Ablauf und Preise

Der Bundeswettbewerb Informatik läuft jedes Jahr über drei Runden, in denen man sich jeweils für die nächste Runde qualifizieren kann. Die ersten beiden Runden werden zu Hause gelöst. Hier gibt es schon Buchpreise und diverse Sonderpreise zu gewinnen.

Alle, die sich für die dritte Runde qualifiziert haben, werden dann eingeladen. In dieser Runde werden dann die Bundessieger ermittelt, denen unter anderem die Aufnahme ins Stipendienprogramm der Studienstiftung des deutschen Volkes und Geldpreise winken.

Teilnahme am Bundeswettbewerb Informatik

Bis Mitte November kann jeder die Aufgaben bearbeiten und seine Lösungen nach der Online-Anmeldung einschicken (weitere Infos gibt auf der verlinkten Anmeldeseite). Wer in der ersten Runde Erfolg hat, wird normalerweise über die weiteren Möglichkeit informiert.

Die Aufgaben der 1. Runde des 29. BWINF

Die Aufgaben und Zusatzmaterialien finden sich wie immer auf der entsprechenden Seite des Bundeswettbewerbs. Dort gibt es auch die Aufgaben als .pdf-Datei (Im Gegensatz zur recht drögen Darstellung des Bundeswettbewerbs Mathematik ist die Aufmachung des BWINF so verspielt und bunt, dass weder die Bildschirmdarstellung noch ein Schwarzweißausdruck wirklich praktisch sind. Es soll aber noch eine übersichtlichere Fassung folgen.). Zu jeder der Aufgaben wird neben dem Programm selbst (Quellcode und lauffähige Variante) auch eine Dokumentation von Idee und Programmaufbau verlangt.

Die Aufgabe 1 (die Aufgabenbeschreibung beginnt schon ganz oben in der mittleren Spalte auf Seite 4, auch wenn die Überschrift (mutwillig!) mittendrin steht ) ist dieses Jahr eine Kreativaufgabe, die in einer exotischen Spezialsprache für künstlerische Grafiken zu bearbeiten ist. Nachdem man sich hier ein bisschen eingearbeitet hat, sollte diese Aufgabe problemlos zu lösen sein.

Bei der Aufgabe 2 geht es darum, eine Simulation entsprechend der vorgegebenen Regeln zu entwickeln. Neben der Logik mit Kollisionserkennung dürfte vor allem die Steuerung der Parameter und die saubere Darstellung je nach Programmiersprache mit etwas Aufwand verbunden sein. Hier ist sicherlich Erfahrung in der Programmierung von grafischen Benutzeroberflächen hilfreich.

Aufgabe 3 erfordert im Wesentlichen das Einlesen von Daten, die dann entsprechend ausgewertet werden müssen. Beispieldaten gibt es laut BWINF ab Mitte September, der Link zu den Daten in der .pdf-Datei enthält bisher auch nur die erste Zeile der umgebrochen dargestellten URL.

Für die Aufgabe 4 dürfte ein bisschen Mathematik zur Lösungsfindung nötig sein, die man dann in einen perfekten Spieler eines einfachen Kartenspiels umsetzten muss. Nachdem das Spiel aber nur vom Würfel und einem einzigen Spieler abhängt (wenn ich es richtig verstanden habe), sollte auch diese Aufgabe machbar sein.

Die letzte Aufgabe (Aufgabe 5) ist wie die dritte Aufgabe eine Logistikaufgabe, die allerdings vermutlich etwas mehr Vorüberlegungen (und ein paar Skizzen oder ein gutes Vorstellungsvermögen) erfordert.

Insgesamt sind die Aufgaben damit wieder recht abwechlungsreich. Wer tatsächlich am 29. BWINF teilnehmen möchte sollte bald anfangen, damit er auch wirklich Zeit hat, bis Mitte November nicht nur saubere Programme sondern auch eine entsprechende Dokumentation zu schreiben.

Und damit es nicht wieder so geht, wie beim BWM: Von mir gibt es keine weiteren Hinweise, unter anderem aus den gleichen Gründen wie dort.

Viel Erfolg an alle (ehrlichen) Teilnehmer des 29. Bundeswettbewerbs Informatik!

Deshalb habe ich hier ein paar Beispiele zusammengestellt, die (auf Deutsch) erklären, wie man bestimmte Aufgabentypen mit Wolfram Alpha bequem lösen kann:

Vorsicht: Wolfram Alpha ist grundsätzlich Englisch. Statt des Kommas muss als Dezimaltrennzeichen immer ein Punkt verwendet werden!

Grundrechenarten, Trigonometrie, Wurzeln und Potenzen

Als Symbole für die Grundrechenarten können einfach + , – , *  und / verwendet verwendet werden. Potenzen lassen sich in der Form e^x eingeben, Quadratwurzeln als sqrt(144) schreiben. Trigonometrische Funktionen heißen wenig überraschend sin(x), cos(x) , arcsin u.s.w., wobei Eingaben in Grad auch mit dem Grad-Zeichen gekennzeichnet werden sollten (links oben auf jeder normalen Tastatur). Wie bei den meisten Rechnern empfiehlt es sich auch hier, lieber ein paar Klammern zu viel als eine zu wenig zu setzen. Normalerweise zeigt Wolfram alpha auch noch einmal sauber dargestellt an, wie es die Eingabe interpretiert hat.

Dazu braucht jetzt niemand ein Beispiel, oder? (Ich höre niemanden …)

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen

Zum Auflösen einer Gleichung nach einer Unbekannten schreibt man am einfachsten “solve” gefolgt von der Gleichung und hängt hinten an die Gleichung noch mit „for“ an, nach welcher Variable aufgelöst werden soll (z.B. „solve a^2+4ab+b^2=1 for a“). Das Lösen von Ungleichungen funktioniert entsprechend, wobei zweidimensionale Ungleichungen sogar gelegentlich recht ansprechende Schaubilder produzieren.

Zum Lösen von Gleichungssystemen können die Gleichungen mit Kommata getrennt hintereinander geschrieben werden: „solve W=m*c^2,m=M/sqrt(1-v^2/c^2) for M“

Plotten von Funktionen

Um die Schaubilder von einer oder mehreren Funktionen zu erhalten scheibt man „plot“, dann die Funktionen (gegebenenfalls durch ein Komma getrennt) und falls gewünscht noch eine Begrenzung des Zeichenbereichs: “plot x^2,sin(5x^2)*x^2,x=0..3,y=0..5“.

