истончение грани между теоретическим и практическим можно истолковать как футуризацию (перемещение в будущее) предмета науки (а заодно и финализацию самой науки).

Но ещё в XIX веке, если не раньше, наука научилась делать глобальные предсказания, угадывая судьбу Вселенной. В XIX веке это было предсказание «тепловой смерти Вселенной», сделанное на основании Второго начала термодинамики. В XVII веке аналогичное пессимистическое предсказание могло быть сделано на основании законов классической механики, однако вера учёных (в том числе Ньютона) в Бога не позволяла это сделать. Смысл этих предсказаний резко расходился с просвещенским научным оптимизмом и культом будущего. В них вера в научный Разум пришла, наконец, к самоотрицанию. Недавние же космологические сценарии, относящиеся ко второй половине ХХ века и аккумулирующие самые значительные достижения математического естествознания того времени, были способны лишить оптимизма всякого, кто в них поверит, потому что предсказывали неотвратимую гибель Вселенной, то есть Вселенского Разума.

Чтобы сохранить «разумную» (научно удостоверенную) веру в осмысленность жизни и разума, достаточно отвернуться от будущего, то есть радикально переосмыслить понятие будущего, а тем самым и проект научного Разума. Столь радикально, что переосмысленным окажется проект всей культуры, включая религию.

Сделаю малый шаг на этом пути и вернусь к упомянутым функциям науки. Ни одно научное предсказание не достоверно. Например, каждое новое наблюдение изумрудов укрепляет веру (если она есть) в то, что их цвет – не зелёный, а «зелубой», то есть, что в 2100-м году все изумруды станут голубыми (парадокс Гудмена). Достоверны лишь некоторые суждения о том, что было. Все научные предсказания основываются на том, что было, и на вполне иррациональной (это признают логики) вере в то, что бывшее в прошлом повторится в будущем. Предсказывая, что завтра солнце взойдёт, мы употребляем своего рода энтимему, мы держим в уме некие предпосылки. Полное суждение таково: я помню, что солнце всходило вчера, позавчера и т.д., поэтому я верю, что солнце взойдёт завтра, послезавтра и т.д. Всякое предсказание имеет своей посылкой соответствующее ретросказание. Вера же в повторение прошлого, смешанная с желанием того, чтобы предсказание сбылось в будущем, просто иррациональна.

Другая функция науки – описание – имеет целью консервировать прошлое, создать его искусственный образ и тем самым продлить его существование хотя бы в редуцированной и трансматериализованной форме. Третья функция науки, полагаемая традиционной методологией, – объяснение, – связывает настоящее с началом объясняемого, то есть с прошлым. В результате этой процедуры осмысленность прошлого переносится на настоящее и легитимирует его.

Двигаясь далее в этом направлении, следует заметить, что главной задачей математического естествознания, сформулированной ещё Ньютоном, является так называемая обратная задача – познание причин данного явления как следствия, то есть мыслительное движение по каузальным цепочкам в прошлое.

Невозможно дать «догматическое» объективистское определение будущего, подобное вышеприведённому определению исторического прошлого. Иными словами, будущее не может быть предметом научного рассудка. Предмет естествознания, взятый в модусе темпоральности, не противостоит предмету истории, как будущее – прошлому, он есть также в определённом смысле прошлое.

Естественнонаучное прошлое и невозможность чистого естествознания

Прошлое как предмет естествознания есть последовательность событий, которая может быть восстановлена (познана) по их естественным следам. Таким образом, противоположность естествознания и истории, если она полагается, сводится к противоположности естественного и искусственного, которая, однако, не может быть установлена «чистым» естествознанием, но может быть положена чистой историей.

   Фотография сделана .sandhu «little busy».

Историческое познание могло быть чистым, могло обойтись без использования естествознания, но при этом много потеряло бы. Действительное историческое познание не является чистым в смысле первого из данных выше определений. Что касается естествознания, то данное определение его предмета не запрещает использования им искусственной памяти и потому не может служить определением чистого естествознания. Поскольку описание является необходимой «функцией» науки, чистое естествознание, опирающееся лишь на естественные следы прошлого, в действительности невозможно.

Лучшей парадигмой учёного (критического) познания может служить криминалистика, поскольку она показывает неуместность демаркации знания. Криминалистика и правосудие как критика эмпирического криминалистического знания не достигнут возможной полноты знания, если будут опираться только на показания свидетелей, игнорируя «вещественные доказательства» и научные экспертизы, которые, впрочем, легко истолковать как свидетельства своего рода. Разделить криминалистику на «естественную» и «историческую» можно лишь для того, чтобы показать искусственность и безжизненность такого разделения.

