Gli studenti di oggi

Una cosa divertente che non farò mai più

2012-05-23T23:32:00.000+02:00

Mi sono trovato in casa questo libro:

Una cosa divertente che non farò mai più, Minimum Fax, 12.50€

e me lo sono preso dietro per avere qualcosa da leggere durante una trasferta a Milano per i giochi matematici organizzati dalla Bocconi (dove ho finalmente incontrato .mau., ma questa è un'altra storia).

Non avevo mai letto niente di David Foster Wallace, ed è stata una piacevolissima scoperta. Anobii raccoglie, al momento, 420 recensioni su questo libro, e quindi non starò a tirarla tanto per le lunghe: si tratta della cronaca di una settimana di crociera extra-lusso commissionata all'autore dalla rivista Harper's — inizialmente doveva trattarsi di un semplice articolo, che poi si è trasformato in un volume di 149 pagine.

Il racconto è umoristico, scritto con uno stile meraviglioso, denso di satira e critica nei riguardi dello stile di vita delle crociere da ricconi. Da leggere (ma lo avrete già letto tutti).

Pagherei per sapere scrivere così.

Sono una persona orribile

2012-05-22T22:41:00.001+02:00

Le classi seconde della mia scuola sono andate in visita guidata a Mirabilandia, per partecipare al laboratorio la fisica delle attrazioni. Un gruppo di studenti, seguiti dai propri insegnanti, hanno svolto l'attività didattica alla mattina, l'altro gruppo al pomeriggio. Tra le insegnanti della scuola ce n'è una che, per motivi che non posso spiegare qua, potremmo chiamare Vichinga Loquace.

La giornata, iniziata sotto i peggiori auspici meteorologici, ha subito un'inaspettata, ma graditissima, svolta quando, a tavola assieme ai colleghi che facevano parte del mio gruppo, ho domandato: "ma allora, volete raccontarmi un po' di gossip sulla Vichinga?".

Le successive sei ore sono passate in un lampo.

Ho visto cose

2012-05-09T22:10:00.000+02:00

Quest'anno ho vinto il pacchetto completo per i giochi matematici: ho accompagnato uno studente alle finali delle Olimpiadi della Matematica a Cesenatico, una squadra alle semifinali, sempre a Cesenatico, e uno studente (quello di cui sopra) per le finali Kangourou a Cervia-Mirabilandia.

Ho potuto quindi osservare da vicino e per molto tempo il mondo dei giochi matematici. E sono giunto a una conclusione: il mondo dei giochi matematici contiene la quintessenza della nerditudine.

Ho visto un ragazzo risolvere un cubo di Rubik dietro la schiena. Ne ho visto un altro far girare alcune palline in aria, alla maniera dei giocolieri, mentre attendeva l'inizio della gara.

Ne ho visto uno scendere le scale con un monociclo (era uno dei miei, tra l'altro, uno che come sport pratica il basket su monociclo, per dire).

Ho visto l'impegno e la serietà di una ragazza che, per conciliare tutte le sue attività, è venuta nel pomeriggio a Cesenatico, ha svolto la gara, e a mezzanotte se ne è tornata a casa (ciao, M.).

Ho visto studenti scrivere formule sui tovaglioli del ristorante (anche insegnanti (ero io, sì)), sfogliare libri contenenti quesiti matematici, chiedere di fare più allenamenti il prossimo anno scolastico, e persino promettere di parteciparvi.

Ho visto un insegnante manifestare il suo disappunto perché la partenza al venerdì mattina gli ha impedito di guardare l'episodio appena uscito di The Big Bang Theory (ero ancora io, ehm). E ho visto gli studenti dargli ragione.

Ho visto un gruppo di giovani universitari, che facevano parte dell'organizzazione, vestirsi come i personaggi di Dragonball per presentare ai concorrenti l'ambientazione delle gare di quest'anno (c'era pure Majin-Bu, col tentacolo sulla testa).

Ho visto ragazzi e ragazze fare matematica in maniera seria: ne ho visti cinque guadagnare il massimo punteggio perché avevano risolto perfettamente sei quesiti. Quesiti che io riuscirei a risolvere perfettamente in sei settimane (forse). Ho visto l'imbarazzo dell'organizzazione che, probabilmente, avrebbe voluto avere un solo vincitore, e invece ne ha avuti cinque e non è stata in grado di distinguerli. Bé, oltre all'imbarazzo c'era anche una certa felicità, bisogna dirlo.

Ho visto la delusione nei volti degli studenti che, tutti appiccicati alle vetrate sulle quali stavano appendendo le soluzioni, si dicevano uno con l'altro: "ma era così facile?".

Ma è stato quando ho visto alcuni ragazzi che si rilassavano in spiaggia, indecisi tra il parlare ancora di curve algebriche e il rivolgere l'attenzione a curve più naturali, che mi sono reso conto dell'esistenza di una costante universale, dalla quale non sfuggono nemmeno le menti più nerd di questo mondo.

Il teorema cinese del resto spiegato ai bambini

2012-05-01T08:00:00.000+02:00

Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso se ne stavano tornando verso casa dopo una piacevole passeggiata nel bosco.

Passando vicino a un cespuglio di more, Piccolo Orso si accorse di una serie di impronte: erano di uno strano animale, ma visto prima di allora.

«Vado io per prima!», esclamò Mamma Orsa, posizionandosi sulla quinta impronta un po' preoccupata.

«Tu stai nel mezzo, Piccolo Orso», disse Babbo Orso a Piccolo Orso che, obbediente, si mise sulla terza impronta.

«Io starò in fondo alla fila», concluse Babbo Orso, sistemandosi sulla prima impronta.

Mamma Orsa si incamminò lungo il sentiero; ogni suo passo era lungo tanto quanto la distanza tra 7 delle piccole orme presenti sul terreno.

I passi di Piccolo Orso erano invece più corti: ognuno di essi copriva la distanza di 5 piccole orme.

Babbo Orso era quello che faceva i passi più lunghi: addirittura 9 orme.

«Ehi, mamma!», chiamò Piccolo Orso, «se vai così in fretta non riesco a starti dietro».

«Non ti preoccupare, Piccolo Orso», rispose Mamma Orsa, «ti aspetto».

«Ma io vorrei venire vicino a te!», disse Piccolo Orso.

«E perché non ci riesci? Non sto andando veloce», domandò Mamma Orsa.

«Eh, perché i miei passi non sono mai pari ai tuoi. Arriveremo mai sulla stessa impronta di questo strano animale?», domandò curioso Piccolo Orso. «Vorrei che anche il Babbo fosse vicino a noi».

«Sono qui dietro, Piccolo Orso», lo rassicurò Babbo Orso, «non ti preoccupare. Vuoi fare un gioco?».

«Uh, sì, sì!», rispose contento Piccolo Orso. «Come si gioca?».

«Giochiamo a indovinare quando riusciremo ad essere tutti vicino alla Mamma», la buttò lì Babbo Orso, cercando di camuffare un problema matematico in un gioco per bambini.

«Babbo, non mi freghi! Questo non è un gioco, è un problema!», rispose Piccolo Orso che, anche se era ancora piccolo, non era uno sprovveduto.

«Ma sì, è uno dei soliti problemi di tuo padre», intervenne Mamma Orsa, «per lui sono giochi, non capisce bene la differenza tra le due cose. Lascialo fare, magari è divertente».

«Va bene», disse rassegnato Piccolo Orso. «Siamo sicuri che io posso arrivare di fianco alla Mamma? Perché mentre io faccio un passo da 5 impronte, lei ne fa uno da 7, rimango sempre indietro di 2 impronte!».

«Hai ragione, Piccolo Orso», gli rispose Babbo Orso, «ma ricordati che puoi anche fare una corsetta: se invece di un solo passo ne fai due, non rimani più indietro di 2 impronte, ma sei in vantaggio di 3!».

«Hai ragione, Babbo!», commentò felice Piccolo Orso.

«Allora», continuò Babbo Orso, «ricordati che quando sei partito eri, rispetto alla Mamma, indietro di 2 impronte. Col primo passo la vostra distanza è aumentata a 4 impronte, poi a 6. Ecco fatto!».

«Cosa?», domandò Piccolo Orso.

«Se la distanza è di 6 impronte, puoi raggiungere la Mamma facendo per due volte una corsa: se per ognuno dei due successivi passi della Mamma tu ne fai due, guadagni ogni volta 3 impronte, e quindi riesci a raggiungerla», spiegò Babbo Orso. «Riesci a dirmi a che punto vi incontrerete?».

«Credo di sì», rispose Piccolo Orso, pensieroso. «Devo fare in tutto sei passi, per un totale di 30 impronte. Ero partito dalla numero 3, quindi la incontrerò alla numero 33, giusto?».

«Giusto! Sei stato molto bravo, Piccolo Orso! La Mamma ha fatto invece in tutto quattro passi, per un totale 28 impronte. Era partita dalla numero 5, quindi anche lei arriva alla numero 33», rispose Babbo Orso.

«E tu riuscirai a raggiungerci, Babbo?», domandò Piccolo Orso.

«Certo», rispose Babbo Orso. «Vedi, dall'impronta 33 in poi tu e la Mamma è come se vi muoveste insieme con un grande passo lungo 35 impronte».

«Davvero?», domandò ancora Piccolo Orso.

«Eh, sì. La Mamma fa passi lunghi 7 impronte, tu fai dei passi lunghi 5, allora sette passi dei tuoi corrispondono a cinque dei suoi e a un totale di 35 impronte», spiegò Babbo Orso. «Allora, io invece faccio passi lunghi 9 impronte, e quindi ogni quattro passi percorro una distanza di 36 impronte».