Konstanten und Einheiten

Die elementaren mathematischen Konstanten werden normalerweise erkannt, wenn man einfach nur e, i (imaginäre Zahl) oder pi schreibt. Mit komplexen Zahlen rechnet Wolfram Alpha im Übrigen anstandslos. Für Unendlich schreibt man einfach „infinity“. Physikalische Konstanten lassen sich in der Regel mit zwei Worten beschreiben. Die Elementarladung etwa lässt sich mit „elementary charge“ oder auch „charge electron“ abfragen. Massen lassen sich entsprechend mit „mass proton“ oder Ähnlichem abfragen.

Bei Einheiten gilt im Zweifelsfall: Wenn die Abkürzung nicht erkannt wird, einfach die volle Bezeichnung verwenden.

Grenzwertbetrachtung

Den Grenzwert einer Funktion (Limes) erhält man am einfachsten mit der Form „lim e^-x as x->infinity“. Einseitige Grenzwerte lassen sich durch ein angehängtes + oder – kennzeichnen (auch wenn Wolfram Alpha trotzdem noch auf das “limit from opposite direction” hinweist).

Integrale und Ableitungen

Natürlich beherrscht Wolfram Alpha auch Differentialrechnung. Einfache Ableitungen funktionieren mit „derivative x^2“. Mehrfache Ableitungen funktionieren zum Beispiel mit „4th derivative x^5“, aber auch die Schreibweise „d^4(x^5)/dx^4“ ist zulässig.

Stammfunktionen (das heißt unbestimmte Integrale) lassen sich folgendermaßen berechnen: „integrate e^(ax) dx“. Bei bestimmten Integralen wird noch „from“ und „to“ angehängt: „integrate e^(ax) dx from 0 to a“.

Selbst die Lösung Differenzialgleichungen lässt sich berechnen, aber ich schaffe es im Moment nur durch die Eingabe der „nackten“ Gleichung „1/(R*C)=-d(f(t))/dt/f(t)“.

Weiteres

Da sich Wolfram Alpha weniger um strenge Syntax als um eine intuitive Interpretation bemüht, hilft im Zweifelsfall manchmal auch ein wenig ausprobieren. Oft bringt auch schon die Eingabe einer Formel/Gleichung o.ä. ohne weitere Anweisungen das Ergebnis.

Auch ein Blick auf die offiziellen Beispiele für die Verwendung von Wolfram Alpha (nicht nur für mathematische Anwendungen) ist oft hilfreich.

Falls das oben eingebettete Video nicht funktioniert, gibt es das Video natürlich auch direkt bei TED.

Lichtstärke (in Candela)

Die Lichtstärke gibt an, wie viel Licht pro Richtung abgegeben wird. Damit lässt sich beispielsweise auch für Lichtquellen, die nicht in alle Richtungen gleichmäßig abstrahlen, für die verschiedenen Teile eines Strahles angeben, wie viel Licht in die jeweilige Richtung abgegeben wird. Die Lichtstärke entspricht physikalisch dem Lichtstrom pro Raumwinkeleinheit und wird dementsprechend in Lumen pro Steradiant angegeben (dies ist die Definition der SI-Einheit Candela kurz cd).

Leuchtdichte (in Candela pro Quadratmeter)

Als wie hell wir eine abstrahlende Fläche empfinden hängt davon ab, wie viel Licht in Richtung unserer Augen pro Fläche abgegeben wird. Das heißt wir müssen um dies zu messen die Lichtstärke durch die Fläche von der das Licht ausgeht teilen und erhalten damit die Leuchtdichte in Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Spezifische Lichtausstrahlung und Beleuchtungsstärke (in Lux)

Will man angeben wie viel Licht in einer bestimmten Umgebung auf Flächen bestimmter Größe einwirkt, das heißt wie hell es zum Beispiel in einem Raum insgesamt ist (dies wird als Beleuchtungsstärke bezeichnet), oder wie viel Licht entsprechend von einer Fläche in alle Richtungen abgestrahlt wird, so kann man dies in der Einheit Lux (kurz lx) tun. Ein Lux entspricht einem Lumen pro Quadratmeter (lm/m²).

Weitere Informationen

Mehr Informationen zu den einzelnen Größen und Einheiten findet sich großzügig verlinkt auf der Wikipediaseite zur Fotometrie und mit anschaulichen Grafiken und Beispielwerten auch in dieser .pdf-Datei.

Aufgabe 1:

Dazu gibt es eigentlich nicht viel zu sagen. Die Lösung beginnt nicht zu Unrecht mit „Es ist offensichtlich […]“ …

Die Variante in Summenschreibweise ist sicherlich weniger anschaulich aber formal klarer (sie argumentiert eben nicht damit, dass es offensichtlich ist sondern zeigt es tatsächlich). Die Umformung ist dabei, vor allem beim abschließenden Ausklammern, eher knapp gehalten. Das könnte auch ein Hinweis darauf sein, dass auch Wettbewerbsteilnehmer durchaus darauf vertrauen dürfen, dass sie nicht jeden Minischritt zu dokumentieren brauchen – zumindest so lange sie sich im Bereich der üblichen Lösungsverfahren bewegen.

Aufgabe 2:

Gerechterweise kann dieses Mal Bernd den Sieg erzwingen (in der zweiten Runde 2009 konnte Anja gewinnen, wenn sie wollte). Die Lösungen der Aufgabe ist wesentlich schöner als das Spielen des Spiels (darüber hatte ich mich nach der Veröffentlichung der Aufgaben amüsiert). Die beiden Beweise sind sich etwas ähnlich, zeigen aber tatsächlich zwei verschiedene Strategien zum Gewinn auf.

Nach dem zweiten Beweis wird noch kurz eine Variante der Aufgabe diskutiert (gerade Anzahl an Stäben). In diesem Fall wäre die Lösung offensichtlich wesentlich einfacher gewesen.

Aufgabe 3:

Auch für die Geometrieaufgabe gibt es natürlich mehrere Lösungsvorschläge (im Prinzip zwei mit jeweils zwei Varianten). Zum Verstehen der Beweise ist es in jedem Fall hilfreich, sich die entsprechenden Skizzen so zurechtzulegen, dass man beim Lesen die Argumentation auch in der Skizze nachvollziehen kann. (Gilt meiner Meinung nach für fast alle geometrischen Beweise, zumindest was Aufgaben für Schüler betrifft).

