Casi la mitad de ellas llegan a la solución correcta, lo cual es estupendo pero, por otro lado, ha hecho muy difícil elegir finalistas y ganador. La elección será necesariamente injusta pero, si has llegado a la solución buena –sea como sea–, ¡enhorabuena! Incluso aunque tengas la solución correcta, te recomiendo que eches un vistazo a las otras soluciones y especialmente a los “extras” que habéis enviado algunos de vosotros.

Antes de nada, el meollo de la cuestión. La respuesta correcta es que la probabilidad de morir en A es de 1/6, la de morir en B es 1/3, la de morir en C es 1/6 y la de morir en D es 1/3. Pero ¿cómo llegar hasta aquí? Vuestras soluciones lo hacen básicamente de tres maneras distintas (con algún detalle diferente dentro de cada grupo, pero eso no es importante), de modo que analicemos cada tipo de solución.

El primer grupo de soluciones es el que podríamos llamar de fuerza bruta: usando algún lenguaje de programación, o una hoja de cálculo, o alguna cosa similar, básicamente se realiza el experimento un número muy grande de veces de modo que pueda verse qué sucedería con una especie de simulación.

Claro, hacerlo únicamente así no es la solución óptima –aunque es infinitamente mejor que no llegar a ninguna conclusión–, pero muchos de vosotros habéis usado este método, inteligentemente, para comprobar de manera pseudo-empírica la solución que habéis obtenido de una de las otras dos maneras. También es útil hacerlo así primero, para ver qué es lo que “debería salir”, y luego ponerse a hacerlo teóricamente con un rumbo determinado –eso es lo que hice yo, porque al principio no sabía por dónde empezar–.

De entre todas las soluciones de fuerza bruta, la mejor con mucha diferencia ha sido la de nuestro primer finalista, Sergio Cinos. Sergio ha utilizado javascript para realizar la simulación. Su solución me ha parecido fascinante por dos razones: por un lado, porque no da la solución simplemente de manera numérica, sino de forma gráfica, incluso del número de turnos que sobrevive cada desafortunado jugador.

Por otro lado, porque uno de los parámetros que se pueden modificar para ejecutar la simulación es el número de habitaciones. Como habéis dicho varios en la solución, este problema es atacable porque tiene una gran simetría, pero con cinco habitaciones, por ejemplo, hubiera sido bastante más difícil. Hablaremos de esto al final de la solución pero, armados con el programita de Sergio, podemos al menos saber qué debe salir para cada caso antes de enfrentarnos a él de manera teórica.

Sin más, os dejo disfrutar de la solución de Sergio, me lo he pasado bomba jugando con ella: http://eltamiz.com/images/2012/05/sergio.html.

Otra solución de fuerza bruta que merece mención es la de Javier Sedano (nuestro J de El Cedazo); Javier ha realizado la simulación en java, pero lo glorioso de su solución es la introducción, en la que explica la verdadera razón de la invasión de la Tierra, que no es otra que hacer trampa para resolver un problema matemático:

Lo que la historia no cuenta es que el general alienígena no tenía ninguna intención de invadir la Tierra. Fue a su jefe, mientras se estaba duchando por la mañana, a quien se le ocurrió este pequeño problema, y quien encargó a su subordinado que lo resolviera.

Nuestro general era un poco vago. No es que fuera mal matemático, claro que no. Eso es algo que los alienígenas matemáticos llevan en los genes. Es solo que él era vago.

Así que en vez de ponerse a pensar sobre el problema durante los escasos segundos que le hubiera llevado resolverlo, decidió poner a unos cuantos seres inferiores a jugar, a ver en qué habitación morían. El plan era simple: pondría a los 7 000 000 000 de humanos a jugar, mediría cuántos de ellos morían en cada habitación y con eso calcularía el porcentaje.

Con esto llegamos a la invasión de la Tierra, en la que nuestro alienígena esperaba encontrar casi siete mil millones de seres inteligentes con los que realizar el experimento. Con lo que no contaba el general es con las particularidades del ser humano:

La mayor parte de ellos simplemente dijo “A mí que me importa salvar al siguiente jugador. Paso. Que le den.” y directamente pasó de jugar. Esto falseaba el experimento, así que a quienes dijeron eso, hubo que descartarlos.