«Una più di noi!», esclamò Piccolo Orso.

«Proprio così. Quindi, pian piano, riesco a raggiungervi», concluse Babbo Orso. «Sono partito dalla impronta numero 1, poi sono arrivato alla 10, poi alla 19 e alla 28. Se voi siete alla numero 33, quanti passi dovrò ancora fare per recuperare la mia distanza?».

«Cinque per quattro!», rispose Piccolo Orso. «Cioè venti, e arriverai di fianco a noi!».

«Bravissimo, Piccolo Orso!», esclamò contento Babbo Orso, «dopo venti passi avrò percorso 180 impronte. Dato che ero partito dalla numero 28, arriverò alla 208».

«E io e la Mamma avremo fatto cinque passi giganti da 35 impronte», concluse Piccolo Orso, «e saremo arrivati alla casella 175+33, cioè alla 208. E saremo finalmente tutti insieme!».

«Bravo, Piccolo Orso. Cammina adesso, altrimenti la Mamma non la raggiungiamo più».

Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso hanno applicato quello che i Veri Matematici chiamano teorema cinese del resto.

Hanno cioè risolto il sistema composto dalle seguenti tre equazioni:

x = 3 mod 5,
x = 5 mod 7,
x = 1 mod 9.

Wikipedia riporta la formula risolutiva universale, ma il metodo utilizzato dalla famiglia Orsi è più carino e comprensibile.

Il tutto proviene da una discussione su Quora, figure comprese.

Qui si fanno regali un po' nerd

2012-04-27T20:43:00.000+02:00

Molto nerd, ok.

Come funziona il generatore automatico di testi

2012-04-16T21:55:00.001+02:00

Nel post precedente ho parlato di un generatore automatico di testi in "lingua italiana". Ecco come ho fatto a costruirlo (ho usato il python perché mi piace, ma anche chi non lo conosce dovrebbe essere in grado di seguire il sorgente, il linguaggio non lo conosco bene nemmeno io e quindi non ho usato costruzioni strane e incomprensibili).

L'idea di base è questa: non faccio una analisi statistica del testo, perché tenere una tabella delle frequenze di tutte le possibili sestine diventa improponibile. Uso invece il testo stesso come generatore.

E cioè: leggo il testo in memoria e, quando ho bisogno di generare un carattere, estraggo una lettera a caso dal testo. E fin qua è facile.

Se devo generare delle coppie di caratteri, invece, faccio così: all'inizio leggo una lettera a caso, poi a partire da un punto casuale del testo cerco la prima occorrenza di quella particolare lettera, e scelgo la lettera immediatamente successiva. Memorizzo quest'ultima lettera e continuo così.

Se poi devo generare delle terne tengo in memoria una coppia di lettere, e a partire da un punto casuale del testo cerco quella coppia e prendo la lettera successiva, e così via.

Vediamo un po' se si capisce il sorgente. Partiamo così:

f=open("i_promes.txt","r")

testo=f.read()

testo=testo.replace("\x0D","")
testo=testo.replace("\x0A","")

N=len(testo)

from random import randrange

M = 1000 #dimensione massima del testo da generare
K = 6 #memoria del generatore casuale

buffer=testo[randrange(N)]
if K==0:
  buffer=""

output=""

Dovrebbe essere semplice: leggo tutto il file all'interno della variabile testo, tolgo dai piedi i caratteri di line feed e carriage return, memorizzo in N la lunghezza del testo, e importo la funzione che mi serve per generare numeri casuali. Poi definisco M, la lunghezza del testo che deve essere generato, e K, la memoria del generatore (nello scorso post ho mostrato il risultato per i valori di K che vanno da 0 a 6).

Poi inizializzo un buffer che memorizzerà i caratteri che dovrò cercare (ma se K è uguale a zero il buffer non mi serve, quindi lo riazzero (lo so, era più elegante inserire un if, ma questa è una correzione dell'ultimo minuto…), e preparo la variabile che memorizzerà l'output e che si chiama, giustamente, output.

Ora viene il bello: la funzione che cerca, all'interno del testo, la prima occorrenza dei caratteri contenuti nel buffer. Il testo viene immaginato infinito, quando arrivo alla fine ricomincio dall'inizio.

def trova(lista,posizione):
  #restituisce il carattere successivo a quelli presenti nella lista
  #a partire dalla posizione data, cerca la prima occorrenza di lista
  #(l'ho chiamata lista, ma e' poi una stringa, ehm)
  l=len(lista)

  if l==0:
    return randrange(N)
  
  trovato = False
  c=0
  j=(posizione) % N

  while not trovato:

    if lista[c]==testo[j]:
      c+=1
    else:
      j=j-c #devo riportare indietro j, maledetto
      c=0

    if c==l:
      trovato=True

    j+=1
    j%=N

  return j%N

Questa funzione trova la posizione in cui compaiono tutti i caratteri di lista, a partire dalla posizione indicata dalla variabile posizione. Le prime righe fanno funzionare il generatore senza memoria: se la lista l è vuota, restituisci un numero casuale e basta. Altrimenti vai avanti.

La variabile trovato si occupa di fare terminare il ciclo; all'inizio non ho ancora trovato niente e quindi è settata a False. La variabile c serve per scorrere il buffer, e la j invece scorre il testo (la j viene sempre usata modulo N, in modo da essere riazzerata se supera N).

Poi comincia il ciclo di ricerca: fino a che non è stato trovato tutto ciò che è contenuto nel buffer si fa una ricerca: se il primo carattere del buffer è uguale al carattere nel testo, aumento c di 1 (così successivamente proverò col secondo carattere del buffer, col terzo, eccetera), altrimenti vado avanti. Il vado avanti mi ha fatto penare, e questo è il motivo del commento nella riga j=j-c.

Le cose stanno in questo modo: supponiamo che il buffer contenga le lettere "abc" e che nel testo siano presenti invece le lettere "aabc". Allora il primo confronto ha successo, ma il secondo no: c viene riazzerato, ma j non deve proseguire dal terzo carattere del testo, cioè b, ma deve tornare indietro. So che mi sono spiegato male, ma provate a togliere la riga maledetta e vedrete che non funziona più.

Il resto è facile: se c è uguale alla lunghezza del buffer l, ho trovato tutto quello che cercavo. Segnalo il tutto settando la variabile trovato e restituisco j (che è stato già incrementato di 1 e che quindi punta al primo carattere dopo la stringa trovata). Ed ecco fatto.

Manca il programma principale, molto semplice:

for i in xrange(M):
    j=trova(buffer,randrange(N))
    buffer+=testo[j]
    output+=testo[j]
    if len(buffer)>K:
      buffer=buffer[1:] #cancello il primo carattere


print output

Faccio un ciclo lungo M, all'interno del quale chiamo la funzione trova. Aggiungo al buffer e a output il nuovo carattere restituito da trova, e se il buffer è troppo lungo lo accorcio.

Fine.

Se avete idee per migliorare, dite pure. Con un generatore a memoria 6 comincia a diventare lento.

Sul concetto di entropia

2012-04-15T08:00:00.000+02:00

Prima di parlare del concetto di entropia, ecco una citazione di Shannon, cioè di colui che l'ha definita nell'ambito della teoria dell'informazione:

La mia più grande preoccupazione era come chiamarla. Pensavo di chiamarla informazione, ma la parola era fin troppo usata, così decisi di chiamarla incertezza. Quando discussi della cosa con John Von Neumann, lui ebbe un'idea migliore. Mi disse che avrei dovuto chiamarla entropia, per due motivi: "Innanzitutto, la tua funzione d'incertezza è già nota nella meccanica statistica con quel nome. In secondo luogo, e più significativamente, nessuno sa cosa sia con certezza l'entropia, così in una discussione sarai sempre in vantaggio".

Quindi l'entropia è una cosa misteriosa (alla fine, un numero) che rappresenta la quantità di informazione trasportata da un messaggio, o anche una misura dell'imprevedibilità con cui si susseguono i caratteri del messaggio stesso.

Mi spiego meglio: se il messaggio è "1111111111", non è che esso trasporti una gran quantità di informazione. Se una sorgente trasmette sequenzialmente dei caratteri, e io vedo che questi sono sempre degli 1, bé, non sarò sorpreso se, mettendomi in ascolto, osservo in continuazione degli 1. Detto in un altro modo: un libro in cui l'unico carattere utilizzato è 1 è un libro abbastanza noioso, e non ho problemi a immaginare come andrà a finire.

Se invece apro un libro e leggo "Il cielo sopra il porto aveva il colore della televisione sintonizzata su un canale morto", ecco che già faccio fatica a prevedere cosa succederà dopo, e mi vien voglia di andare avanti a leggere (poi cambierò idea dopo tre pagine, ma questa è un'altra storia). Il testo trasporta più informazione di quello banale composto solo dalla cifra 1, anche se in esso è presente ancora della ridondanza. Ad esempio, riconosco il fatto che si tratta della lingua italiana. So che se vedo una "q" è molto probabile che dopo ci sia una "u".

Se poi mi trovo davanti a un testo completamente disordinato, qualcosa del tipo "k853LhbzTF" (testo generato tramite il servizio random.org, che assicura di generare in modo davvero casuale i caratteri), ecco che esso è completamente irriconoscibile e imprevedibile. Non posso sapere quale sarà il prossimo carattere.