Allerdings sind die Skizzen – wie letztes Jahr auch – im Wesentlichen schwarzweiß (das heißt bis auf die Umrandung der zweiten Skizze und den Punkt E in beiden Skizzen). Ich denke nach wie vor, dass sich hier durch farbliche Unterscheidung (z.B. klarer Kennzeichnung der Ursprungsfigur etc.) auf einfachem Wege mehr Übersichtlichkeit erreichen ließe.

Aufgabe 4:

Mal abgesehen von einem Zahlendreher (ich denke statt d(n)=2001 müsste es d(n)=2010 heißen, dann stimmt auch der Rest der Rechnung) in der ja noch als vorläufig gekennzeichneten Lösung ist der erste Ansatz ein schönes Beispiel für eine etwas anspruchsvollere vollständige Induktion.

Die zweite Variante für die Lösung dieser Aufgabe ist erstaunlich kompakt (gerade auch im Vergleich zur vorherigen Lösungsvariante) und damit sehr übersichtlich nachvollziehbar. Ich finde, dass dieser Beweis der schönste aus den ersten Runden der letzten Jahre des Bundeswettbewerbs ist. Im Vergleich dazu wirkt die erste Variante dann doch ausgesprochen umständlich …

Ich wünsche allen viel Spaß beim Verstehen der Lösungen und allen die noch dabei sind viel Erfolg in den nächsten Runden.

Natürlich lässt sich die Motivation der Besucher nicht sicher feststellen. Da die meisten jedoch über Google ihren Weg auf dieses Blog fanden, fand ich es doch interessant, die Suchbegriffe anzuschauen. Grob geschätzt in der Hälfte aller Suchausdrücke zum BWM fand sich (meist am Ende, gelegentlich auch am Anfang) einer der Begriffe „Lösung“ oder „Lösungen“. Mich würde interessieren, wie viele meiner Besucher tatsächlich gehofft haben, fertige Lösungen zu finden, und wie viele diese dann – in welcher Form auch immer – tatsächlich verwendet und am Ende auch noch ihre Selbstständigkeitserklärung unterschrieben hätten. (Die Selbstständigkeitserklärung bezieht sich eindeutig auch auf die Lösungsfindung, auch Diskussionen im Internet sind explizit ausgeschlossen)

Nachdem ich keine Lösungen veröffentlicht hatte, wurde ich in meinen Kommentaren dafür auch recht wüst beschimpft (inzwischen habe ich beschlossen, solche Kommentare konsequent zu löschen) und eindeutig zur Herausgabe von Lösungen aufgefordert (es wurde wohl davon ausgegangen, dass ich welche hatte, was erkennbar nicht der Fall war). Ich frage mich nun vor allem, was das Ziel derer ist, die – auf welchem Wege auch immer – versuchen, die Lösungen von Anderen zu bekommen. Spätestens ab der zweiten Runde kann ich mir nicht vorstellen, dass irgendwer Lösungen herausgibt (die Aufgaben werden nur den erfolgreichen Teilnehmern der ersten Runde überhaupt mitgeteilt) und wirklich interessant werden die Preise ja eigentlich erst mit der dritten Runde, zu der die Teilnehmer persönlich erscheinen müssen. So gesehen erscheint mir der praktische Nutzen dieses Betrugs höchst zweifelhaft, mal ganz abgesehen davon, dass der Charakter eines fairen Wettbewerbs verloren geht. Aber das geht wohl nicht allen so: Aus einem Kommentar hier im Blog (es ging eben um den Nutzen meiner angeblich vorhandenen Lösungen für andere):

natürlich hilft mir das weiter was glaubs du denn.
Meinst  du etwa ich sollte meinen Geist weiterbilden indem ich selbst die lösung finde

Hat jemand weitere Vorschläge für den Umgang mit solchen Kommenta(to)ren?

Sehenswert sind auf jeden Fall die Versuche von Skytopia eine Art dreidimensionales Apfelmännchen zu erzeugen. Der Autor beschreibt hier mit vielen Links und eindrucksvollen Bildern die Suche nach diesem Objekt. Das bisher beste Ergebnis ist sicherlich die Mandelbulb – selbst SPON hat schon über die „Mandelknolle“ geschrieben.

Ein Blogger der sich praktisch ganz der Schönheit verschiedenster Fraktale widmet ist „Fraktale Welten“. Der Blogger versteht es auch, seine Fraktale ansprechend zu präsentieren, sodass sich Unmengen wunderschöner Bilder im Blog finden. Hier ein paar Beispiele. Ganz nebenbei gesagt: Was die Rechte an seinen Bildern angeht, scheint er ausgesprochen fair zu sein, ich spiele noch mit dem Gedanken, neben diesen Absatz ein Bild als Appetithäppchen aufzunehmen. Aber vorbeischauen lohnt sich in jedem Fall.

Natürlich gibt es außer mir auch noch andere, die Java-Progrämmchen zu Fraktalen online stellen, nur ist dort die Auswahl an unterschiedlichen Fraktalen deutlich größer (… aber die Zoomfunktion finde ich nicht so schön ).

Wenig überraschend gibt es auch in der Wikipedia so Allerlei: Begriffliches wie auch Mathematisches zu Fraktalen ganz allgemein und mit diversen Beispielen sowie enge Verwandte der Mandelbrotmenge. Und, auch wenn Fraktale nur eine von vielen Verwendungsmöglichkeiten von komplexen Zahlen sind, will ich hier doch noch einmal ausdrücklich auf den entsprechenden Artikel hinweisen.

Achja, weil man mittlerweile auch mit Lebensmitteln spielen darf noch das hier.

Dieser Zusammenhang wird in der Hellempfindlichkeitskurve dargestellt (sie unterscheidet zwischen Tag- und Nachtsehen). Hier kann abgelesen werden, wie hell Licht der gleichen Leistung in Abhängigkeit von der Wellenlänge wahrgenommen wird, wobei der maximale Wert (bei Tagsehen 555nm grün) gleich Eins gesetzt wird. Wenn man die Leistungen der einzelnen Wellenlängen einer Lichtquelle mit den entsprechenden Werten dieser Kurve gewichtet und aufsummiert, erhält man den sogenannten Lichtstrom. Er ist damit die, an die menschliche Wahrnehmung angepasste, Entsprechung der Strahlungsleistung und wird natürlich nicht mehr in Watt sondern in der SI-Einheit Lumen (kurz lm) angegeben. Mit monochromatischem Licht von 555nm erhält man die theoretisch maximal mögliche Lichtausbeute von 683 Lumen pro Watt.