Обратимость времени и философская машина времени

Намеченная выше «догматическая» критика (оксюморон уместен) футуризма неполна. Его тотальная критика должна исходить из феноменологического вопроса о будущем. Что подразумеваем мы, говоря «будущее» и «прошлое»? Это – проблема идентификации (удостоверения подразумеваемого созерцанием) будущего и прошлого. Её решение заведомо неоднозначно, но, в определённом смысле, будущее неотличимо от прошлого. Иными словами, их различие является предметом простого полагания или отрицания. «Упование будущего» (Августин) легко обращается в упование прошлого. Это находит дополнительное психоаналитическое обоснование. Бессознательная часть нашей психики не верит в богов и не знает будущего, она жаждет только повторения прошлого. Неверующий человек хотя бы неосознанно желает повторения прошлого, ибо в прошлом у него было что-то, более того, была психологически безначальная жизнь, тогда как в будущем, как он думает, его ждёт ничто.

Иллюзия будущего, поддерживаемая как религией, так и наукой, есть продукт сознания, явление «футуроцентризма», ложная идеологическая установка, призванная контролировать сознание угнетённых (не только в социальном отношении) и уводящая от «самих вещей». Осознание иллюзии даёт свободу и открывает новую перспективу Разуму⁶.

Итак, различение таких модальностей темпоральной логики, как прошлое, настоящее и будущее, не позволяет разделить естествознание и гуманитарию, время в указанных модусах является единым предметом критического познания. Но, может быть, более тонкие темпоральные различия помогут произвести дихотомию знания? Рассмотрим возможность положить в качестве предмета естествознания обратимое время (обратимые, или повторяющиеся регулярно последовательности событий), а в качестве предмета истории – необратимое время, связанное с иррегулярными событиями. Эта идея является точным темпоральным соответствием идеи неокантианской дихотомии метода на генерализующий и индивидуализирующий. Распространено мнение, будто необратимое время посредством термодинамики вошло в физику ещё в XIX веке. Однако Смолуховский (тот, кто вместе с Эйнштейном исследовал броуновское движение) показал иллюзорность необратимости термодинамического времени.

Критику необратимости легко распространить за пределы естествознания на историю. Вопрос «Что есть обратимость времени?» приводит к вопросу «Что есть повторение события?», а этот последний – к самым фундаментальным проблемам философии. Необходимо критическое, в этом случае феноменологическое, исследование обратимости. В его рамках возникает, между прочим, тема машины времени. Построение машины времени – вожделенная цель профанной науки, достижение которой означало бы установление полного господства Разума над естеством. Бесполезно спорить о её физической возможности в физических терминах. Полное возвращение прошлого невозможно с точки зрения простой логики науки, подобно тому как невозможно точное решение достаточно сложной обратной задачи. Физическая машина времени есть прежде всего математическая машина, а мечта о ней есть мечта об искусственном разуме ещё более творческом, чем разум современного человека. Иными словами, это грёзы об искусственном демоне, находящемся в подчинении у человека.

Неполное возвращение в прошлое возможно. И оно не требует каких-то особых машин. Оно возможно на основе многих обычных технологий, которыми человек давно владеет. С совершенствованием традиционных технологий возможно всё более полное возвращение прошлого. Культура и есть реальная машина времени, возвращающая нас в прошлое в том смысле, что она сохраняет нашу жизнь, ежедневно воспроизводя её, день за днём отодвигая нашу смерть, обеспечивая цикличность жизни каждого человека и истории в целом⁷.

Мечта о физической машине времени, которая без затрат наших собственных духовных сил вернёт нам прошлое, есть одно из выражений платонически-эротического, трансцендирующего (сублимирующего) сексуальность, стремления, уже истолкованного профанно как стремление вернуться в материнское лоно. Реализуя его в действительности, человек строит и культивирует свою культуру – своё искусственное лоно.

Сущность познания как культуросозидающего акта – в его цели: всё более сознательно оно стремится к совершенному образу прошлого. Оно восстанавливает, возвращает прошлое. Как материализован (сенсибилизирован) образ прошлого, и материализован ли он вообще, на самом деле не имеет значения.

Ведь есть знание и гнозис. Гнозис спасает избранных – вот почему встречается такая страсть к познанию, ради которой люди способны отказаться от материальных благ и, как Сократ, радоваться смерти. София есть, следовательно, философская машина времени.

Вспоминание прошлого есть возвращение прошлого.

Забвение прошлого есть возвращение прошлого этого прошлого.

Смерть, или забвение всего, есть возвращение в начало всего.

Полное забвение есть полное знание.