Otros, influenciados por un invento que ellos llamaban “televisión” se comportaron como si todo fuera mentira. Unos creyeron que estaban participando en algún tipo de reality show, por lo que se pusieron a insultar al alienígena y diciendo algo de que “estás nominado”. Otros dijeron noséqué de una película e intentaron agredir al alienígena. Obviamente, el alienígena tuvo que descartar a todos estos del experimento.

Otra parte sustancial de los humanos ni siquiera entendió el problema y optó por soluciones peregrinas, como correr en círculos ABCD o ADCB; ir a B o D y quedarse allí; quedarse quietos en A; o simplemente mirar al alienígena con cara de no haber entendido nada (estos, la mayoría). También estos hubo que descartarlos para no falsear el experimento. Una parte no despreciable si entendió el ejercicio, pero intentó hacer trampas, como por ejemplo quedarse quietos en A y decir que la probabilidad de morir en A era del 100%. Otra vez, hubo que descartar a estos, por tramposos, para no falsear la medida.

Solo un puñado de humanos, en torno a un millón, consiguieron hacer el experimento adecuadamente. El alienígena encontró una correlación aparentemente significativa entre esos humanos que sí lograron hacer el experimento y un panfleto pseudo-científico llamado El Tamiz (los humanos creen que es científico, pero es que son un poco retrasados, los pobres; todavía creen en el principio de incertidumbre y la contracción de la longitud… ilusos), lo que hace pensar al alienígena que quizá para las razas inferiores esa pseudo-ciencia es un paso necesario antes de llegar a la verdadera inteligencia.

El segundo tipo de soluciones es el que podríamos llamar iterativas. Son aquellas en las que se va calculando la probabilidad de muerte en cada habitación en cada turno, se van sumando esas probabilidades y se llega a una serie infinita. Dado que esa serie converge para cada habitación, se suma la serie infinita y se tiene la probabilidad de muerte en cada una de las cuatro habitaciones.

De entre ellas, me han parecido especialmente intuitivas las que dividen las probabilidades en dos tipos: puesto que empezamos en la habitación A, sólo es posible morir en las habitaciones B y D en un número de turno impar, y sólo es posible morir en A y C en un turno par. Pero mejor dejo que lo explique el segundo finalista de hoy, Argus:

Vamos a visualizar las probabilidades como si en lugar de una sola persona caminando por las habitaciones se tratara de un millón de individuos que en cada turno se dividen en dos grupos iguales y cada grupo va a una de las habitaciones contiguas.

Si empezamos con 1 millón en A, en el siguiente paso tendremos medio millón en B y medio millón en D. Con toda seguridad muere uno de estos grupos, bien en B, bien en D, y con la misma probabilidad.

Tanto si los supervivientes están en B como si están en D, en el siguiente turno una mitad va a A y otra mitad va a C. Uno de estos grupos muere, bien en A bien en D, de nuevo con la misma probabilidad.

Repitiendo este proceso vemos que por turnos, la mitad del ejército en el primer paso muere en B o D. La mitad de la mitad muere en A o C. La mitad de la mitad de la mitad muere en B o D y así sucesivamente.

Es decir, que la fracción de individuos muertos en total será:

Al final la suma es 1, es decir, mueren todos como era de esperar.

Pero como empezamos en la habitación A, los individuos que mueren en B o D corresponden a los turnos impares mientras que los que mueren en A o C corresponden a los turnos pares. O sea:

Probabilidad de morir en B o D = . Probabilidad de morir en A o C =

Resolviendo los sumatorios llegamos a:

P(morir en B o D) = 2/3

P(morir en A o C) = 1/3

Al movernos al azar, las probabilidades de B o de D son iguales entre sí y las probabilidades de A o de C también. Por tanto, la solución habitación por habitación se obtiene dividiendo estos resultados por 2:

P(A) = 1/6, P(B) = 2/6, P(C) = 1/6, P(D) = 2/6

De entre estas soluciones, además, ha salido una demostración adicional interesante, obtenida por Karlos y Alejandro Godoy: el tiempo medio de supervivencia en el juego. Dejo que lo explique Karlos:

Hay otra cosa que podemos calcular del problema (y es que si no se me hace muy soso). ¿Cuánto tiempo sobreviviremos de media?