Interessant ist dieser Zusammenhang zum Beispiel bei Laserpointern: die Strahlungsleistung ist aus Sicherheitsgründen limitiert (je nach Klasse wenige Milliwatt). Der Lichtstrom ist damit direkt mit der Hellempfindlichkeitskurve verknüpft. Daraus folgt: Grüne Laser wirken deutlich heller als rote der gleichen Leistungsklasse.

Mandelbrotmenge

Nachdem ich vor kurzem ein sehr primitives Java-Applet mit Erklärung (Quellcode hier) geschrieben habe, mit dem sich das „Apfelmännchen“ (das heißt die Mandelbrotmenge) darstellen lässt, habe ich hier noch ein wesentlich komfortableres und funktionsreicheres Applet geschrieben, mit dem sich die Mandelbrotmenge untersuchen lässt. (Die ganzen Bilder der Mandelbrot-Menge hier im Blog sind auch damit berechnet.)

Ausschnitt der Mandelbrot-Menge

Hier also zunächst das Applet, weiter unten folgen noch einige Tipps zur Bedienung des Programms (die Mathematik der Mandelbrot-Menge wird hier erklärt.) Unter Umständen braucht das Applet einige Sekunden, bis es geladen wurde und startet. Dann kann man damit einfach die verschiedenen Bereiche der Mandelbrot-Menge erkunden und die unterschiedlichsten Muster und Selbstähnlichkeiten dieses Fraktals entdecken.

Verwendung

Ich hoffe eigentlich, dass die Bedienung einigermaßen selbsterklärend ist. Für alle, die Probleme und Fragen haben gibt es unten ein Kommentarfeld (ich behalte mir vor, die Kommentare auch sinngemäß in diesen Beitrag zu kopieren und dort zu antworten). Hier die wichtigsten Funktionen:

Mit der Maus (linke Taste bei normaler Belegung, vermutlich dicke Taste für Mac-Benutzer) lässt sich ein Rahmen aufziehen, in den anschließend mit „Aktualisieren“ (ganz unten breit) gezoomt werden kann – wie der ausgewählte Ausschnitt ins Fenster eingepasst wird, kann dabei oben rechts unter „Einpassen:“ ausgewählt werden. Wer wissen will, wie diese einzelnen Modi den gleichen ausgewählten Bereich in die Anzeigefläche einpassen, probiert es am besten aus. Noch ein kleiner Hinweis: Dort wo mit dem Aufziehen des Rahmens begonnen wird, befindet sich hinterher die linke obere Ecke, das heißt man kann auch nach links und oben ziehen (sieht dann allerdings keinen Rahmen) und so das Apfelmännchen spiegeln. (Für alle, die ihr Koordinatensystem lieber über Kopf aufspannen) Wer wieder von Vorn beginnen möchte kann einfach auf „Zurücksetzen“ und „Aktualisieren“ klicken, dann wird wieder der ursprüngliche Ausschnitt angezeigt.

Im unteren Teil des Programms lässt sich gezielt ein bestimmter Bereich des Apfelmännchens als Zahlenwert angeben. Wenn unten „korrekte Eingabe …“ angezeigt wird, wieder „Aktualisieren“ drücken, dann tut sich auch was …

Wer ein Bild der Mandelbrot-Menge berechnen möchte, das größer oder kleiner ist, als der Ausschnitt, der normalerweise angezeigt wird, kann das Häkchen vor „Folgende Größe verwenden“ setzen und entsprechende Werte einstellen. Werden zu große Werte eingestellt, wird allerdings der Speicherbedarf größer als die Menge an RAM die Java normalen Applets zur Verfügung stellt. Dann schmiert im schlimmsten Fall das Applet ab (praktisch tut es meistens einfach bis zur nächsten Bedienung gar nichts mehr). Wer Erfahrung mit der Konfiguration der JVM hat, kann daran herumspielen und den Zugriff auf mehr Speicherplatz freigeben; alle Anderen werden sich wohl mit Bildern von wenigen Megapixeln zufrieden geben müssen.

„Iterationen“ gibt an, wie viele Folgenglieder berechnet werden, um zu entscheiden, ob ein Punkt tatsächlich zur Mandelbrot-Menge dazu gehört. Ist der Wert sehr niedrig, werden mehr Punkte dazu gezählt (schwarz eingefärbt) als eigentlich dazu gehören, ist er sehr hoch rechnet das Programm eine halbe Ewigkeit (mit sehr hohen Werten und einer zusätzlichen Stoppuhr ist das Programm dann schon fast als Single-Core Java-Benchmark mit Schwerpunkt Fließkomma-Multiplikationen verwendbar).

Im Menü „Ansicht“ kann man zum Einen das Aussehen des Applets hässlicher machen (damit es sich mehr von der Schönheit der Mathematik absetzt), zum Anderen kann man die Koordinaten und die Anzahl der Iterationen teiltransparent rechts unten ins Bild schreiben lassen. Das macht besonders dann Sinn, wenn man das Bild abspeichert – in der aktuellen Version des Applets also eigentlich gar nicht. Aber vielleicht veröffentliche ich mal eine offline-Version in der die Funktion .jpg- oder .png-Dateien zu exportieren auch enthalten ist (Ich hab‘ sie schon ). Durch mehrfaches Einblenden der Informationen reduziert sich die Transparenz.

Wie alle Java-Applets wird dieses Programm auf Ihrem Browser ausgeführt und unterliegt dabei einigen Beschränkungen, damit Java-Applets nicht zum Sicherheitsrisiko für Ihren Computer werden (zum Beispiel sind keine Zugriffe auf Ihre Festplatte möglich – daher gibt es hier auch keine Funktion zum Abspeichern von Bildern). Die Berechnungen werden jedoch komplett auf Ihrem Computer ausgeführt und keine Informationen darüber zurück übertragen. Wenn Sie Ihre Internetverbindung nach dem Laden der Seite trennen, können Sie das Programm bis zum Schließen der Seite weiterverwenden. Wenn Sie viele Iterationen oder eine große Bildgröße ausgewählt haben, hat Ihr Prozessor Einiges zu tun, unter Umständen macht sich das in der Lautstärke des Lüfters bemerkbar.

