elaborando

Il teorema di Pick

Fri, 02 Mar 2012 14:10:33 +0100

Quanti

quadratini misura la superficie del rettangolo disegnato in alto a sinistra nella figura? Semplice: 4 x 3 = 12 quadratini.

In generale, se il rettangolo è largo B quadratini e alto H, l'area misurerà B per H quadratini. Manipoliamo un po' questa formula:

Area = BH = (B-1)(H-1) + B + H -1 = (B-1)(H-1) + 2(B + H)/2 -1.

Ora contiamo i punti del reticolo quadrettato interni al rettangolo in figura: sono 6. E quelli attraversati dal bordo? Sono 14. E l'area del rettangolo misura 12 = 6 + 14/2 -1 quadratini.

Per un rettangolo generico di dimensioni B per H, i punti interni sono proprio:

I = (B-1)(H-1)

e i puntini attraversati dal bordo:

L = 2(B + H)

Quindi la formula si può riscrivere:

Area = I + L/2 - 1

In parole: l'area è uguale al numero di puntini interni, meno il numero di puntini esterni diviso per 2, meno 1.

Bella, ma sarà vera solo per i rettangoli. O no?
La sorpresa è che no, non vale solo per i rettangoli, ma per qualunque poligono disegnato su carta quadrettata, il cui contorno sia ottenuto congiungendo punti del reticolo, senza mai incrociarsi. Un po' più precisamente, ma solo un po', il bordo della figura deve essere quello che si chiama una "poligonale semplice" che si appoggia ai puntini del reticolo.

Questa bella e sorprendente proprietà fu scoperta nel 1899 da Georg Alexander Pick. Matematico austriaco vissuto a cavallo del 900, insegnò all'università di Vienna, di Praga, fu sponsor di Albert Einstein. Terminò la sua vita tragicamente nel 1942, nel campo di Theresienstadt, uno dei campi di raccolta per Auschwitz.

La dimostrazione del Teorema di Pick è abbastanza semplice, se ne trovano diversi esempi in internet. A me piace uno dei passaggi della dimostrazione, laddove si dimostra che "l'area dell'insieme di due figure che condividono un tratto di bordo è uguale alla somma delle aree delle due figure".

Siano (L1,I1) e (L2,I2) il numero di punti esterni e interni, relativi alla figura 1 e alla figura 2. Supponiamo anche che le due figure condividano un tratto di bordo che attraversa X punti.
Il calcolo di (L,I) per la figura combinata è allora:
L = L1 + L2 - 2X + 2
I = I1 + I2 + X - 2

Calcolando le aree si trova:
S = I + L/2 - 1 = I1 + I2 + X - 2 + (L1 + L2 - 2X + 2)/2 - 1 =
= (I1 + L1/2 - 1) + (I2 + L2/2 - 1) =
= S1 + S2

Bello. Fosse tutto così semplice, nella vita. Invece alle volte bisogna addirittura "Bust Your Knee Caps", come dolcemente suggerisce Nataly Dawn dei Pomplamoose, nel suo caso per il tipo che l'ha lasciata: frantumargli le rotule.

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... 3 2 1 0 � 2012!

Sat, 31 Dec 2011 17:34:43 +0100

Una

formula per salutare l'anno che arriva?
Se ne trova una facile facile, partendo dalla considerazione che 2^10 (due alla decima potenza) fa 1024, che insieme a 987 dà 2011. Basta quindi trovare un'espressione con 6, 5, 4 e 3 che dia come risultato 1, ed è fatta.
Non è molto originale, ma: (6 - 5)(4 - 3) = 1 e quindi ecco un bel conto alla rovescia, in attesa della mezzanotte:

987 + (6 - 5)(4 - 3) + 2^10 = 2012.