¹ Опубликовано: Антаков С. М. Философская машина времени // Проблема рациональности в науке и культуре. Сер. «Контексты новой науки». Материалы II Межвуз. науч. конф. 6-9 дек. 1999 г. Вып. 2. Н. Новгород: ННГУ, 2000. С. 76-83. Текст ниже содержит некоторые изменения и разъясняющие дополнения по сравнению с опубликованным ранее.
² Парменид является дуалистом, если принять его интерпретацию в духе концепции дополнительности Лосевым. См.: Лосев А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. Изд. 2-е, испр., доп. М.: Ладомир, 1994. 539 с. Элейцы (301-312). Лосев А. Парменид // Философская энциклопедия. Гл. ред. Ф.В. Константинов. Т. 4. М.: Сов. энциклопедия, 1967. С. 215-216.
³ Есенин-Вольпин А. С. Об антитрадиционной (ультраинтуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении // Есенин-Вольпин А.С. Философия. Логика. Поэзия. Защита прав человека: Избранное. М.: Рос. гос. гуманит. ун-т, 1999. С. 53-111. То же // Вопросы философии. 1996. № 8. С. 100-136.
⁴ Витгенштейн Л. Логико-философский трактат // Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. 1 / Пер. с нем. М.С. Козловой, Ю.А. Асеева. Составл., вступ. ст., примеч. М.С. Козловой. М.: Гнозис, 1994. С. 5.
⁵ Витгенштейн Л. Лекция об этике // Историко-философский ежегодник. 1989. М.: Наука, 1989. С. 240.
⁶ Некоторую поддержку этой мысли я нашёл в кн.: Самородницкий П. Опровержение Будущего (введение в телеологию человека) / Изд. 2-е. М., 2004. 398 с.
⁷ К идее культуры как реальной машины времени, устанавливающей полное господстве Разума над естеством, близка концепция русского космиста В. Н. Муравьёва. См.: Муравьев В. Н. Овладение временем. Избранные философские и публицистические произведения. М.: Росспэн, 1998. 319 с.

  Фотография сделана Rickydavid.

Приведу еще два примера изобретений, математический характер которых ещё более очевиден: позиционную систему счисления (ПСС) и фонетическую систему письменности (ФСП).

Изобретение ПСС – яркое подтверждение деятельностной (трансцендентально-прагматической) концепции математики, согласно которой подлинным предметом математики являются не числа и фигуры (Энгельс); не бесконечное (Г. Вейль); не абстрактные отношения (Кассирер), далекие от жизни; не тому подобные предметы, а несводимая вполне к предметам деятельность над числами, фигурами, бесконечными множествами и т.п., деятельность, то есть жизнь, то есть мышление.

Идея ПСС есть, по существу, идея иерархии, иерархического управления, иерархической организации, найденной как будто эмпирически, в древнейшей практике общественной самоорганизации, но так же несомненно – теоретически, как основная черта культивированной Платоном «позитивной» диалектики – иерархической системы категорий, охватывающей универсум и изображаемой «древом Порфирия» (бинарным математическим деревом, тождественным дереву позиционного счета с основанием 2), и мыслительных переходов между ними – дедуктивных разделений-диэрез и индуктивных сведéний-синагог. Структурное тождество идей иерархической общественной организации и платонической диалектики было своеобразно выражено К. Поппером в форме осуждения Платона (кстати, и Гегеля) как теоретика «тоталитаризма».

В узко технически понимаемом математическом знании обсуждаемая идея обнаруживается прежде всего в изобретении ПСС. Это и показывает лишний раз, что философия Платона (кстати, и Гегеля) есть математическая философия. О глубокой метафизичности (диалектичности) идеи ПСС косвенно говорит история термина «цифра». Решающий математический и метафизический прорыв совершили индийские мыслители, понявшие необходимость нового арифметического знака, обозначающего отсутствие в некоторых местах («разрядах») записи числа каких бы то ни было старых знаков. Такой знак, выражающий отсутствие реального как реальное присутствие чего-то иного, то есть реализующий нереальное элементарным математическим актом, был введен ими и назван санскритским словом «сунья» («шунья»), что значило «пустой», «пустота». Арабы, которые на самом деле не были изобретателями «арабских цифр», перевели этот термин, руководствуясь его смыслом, и получили слово «сифр». Отсюда и произошло известное нам слово «цифра». В европейской литературе оно означало первоначально нуль, а в XV веке им стали называть все числовые знаки².

Идея ПСС есть идея монистического упорядочивающего универсализма, соединяющая начала единства и множества двусторонней связью, которую можно характеризовать, в частности, как дедуктивно-индуктивную. Это идея потенциально бесконечной уточняемости измеряемого количества и фундаментальный принцип любой сложной деятельности, с успехом применяемый как при строительстве египетских пирамид, так и при создании самолетов и компьютеров. Верно то, что никто не видел все 100000 деталей современного самолета и не знает каждого из 10000 руководителей фирм-подрядчиков, участвующих в его создании. Тем не менее, люди строят самолеты и пишут сверхсложные компьютерные программы, содержащие миллиарды команд, с помощью метода, новизна которого обманчива: так же никто не был знаком со всеми 100000 рабами, строившими пирамиду, но пирамиды строились.

Поясню действие этого метода на простейшем примере. Можно выбирать песчинки из кучи песка одну за другой, считая их, то есть «знакомясь» с каждой по отдельности; можно взвесить весь песок с помощью граммовой гирьки. Но если песчинок так много, что пересчитать их указанным методом практически невозможно, их вычерпывают ложкой или лопатой или измеряют их вес килограммами, тоннами и т.п. (Я пользуюсь здесь правом смешивать счет с измерением в силу их сущностного тождества. Кстати, греческое meros значит часть, доля, дробь; имеющее тот же корень русское «измерение» имеет значение счета частей измеряемого предмета). Индивидуальность отдельных песчинок для математика-исчислителя при этом утрачивается, о чем он может сожалеть или не сожалеть.