Bene, non dirò nient'altro sull'entropia, prima devo studiare… Però vorrei mostrare i risultati di un esperimento.

Ho preso un testo della lingua italiana (di cui non rivelerò ora il titolo), ed ho fatto una statistica sulle frequenze delle singole lettere. Dopodiché ho costruito un generatore casuale di testi che rispetti la statistica trovata: ecco il risultato:

h ban se;ldf lnam idecos ao uobuguceandoi rozin rt iiemPeoiadoroel:r tangvaaanitirnata n ie r aaoin lcrl iigmmprci,n'neriu eaìvrs dl n omgPruunnsed!ais e vrauaeabito va.' ennictu o h ie iso onemn c msfa ete eo ete.n'c oauaonreo asemi ae oszào, iie ef s o rrrihlie ePirgeoreunssad ioedatc arte,t ecal i olseo quiirom cp qia vram aiuhnr lesaanacponeaaho eìcnidcfo elsrenrtlcioaoauichis egoo.eevss fhspie lu ehenrbo gaodelnaomoo:oftpzitn oe uodacaau A qvtm àmlaa od na l,u aud romrudia d ai, etfcssinid s iunldanaouvi giuleer hngr io ouaanrncnoios vo,- oan iaaiscìutir:sn; rt ipp -i faeecqQseenhu btir cen aeetev mn spesoaot se ,sia mclnnuden eitn eascsnacpeet a tao nuaoe soreeecesig pò o o oe cctoiòiaiu' oaai cete ?,lfas p nlnl etrteria ersnoeaneaenaqrplen o reaangoileo'enrloeitltc aùittvnn ,qaussst-i i uuna r i oozitsptevcrinotgliiolnccpa aea;tv aiciEotnanoeoa clIcaepofeetttenaslin aeais ntrn c,o a o t rrt urn nbdvo eeel sne osmnartsg ùna-ignstzcr itcnu madom nn

Totalmente incomprensibile, ma se fate un'analisi delle frequenze, scoprite che l'andamento è quello della lingua italiana.

Questo generatore di testi è senza memoria: ogni lettera non dipende dalla precedente, il sistema non ricorda nulla. Se esce una "q", dopo potrebbe uscire qualunque lettera.

Ho allora provato a costruire un generatore diverso, a memoria 1, in cui ogni lettera dipende, in un qualche modo, dalla precedente. Ho insomma seguito la statistica delle coppie di lettere della lingua italiana. Ecco qua:

eno sutrtiaitrila fagugl è e ce ment'è APo, - che ssi a e'eri dia meva seroves' da Viniso enongntencomatuell'è E vina. rglunti, anunorelosì diuofono, ltel veradadi era guerd'aneverorina crove e sisare Laramen di d'e, liabrsici querirtttisuche le fenne pe.Litò, de, ciatrò no.Ini ater nn funnuti diguerovi emevamen a be pechemisto, spitto all'astenevera, cavenio bbernzimo ss'avamichen'etelllla chi Tri scenochemei io merso, duscranontade avelotò a'ive, de chanto. bin o, coratomo me a e quaronn pesue aruo devesté enzavò erte ve pprbavosego, n e ma inda. ma e cuia arva qungilantovavirinelche, cori din Ciù cinovi nto. i illì? to nderela po, enzi dò danzzidisuonacoi anelun del ua, dincheti; ceve spre Di - ccal stedopproste Indasase, lendosomia quore pe di, a pennta i apopomisccore enessere evantanzzaler cicia con iù a, co. esi che cigi si Avenzina chol'orone patrbendeli di l ginqunove le; ccassstolerca erolltrero. pittol di futerm'atti. che a, co. sa Ehe vevoran Ve tenca iarinonongl'i la, di F

Visto cosa succede? Vengono generate delle parole che assomigliano, in modo molto vago, a parole italiane. Se volete giocare, non andate avanti nella lettura e provate a capire quale romanzo è stato usato per istruire il generatore. Secondo me non ci si riesce ancora, ma forse passando a un generatore a memoria 2 (cioè che tenta di seguire la statistica delle terne di lettere della lingua italiana) si riesce a capire qualcosa di più:

iona mo, che, doti: no nella quessarle come posio, più corresta unoripore che che farete nonervi miluttibito cappessacomene diatto anombacch'eranombo più ra Ma segli spel che guil po' mi che, ogno diver tumio, se inta ner lui, mezza, e. Il se inato d'er darcio: le ogolo l'un l'alerse pe verla vogolortiremispersichione no l'ormoste quer unon quanda che par che fostitandissi più di me fato que' verobasciate suovermagio. Scaveneva po e ta, - E quai. E, diste, lì ano chiancato, il pregna che distrimaizion rangue rità. Ne alchigno inonnizio co a corsigna maccribenz'avederno lortava, ganch'esen tire che ra medesto pova quallegrassigo ce no vi menzabittero sappezzo si e da e lo c'essempada partudeverancorava lavate, ri paggiorio, - Si Maggianducambe alibrazi trosappere sciusome paglitano dole da suoi il no da Gettorsi tre; in in griver la pia in purlo, in crivò occoricenno, d'unavanchia luole do be te se ri ve; e Rodre chi soperani fato, né il co campiù mun posta, ci, e no fati, posennal 386.

Un indizio c'è… Ma è certamente più facile risolvere il quesito con un testo generato da un generatore con memoria 3:

dott'effensolla finessuno s'asperfino; e, non mondo, per la tale si racchie dunquella scoppo che gli e invano, com'è accorso, in que' tempossata. Perchessar non sonaria, 13 fero Renza convenion venti par raccio; e racchi ricava in quella.- La gli chi, acco! magine, perca ho tro, e ancorre i botto, le conte Amare ad astata il 1629, ricura sbravamo. Giovarolentivamente: voci parebbe con fuorecissi, zamportunni.- Zittigato ancia e picchiozze, quellire: il che rappensiemeri in cera, che sequillecielargo se prime nella cheneficinquelloquesta in creder che s'ace dopo, inari mando dal sorroratichie difest'invenece arri tire: a fiori, fino, vede col tempresumano don anza sta letervitazio: e tutto: una più per rimaste d'una farsi in quel parlò da l'altri, non la stella tava più precausa. Alloro pre a rimiti, in questamenturba, riposse essegrido che lontare o che una sta andettere di passigno, padre, figli anche ne diverso la l'uominare? Non celli amincorso della suo rimammele me stra quale, in

Qui si riconoscono intere parole. Vado avanti ancora un po', ecco quello con memoria 4:

rebbe far cosa?- Io stare non ha regoli. Avuto fermaron si povero. Renzo ebbe vitato parte megliamento quell'idee superfluo. Prestarsi tutte passarmi stessero di spasimo; lasciò a così che stare, affaccente a ogni porti, lascicantando, questa padrone; ha facesse addosson ne sospetta, si tutto proprivaron tutto. " Ha delle giorno tutte le pane si dànno del vicenda; ma e con un'inchino al privile aveva piazioni poteva, si diede a forse, gettò deferenico andavanti argo. - Ben preti, dà lui con gli stesso. Socchiamaron desto d'Agnescolta, eran facenzo, e con si ragazza tutto asse forza di può con gli era un altri. - Senza, facevamo poi posalità, come poueri d'estralascio; ma che, di boccettare in cui o gli riveste dall'aria disse: - mi causa, divere: diver aprir consonaggio d'esser avvicinò, e che, e più alla monache, sentì necessi, confuso che la viotto da essendo da poco, guardando signor del cominaccia; nessuno, e dondo della se niente a di no, insegnetto, d'avessero malgrado signore? C

Memoria 5:

mo che, o piuttosto a' suoi prova innanzi don Federigo Borromeo, dovesse verso sudice qui, e si storia, che tempo è...?Ma in visto, bisogno d'ubbidirla, come scappa la grazia, rimescolata: ora il cappello, a guardata, che una tese ben essersi trovale, una nuova partite qualche spinge in fretta loro un po' di...! - Meno aspo; e senza arrivava, che, forusciti ad imitava colui che mette comanda, una parte scorsi che noi, per buon se le farmi il passo fissato.- Un po' di sorte, che andato, distribuiti alla mezzo a intrappeso, al peggio che lì, per verità: giacché il carattenzione di venendo legittima.- Renzo tanti, in buona grande davanti nobile incontrasti. Gli atti, era solitudine, legati posto all'acquistata con una scellera, guardando furono di bene. Chi è dovere una presenza terrotte piccolo quotidi, " il conti, vederei. A nessuno di cosa, doveva sentì in mezzi a torbidandosela con quale s'appagorgia, si volesse; e sarebbe a un tempo. Vinse la bianchi degni di corpo, bisogna pecorelle

E infine memoria 6:

mpo aspettata racconterò poi s'avveda.- Basta, aumentaneamenti, d'aspettava in vece vi desideri, l'immaginazioni, ai sacchi, e d'osteri, l'incarico. Una di quelli arruffate, dicendo: - è qui apposta a' monatti, il più fitti che s'avesse più alieni da dove fosse un po' dall'altra parola, arrivasse immoto; spoglia, s'alzò mezzo della morte mia, dal suo paese, avendo risaputo tenere provar la vedremo lasciar andar loro facesse ora che passeggiero era di nuovo in colloquio che credeva quindi disse, con un parentado: dice uno; onde l'orrore, figliuola; e si potesse di protezione, non provare. Ma vogliam crederlo lì quel desiderio, aveva infatti... coll'aiuto m'accorgersi e fautorità spontanetto, che potesse alla carità... gran fatti, alcuno di colui?- Sì, signoria inediti, e spediti e a male prode nelle stanza trovando pur dare avanti, il povero. - Brava gli animi alternativamento di fare una parte, più esperimento che non s'era poi, qualche di sopra questo Raccolse questi momento? - domand

Se non avete ancora capito (impossibile), vi dirò che in una prova che ho fatto mentre mettevo a punto il programma che ho usato per generare tutti questi testi è saltato fuori un certo Don Abbondanza…

Steampunk

2012-04-12T14:23:00.001+02:00

Se il Nautilus fosse un essere vivente, invece che un sottomarino, secondo me potrebbe avere dei figli fatti così:

Questo cosino si chiama disfenoide camuso, ha 12 facce triangolari, ed è molto simpatico.