Vor der Abgabe lohnt es sich auch auf jeden Fall, noch einmal die komplette Rückseite des Aufgabenblatts durchzulesen. Dort gibt es nämlich noch diverse Hinweise zu Papierformaten, Seitenrändern und Formularen.

Ich wünsche allen Teilnehmern viel Erfolg im Wettbewerb!

PS: Die folgenden Runden werde ich nicht mehr kommentieren. Den Bundeswettbewerb Mathematik 2011 vielleicht wieder (falls Kap’s! Log dann noch lebt).

Licht jeder anderen Farbe ist aus verschiedenen Wellenlängen zusammengesetzt. Für die Mischung jeder dieser Farben aus Licht unterschiedlicher Wellenlängen (additive Farbmischung) gibt es im Prinzip beliebig viele Möglichkeiten. Um darzustellen wie eine Farbe zustande kommen kann gibt es eine sogenannte Normfarbtafel.

Wie so eine Farbtafel aussieht sieht man beispielsweise in der Wikipedia. Da die Form ein bisschen an einen Schuh erinnert, wird sie manchmal auch als „Schuhsohle“ bezeichnet.

Auf der Farbtafel sind die monochromatischen Farben als Kurve eingezeichnet, wobei die beiden Enden die Grenzen des sichtbaren Wellenlängenbereichs darstellen. Alle anderen Farben liegen im Inneren dieser Kurve. Wenn man nun zwei monochromatische Lichtstrahlen (entsprechen unterschiedlichen Punkten auf der Kurve) im Verhältnis eins zu eins mischt, dann erhält man genau die Farbe, die auf der Farbtafel in der Mitte zwischen den beiden Punkten liegt. Wenn mehr Licht einer Farbe verwendet wurde, liegt der Punkt auf der Farbtafel entsprechend näher an der entsprechenden Farbe. Natürlich können auf diese Weise auch mehr als zwei Lichtwellenlängen oder Farben gemischt werden.

Eine genauere Beschreibung gibt es in der Wikipedia unter den Stichworten Farbmetrik und Normvalenzsystem.

Mehr zur Beschreibung von Licht folgt demnächst hier.

Hier sind wie üblich die einzelnen Beiträge verlinkt:

• Wie setzen sich Farben aus Licht mehrerer Wellenlängen zusammen?
• Wie misst man die Helligkeitsempfindung?
• Verschiedene Größen und Einheiten zur Messung von Licht

Wer weniger an der Technik als vielmehr am Herumspielen mit der Mandelbrotmenge interessiert ist, dem kann ich mein aufwändigeres Applet u.a. mit Zoomfunktion empfehlen.

An Mathematik brauchen wir nur die beiden Formeln (1) und (2) aus der Erklärung, die wir wie in der .pdf Datei unter „Wie kann ich das programmieren“ beschrieben berechnen. Hier sind die hier wesentlichen Abschnitte noch einmal als Auszug:

Die Formeln:

x_n+1 = x_n² – y _n² + a
y_n+1 = 2x_ny_n + b

Dies lässt sich nun ohne Kenntnis von komplexen Zahlen berechnen, wenn a und b bekannt sind (x₀ = y₀ = 0).

Die Beschreibung:

Um die Mandelbrot-Menge darstellen zu können, berechnet man für jeden Punkt des Bildes die Folge mit seinen Koordinaten a (üblicherweise nach rechts) und b (nach oben) entsprechend den Gleichungen oben. Dazu setzt man eine maximale Anzahl an Iterationen (das heißt Anzahl an Folgengliedern die berechnet werden) und prüft nach jeder Iteration ob x²+y²>4 ist. Falls ja, ist der Punkt mit den Koordinaten a und b definitiv nicht Teil der Mandelbrot-Menge. Wenn diese Bedingung nach einer bestimmten Anzahl an Iterationen noch nicht erfüllt ist, kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass er Teil der Mandelbrot-Menge ist (je höher die Anzahl der Iterationen desto sicherer das Ergebnis). Die Punkte, die zur Mandelbrot-Menge gehören, werden dann (meist schwarz) eingefärbt.

Dabei muss man aufpassen, dass man bei der Berechnung des zweiten Terms nicht schon mit dem neuen Ergebnis aus der ersten Berechnung arbeitet. Umgesetzt in Java sieht die Funktion zur Berechnung, ob ein Punkt (wahrscheinlich) zur Mandelbrotmenge gehört dann folgendermaßen aus:

/**
 * Hier wird überprüft ob ein Punkt zur Mandelbrotmenge gehört.
 * 
 * @param a Der Realteil der komplexen Zahl
 * @param b Der Imaginärteil der komplexen Zahl
 * @return Gibt an ob ein Punkt Teil der Mandelbrotmenge ist
 */
private boolean isElement(double a, double b) {
    double x = 0, x2, y = 0;
    for (int n = 0; n < 400; n++) {
        x2 = x * x - y * y + a;
        y = 2 * x * y + b;
        x = x2;
        if (x * x + y * y > 4) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

Diese Funktion muss dann nur für jedes Pixel mit den entsprechenden Koordinaten aufgerufen werden und die Punkte im Bild (hier ein java.awt.image.BufferedImage) entsprechend einfärbt werden:

private void renderImage() {
    int w = getWidth(), h = getHeight();
    img = new BufferedImage(w, h, BufferedImage.TYPE_INT_ARGB);
    double a, b;
    int c = new Color(0, 0, 0).getRGB();
 
    for (int i = 0; i < h; i++) {
        b = (double) i * 3 / h - 1.5; //-1,5 <= b < 1,5
        for (int j = 0; j < w; j++) {
            a = (double) j * 3 / w - 2; //-2 <= a < 1
            if (isElement(a, b)) {
                img.setRGB(j, i, c); //schwarz einfärben
            }
        }
    }
}

Eingebaut in ein einfaches Java-Applet zur Anzeige des Bildes (der komplette, mindestens ab Java 5 kompilierbare, Quellcode findet sich hier), sieht das Ganze dann so aus:

Hinweis: In einigen Feed-Readern wird das Applet evtl. nicht angezeigt.

Kosten

Blogs auf WordPress.com sind zunächst kostenlos. Der Dienst finanziert über zubuchbare Zusatzangebote (siehe auch „Einrichten und Layout“) und gelegentlich eingeblendete Werbung für nicht angemeldete Besucher der Blogs.