В этом примере заключен прообраз решения проблемы растущей сложности везде, где она появляется. Прогресс организационной технологии предстает здесь в виде ряда все более крупных, мощных единиц счета (измерения) и, соответственно, все более крупных измерительных инструментов («весов»). Примером измерительного инструмента может служить хотя бы землекоп с лопатой.

Форма этого метода в чистом и универсальном виде представлена именно в идее ПСС. Выражу ее также с помощью чисто математического языка на примере десятичной системы счисления. Когда предметов-частей мало, их считают единицами. Когда предметов становится больше, их считают десятками, то есть образуют новые предметы, называемые десятками, и пересчитывают эти новые предметы по-прежнему, единицами (один, два, три и т.д.). Когда десятков становится слишком много, их объединяют в новые десятки и считают уже десятками десятков, то есть сотнями. Затем – тысячами, миллионами и т.д.

Счет есть модель любых серийных действий, а проблема любой сложной деятельности редуцируется к проблеме счета. История культуры даёт этому дополнительное подтверждение, показывая, что все организационно-хозяйственные проблемы всегда сводились к вычислительным задачам, решение которых было условием решения первых. Подлинной математической революцией стало изобретение ПСС, позволившее быстрее считать и вычислять. Ей предшествовала революция, заключавшаяся в изобретении ФСП; третьим прорывом было изобретение машины (вот где пригодилось изобретение буквального, не фигурального колеса!), завершившееся созданием универсальной машины, которую также называют вычислительной, или математической, и которая в своем электронном воплощении, называемом компьютером, является не только универсальным ускорителем времени, «колесницей прогресса», но и, что важнее, универсальным языком, продуцирующим все возможные значения (иными словами, все возможные – виртуальные! – вселенные). Последнее справедливо для любой воплощённой универсальной машины, будь то солнечная, водяная, собственно механическая, электронная, фотонная или живая, основанная на использовании дешевого рабского труда. Вклад в это изобретение в части «железа», hardware, сделали математическая механика, именно, «механика» (физика) твердого тела (чиповая материя «железа»), и математическая логика (архитектурная форма «железа»), а в части «мякоти», software, программного обеспечения – только математическая логика, то есть, как можно показать, те же ФСП и ПСС!

В идее ФСП нет концептов иерархичности и точности (уточняемости). Это идея анализа речи, ее деления на части вплоть до получения неделимых звуковых элементов-фонем, которых оказывается совсем немного и которые письменно выражаются в виде букв алфавита. Более того, это идея анализа как такового, сведения сложного к простому и изменчивого к неизменному. Эта плодотворнейшая идея является образцом анализа материи (содержания) любого мыслимого предмета и лежит в основе концепций физического атомизма Демокрита (что неустанно подчеркивали сами атомисты) и математического атомизма Платона, а следовательно, алхимии, химии и современной физики.

  Фотография с сайта hi-tech.mail.ru.

О практичности отдельных изобретений и о научно-техническом прогрессе в целом я сказал уже достаточно много. Пора выяснить их метафизический смысл. Две системы, грамматическая (фонетически-алфавитная) и арифметическая (цифровая), суть две диалектические ступени в развитии Системы (Логоса, Идеи, Формы), ступени овладения материей (ее оформления, или просветления, или реализации), соответственно, более экстенсивная и более интенсивная. Идея ФСП является идеей (то есть формой, но формой первичной, предварительной) организуемой материи, тогда как идея ПСС есть идея (форма, но уже высшая – форма форм) организующей формы.

Под материей я понимаю здесь некий активный беззаконно-творческий принцип (поэтому и называю ее тёмной), нуждающийся в реализующем его дисциплинировании (ограничении, направлении), то есть несамостоятельный, способный к дисциплинированию лишь в результате внешнего принуждения. Страх быть классифицированным, поименованным, сосчитанным, переписанным есть страх утраты свободы, характерный для человеческого материала и, возможно, неизвестный «обладающему свободой воли» электрону, завершающему свой полезный жизненный путь на фотографической пластинке, или реализующейся актом вооруженного наблюдения виртуальной частице, порожденной «кипящим» физическим вакуумом, современное представление о котором – образ того самого Ничто, которое есть чистая и абсолютно темная материя и из которого все мы, в конечном итоге, вышли и в которое, стало быть, вернемся.

Соотношение ФСП и ПСС может служить моделью соотношения грамматики (первой дисциплины средневекового тривиума – тройки словесных «искусств», в которую входили еще риторика и диалектика, она же логика) и арифметики (первой дисциплины квадривиума – четверки математических «искусств», содержавшей еще геометрию, астрономию и музыку) или, вообще, гуманитарного знания (истории) и математики, или математического естествознания. Эта модель хороша тем, что обнаруживает диалектическое отношение первого и второго, – отношение не только противоположности, как то было у В. Дильтея и неокантианцев-баденцев, но и единства. Начну разъяснение высказанной мысли со следующего простого примера.