È una specie di magia

2012-04-11T18:08:00.000+02:00

Il divertimento nel costruire poliedri col Geomag non consiste soltanto nel soddisfare la fame della propria sindrome di Peter Pan (cosa che, comunque, dà una certa soddisfazione): c'è anche qualcosa di più. Il fatto è che tu sei lì, con mille magnetini in mano che ti scappano da tutte le parti, cerchi di fare stare insieme l'aggeggio che stai costruendo puntellando un po' qua, un po' là e, quando metti l'ultimo pezzo, tac, ecco la magia: ci sta! La figura si chiude perfettamente, ti accorgi che è giusta così, e a volte ti chiedi come sia possibile che tutto si combini.

Poi, magari, ti chiedi anche come hanno fatto a studiarli e a capire che mettendo insieme un po' di quadrati e di triangoli si sarebbe ottenuta una figura stabile e chiusa. E ti immagini che salti di gioia avrebbero fatto Euclide o Archimede con in mano una scatola di Geomag, o con l'accesso a un computer con un software di geometria dinamica.

Comunque sia, non ho abbastanza pezzi per costruire altri solidi archimedei (accidenti, non riesco a fare il pallone da calcio). Alcuni solidi hanno poi facce troppo grandi (ottagoni, o decagoni) che andrebbero sostenute con un interno rigido, che non esiste in commercio. E allora ho provato a costruire qualche poliedro ancora più strano.

Questo piccolino qui, ad esempio:

si chiama ebesfenomegacorona e, sì, l'ho scelto principalmente per il nome. Wikipedia riporta l'etimologia: hebes sta per ottuso, in latino, sphenós sta per cuneo, in greco, mégas sta per grande, sempre in greco, e corona è corona sia in latino che in italiano. Quindi potremmo chiamarlo anche grande corona ottusa cuneiforme. Tre quadrati e diciotto triangoli che magicamente stanno insieme.

Chiralità

2012-04-10T22:49:00.000+02:00

Questo poliedro apparentemente poco regolare

è uno dei tredici poliedri archimedei. La sua particolarità (oltre al nome, naturalmente: si chiama cubo camuso oppure cubo simo) è quella di essere chirale: questo significa che se lo mettiamo davanti a uno specchio, l'immagine che vediamo non è identica a quella reale — un po' come quando osserviamo una nostra mano allo specchio.

Dunque esistono due versioni di cubo simo: una destrogira e una levogira. Quella che vedete è quella ~~destr~~ ~~levog~~ è una delle due.

Nomi fantastici

2012-04-10T07:00:00.000+02:00

Se si prende un cubo e si troncano sia i vertici che gli spigoli (cosa che non si riesce a fare con Geomag, purtroppo, questa volta le misure dei magneti non si adattano al troncamento) si ottiene una figura che si chiama rombicubottaedro, che già di per sé è un nome importante.

Se osserviamo bene, possiamo notare una specie di cintura fatta di quadrati (costruita con magneti blu), sui cui bordi sono appoggiate due scodelle, una con la concavità verso l'alto e una con la concavità verso il basso (costruite con magneti rossi). Bene, questa constatazione ci permette di chiamare questo solido anche col meraviglioso nome di ortobicupola quadrata elongata.

E non è finita qui: se allineiamo le due scodelle in modo che a un quadrato della parte superiore corrisponda un triangolo della parte inferiore, e viceversa, otteniamo un nuovo poliedro, che non è più un solido archimedeo:

e che viene detto girobicupola quadrata elongata.

Il tetraedro troncato

2012-04-09T19:00:00.000+02:00

A partire da un tetraedro,

eliminando i quattro piccoli tetraedri ai vertici si ottiene il tetraedro troncato, composto da quattro esagoni e quattro triangoli (qui gli esagoni sono stati riempiti da triangoli, altrimenti la figura non sta in piedi)

Ed ecco il cubottaedro

2012-04-09T11:58:00.001+02:00

A partire da un ottaedro un po' grosso,

tagliando le sei piramidi a base quadrata, si ottiene un bel cubottaedro, composto da otto triangoli e sei quadrati.

Babbo, ma quando posso giocare io?

2012-04-06T23:52:00.000+02:00

Il figlio piccolo ha tirato fuori la scatola dei Geomag, e io non ho potuto resistere. Volevo costruire una struttura autoportante, ma non il solito icosaedro. E allora ho costruito un icosaedro più grande…

La struttura è solidissima, e mette in evidenza le sotto-strutture pentagonali che non appaiono quando si costruisce un icosaedro più piccolo.

E allora, rimuovendo le piramidi a basi pentagonali e sostituendole con pentagoni di plastica che hanno lo scopo di rendere la struttura più solida, e aggiungendo poi qualche triangolino, si può costruire anche un fantastico icosidodecaedro:

Dodici pentagoni e venti triangoli, sessanta spigoli e venti vertici: uno dei tredici poliedri archimedei.

A me pare bellissimo.

Snumeratezza

2012-04-03T21:42:00.000+02:00

Si stava parlando, in seconda, di pi greco (ogni tanto capita, si vede che è un numero che attira la curiosità, non so) e uno studente ha domandato: ma è vero che qualcuno ha calcolato sei miliardi di cifre di pi greco?

Io ho risposto che, sì, certamente qualcuno le avrà calcolate; e ora scopro che il record attuale è di oltre mille miliardi, ma non è questo il punto. Il punto è che lo studente poi, stupito, si è chiesto quanto tempo ci avrà messo, questo pazzo furioso, a calcolarsi sei miliardi di cifre di pi greco a mano.

Allora io gli ho fatto notare che il pazzo furioso ha certamente usato un computer, che è impossibile che se le sia calcolate a mano, e gli ho chiesto di provare a calcolare quanti quaderni gli ci sarebbero voluti per contenere sei miliardi di cifre, utilizzando una cifra per ogni quadretto. E lui mi ha guardato strano, come se gli avessi assegnato un compito impossibile.

E l'ho invitato a provarci, partendo dai quadretti contenuti in un foglio. Aiutandosi magari con un righello (i quadretti sono da 4 millimetri, di solito) si trova che in un foglio ce ne stanno circa 52×73, cioè 3796. Un quaderno standard ha 20 fogli piegati a metà, cioè 40 fogli, 80 facciate, per un totale di 303680 quadretti.

I numeri cominciano a diventare grossi, e non è semplice immaginarseli; ora si può calcolare il numero di quaderni necessari per contenere sei miliardi di cifre di pi greco: una semplice divisione ci dà il risultato di 19757, facciamo 20000.

Quanto spazio occuperanno ventimila quaderni? Quanti ce ne stanno in questa stanza? Quanto è grande questa stanza? Ma come facciamo a calcolarlo, dobbiamo prendere un metro?

Ho risposto che non serviva una misura precisa, che sarebbe bastato dare un'occhiata alle mattonelle sul pavimento, che sono quadrati di circa 20 centimetri di lato. Per farla breve, è risultato che l'aula può contenere più di 400000 quaderni. È impossibile, ha esclamato qualcuno. Abbiamo sbagliato i conti! E allora io l'ho invitato a fare una stima più semplice, quella del numero di mattonelle presenti sul pavimento. E lui ha risposto che, boh, saranno state cinquanta, forse cento. In realtà con una divisione si è scoperto che sono 900. Così tante? Impossibile!

Poi è saltato fuori anche un altro argomento, classico quasi quanto il pi greco: quante volte si può piegare un foglio di carta. Ho iniziato con un problema noto (a quelli pratici dell'ambiente, naturalmente): se si potesse piegare un foglio di carta quante volte quante si vuole, quante pieghe si dovrebbero fare per arrivare fino alla Luna? Gli studenti hanno stimato a occhio che sarebbero serviti milioni di pieghe, mentre tutti sanno che la risposta è un semplice 42. Effettivamente è una risposta che ha dell'incredibile, ma è giusta.

Sembra che il record per la piegatura di un foglio di carta sia, attualmente, pari a 12 volte (quello di 13 pieghe non è stato omologato perché il malloppo risultante non stava in piedi da solo, ma aveva bisogno della stabilizzazione fornita dal peso di qualche studente). Qualcuno mi ha chiesto perché non si riesce a fare di più, in fondo basta avere a disposizione un foglio molto grande. L'ho invitato a fare il calcolo, prendendo ad esempio un foglio di carta grande quanto un campo da calcio (in ogni classe c'è sempre qualche studente che conosce le misure di un campo da calcio al millimetro).