Ein Blog, das auf gemietetem Webspace läuft, kostet in aller Regel Geld. Bei verschiedenen Anbietern gibt es entsprechende Angebote mit monatlichen Kosten im einstelligen Eurobereich, die PHP mit allen nötigen Modulen, entsprechende Datenbanken u.s.w. bereitstellen. Mit meinem Hoster gab es bisher keinerlei Probleme, das heißt die WordPress-Installation lief einwandfrei ab und die Verfügbarkeit war bisher nie ein Problem.

Einrichten und Layout

Auf WordPress.com stehen alle wesentlichen Standardfunktionen von WordPress zur Verfügung und man kann aus einer großen Auswahl an Themes wählen. Individuelle Themes und Plug-Ins oder das Anpassen von .css-Dateien sind nicht beziehungsweise nur gegen Aufpreis möglich. Man kann auch eine eigene Domain (die wiederum Geld kostet) mit einem WordPress.com-Blog verknüpfen.

Im selbstbetriebenen Blog müssen einige sinnvolle Funktionen selbst zusammengesucht werden (Themes und Plug-Ins). Dafür sind der Individualisierung praktisch nur durch die eigenen Fähigkeiten (vor allem in CSS und PHP) Grenzen gesetzt, wobei es für die wichtigsten Aufgaben eine ganze Reihe guter kostenloser und regelmäßig aktualisierter Plug-Ins im Netz gibt.

Zugriffsquellen und SEO

Ohne Benutzer macht eine Website wenig Sinn … WordPress.com bietet nur elementare Funktionen zur Suchmaschinenoptimierung (z.B. eine Sitemap.xml die nicht beeinflusst werden kann), die Meta-Descriptions selbst festzulegen ist jedoch beispielsweise nicht möglich. Ein Vorteil der WordPress.com-Plattform ist jedoch die interne Verlinkung über die WordPress.com-Suche und systemweite Tag-Seiten, über die gerade auch neue und wenig besuchte Blogs zusätzliche Benutzer bekommen.

Im Gegensatz dazu hat man auf dem eigenen Webspace oder Server die Wahl zwischen einer großen Zahl an Plug-Ins, die jeder so zusammen stellen kann, wie es ihm sinnvoll erscheint. Allerdings wird man sich dann was die Besucher angeht zu einem großen Teil auf Google und Co. verlassen müssen.

Kommentare

Auffällig im WordPress.com-Blog war, dass bereits bei relativ wenigen Benutzern vergleichsweise viele Kommentare zustande kamen. Dazu haben vor allem die Betreiber anderer Blogs auf der selben Plattform beigetragen. Benutzer die über normale Suchmaschinen kommen, kommentieren im Vergleich dazu wohl eher ungern.

Sicherheit

Gelegentlich tauchen auch in WordPress oder dessen Plug-Ins Sicherheitslücken auf. Auf WordPress.com merkt man von den nötigen Updates wenig, während man auf seinem eigenen WordPress-System regelmäßig überprüfen muss, ob Updates zur Verfügung stehen, um keine Einfallstore für Hacker offen zu halten (gefundene Updates lassen sich in der Regel weitgehend automatisiert einspielen). Auch um regelmäßige Backups von Dateien und Datenbank muss man sich selbst kümmern (sofern der Hoster das nicht übernimmt). Damit bedeutet ein self-hosted WordPress gerade für Gelegenheitsblogger deutlich mehr Arbeit und erfordert die Disziplin regelmäßig die Verfügbarkeit von Updates zu überprüfen.

Zoom in eigener Berechnung

Ich hoffe jedoch, dass sich mit solchen, für jedermann schön anzusehenden Fraktalen, auch die Begeisterung für Mathematik wecken lässt. Deshalb habe ich versucht eine, für interessierte Schüler schon in der Mittelstufe verständliche, Einführung zu verfassen. Sie sollte zum Einen als kleine Ergänzung des Schulstoffs im Mathematikunterricht geeignet sein, zum Anderen beschreibt sie aber auch, mit welchen Mitteln die Mandelbrot-Menge berechnet und dargestellt werden kann, ganz ohne dass man sich komplexen Zahlen beschäftigen muss. Damit kann man sich beispielsweise im Informatikunterricht ganz auf den Programmaufbau und das Programmieren konzentrieren.

Der Text ist in mehrere Abschnitte unterteilt: Nach einer kurzen Erklärung der imaginären Einheit wird die Definition der Mandelbrot-Menge angegeben und so umgeformt, dass alles mit reellen Zahlen berechnet werden kann. Dann wird erklärt, wie sich das alles in einem Programm umsetzen lässt (hier gibt es noch eine ausführlichere Erklärung mit Quellcode und lauffähigem Java-Applet). Abschließend gibt es noch Anregungen, welche Verbesserungen am Programm noch vorgenommen werden könnten. Und für alle diejenigen, die die Tiefen der Mandelbrot-Menge einfach selbst erkunden wollen, gibt es von mir noch ein entsprechendes Programm, das im Browser läuft.

Die Erklärung des Apfelmännchens für Schüler kann hier als .pdf-Datei heruntergeladen werden.

Komplette Mandelbrotmenge

Die Mandelbrot-Menge ist ein Fraktal, das oft als das formenreichste geometrische Gebilde überhaupt bezeichnet wird. In die Randbereiche einer Darstellung dieser Menge (oft als „Apfelmännchen“ bezeichnet) kann man beliebig weit hinein zoomen und immer wieder neue, feinere Muster erkennen.

Da auf aktuellen Computern solche Bilder in Sekundenschnelle berechnet werden können, kann auch jeder selbst Fraktale erkunden oder sich mit den mathematischen Grundlagen dieser Gebilde auseinandersetzen.

Randbereich des Apfelmännchens

In der nächsten Zeit möchte ich zu diesem Thema verschiedene Beiträge verfassen, und hoffe, dass ich damit insbesondere Interessierte ohne besondere Fachkenntnisse auf diesem Gebiet für dieses und andere Fraktale begeistern kann.

Meine Beiträge zum Thema:

• Einfache mathematische Einführung (auch für Schüler)
• Anleitung zur Programmierung eines einfachen Java-Applets
• Interaktives Applet zum Erkunden des Fraktals
• Zusätzliche Infos und viele schöne Bilder zur Mandelbrotmenge und ähnlichen Fraktalen auf anderen Websites
• Ein Vortrag vom Entdecker des Apfelmännchens, Benoit Mandelbrot, über Fraktale

Exemplarisch habe ich hier drei recht unterschiedliche Informatik- beziehungsweise Programmierwettbewerbe zusammengestellt:

Bundeswettbewerb Informatik

Dieser Wettbewerb startet jedes Jahr im September (ich habe hier schon darüber berichtet) und läuft über mehrere Runden. In jeder Runde muss eine Reihe von Aufgaben bearbeitet werden, wobei nicht nur auf die Funktionalität des Codes sondern vor allem auch auf die Dokumentation der Lösung Wert gelegt wird. Die Programmiersprache kann fast beliebig gewählt werden.