Слова «яблоко» (имя вещи) и «1984» (имя числа) оба имеют смысл и оба состоят из неделимых элементов – букв или цифр (вместо цифр можно, как греки, использовать буквы алфавита), но смысл этих слов различен и, главное, принципиально различны процедуры их осмысления (понимания). «Гуманитарные» слова (имена) воспринимаются как гештальты, иероглифы, одномерные картинки, сложенные из букв – элементов мозаики. Смысл имеют лишь некоторые комбинации этих элементов, и смысл слова не складывается из смыслов отдельных букв, он присущ лишь слову как семантически неделимому целому. «Математическое» слово состоит из цифр или букв, имеющих значение цифр, и осмысляется путем анализа и осмысления этих его элементов по отдельности, причем осмысляемы любые комбинации элементов. Эти, «математические», слова имеют глубинный смысл, открываемый постепенно вычислительной процедурой (деятельностью), тогда как смысл «гуманитарных» слов открывается подготовленному сознанию сразу (или не открывается вообще).

Одно и то же слово можно прочитать как «гуманитарное» (имеющее своим значением предмет) и как «математическое» (имеющее своим значением особый предмет – число). «Гуманитарный текст» как последовательность «гуманитарных» слов уже не воспринимается как иероглиф, хотя и он является одним словом (если угодно – супер-словом), в котором пробелы («шунья») между исходными словами заменяются особой буквой, равноправной с буквами исходного алфавита. Значение такого слова-текста «вычисляется» по мало сознаваемым алгоритмам, подобным арифметическим. Выявление, теоретическое воссоздание этих алгоритмов стало задачей так называемых трансформационно-генеративной грамматики и трансформационно-генеративной семантики, концепцию которых разработал в 1950-х гг. американский лингвист Н. Хомский. Еще раньше, с 1930-х гг., в том же направлении своим оригинальным путем продвигался польский логик К. Айдукевич. В целях исследования понятий перифразы и перевода он выдвинул концепцию искусственного позиционного языка, основанную на идее синтаксического места. Подобная теория может претендовать на роль связующего звена между (математической) логикой и семиотикой в их современном эмпирически данном состоянии разобщенности. Провести же четкую теоретическую границу между ними, естественно, не удаётся³.

Это соответствует намерениям отцов-основателей семиотики. Так, Ч. Моррис ставил перед ней задачу унификации наук о знаках (математики, логики, риторики, лингвистики и, конечно, эстетики) путем прояснения их общего фундамента. Семиотика была призвана способствовать скорейшей передаче идей от одной дисциплины к другой и анализировать на метанаучном уровне те понятия, которые используются в разных дисциплинах, осуществляя таким образом унификацию значения этих понятий. По оценке Е. Пельца, семиотика даёт представителям различных дисциплин возможность разрушить непроницаемые перегородки между их узкоспециальными сферами⁴.

Отделение семиотики от логики, вообще-то невозможное, может быть оправдано только в некоторых частных контекстах, например, в следующем. Язык ПСС был, вероятно, первым искусственным и полным относительно своих целей языком. Если арифметика непротиворечива, то никакие двусмысленности, связанные с его использованием, невозможны. Семиотика здесь вырождается в логику. В метаматематической теореме Гёделя о неполноте формальной арифметики, однако, двусмысленность появляется и разрешается на метатеоретическом неформальном уровне путем «семиотического расщепления» (понятия) истинности на материальную истинность и формальную истинность (доказуемость). Противоречие, выталкиваемое логикой за свои пределы, попадает в сферу компетенции семиотики, которая истолковывает его как семиотическое расщепление значения выражения, то есть как двусмысленность или полисемию, и считает это явление естественным.

Достаточно строгое и аргументированное изложение этих рассуждений окажется в точности математическим. Так разве семиотика, претендующая на роль метаматематики (следовательно, и метанауки), есть что-то отличное от математики (и от логики)? К сему можно добавить нечто хорошо известное специалистам: так называемая метаматематика является полноправной частью математики.

На известном историческом этапе, после того как в самом начале Нового времени в математику вошел специальный математический язык – символический, или «аналитический», язык формул, – «гуманитарные тексты» (в первую очередь алгебраические уравнения, какими они были до изобретения специальной символики) стали превращаться в специальный предмет математической деятельности. Результатом развития этой тенденции к ассимиляции математикой грамматики было появление «неметрической», «структурной» математики – алгебры, алгоритмики, теории моделей и др. Мысль о том, что для разработки проблем гуманитарного познания требуется некая принципиально новая, еще не созданная математика или логика, стала ложной, самое позднее, в момент появления теории категорий (1940-е гг.), язык которой уже сегодня используется почти во всех областях математики, а в алгебре, алгебраической топологии и алгебраической геометрии является основным.

За разъяснениями лучше всего обратиться к тексту С. Мак-Лейна, философствующего математика и одного из создателей теории категорий и самой математической категории «категория»: «…математика правильна, и причина этого… в том, что имеется глобальная корректность; математические утверждения тесно связаны со всей математикой в целом, с другими науками и человеческой деятельностью вообще. ...Объекты, изучаемые математикой, весьма тесно связаны многими разнообразными и запутанными способами с насущными проблемами научного знания и человеческой деятельности. ...Математика в действительности есть исследование закономерных связей различных дисциплин и их взаимоотношений с другими областями человеческого знания. Изучение этих черт математики – вопрос не формальной логики, а глубокого исследования природы математики и взаимосвязей ее частей»⁵.