Veamos, cada 5 segundos tenemos un 50% de probabilidades de morir. Es decir, tenemos un 50% de probabilidades de durar 5 segundos; un 25% de durar 10 segundos; un 12.5% de durar 15 segundos, y así sucesivamente.

Por tanto, el tiempo medio que tardaremos en morir vendrá dado por , sumando n desde 1 hasta infinito. Esto podemos calcularlo como (sacando factor común), y la suma de la derecha da (de nuevo… calculadora o álgebra) exactamente 2.

Por lo tanto, de media sobreviviremos 10 segundos. No es mucho, pero siguen siendo muchos más de los que nos permitiría vivir nuestro alienígena si estuviera hambriento. Imagino que con el útlimo quedó satisfecho.

Finalmente, las que me parecen las soluciones más elegantes de todas, ya que no requieren de sumas infinitas ni programas que ejecuten la simulación, son las soluciones recursivas. Ojalá se me hubiera ocurrido una de éstas, porque me encantan y, al leerlas, se me ha encendido la bombilla, pero desgraciadamente mi mente no da para tanto. Enhorabuena a los “recursivos”, porque habéis convertido el problema en un juego de niños.

Básicamente, las soluciones recursivas se basan en darse cuenta de un hecho crucial: por un lado –como sucedía en las iterativas– que las habitaciones A y C, lo mismo que B y D, son equivalentes. Por otro, y aquí es donde está el detalle elegantísimo, que cada dos turnos el problema se convierte en el problema original de nuevo. Maravilloso.

Ha sido muy difícil elegir una solución entre las recursivas, porque son todas buenísimas; aunque no sea la ganadora, no puedo dejar de mencionar la de Mmonchi, porque fue la primera solución recursiva que recibí y, al leerla, se me pusieron los ojos como platos. El caso es que os dejo aquí la del ganador de hoy, Alberto Pérez, su “solución a las habitaciones de la muerte para ajedrecistas”:

El problema se simplifica mucho, si uno se da cuenta de las simetrías que presenta.

Es fácil darse cuenta que existe la misma probabilidad de morir en B que en D, Reflexionando un poco mas, la probabilidad de morir en A es la misma que la de morir en C.

Tenemos dos parejas, B-D y A-C

Para visualizarlo mejor, podemos pintar B-D de Blanco y A-C de Negro, eliminar los pasillo y quedarnos con un mini tablero de ajedrez de 2×2.

En este tablero nos movemos como torres, en vertical o en horizontal… pero no en diagonal. Por lo tanto, en cada movimiento se ira alternando de color, de la casilla en la que acabamos y en la que tenemos un 50% de probabilidades de encontrar la muerte: Blanco-Negro-Blanco-Negro-Blanco-….. hasta el trágico desenlace.

Esta secuencia podría ser infinita, sin tuviéramos tantísima suerte de ir salvándonos en todos los movimientos. Esta serie infinita, la podemos dividir en infinitos intervalos de 2 movimientos: Blanco-Negro.

En cada una de estos intervalos, el Blanco juega primero. Por lo que, la probabilidad de morir en una casilla blanca es siempre el doble que la de morir en una casilla negra.

Como tarde o temprano moriremos… La probabilidad de morir en una casilla blanca es de 2/3 y la de morir en negra es de 1/3. Pero para cada color existen dos casillas equi-probables. Por lo que hay que dividir a la mitad, quedando.

A= 1/6, B = 1/3, C = 1/6, D = 1/3

Una vez resuelto el desafío, os planteo una continuación: jugando con la solución de Sergio en javascript se puede ver, por ejemplo, que si hubiese cinco habitaciones las probabilidades de muerte se dividen en tres grupos: 15,8% en la habitación original, 31,6% en las dos adyacentes y 10,5% en las dos opuestas. ¿Alquien es capaz e obtener esa solución de manera teórica? ¿Alguien puede obtener conclusiones interesantes sobre la generalización a un número arbitrario de habitaciones? Si es así y me lo enviáis, volvemos a hablar del asunto de nuevo.

En cualquier caso, me alegro de que hayáis disfrutado pensando en el problema. Y lo más importante, como siempre, es que de ser invadida la Tierra por los Alienígenas matemáticos y vernos involucrados en un experimento como éste, estamos preparados.