Non credo sia originalissimo. Basta considerare che, con qualche piccola modifica:

987 - (6 - 5)-(4 - 3) + 2^10 = 2009
987 - (6 - 5)(4 - 3) + 2^10 = 2010
987 + (6 - 5)-(4 - 3) + 2^10 = 2011

A qualcuno sarà venuto in mente, negli ultimi San Silvestre. Vale anche per l'anno prossimo:

987 + (6 - 5)+(4 - 3) + 2^10 = 2013
987 + (6 + 5)-(4 + 3) + 2^10 = 2015

Mi manca il 2014, ma c'è tempo per pensarci.
Buon Anno!

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Spread, pessimismo e ottimismo

Fri, 30 Dec 2011 07:16:48 +0100

lavoro mi ha abituato a cercare l'andamento nei grafici, più che a seguirne picchi e avvallamenti. L'attenzione va anche a questi, ma solo dopo aver colto la linea di tendenza.

E il mio primo sguardo al grafico dell'andamento dello "spread" mostrato ieri dal nostro Presidente del Consiglio Mario Monti, ha colto la linea in nero che ho sovrapposto all'immagine (presa dal sito di Bloomberg).
Un attimo dopo lo zoom della telecamera ha mostrato l'andamento colto invece dal PdC, completamente diverso, e che ho tracciato (spero correttamente) in verde nella stessa immagine.

Nero e verde, pessimismo e ottimismo?
La mia linea è semplicistica, guidata solo dall'abitudine a lavorare sui grafici, mentre ignoro le reali dinamiche che guidano l'andamento dello spread. Per dirne una: se nella prima parte della salita gli acquisti di nostri buoni da parte della BCE hanno limitato la rampa in salita, negli ultimi tempi questi aiuti si sono praticamente azzerati, se ho ben compreso la spiegazione del PdC, quindi la pendenza adesso è "reale".

Technicalities a parte, però, una meditazione su pessimismo e ottimismo ci sta.
Vivo ancora il primo, maturato negli ultimi anni a fronte dell'improvvisazione, della voracità e dell'inadeguatezza della nostra classe politica. Nessuno escluso, da partito a partito varia solo la composizione dei tre ingredienti.
Ma forse è il momento di virare al secondo, all'ottimismo. Almeno finché a guidare il Paese c'è chi anticipa e promette poco, ma lascia sperare molto: equità sociale, lavoro ai giovani, lotta all'evasione.

Sperando che esista un meglio nella nostra politica, che abbia forza e coraggio per venir fuori e poi continuare con serietà e trasparenza il lavoro cominciato in questo scorcio di fine anno. Le elezioni sono al più tardi nel 2013, dietro l'angolo, quindi.

Buon venerdì.

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Google for Math Lovers

Wed, 21 Dec 2011 05:55:28 +0100

ha annunciato il blog di Google, pochi giorni fa: il motore di ricerca si trasforma in una calcolatrice grafica. Basta introdurre, che so: x^2 + 1, x+1, ed ecco materializzarsi la parabola "x al quadrato più 1" e la retta "x più 1", con un colpo d'occhio immediato sui punti di intersezione.
I due punti non si vedono, vero? Niente panico: mouse sul grafico, tenete premuto il tasto sinistro e trascinate al centro del grafico la zona dei punti di intersezione . Adesso qualche click sul "+" dello zoom in alto a sinistra e tutto sarà più chiaro.

Senz'altro utile, farà felici gli studenti delle superiori alle prese con problemi del genere, ma anche chi, come me, si trova occasionalmente a domandarsi che andamento abbia una certa curva.
Lo stesso post dell'annuncio mostra però come si possa usare la calcolatrice grafica per esercitare anche fantasia e creatività, purché si abbia un minimo di dimestichezza con le funzioni analitiche.

Se Google ha regalato un cuore ai Math Lovers, allora, proviamo a creare qualcosa del genere.
Partiamo da: sqrt(1-x^2). Il grafico di "radice quadrata di 1 meno x al quadrato" è una semicirconferenza, centro nell'origine degli assi e raggio uguale a 1.