Выраженная в этих словах мысль о безусловном приоритете математики не только как знания, но и как деятельности, содержит в себе неявную идею циркулярного обоснования знания, радикальная неклассичность которой, однако, не бросается в глаза, ибо скрыта за ее кажущейся если не банальностью, то, во всяком случае, привычностью. Действительно, эта диалектическая идея глобальной систематики хорошо нам знакома и в Новое время высказана устами «абсолютного философа» Гегеля, в высшей степени математического философа и, согласно аргументированной позиции Т. Рокмора, «эпистемологического циркуляриста»⁶.

По некоторым причинам, Гегель не был признан в среде математиков и естествоиспытателей (тогда как Платон, тоже не будучи математиком, в свое время пользовался среди них величайшим и непревзойденным авторитетом и влиянием). Введенный Гегелем системный стиль мышления удерживался в гуманитарном знании непродолжительное время, а в естествознании и математике вообще не был замечен и оказался переоткрытым в ХХ веке: в естествознании – под знаменем «системного движения» (в него можно включить, наряду с тектологией, системологией, общей теорией систем и т.п., кибернетику и синергетику), в математике – сначала в виде классической программы теоретико-множественной перестройки математики (Н. Бурбаки), позднее – аналогичной неклассической теоретико-категорной программы. Здесь, то есть в науках, считающихся негуманитарными, направленность на абсолют превалировала над противоположной, релятивистской тенденцией, питавшейся открытием неевклидовых геометрий во второй половине XIX века, которое было открытием плюрализма частных математических систем там, где ожидалась единственная система. Так, под шум громких философско-математических споров о соотношении логики и математики, Наука логики незаметно вырастала в Науку математики.

Иной была ситуация в гуманитарном знании того времени. Структуралистский абсолютизм, столкнувшись с подобным же плюрализмом частных структур, быстро сменился постструктуралистским релятивизмом и «постмодернистской» войной с логической (умственной) дисциплиной, ведóмой под лозунгом противостояния якобы вредному «логоцентризму».

Борьба разума с нынешним «гуманитарным» безумием, борьба платоновской традиции математической философии с софистической (гуманитарной) антитрадицией актуальна и является очередным, бесконечно малозначащим в космологической перспективе, эпизодом тотальной войны за полное просветление (уничтожение) материи.

Но так замыкается Кольцо Времен, кольцо самопорождения, то есть самообоснования, Разума.

¹ Нижеприведённый текст незначительно отличается от статьи: Антаков С. М. Два колеса колесницы прогресса, изобретенные математикой // Наука и повседневность. Основания науки в цифровом обществе. Материалы IV межвуз. науч. конф. 3-5 дек. 2001 г. Вып. 4. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. С. 37-45.
² Александрова Н. В. Математические термины. М.: Высшая школа, 1978. С. 160-161.
³ Пельц Е. Семиотика и логика // Семиотика: Антология / Сост. Ю. С. Степанов. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Академический Проект; Екатеринбург: Деловая книга, 2001.
⁴ См. там же.
⁵ Мак-Лейн С. Математическая логика – ни основания, ни философия // Методологический анализ оснований математики / Отв. ред. М. И. Панов. М.: Наука, 1988. С. 149.
⁶ См.: Рокмор Т. Гегелевская циркулярная эпистемология как антифундаментализм // Историко-философский ежегодник. 1991. М.: Наука, 1991. С. 190-204; Рокмор Т. Гегель, немецкий идеализм и антифундаментализм // Историко-философский ежегодник. 1994. М.: Наука, 1995. С. 69-85; Рокмор Т. Математика, фундаментализм и герменевтика // Вопросы философии. 1997. № 2. С. 82-92.

Профанная философия соответствует видимости и потому поверхностна. В проблеме отношения науки и власти она исходит из их противоположности: власть пользуется знанием как инструментом для своего укрепления и расширения влияния, тогда как скрытым остаётся единство власти и знания (в частности, науки), их единая духовная сущность.

Так же и в отношении истории и математики профанный поверхностный взгляд видит лишь инструментальное использование математики в целях исторического познания. Сакральный взгляд на отношение истории и математики я провожу ниже¹.

Вопрос об отношении математики к истории двусмыслен, поскольку термин «история» имеет эпистемологическое значение знания и онтологическое значение предмета знания. Мы вправе различать их в одном контексте и не различать в другом. Тождество знания и его предмета есть истина и идеал, достижение которого связывается с концом истории познания и всей истории, если вся история есть история познания (самопознания истории). Но само знание может быть истолковано онтологически, так, что окажется тождественным своему предмету всегда и по определению. С любой точки зрения, субъективной (человечески-исторической) и объективной (божественно-внеисторической), знание, особенно историческое, есть самознание знания или самосознание «предмета», развивающееся в круговом движении или самотождественное. Математика не менее, чем история, есть и знание о предмете, и сам этот предмет. Предмет математики – математика, математический Логос, воплощённый в природе и истории.