Le misure di un campo da calcio sono variabili, per un'area che va dai 6400 agli 8250 metri quadrati: facciamo 8000. Dopo la prima piega diventano 4000, poi 2000, poi 1000, 500, 250, 125 (facciamo 128), 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. E siamo arrivati alla misura di un foglio A0. Dividiamo ancora una volta e otteniamo un A1, poi un A2, un A3 e infine un A4. Totale: 17 pieghe, che corrispondono a uno spessore di 2¹⁷ pagine, cioè 131072. Piegando un foglio delle dimensioni di un campo da calcio si ottiene un libro di più di 130 mila pagine. Vedete, ho detto prendendo in mano un foglio A4, su un campo da calcio ci stanno centotrentamila fogli fatti così. E qualcuno, nonostante l'evidenza matematica, ha detto che era impossibile.

Ecco, tutto questo per dire che noi ci preoccupiamo di spiegare argomenti complicati come le disequazioni, i radicali o la geometria euclidea, usiamo l'algebra per astrarre sempre più, tendiamo a non eseguire più operazioni ma ci accontentiamo di indicarle, mentre chi ci sta davanti ha pochissima praticità già con i semplici numeri, quando sono un po' grandi (dove grande significa superiore a 20, di solito (le dita delle mani più quelle dei piedi, sì)).

E anche io, che ho scritto queste cose, ho un po' paura a schiacciare il bottone pubblica, perché potrei avere fatto qualche errore di calcolo. Sai che figura, dopo.

Il potere del teatro, e quello delle maestre (ovvero: coi gattini non si sbaglia mai)

2012-03-14T21:56:00.000+01:00

Io e mia moglie abbiamo uno strano rapporto col teatro: ci piace sederci davanti, sotto al palco; ci piace vedere gli attori da vicino, ci piace renderci conto del fatto che è tutto vero: loro sono lì, l'opera d'arte è irripetibile, non ci sono effetti speciali, montaggi, trucchi. Ci piacciono gli sputini che fanno quando parlano, per dire come siamo messi. E ci succede una cosa strana: quando, alla fine dello spettacolo, si presentano tutti al pubblico, ringraziano e ricevono gli applausi, bé, noi ci commuoviamo.

Insomma, siamo stati a uno spettacolo teatrale un po' anomalo. Gli attori erano tutti bimbi di quarta elementare, e tra di loro ce n'era uno che, quando è arrivato in prima, non parlava. Dico, non parlava proprio, aveva problemi vari di cui non conosco la diagnosi precisa, ma di cui conosco l'effetto: a scuola aveva (e ha ancora) bisogno della maestra di sostegno.

Bé, in questo spettacolo teatrale la compagnia di quarta elementare ha proposto una libera interpretazione della Storia di una gabbianella e del gatto che le insegnò a volare. La trama, a grandi linee, è quella del romanzo, ma al suo interno gli attori hanno inserito le loro storie, le loro esperienze personali. L'hanno attualizzata e personalizzata.

Ebbene, il bimbo che in prima non parlava era anche lui un attore. Impersonava uno dei gatti amici del gatto protagonista, e aveva una parte comica: uno dei suoi amici gatti si mangiava sempre le parole, non sapeva pronunciare termini un po' difficili e allora lui interveniva e, con perfetta dizione, pronunciava il termine in modo corretto. La prima volta siamo rimasti tutti un po' stupiti, mai avremmo pensato che si sarebbe esposto a tanto. Mai l'avevamo sentito parlare davanti a tanta gente. La seconda volta abbiamo sorriso. La terza abbiamo riso di gusto.

E, dunque, se io e mia moglie ci commuoviamo di fronte a attori sconosciuti che ricevono gli applausi del loro pubblico, figuratevi come ci siamo sentiti di fronte a questi attori, alla fine dello spettacolo. Se, poi, aggiungiamo il fatto che tra di loro c'era anche il nostro figlio più piccolo, potete immaginare la scena pietosa.

Quanto sono grandi i buchi piccoli quanto si vuole, ovvero: dell'utilità dell'ultimo teorema di Fermat

2012-02-14T07:00:00.000+01:00

Sul quarto di circonferenza di raggio unitario che giace nel primo quadrante ci sono infiniti punti a coordinate razionali.

«Eeh?».

«Dai, circonferenza di raggio 1, centrata nell'origine…».

«Ok».

«Prendo il quarto che sta nel primo quadrante».

«Eh».

«Bene: lì sopra ci stanno infiniti punti con coordinate razionali».

«E perché?».

«Sai cosa sono le terne pitagoriche?».

«Uffa, sì, lo so. Sono terne di numeri naturali che soddisfano il teorema di Pitagora».

«Esempio?».

«Per esempio, 3,4 e 5. La somma dei quadrati costruiti sui cateti 3 e 4, cioè 9 e 16, dà come risultato il quadrato costruito sull'ipotenusa, cioè 25».

«Bene. Diciamo quindi che le terne pitagoriche soddisfano all'equazione x²+ y²= z²».

«Giusto».

«O, anche, all'equazione (x/z)²+ (y/z)²= 1».

«Ecco che complichi».

«Ma no, era solo per dire che (3/5)²+ (4/5)²= 1».

«Ok, ma perché la scrivi così? Perché ti piace avere un 1 a destra dell'uguale?».

«Perché l'equazione x²+ y²= 1 è l'equazione della circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine».

«Ah, ora ci sono: prendiamo il quarto di circonferenza nel primo quadrante perché usiamo numeri naturali, che sono lati di triangoli rettangoli».

«E quindi, dato che esistono infinite terne pitagoriche, ecco che esistono infiniti punti a coordinate razionali sull'arco di circonferenza in blu che ti disegno qua sotto».

«E tutte quelle curve verdi cosa sono?».

«Sono alcune delle infinite curve di equazione xⁿ+ yⁿ= 1. Se le disegnassimo tutte, vedremmo l'angolo in alto a destra del quadrato completamente pieno».

«Anche loro conterranno infiniti punti a coordinate razionali, suppongo».

«Supponi male».

«Ma come?».

«Rifacendo il ragionamento di prima all'indietro, se esistessero punti a coordinate razionali che stanno sulle curve verdi, esisterebbero terne di numeri naturali che soddisfano all'equazione xⁿ+ yⁿ= zⁿ».

«Uh, l'ultimo teorema di Fermat».

«Eh, già».

«Ma allora, nell'angolo in alto a destra del quadrato non ci sono punti a coordinate razionali?».

«Certo che ce ne sono, infiniti».

«Ma se ci sono infinite curve verdi, senza punti a coordinate razionali!».

«Adesso hai capito il titolo di questo post?».

Da una discussione sulla lista Cabrinews.

Tesori nascosti

2012-02-13T00:19:00.000+01:00

Girellando per l'internet in attesa di andare a dormire, ma senza fretta perché con questa neve ci hanno chiuso le scuole un'altra volta, ti capita davanti un post di uno che vuole trasmetterti la gioia di aver scoperto un tesoro nascosto, e tu lo leggi incuriosito, e scopri che questo tesoro è un pezzo scritto su Quora da un anonimo matematico che cerca di spiegarti come ragiona la gente come lui, e quello che l'ha scoperto te lo descrive così, con queste parole:

Insomma, il nostro anonimo scrive questo pezzo, che è ovviamente brillante, ma è bello, sincero, quasi commovente nel parlarti di una cosa che sono in pochi ad avere. E tu che pensi che i matematici genii sono tutti pazzi (è vero, alcuni lo sono), leggilo, ‘sto pezzo, che se io penso che una mezza medaglia Fields mi viene a scrivere 15777 caratteri (spazi esclusi) di come ci si sente ad essere lui mi vengono i le lacrime (e anche questo è internet: cioè che uno che ha visto i sette mari e scoperto tesori e combattutto battaglie viene da te sulla battigia, che hai il libro di pirati sottobraccio e il moccio al naso, e ti racconta com’è, davvero, i pirati e i sette mari. Poi decidi tu, ma intanto lo sai.).

E allora tu ti chiedi e che sarà mai, cos'è questa esaltazione, poi, dato che non hai fretta, perché tanto domattina puoi dormire un po' di più, vai a leggerlo di persona. E scopri che è proprio così, la bellezza, la commozione, i pirati, il moccio al naso. Ed è una meraviglia.

E quindi grazie, anonimo matematico, e grazie, Aubrey McFato, per averlo letto, e per averci fatto anche un epub.

επακταί ημήραι — parte 4

2012-02-02T07:00:00.000+01:00

«Di algoritmi per il calcolo della Pasqua ce ne sono tanti, ma quello ufficiale è naturalmente quello proposto da Giglio, Clavio e amici».

«Mi pare giusto. Com'è fatto?».

«Primo: calcoliamo il numero d'oro».

«Che sarebbe?».

«Abbiamo detto che esiste un ciclo quasi perfetto che uguaglia 19 anni a 235 mesi sinodici: in 19 anni ci sono 235 lune piene, insomma».

«Ok».

«E allora il numero d'oro è un numero compreso tra 1 e 19 che ci dice a che punto siamo del ciclo. Ecco la formuletta:».

A = anno mod 19 + 1.

«Prendo l'anno, divido per 19, calcolo il resto, aggiungo 1?».

«Esatto. Per quest'anno, A = 18».

«Fin qua ci siamo».

«Poi si calcola il numero del secolo:».

B = anno div 100 + 1.

«Con div intendi la divisione intera, vero?».

«Sì. Per quest'anno, B = 21».

«Giusto».

«Poi dobbiamo tenere in considerazione la conversione da calendario giuliano a calendario gregoriano, perché quello gregoriano ha 3 anni bisestili in meno ogni 4 secoli».

C = (3 × B) div 4 - 12.

«Vediamo, per il 2012 risulterebbe C = 3, ma mi sfugge il senso».