Dieser Wettbewerb richtet sich nur an Interessierte, die noch keine entsprechende Ausbildung begonnen haben (schwerpunktmäßig an Schüler). In den späteren Runden ist keine Gruppenarbeit mehr erlaubt und die Aufgaben müssen komplett eigenständig bearbeitet werden. Zu gewinnen gibt es am Ende unter anderem Geldpreise und Stipendien.

Robocode

Robocode ist ein Spiel bei dem in Java Roboter dafür programmiert werden, auf Wettbewerben gegeneinander kämpfen zu können. Zum englischen Spiel steht auch ein (inoffizielle?) deutsche Seite bereit. Das Ganze ist recht einsteigerfreundlich gestaltet, sodass auch Programmierer mit wenig Erfahrung schnell funktionierende Roboter entwickeln können. Um sich mit den anspruchsvolleren Demobots messen zu können braucht es dann allerdings schon etwas länger.

Hier kann grundsätzlich jeder mitmachen und Gruppen können ohne viel Aufwand auch selbst Wettbewerbe gegeneinander veranstalten.

Al Zimmermann’s Programming Contests

Bei diesem Wettbewerb wird – ein bis zwei Mal jährlich – genaugenommen eine mathematische Aufgabe gestellt, die jeder lösen darf wie er möchte. Praktisch erfordert die perfekte Lösung dieser Aufgabe allerdings deutlich mehr Rechenleistung als irgendeinem Wettbewerbsteilnehmer zur Verfügung stehen dürfte. Je besser die Lösung ist, desto mehr Punkte gibt es für eine Teilaufgabe. Es kommt also darauf an, ein möglichst effizientes Programm zu schreiben (dabei schadet ein bisschen Mathematik sicherlich nicht) und dieses dann längere Zeit rechnen zu lassen.

Hier ist die Zusammenarbeit (der Austausch von Code und Lösungen) mit anderen angemeldeten Teilnehmern verboten, die Zusammenarbeit mit Freunden, die nicht selbst teilnehmen, ist dagegen ausdrücklich erlaubt. Zu gewinnen gibt es hier für die besten beiden Teilnehmer mathematische Skulpturen.

Pünktlich „Anfang Dezember“ (genau genommen sogar überpünktlich Ende November) wurden die Aufgaben zur 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2010 veröffentlicht. An den Teilnahmebedingungen scheint sich nicht viel verändert zu haben – auch wenn die Beispiellösung von einer Achtklässlerin stammt wendet sich der Wettbewerb nach wie vor schwerpunktmäßig an OberstufenschülerInnen (einzeln oder in kleinen Gruppen).

Wem das Aufgabenblatt nicht schon von seinem Mathelehrer aufgedrängt wurde, der kann sich die Aufgaben auch von der Website des Bundeswettbewerbs Mathematik (BWM) direkt herunterladen. Wer es in die jeweils nächste Runde geschafft hat, wird dann vermutlich wieder direkt per Post mit den entsprechenden Aufgaben versorgt werden – nebst knappen Kommentaren zur eigenen und ausführlichen Hinweisen zu mindestens einer richtigen Lösung.

Zumindest auf den ersten Blick sehen auch die Aufgaben ähnlich aus wie immer. Ich habe zuerst sogar gedacht, ich hätte das Aufgabenblatt aus dem letzten Jahr erwischt. Hier nun meine ersten Eindrücke zu den Aufgaben – mehrere Aufgabenstellungen erinnern mich mehr oder weniger an andere aus den letzten Jahren (im Archiv der Aufgaben sind jeweils die erste und zweite Runde einsehbar).

Aufgabe 1

Die Aufgabe 1 ist, zumindest was die Aufgabenstellung angeht, einfach und von vielen Schülern wie die Aufgabe 1 aus dem letzten Jahr sicherlich in einer durchschnittlich interessanten Unterrichtsstunde ohne schulische Einbußen auf dem Heftrand lösbar. Man sollte sie eben nur nicht mit der ersten Aufgabe aus dem letzten Jahr verwechseln …

PS: Wer gut mit dem GTR umgehen kann, sollte in der Schulstunde zusätzlich noch ein Programm für Primfaktorzerlegungen auf demselben schreiben können.

Aufgabe 2

Hier spielen, wie in der zweiten Runde des letzten Durchgangs, Anja und Bernd miteinander – die beiden scheinen irgendwie unterbeschäftigt zu sein (Wirtschaftskrise/Kurzarbeit?). Wie dem auch sei, es ist natürlich wieder zu ermitteln wer gewinnt, wenn beide das Spiel wirklich beherrschen (dann brauchen sie es eigentlich auch gar nicht mehr zu spielen – Sie verstehen schon). Interessant ist dieses Mal, dass der Gewinner unabhängig davon ist, wer den letzten Zug ausführen kann (oder muss). Das heißt wenn die beiden in umgekehrter Reihenfolge starten, muss nicht zwangsläufig der/die Andere gewinnen können (wie sich das in diesem Fall verhält, kann man sich dann überlegen, wenn der Rest erledigt ist).

Besonders praktisch ist dieses Spiel allerdings nicht, oder hat jemand Lust Unmengen an extrem unterschiedlich langen Stäben mit sich herum zu schleppen, nur um ein Spiel zu spielen, das im Wesentlichen daraus besteht, ein paar Tage mit dem Messen von Stäbchen zu verbringen?

Aufgabe 3

Die obligatorische Geometrie-Aufgabe: Wie es sich für eine solche gehört besteht sie im Wesentlichen aus Dreiecken und vorgegeben Punkten darin. Wem statische Skizzen zu unflexibel sind, dem kann ich zur Lösungsfindung ein Programm wie GEONExT oder Z.u.L. empfehlen (diese Zeichnung kann dann auch gut für die Darstellung der Lösung verwendet werden).