Как видно, вопрос об отношении математики и истории должен раскрываться в самом определении понятия математики. Определения математики как науки о числах и фигурах, абстрактных отношениях или структурах, о «бесконечном» не раскрывают сущность математики. Невозможно постичь связь математики с историей, не подвергнув критике классическое понятие математики. Её образ в современном научном сознании – результат редукции и профанирования древнего сакрального прообраза – спекулятивного знания, предмет которого всеобъемлющ и которое называлось Mathema.

Профанная математика сознаёт себя только органом (органоном) экспансивного просвещенского духа, ищущего для неё приложений всюду вплоть до истории, потому якобы и оказывающей наибольшее сопротивление математизации, что является самой гуманитарной из гуманитарных дисциплин, предмет которой беззаконен (случаен, пробабилистичен). В качестве рекламируемых успехов математики на историческом поприще обычно указывают точную датировку событий по ретроградным расчётам солнечных затмений, упоминаемых в летописях, и компьютерные имитации (подделки) исторических сценариев – межгосударственных отношений, военных кампаний и т.п. И всё же результаты этих работ скромны или ничтожны. Вдобавок к тому вопрос об исторических приложениях математики оказывается в её редуцированном самосознании совсем не связанным с вопросом об историческом значении математики, о её действии на историю или, правильно сказать, в истории. Мысля математику отделённым от других видов познания инструментом, в лучшем случае можно лишь констатировать то объективное положение дел, что весь исторический прогресс обусловлен всецело прогрессом математики и сводится к нему.

Приближение к истинному понятию математики подобно восхождению по лестнице, до последней ступени которой нам не добраться. Но на второй ступени нам откроется математика, тождественная всему точному знанию. Поскольку легче понять, что такое математический язык, чем говорящая на нём математика, точное знание определяют как то, что может быть выражено на математическом языке.

Поднявшись выше, мы увидим, что математика есть математическая философия, включающая в себя математическое естествознание, которое в этом случае должно называться математической натурфилософией. Таким видением математики обладал Ньютон, что показывает уже одно название его главного научного труда «Philosophiae Naturalis Principiae Mathematica», традиционно переводимое в «Математические начала натуральной философии». Находясь на этом уровне, можно сказать, что в отношении к естествознанию математика является не инструментом, а его порождающим – оформляющим (структурирующим) и смыслообразующим (осмысляющим, вразумляющим) – началом. Иными словами, естествознание является выражением математического духа и мышления, математического Логоса.

Идеал такой математики, или такого естествознания, или такой философии, есть выведение из априорных идей разума всех математических форм чувственно воспринимаемого мира, чисто рациональное объяснение всего естественнонаучного опыта. Недостижимость этого идеала для Ньютона привела к драматическому расколу его сознания, повторённому затем всей культурой в виде зафиксированного в ХХ веке феномена «двух культур» или «шизофрении культуры». Но тогда же случается и видимое приближение идеала рациональной дедукции опыта в версиях антропного космологического принципа и попытках создать чисто математическую «теорию всего» (ТОЕ согласно английской аббревиатуре), объединив известные типы фундаментальных физических взаимодействий в единую и (безотчётно) наделяемую божественным атрибутами Суперсилу.

Чтобы подняться ещё выше, надо освободить сознание от иллюзорных разделений (определений). Прежде всего следовало бы демонтировать стену, возведённую культурой, искусственную, как всякая стена и как всё, сотворённое культурой, стену между естествознанием и историей (гуманитарией), болезненно разделившую и обессилевшую саму культуру. Но это – тяжёлая работа. То, что кажется стеной, должно превратиться в итоге в ту же ведущую вверх лестницу. Откуда и куда? Ответ зависит от того, кто спрашивает. Биология и космология первыми начали это трудное восхождение от естествознания к истории. И одним из его пионеров был Кант, математический философ и натуралист, сочинивший «Всеобщую естественную историю и теорию неба».

Возвысившись до сознания единства исторического опыта и относительности его разделений, мы придём к выводу, что математический Логос артикулирует не одну только природу и, соответственно, естествознание. Математика должна осмыслить, математически рационализировать не тот или иной фрагмент опыта, но весь исторический опыт. Для дизъюнктивного сознания, находящего себя на позиции разделений, трудность этого перехода заключается в том, что он требует перенесения дихотомии эмпирического и теоретического с естествознания на историю, то есть оправдания понятия теоретической истории. Чтобы разрешить это затруднение, вернёмся к вопросу о предмете математики.

Следовало бы показать, что предметом математики является деятельность как форма, отвлечённая от материи (содержания), в известном приближении дематериализованная деятельность, то есть мышление, методом же – формализация, позволяющая отождествить, например, пять овец и пять пальцев. Эта «деятельностная концепция» представляет математику как универсальную методологию (учение об эффективной деятельности как таковой), мышление о мышлении, или Логику. Поскольку история как предмет исторического знания есть деятельность, математика и должна выступать как теоретическая история! Кроме того, математика сама есть деятельность и потому – часть истории, наиболее интенсивная, одухотворённая её часть. Полагая историю своим предметом, математика полагает своим предметом и саму себя. Математика математики вышла из тени в том же ХХ веке и получила имя метаматематики. Дематериализуясь и трансформируясь в математическом мышлении, исторический опыт предстаёт в нём как виртуальная история, которая, следовательно, всегда может перейти и переходит в реальную историю в направлении, обусловленном ценностным выбором того действительного субъекта истории, которого можно назвать практическим разумом. Иными словами, математика есть виртуальная история, моделирующая историю в виртуальном пространстве и времени. Такая математика есть органон свободы.