«Sai che, col calendario gregoriano, non tutti gli anni divisibili per 4 sono bisestili».

«So che quelli divisibili per 100 lo sono solo se sono anche divisibili per 400».

«Esatto. La riforma del calendario è avvenuta nel 1582; il primo anno divisibile per 100 è stato il 1600, bisestile. Il successivo è 1700, non bisestile (mentre lo sarebbe stato, se si fosse seguito il calendario giuliano), poi 1800, non bisestile, poi ancora 1900, non bisestile, e infine 2000, bisestile. Quindi in tutto 3 anni bisestili in meno rispetto a quelli del calendario giuliano».

«Bene».

«Ora dobbiamo prendere in considerazione il famoso ciclo di 19 anni, il ciclo di Metone. Dato che non è accuratissimo, bisogna correggerlo: sbaglia di un giorno ogni 310 anni (giuliani), il che corrisponde circa a 8 giorni in 25 secoli (gregoriani):».

D = (8 × B + 5) div 25 - 5.

«Allora, per il 2012 dovrebbe essere D = 1».

«Ok».

«Non capisco, siamo nel ventunesimo secolo, manca poco al venticinquesimo, perché D = 1?».

«Tieni presente che la correzione deve partire dal 1582, quindi 25 secoli saranno passati solo quando arriveremo nel quarantesimo secolo».

«Ah, ecco».

«Ora dobbiamo calcolare il giorno della settimana in cui cade il 21 marzo. Dato che un anno è uguale a 52 settimane più un giorno, il giorno in cui cade il 21 marzo cade ogni anno un giorno più tardi, mentre negli anni bisestili cade due giorni più tardi. In totale, sono 5 giorni in più ogni 4 anni. E, come se non bastasse, dobbiamo tenere conto anche della correzione sugli anni bisestili gregoriani, cioè il valore di C calcolato prima. Ecco la formula:».

E = (anno × 5) div 4 - 10 - C.

«Allora, quest'anno avremo che E = 2502, ma che significa?».

«Se calcoli 2502 mod 7, ottieni 3, e infatti quest'anno il 21 marzo sarà un mercoledì, terzo giorno della settimana. Non calcoliamo subito il valore di E modulo 7, perché lo useremo poi in un'altra formula che già prevede il calcolo del modulo».

«Ok. Ora, abbiamo finito?».

«Eh, no, ora viene il bello: dobbiamo calcolare l'epatta».

«Eh?».

«L'epatta è l'età della luna all'inizio dell'anno. Ogni anno la luna piena cade 11 giorni prima, rispetto all'anno precedente, perché l'anno solare è di 11 giorni più lungo di 12 mesi sinodici. Dobbiamo poi tenere conto anche delle correzioni calcolate prima in C e in D, e anche del fatto che un mese sinodico non è lungo esattamente 30 giorni, ma un po' meno, cioè 29.53059 giorni (o, se vogliamo, 29 giorni 12 ore 44 minuti e 2,9 secondi). Infine, l'anno solare non è davvero 11 giorni più lungo dei 12 mesi lunari, in realtà è 10.89 giorni più lungo. Insomma, risulta questo calcolone:».

F = ( (11 × A + 20 + D - C) mod 30 + 30) mod 30,
Se F = 24 oppure se (F = 25 e A>11) allora F va aumentato di 1.

«Mi viene F = 6, per il 2012».

«Esatto, quest'anno l'epatta è proprio 6».

«Ma perché aggiungi 30 e fai un secondo modulo 30? Che senso ha?».

«Per valori dell'anno grandi, potrebbe succedere che F risulti un valore negativo. Allora si aggiunge 30 e si ricalcola il modulo 30, così si calcola sempre un valore positivo».

«Ah. E quella seconda riga in cui modifichi F se sono vere alcune condizioni?».

«Quella tiene conto delle imprecisioni che si avrebbero considerando il mese sinodico di esattamente 30 giorni e la differenza tra anno solare e 12 mesi lunari di esattamente 11 giorni. Una delle condizioni richieste da papa Gregorio era quella di mantenere la tradizione: secondo il calendario giuliano la prima luna piena di primavera non poteva cadere il 19 aprile, ma secondo questi nuovi calcoli, sì. Per questo motivo viene effettuata quella correzione su F, quando risulta uguale a 24. Se invece risulta uguale a 25, e però nel secolo in corso ci sono stati, o ci saranno, anni con epatta pari a 24, allora la luna piena non cadrà il 18 aprile, ma il 17. Le tradizioni sono dure a morire: era così nel calendario giuliano, che aveva solo 19 valori possibili per l'epatta, uno per ogni anno del ciclo metonico, e questa strana correzione è rimasta anche col calendario gregoriano».

«Gulp».

«Detto in altri termini: dopo 19 anni le epatte dovrebbero ripetersi, ma 19 moltiplicato 11 (i famosi 11 giorni di differenza tra anno solare e 12 mesi lunari) fa 209, che non è un multiplo di 30, ma è uguale a 29 modulo 30. Questo significa che il ciclo delle epatte non si chiude, e per fare in modo che tutto torni è necessario aggiungere 1 al valore dell'epatta ogni 19 anni. Questa correzione si chiama saltus lunae».

«Sempre più difficile».

«Detto questo, abbiamo quasi fatto. La prima luna piena dopo il 21 marzo, o la luna appena precedente, sarà».

G = 44 - F.

«Che, sempre per il 2012, risulta 38. Cosa significa?».

«Significa che il 38-esimo giorno di marzo è la luna piena».

«Ma marzo non ha 38 giorni!».

«E allora si va ad aprile: il 7 aprile, per la precisione».

«Ah. E 44 da dove viene?».

«Eh, abbiamo detto che l'epatta è l'età della luna, cioè quanti giorni sono passati dalla luna nuova. La luna piena si ha, per definizione, 14 giorni dopo; 44 è semplicemente 30+14, serve per arrivare alla luna piena di marzo. Attenzione al fatto che non sempre il calcolo di G ci dà proprio la luna di marzo: se non è così dobbiamo correggerne il valore:».

se G < 21 allora G = G + 30.

«Bene. Abbiamo finito?».

«Sì, per trovare la domenica, basta quest'ultimo calcolo. Parto dal giorno della luna piena, aggiungo 7 giorni, e torno indietro fino a incontrare la domenica:».

G + 7 - (E + G) mod 7.

«Ce l'abbiamo fatta: per il 2012 risulta 39. Quindi, il 39 marzo?».

«Proprio così».

«Che non esiste, allora passiamo ad aprile: risulta l'otto aprile».

«Per sapere se la risposta è giusta, ti lascio con l'annuncio ufficiale della Pasqua di quest'anno, letto il giorno dell'Epifania nelle chiese cattoliche:».

Fratelli carissimi, la gloria del Signore si è manifestata e sempre si manifesterà in mezzo a noi fino al suo ritorno. Nei ritmi e nelle vicende del tempo ricordiamo e viviamo i misteri della salvezza.
Centro di tutto l'anno liturgico è il Triduo del Signore crocifisso, sepolto e risorto, che culminerà nella domenica di Pasqua l'8 aprile 2012.
In ogni domenica, Pasqua della settimana, la santa Chiesa rende presente questo grande evento
nel quale Cristo ha vinto il peccato e la morte. Dalla Pasqua scaturiscono tutti i giorni santi: le Ceneri, inizio della Quaresima, il 22 febbraio 2012. L'Ascensione del Signore, il 20 maggio 2012. La Pentecoste, il 27 maggio 2012. La prima domenica di Avvento, il 2 dicembre 2012.
Anche nelle feste della santa Madre di Dio, degli Apostoli, dei Santi e nella commemorazione dei fedeli defunti, la Chiesa pellegrina sulla terra proclama la Pasqua del suo Signore.
A Cristo che era, che è e che viene, Signore del tempo e della storia, lode perenne nei secoli dei secoli.

«Amen».

«Buon carnevale».

«E buona Pasqua».

Di queste cose ne avevano già parlato proprio loro, i Rudi Mathematici, nel numero 134 della prestigiosa rivista di matematica ricreativa. E adesso ne ho parlato anche io, perché scrivere è un buon metodo per comprendere un argomento.

Un'analisi del calendario gregoriano, che utilizza anche le frazioni continue, è qua.

Il testo originale di Cristoforo Clavio, con tutti i calcoletti, è qui. Auguri.

Qui una parte del testo di Clavio viene analizzata, in modo da estrarre degli algoritmi comprensibili.

Qui si può giocare con in vari algoritmi, e fare calcoli online (funziona solo con internet explorer, roba da matti). Se provate a far fare al sistema qualche calcolo, potete vedere che nel 2019 si verificherà il cosiddetto paradosso pasquale: la pasqua astronomica dovrebbe cadere il 24 marzo, ma in realtà sarà festeggiata il 21 aprile (è il caso dell'epatta 24, che deve essere corretta in 25).

Una completa analisi sul calcolo dell'epatta si trova qui.