Bene. Un trucco suggerito da Google consente di colorare l'area sottesa dalla curva e dalla sua simmetrica rispetto all'asse x. Basta moltiplicare la funzione per un'altra funzione che oscilli velocissimamente tra -1 e 1.
Facile da fare: sqrt(1-x^2)sin(400x). Non lasciatevi ingannare dalla forma oblunga, il grafico rappresenta una circonferenza, basta controllare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi.

Adesso occorre manipolare la forma che abbiamo tra le mani. Cominciamo con il moltiplicare per una funzione che abbia poche oscillazioni tra -1 e 1:
    sqrt(1-x^2)sin(400x)sin(4x)

Qualcosa si comincia a intravedere! A prendere forma è il bacio tra due pesciolini. Ci vorrebbe un po' di asimmetria, però, per movimentare la scena.
Proviamo con:
    sqrt(1-x^2)(.5+sin(400x)sin(4x))

Cosa ve ne pare? Il movimento c'è, ma forse è più naturale sprofondare nel bacio, giusto?
E allora ci vuole una piccola modifica, un segno meno:
    sqrt(1-x^2)(-.5+sin(400x)sin(4x))

Finito!

Buona creatività.

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Numerologicamente 2012

Sun, 11 Dec 2011 07:31:53 +0100

Come

sarà il 2012? un anno pessimo, a leggere le news.
Tasse che ritornano, risparmi minacciati dal Mercato, c'è anche da rassegnarsi al pensionamento in fuga verso il futuro. Speriamo di acchiapparlo, someday. Nel frattempo meglio allora tenere in forma il cervello con un po' di ginnastica. Allontana l'Alzheimer, pare.

Il gioco che propongo è un classico: scomporre il numero dell'anno che viene (2012) in un'espressione aritmetica che utilizzi una sola cifra.

Esempio: 2012 = (4 + 4) * (4^4 - 4) - 4

L'espressione può contenere una sola cifra, ripetuta quante volte serve e combinata come si vuole con parentesi, le quattro operazioni, più l'elevamento a potenza (4^4 sta per "quattro elevato alla quarta").
Per il 4 l'ho buttata lì, ma ne sono abbastanza soddisfatto, solo 6 volte la cifra 4. Per arrivarci sono partito dal fatto che 2012 = 2048 - 36. Ma 2048 = 8 * 256, quindi:
2012 = (4 + 4) * (4^4) - 4 * (4 + 4) - 4
Raccogliendo a fattor comune si trova la formula più compatta che ho riportato sopra.

Mi è andata meno bene con le altre cifre, dall' 1 al 3 e dal 5 al 9, mai meno di 9 cifre per esprimere 2012:

2012 = (1+1)*(1111-111)+11+1
2012 = 2222-222+(22+2)/2
2012 = (333+3)*(3+3)-3-3/3
2012 = (4+4)*(4^4-4)-4
2012 = 5^5-(5555+5+5)/5
2012 = (666*(6+6+6)+(6+6))/6+6+6
2012 = (77/7+7)*(777/7)+7+7
2012 = (8+8+8-8/8)*88-(88+8)/8
2012 = 999+(9999+9)/9-99

Invece di utilizzare una sola cifra per volta ripetuta, si potrebbe cercare un'espressione che le utilizzi tutte, una volta sola.
Osservando che 2012 = 503*4, e che: 7*8*9 = 504, si trova subito:

2012 = 4*(1+2-3+5-6+7*8*9)

Se si parte, invece, da: 1234+789 = 2023, si può proporre:

2012 = 1234-5-6+789

Già, ma manca lo 0!
Lo si può sommare nelle due espressioni, ma ha il sapore di un trucco. Giocando un po' con 4*7*8*9 = 2014, si trova una possibile soluzione:

2012 = 4*7*8*9-10+5+6-2-3

Il succo del tutto? il 2012 bisognerà prenderlo nel modo giusto, dividerlo in piccole dosi, e passerà. Speriamo non faccia troppi disastri.

Buona domenica.

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