В современном обыденно-научном сознании математика радикально противостоит истории. Эта оппозиция реконструируется в моей терминологии следующим образом. Относительная дематериализация (точно говоря, трансматериализация в минимально инертную материю мышления) математикой деятельности-предмета математики осуществляется ею с целью трансформаций деятельности в виртуальном мире объективного мышления. Трансматериализация, производимая историческим познанием, совершается им, казалось бы, с прямо противоположной целью сохранения исторической формы (перевод на малоинерционную материю облегчает ремонт формы, но вместе с тем он облегчает и её трансформации). Главным делом историка-архивариуса считалась охрана предмета истории от любых манипуляций. Руководимое просветительской философией обыденное мышление давно разоблачило святость (в частности, неприкосновенность, запрет вносить малейшие изменения) священных текстов, хранящих религиозные традиции человечества, однако, запуганное отношением к истории в «1984 году», пока ещё не посягнуло на Книгу Истории (которую не следует подменять с историей учебника, всегда блиставшей чистотой проститутки и являющейся прикладной историей, отличной от эмпирической и теоретической истории²). Такое трепетное отношение к указанному предмету выглядит странным, но, может быть, радующим на фоне всеобщего низвержения святынь. А ведь именно на нём неявно держится явно проклинаемое, но неотвязное разделение естествознания и исторического знания!

Преодоление этого, вероятно, последнего предрассудка, не законченное просветителями, является первым условием полного торжества логики над историей и превращения критики панлогизма в его апологию. Панлогизм есть не утверждение тождества истории и логики, но его проект и, очевидно, ретроект, замысел логизации (вразумления) истории, полного подчинения эмпирической (реальной) истории теоретической (виртуальной) истории – средоточию всех исторических возможностей. Математическая деятельность есть часть тотальной исторической деятельности, наиболее подвижная, наименее инертная её часть, благодаря чему она способна моделировать историческую деятельность и служить её прообразом. В этом служении прообразом истории можно видеть идеал и математики, и истории.

Творить историю – значит творить не только её будущее, но и прошлое, и не столько будущее, сколько прошлое. Идея трансформируемости исторического прошлого не столь фантастична, как может показаться на первый взгляд. Классическая история, восстанавливающая исторические «факты», то есть эмпирическая история, по идее, не упраздняется, да и, подобно древней мифологии, неупразднима. Вместе с позитивистской эмпирической историей всегда сосуществовали «иррациональные» мифические и метафизические истории, представляющие главную часть идеологического сознания. Иными словами, всегда существовала теоретическая история, которую теперь уже надо назвать фундаментальной, поскольку она является основанием прикладной истории (истории учебников). Всегда существовала теоретическая история, опиравшаяся на «факты» эмпирической истории и периодически перебиравшая и переосмыслявшая их, выстраивавшая разные теоретико-исторические парадигмы (научно-исторические мифологии).

Запрет теоретической истории означает запрет истории истории (метаистории), нелогичный в условиях процветания истории философии, истории математики и т.п. Метаистория (история истории) существует, но вытеснена в научное (ненаучное) бессознательное.

Просветительский проект господства человека над природой с логико-исторической необходимостью перерастает в проект (ретроект) господства разума над историей, которое сводится к господству над прошлым, ибо господство над будущим ничего не стоит. Для утверждения нового проекта требуется новое (или «постмодернистское» – буквально «то, что после нововременного») просвещение. Совершив два витка секуляризации, европейская история сделает и третий.

Не известно, сколько исторических циклов потребуется для аппроксимации математического идеала. Начальное, архаическое понятие математики – Mathema – является прообразом современной математики, но сама Mathema – только образ архической Логики Ума, образ математического Логоса, вразумляющего историю и природу. Это вразумляющее воплощение есть также Замысел.

¹ Нижеследующий текст опубликован: Антаков С. М. Математика и история // Естественнонаучное и гуманитарное знание в цифровой век. Сер. «Контексты новой науки». Материалы III Межвуз. науч. конф. 4-7 дек. 2000 г. Вып. 3. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. С. 68-73.
² См.: Розов Н. С. Философия и теория истории. Кн. 1. Пролегомены. М.: Логос, 2002. Эта книга наиболее уместна в теме «Математика и история». Разделение эмпирической и теоретической истории позволяет перенести на историческое познание всю естественнонаучную методологию и математизировать историческое знание, а также говорить не только о предсказательной силе исторических теорий, но и о конструировании исторической (и социальной) реальности. Это и демонстрирует книга Н. С. Розова. К тому же в ней содержится обширный и очень уместный библиографический список.