Uno si può domandare, a questo punto, quanto deve essere lungo un vero calendario perpetuo riciclabile per tutte le occasioni. Allora, il ciclo di Metone dura 19 anni. Il calcolo del numero C corregge l'epatta per gli anni di inizio secolo (ci siamo capiti, il secolo inizia l'anno dopo) non bisestili, che sono 3 ogni 400 anni. C viene utilizzato per il calcolo di F, che lo renderà periodico se diventa multiplo di 30 (il mese sinodico): succede ogni 4000 anni. D corregge l'epatta di 8 giorni ogni 25 secoli, cioè 30 giorni in 9375 anni, e poiché D è basato anche sul numero del secolo, il ciclo dovrà essere multiplo di 100; il minimo comune multiplo di 9375 e 100 è 37500. Il giorno della settimana in cui cade il 21 marzo dipende dal ciclo principale del calendario gregoriano, che dura 400 anni. Allora, il ciclo generale per la Pasqua gregoriana ha una durata pari al minimo comune multiplo tra 19, 4000, 37500 e 400: 5 milioni e 700 mila anni. Un calendarietto.

La data più frequente, per la Pasqua, è il 19 aprile: 220400 volte su 5700000 (grazie alla correzione di F, che sposta il 26 aprile alla settimana precedente). La seconda data più frequente è il 18 aprile (la correzione di F a volte sposta il 25 aprile al 18 aprile). La meno frequente è 22 marzo.

Se la luna piena ecclesiastica capita il 21 marzo ed è sabato, allora la Pasqua cade il giorno 22 marzo: è la Pasqua più precoce possibile, la Pasqua bassa. Se invece il 21 marzo è domenica, la Pasqua sarà festeggiata la domenica successiva. Se invece la luna piena ecclesiastica capita il 20 marzo (inverno!), la luna piena primaverile arriva 29 giorni dopo, il 18 aprile. Se questo giorno è domenica, la Pasqua cade la domenica dopo, il 25 aprile, detto di Pasqua alta.

L'ultima Pasqua bassa si ebbe nel 1818 e la prossima si avrà nel 2285. L'ultima Pasqua alta si ebbe invece nel 1943 e la prossima nel 2038.

Il 21 marzo si celebra san Benedetto, mentre il 25 aprile compreso san Marco, da qui il detto: non sequitur Marcum, nec precedit Benedictum (o meglio, non precede e non coincide con san Benedetto, ma in latino si conta in modo veramente strano).

Scrutini

2012-02-01T13:00:00.000+01:00

Inter gravissimas — parte 3

2012-02-01T07:00:00.000+01:00

«Nel 1582, papa Gregorio XIII pubblicò la bolla Inter Gravissimas. Senti qua:».

E mentre noi stessi, forti dell'autorità che a noi, benché indegni, è stata data da Dio, ci occupavamo di questa preoccupazione [si riferisce al problema di mantenere intatti gli antichi riti ecclesiastici, pur modificando il calendario], dal caro figlio Antonio Giglio, professore di scienza e medicina, ci è stato dato il libro che il suo defunto fratello Luigi aveva scritto, in cui, per mezzo del ciclo d'epatta da lui inventato, e in relazione diretta col numero d'oro, e adattato alla durata di qualunque anno solare, ha mostrato che tutti i difetti del calendario possono essere corretti con un rapporto costante valido per tutti i secoli, in modo che il calendario non sia soggetto a nessun altro cambiamento nel futuro.

«E chi è questo Antonio Giglio?».

«Uno strano soggetto che forse ha inventato l'esistenza del fratello Luigi, di cui si sa molto poco. Ma anche un matematico, che ha lavorato al problema del calendario, e che è stato consultato da papa Gregorio per ottenere un calendario perpetuo».

«E ci è riuscito?».

«Bé, il calendario gregoriano è quello che usiamo ancor oggi, no?».

«Ed è tutta opera sua?».

«Anche, ma soprattutto del fratello Luigi. Lui ha solo portato a termine ciò che aveva fatto Luigi, che nel 1582 era già morto. In realtà, per risolvere il problema del calendario, fu nominata una commissione composta da otto persone. Fra queste, c'era anche Cristoforo Clavio (Cristoph Clau in origine (probabilmente)), il sacerdote matematico tedesco che suggerì di passare dal 4 ottobre 1582 direttamente al 15, per riallineare il calendario con la realtà».

«Che roba».

«La riforma più grossa, comunque, riguardò proprio il calcolo del giorno della Pasqua. Il ciclo lunare di 19 anni fu corretto, e tutto il calcolo fu sostituito con un nuovo algoritmo».

«Nel testo che hai citato si parla infatti di numero d'oro, di epatta, ma che roba è?».

«Eh, è il cuore del nuovo algoritmo. Pensa che Giglio e Clavio, i due matematici, erano talmente convinti della precisione del loro nuovo algoritmo, che presentarono una tabella per il calcolo della data della Pasqua che arriva fino all'anno 800000000».

«Ottocento milioni? Stai scherzando?».

«No, guarda».

«Gulp, gente sicura dei calcoli».

«Abbastanza. In realtà, l'algoritmo non può essere così preciso, ci sono troppe variabili in gioco. E, comunque, è anche affetto da un errore: il calendario gregoriano fissa la durata dell'anno a 365.2425 giorni, mentre in realtà oggi è di 365.24219 giorni: e già qui abbiamo un errore di un giorno ogni 3226 anni».

«Robetta, ma non se confrontata con l'anno ottocento milioni».

«Infatti. E poi, la durata dell'anno non è costante: a causa delle forze di marea, la velocità di rotazione della terra intorno al proprio asse diminuisce, e quindi la durata del giorno aumenta, se rapportata alla lunghezza dell'anno».

«Uh».

«E non basta: la luna si sta pian piano allontanando dalla terra, e quindi si allunga anche il mese sinodico. E come se non bastasse, anche la terra si allontana lentamente dal sole…».

«E quindi anche la durata dell'anno aumenta. Perfetto, ciao ciao alle previsioni per l'anno ottocento milioni».

«Comunque, fino all'anno 4000 dovremmo essere a posto, poi ci penseremo».

«Benissimo. Ma, alla fine, come funziona l'algoritmo?».

Le frazioni non sono precise — parte 2

2012-01-31T07:00:00.000+01:00

«Carnevale, quaresima e… Pasqua!».

«Pasqua?».

«Sì, il carnevale precede la quaresima che, a sua volta, precede la Pasqua. Qual è l'ultimo giorno di carnevale?».

«Martedì grasso».

«Sì, ma in che data cade?».

«Eh, dipende».

«Certo, dipende da quando è Pasqua».

«Giusto, la quaresima ha una durata fissa, la Pasqua è variabile, quindi anche l'ultimo giorno di carnevale lo è».

«E come si calcola?».

«Si guarda sul calendario».

«E chi compila il calendario come fa?».

«Mh, ci sarà una formuletta?».

«Ah-ha! Ed eccoti servita la matematica del carnevale».

«Mah, preferivo il tunnel dell'amore».

«Bah. Comunque, della data della Pasqua se ne occupa, naturalmente, la chiesa cattolica, che il giorno dell'Epifania annuncia quella data e tutte le altre date ad essa collegata».

«Mi pare giusto. E mi pare anche di ricordare che la Pasqua cada la prima domenica dopo il primo plenilunio di primavera».

«Diciamo di sì, ma naturalmente non è così semplice. Del resto, sapresti calcolare quando cadrà il primo plenilunio di primavera?».

«Direi proprio di no. Potrei forse indovinare quando comincia la primavera, ma mi pare di aver capito che ci sia un po' di variabilità anche lì».

«Infatti. Ma cominciamo dall'inizio: l'anno Domini 325».

«E cos'è successo nel 325?».

«Il concilio di Nicea, che ha stabilito che ci dovesse essere un accordo unanime tra le varie chiese riguardo la data della Pasqua. Non stabilì un giorno preciso, ma affermò che dovesse essere la prima domenica dopo Pesach, cioè la Pasqua ebraica. Quindi l'unica certezza era questa: Pasqua ebraica e Pasqua cristiana dovevano essere ben distinte».

«Ma perché?».

«Eh, ai tempi c'era una notevole ostilità tra cristiani ed ebrei, non so se hai presente».

«Ah, ecco».

«Poi, intorno al 525, arrivò Dionigi il piccolo che definì con precisione la data della Pasqua: la domenica successiva al quattordicesimo giorno dopo la prima luna nuova nel periodo che ha inizio il 21 marzo».

«See, un po' più complicato no?».

«Magari anche un po' più preciso, perché è facile vedere la luna quando c'è, ma prevedere come sarà tra molti giorni, o molti anni, non è ovvio».

«Immagino».

«Ai tempi, vennero fatte un po' di approssimazioni. Per esempio, dal punto di vista astronomico l'inizio della primavera non è il 21 marzo: è invece un momento preciso in cui il sole attraversa il piano equatoriale. Quest'anno accadrà il 20 marzo, alle 5:14, per esempio».

«Ah».

«Il calendario giuliano, in vigore all'epoca, prevedeva un anno bisestile ogni quattro anni, ma in realtà non è così, un anno non dura esattamente 365 giorni e un quarto, e anche questo fatto contribuisce a spostare un po' il momento dell'equinozio. E poi c'è anche la faccenda del moto lunare».

«Cioè?».

«Si sapeva che 19 anni solari corrispondono, con buona approssimazione, a 235 mesi lunari. Questo ciclo di 19 anni viene detto ciclo di Metone, ma non è perfetto. L'approssimazione comporta un errore nel calcolo del momento della luna piena, a lungo andare. Quindi il momento dell'ipotetica luna piena calcolata con questi sistemi potrebbe differire da quello della vera luna piena anche di alcuni giorni».

«E se si sbaglia di qualche giorno a cavallo dell'equinozio di primavera…».

«Si potrebbe commettere un errore di un intero mese, esatto. Comunque, nonostante gli errori, si è andati avanti così per più di mille anni».