Aufgabe 4

Die einzige Aufgabe bei der sich mir selbst die Größenordnung der Lösung (keine oder vielleicht unendlich viele Zahlen?) beim ersten Durchlesen der Aufgabe nicht erschließt. Ich vermute, dass diese Aufgabe auch dieses Mal die schwierigste ist. Hoffentlich eine interessante Mischung aus Kombinatorik und ein bisschen Zahlenzerlegen.

Kleiner Trost: drei richtige Lösungen reichen für alles Wesentliche …

PS: In gewissen Grenzen macht der BWM selbst dann süchtig, wenn man nicht besonders erfolgreich abschneidet, aber das merkt man normalerweise erst, wenn man nicht mehr mitmachen darf und stattdessen unnötig lange Beiträge für sein Blog schreibt.

PPS: Auch für diejenigen, die nicht alle Aufgaben selbst heraus bekommen, werden vermutlich, wenn die Runde zu Ende ist, wieder offizielle Lösungen zum Bundeswettbewerb Mathematik 2010 veröffentlicht.

Google Wave – die Revolution der digitalen Kommunikation, die Email des Web 2.0s, die Eier legende Wollmilchsau des Internets – wird seit einigen Monaten viel diskutiert. Die Zugänge zu diesem Ort von historischer Bedeutung werden von Google unter einer Schaar von flehenden und willigen Möchtegern-Revolutionsgardisten (Beitrittsgesuche können hier eingereicht werden) verteilt. Nun hat es auch mich erwischt – ich habe keine Schweinegrippe sondern ich bin mit dem Glück der Dummen gesegnet vom Google Zufallsgenerator auserkoren zu sein.

Mein erster Eindruck ist: Dieser Wendepunkt wird als babyblaue Revolution in die Annalen der Kommunikationsgeschichte eingehen. Nach Adaption an die neuen farblichen Verhältnisse werde ich von „Doctor Wave“ in einem unterhaltsamen Video begrüßt – so unterhaltsam wird die Einführung in ein fertiges Produkte wohl kaum einmal werden. Nach diversen weiteren Videos, die all das, was ich sowieso schon im Nachbartab per try-and-error herausgefunden habe noch einmal per Screen-Capture vorführen – eigentlich ist Google wave intuitiv bedienbar – geht es los: Jetzt wird kommuniziert. Die Frage ist nur mit wem? Acht Kommunikationspartner kann ich mir einladen. Fragt sich nur, wer fähig und willens ist, die nötige revolutionäre Energie aufzubringen und die testende Verantwortung mit auf sich zu laden …

Da die Bearbeitung der Einladungen dauert, kann ich mich zunächst nur mit mir selbst unterhalten – und wie! In keinem anderen Medium haben mir je Selbstgespräche dermaßen viel Spaß gemacht. Ich kann neue Textabschnitte unten anhängen – langweilig. Ich kann aber auch jeden beliebigen Abschnitt meines bisherigen textuellen Ergusses kommentieren (also auch jede Stelle in einem Kommentar), kann unterhalb jedes Kommentars weitere unabhängige anfügen und so weiter. Auch was die Formatierung angeht kann ich, von der protzigen Hauptüberschrift bis hin zur kleinen, unsicher kursiven, aber frechgelb hinterlegten Selbstkritik, ein genaues Abbild meines Innersten erzeugen (Vorsicht an alle Datenschützer: neue Dimensionen der Möglichkeiten des Datenmissbrauchs tun sich hier auf!). Nun denn, die Kommunikationstheorie wird sich wohl in Zukunft noch mehr als bisher auch mit Chaostheorie beschäftigen müssen, wenn meine ersten Ergebnisse repräsentativ für das Verhalten anderer Nutzer von Google Wave sind.

Jetzt haben sich die ersten Freunde angemeldet. Die Jagd danach, schnellstmöglich dorthin zu scrollen, wo gerade etwas passiert, um ihnen beim Tippen zusehen zu können, beginnt und wird mit jedem zu einer Wave hinzugefügten Nutzer schwieriger. Die Möglichkeiten, diesem Treiben Einhalt zu gebieten, sind aber begrenzt. Denn es stellt sich heraus, dass der Button zum Entfernen von Nutzern nicht deshalb nicht aktiv ist, weil ich in irgendeiner Hinsicht nicht im richtigen Bedienmodus bin. Es liegt schlicht daran, dass diese Funktion noch nicht zur Verfügung steht – eine unsanfte Landung in der Realität. Einige Funktionen vermisse ich bisher sehr und manche Dinge scheinen im Moment noch etwas provisorisch gelöst. Aber alleine die Tatsache, dass die vorgesehene Einstellungsseite selbst als Wave implementiert ist, demonstriert wie flexibel und mächtig dieses Werkzeug werden wird: Vielleicht wird es irgendwann tatsächlich Einstellungsmöglichkeiten in Google Wave geben.

Nun denn, wir werden wohl noch warten müssen, bis sich dieses Werkzeug durchsetzen kann. Aber die Möglichkeit, dass Google Wave zumindest eine wertvolle Ergänzung zu bestehender Technik ist, und in vielen Fällen Kommunikation und auch gemeinsames Arbeiten an Gebrauchstexten erleichtern wird, sehe ich gegeben.

Wenn man dieser Tage durch die Läden geht und die vielen Nikoläuse sieht, denkt man natürlich unwillkürlich an den kommenden „Anfang Dezember“, und alle Mathematikfans damit auch – nein, nicht nur an den Mathematik-Adventskalender sondern auch und vor allem an den nächsten Durchgang des Bundeswettbewerbs Mathematik (BWM). Die Aufgaben der ersten Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2010 werden bald veröffentlicht, das heißt die Unterlagen des Bundeswettbewerbs Informatik (jedenfalls die aus der ersten Runde diesen Jahres) können jetzt guten Gewissens für immer verbannt werden (Abgabeschluss dazu war neulich).

Wer das Gefühl hat, seit dem letzten Mal eingerostet zu sein oder überhaupt noch nie richtig rund gelaufen zu sein, dem kann ich nur die rostlösenden Aufgaben aus dem letzten Jahr oder auch die Aufgaben der Mathe-Olympiade empfehlen. Da ich davon ausgehe, dass Sie sich nicht gerade eines Mangels an Intelligenz bezichtigen, kann es doch nur an mangelnder Übung liegen, falls Sie noch nie erfolgreich mitgemacht haben – obwohl, gegen eine abgeschlossene Schullaufbahn ist kein Kraut gewachsen (gute Ausrede dafür, dass wir uns nicht auf der Preisverleihung sehen werden, btw.) …