«E poi cos'è successo?».

«Poi è arrivato papa Gregorio XIII».

Ogni scherzo vale — parte 1

2012-01-30T07:00:00.000+01:00

«Ma tu guarda che roba».

«Che succede?».

«Quei pazzi furiosi dei Rudi Mathematici ospiteranno la prossima edizione del Carnevale della Matematica, e hanno scelto come tema la matematica del carnevale».

«Ah, son problemi grossi».

«Ma sì, hanno scelto un tema stranissimo, ma di cosa si potrà mai parlare?».

«Ah, guarda, non saprei proprio. Del resto…».

«Cosa?».

«Bisogna essere strani forte anche solo per concepire l'idea di un carnevale della matematica, eh?».

«Mh».

«Che poi, carnevale, cosa mi significa? Gente che va in giro mascherata da pigreco? Che lancia stelle filanti solo dopo aver calcolato l'equazione della traiettoria?».

«Mascherata da pigreco? Sai che mi hai dato un'idea niente male?».

«Per l'amor del cielo!».

«O anche da parabola, perché no?».

«Non c'è limite alla…».

«Fantastico! Una maschera da limite!».

«No, ma dai… E poi, mi pare di capire che questo cosiddetto carnevale sia un'idea degli americani, vero?».

«Credo di sì, sì, se non sono americani sono comunque di lingua inglese».

«In inglese carnival vuole anche dire fiera, luna park, roba del genere, no?».

«Sì».

«Quindi, se non si parla di improponibili maschere di carnevale, forse si parla di giostre matematiche? La ruota panoramica e il moto circolare uniforme?».

«Direi di no».

«La relatività nelle montagne russe? Specchi deformanti e loro equazioni? Labirinti e sistemi esperti? La forza di Coriolis nel calcinculo? Zucchero filato e teoria del caos? Coni gelato e coni matematici, analogie e differenze?».

«No, no».

«Seni e tangenti nel tunnel dell'amore? No, questa è un po' scabrosetta, un Vero Matematico non la capirebbe».

«…».

«Ecco, appunto».

«Non mi sei mica tanto d'aiuto, però».

«Ma come, ti ho suggerito un sacco di meravigliosi temi».

«Vabbè, ho capito che devo arrangiarmi. Fra l'altro, il clima del carnevale non mi piace nemmeno tanto, tutte queste feste, queste maschere, mah».

«Ossignore, un nerd triste. Ma quando eri giovane, non festeggiavi il carnevale?».

«Poco, se strettamente necessario per mantenere relazioni sociali a un livello accettabile».

«Bah. Insomma, il carnevale è poi un festeggiamento prima del triste periodo della quaresima».

«Ah!».

«Cosa?».

«Forse ho avuto un'idea».

Per il compleanno della signora

2012-01-26T17:18:00.000+01:00

La gelataia è ancora là che scuote la testa…

Carnevale dei libri di scienza #4 — Fanta-scienza

2012-01-21T07:00:00.000+01:00

Benvenuti al quarto Carnevale dei libri di scienza, dedicato al nobile miscuglio tra fantasia e scienza che spesso viene considerato (a torto, ehm) letteratura minore.

Veniamo subito ai contributi di questo mese.

Roberto Natalini, dal blog Dueallamenouno, ci racconta del romanzo di Don DeLillo intitolato La Stella di Ratner, Einaudi 2011, tradotto in italiano da Matteo Colombo.

Dice l'autore: “Volevo avere un punto di vista nuovo sul mondo. Volevo immergermi in qualche cosa che fosse il più lontano possibile dai miei interessi e dal mio lavoro. E rimasi affascinato e finii per scrivere un romanzo e poi un lavoro teatrale sui matematici”. Conclude Roberto, nella sua presentazione: il romanzo è una riflessione sul linguaggio e la comunicazione, sul potere della scienza e i suoi limiti, su cosa sia veramente la scienza, ed è tutto costruito infatti intorno alla matematica e ai matematici, che sono visti come una setta segreta che attraversa la storia ed è capace di parlare un linguaggio potente e misterioso. Alcune frasi assumono addirittura un significato diverso se lette come flusso di coscienza di Billy (il protagonista) o invece come metafore matematiche.

Maurizio Codogno, dalle Notiziole di .mau., ci parla del romanzo di Mark Alpert intitolato Il teorema dell'Apocalisse, Nord 2011, tradotto da Roberta Zuppet.

Ecco il suo commento: la differenza tra scienza e fantascienza, soprattutto nelle opere di narrativa, è molto sottile. Non solo gli autori che scrivono la cosiddetta Hard SF si basano su ipotesi scientifiche plausibili anche se portate agli estremi, ma ci sono tecnologie così indistinguibili dalla magia, come avrebbe detto Arthur Clarke, che sono perfette per un'opera. I computer quantistici sono sicuramente uno di questi temi, e nel libro Il teorema dell'Apocalisse essi svolgono un ruolo fondamentale… ed è vero che un computer con 1024 qubit craccherebbe tutti i codici crittografici attuali, se mai lo si potesse costruire.

Ma qual è la storia dietro questo computer? Bé, per conoscerla basta leggere il libro…

Zavorka, da knedliky, ci parla di ben tre libri. Il primo, di Fred Hoyle, si intitola La nuvola nera e parla di segreti, complotti, intelligenza non umana, e dell'abilità di assimilare informazioni binarie sotto forma di segnale elettrico.

Il secondo è nientemeno che la saga di Dune, di Frank P. Herbert. Dune è intrigo, intreccio, congiure, navi spaziali, guerra, colonizzare e rendere vivibile un pianeta arido, recuperarlo, farlo tornare verde per condensazione del vapore acqueo e dell'umidità, sogni premonitori e preveggenza, sciamanesimo e matriarcato…

Il terzo romanzo è Mattatoio n. 5, di Kurt Vonnegut. In cui si parla di viaggi nel tempo, ma anche della tragedia della guerra.

Cristina Sperlari, da Il piccolo Friedrich, ci parla di Seconda stella a destra, di A. Bernagozzi e D. Cenadelli, edito da Sironi. Si tratta di un libro di fanta-astronomia. Una vera e propria guida turistica al Sistema Solare edita nel futuro: precisamente nell'anno astrale 12009, tempo nel quale vivere sulla Terra è un'abitudine decisamente out. L'uomo (e, chissà, forse non solo lui!) ha colonizzato gran parte della galassia, ma ha ancora una certa nostalgia del suo luogo di origine: il sistema solare.

Marco Fulvio Barozzi, dal suo Popinga, ci propone Vuoto Assoluto, di Stanislaw Lem. “Joachim Fergenseld è tedesco, ma ha scritto la sua Pericalypse in olandese (idioma che quasi non conosce, come egli stesso ammette nell’introduzione) e l’ha pubblicata in Francia, paese famoso per le sue catastrofiche bozze di stampa. Neppure chi redige questa nota conosce l’olandese, ma in base al titolo del libro, all’introduzione in inglese e ai molti vocaboli comprensibili del testo s’è persuaso di potersene proporre come recensore”.

Tania, da Science for Passion, parla di due libri di fantascienza che hanno come denominatore comune il tempo: Il figlio del tempo, di Isaac Asimov e Robert Silverberg, e Il curioso caso di Benjamin Button, di Francis Scott Fitzgerald.

Paolo Alessandrini, su Mr. Palomar, parla di Ti con zero, di Italo Calvino. Libro che definire fantascienza sarebbe riduttivo, ma che è anche fantascienza (anzi, è appunto fanta-scienza, nel senso che è anche fantastico, scienza, e molto altro).

La serie televisiva Sherlock, il cui favoloso finale di stagione è andato in onda pochi giorni fa, ha riportato in auge la figura dell'unico consulente investigativo esistente al mondo. Daniele Gouthier, dalle pagine di Scienza Express, ci ricorda che Sir Arthur Conan Doyle non ha scritto solo di Sherlock Holmes: il suo romanzo La nube avvelenata, pubblicato nel 1913, sembra raccontarci le nostre città, invase da smog e polveri sottili.

E concludo con la segnalazione di un libro ormai introvabile (se non nelle biblioteche): Cryptonomicon, di Neal Stephenson. Volendo classificarlo, potremmo dire che è un techno-thriller. Fatto di varie storie, una delle quali si svolge ai giorni nostri, le altre ai tempi della seconda guerra mondiale, storie che si intrecciano sempre di più fino alla fine, il romanzo racconta (fra le altre cose…) di ciò che ha permesso di vincere - e di perdere - la guerra: lo spionaggio, la crittografia, la simulazione.

Man mano che i governi declassificano i loro segreti, si vengono a conoscere sempre più informazioni sulla guerra, e si capisce l'importanza che hanno avuto le comunicazioni in codice (Rommel vinceva perché intercettava le trasmissioni, Pearl Harbor era stato "cercato" dagli americani, e cose così).
In questo libro (che ha delle notevoli parti comiche) si parla quindi di crittografia, del progetto Ultra, della macchina Enigma, dei codici giapponesi, degli indiani Navajos, di matematica, di numeri primi, del primo computer, degli hacker, di Internet, di phreacking, di Dungeons and Dragons (!), di Magic, di Tolkien, di nani, maghi, elfi, Gollum, di Turing, della funzione zeta di Eulero, di associazioni segrete. C'è di tutto. Un libro apprezzato anche dai nerd…

Bene, il carnevale finisce qui. Arrivederci al prossimo, tra un mese, presso Pitagora e dintorni. Il cui tema sarà Scienza e arte.