¡Hasta el próximo desafío!

Fue entonces cuando nuestro conocimiento, prácticamente estancado durante un siglo y medio, avanzó una vez más a pasos agigantados. La primera sonda en llegar fue Pioneer 11, en septiembre de 1979; pasó a tan sólo 20 000 km de la cima de las nubes saturnianas y nos proporcionó las mejores imágenes del planeta hasta el momento. Claro, después de ver imágenes más recientes, la verdad es que resultan poco impresionantes, pero se trata de las primeras fotografías tomadas in situ del gigante anillado:

Saturno, visto por la Pioneer 11 (NASA).

Aunque hablaremos de ella en su momento, en la foto puedes ver, arriba a la izquierda, la luna Titán, cuya importancia es tan grande que tendrá su propio artículo. El caso es que la Pioneer pudo al menos confirmar, como dijimos en la primera parte de este artículo, la presencia del campo magnético saturniano, y obtuvo imágenes de la atmósfera y los anillos que nos fueron revelando poco a poco los detalles de Saturno. Esos detalles, en general, no eran sorprendentes: al comprender Júpiter es fácil comprender Saturno. Hablaremos de algunos de los datos revelados por la Pioneer al hacerlo de los anillos y las lunas del gigante.

Tras la Pioneer 11 visitaron Saturno las dos Voyager, una en 1980 y la otra un año más tarde. Las Voyager tenían mejores cámaras y nos proporcionaron imágenes más detalladas (y, en este caso sí, una sorpresa de la que hablaremos en un momento). Pudimos por fin ver las bandas de nubes en la atmósfera de Saturno, que eran realmente parecidas a las de Júpiter. De hecho, pensamos que el comportamiento de la atmósfera saturniana es realmente parecido a la de la joviana, y su composición interna también lo es: no voy a repetir aquí todo lo que dijimos al hablar de Marduk (gases cada vez más densos, núcleo rocoso, hidrógeno metálico, etc.) porque es prácticamente igual, sino que me detendré en las diferencias entre ambos. Recuerda además que conocemos la atmósfera de Júpiter muchísimo mejor que la de Saturno, ya que nos hemos sumergido en la del primero pero no en la del segundo.

Fotografía de Saturno tomada por Voyager 1 en noviembre de 1980. Observa las lunas Tetis y Dione, y la sombra de una de ellas sobre el planeta (NASA).

Las Voyager comprobaron que al menos en un aspecto Saturno superaba a su rival Júpiter: ya dijimos al hablar del monstruo que los vientos en su atmósfera eran increíblemente fuertes. Sin embargo, en Saturno la cosa es aún más violenta: las Voyager midieron ráfagas de unos 1800 km/h, bastante más rápido que la velocidad del sonido al nivel del mar en la Tierra. Las tormentas no alcanzan la majestuosidad de las de Júpiter, desde luego, pero insisto en la belleza más delicada de Saturno comparada con la del Leviatán Júpiter.

A lo largo de los años, las Voyager y las sondas posteriores, además del Hubble, han observado la aparición y desaparición de tormentas menos gigantescas que las de Júpiter pero de una belleza extraordinaria:

Tormenta sobre Saturno fotografiada por Cassini en 2011 (NASA).

Las dos Voyager nos proporcionaron mucha más información sobre la atmósfera de Saturno. Por ejemplo, conocimos entonces que la concentración de helio en las capas altas de la atmósfera saturniana era del 7%, bastante menos que en las mismas regiones de la atmósfera joviana, lo cual parece indicar una mayor rapidez en el hundimiento del helio en la atmósfera de Saturno.

Fotografía de las nubes saturnianas en falso color tomada por Voyager 1 (NASA).

También nos permitieron conocer la duración de un día saturniano. Como dijimos en la primera parte del artículo, cada parte de la atmósfera de Saturno tiene un período de rotación diferente alrededor del eje, puesto que se trata de un planeta en su mayor parte fluido. ¿Cuál es entonces la duración de un día “de verdad”? Los astrónomos suelen fijarse entonces en la rotación de la parte sólida del planeta, pues ésa sí gira como un todo. Pero claro, en un planeta como Saturno –lo mismo que sucedía con Júpiter– esa región es invisible, sumergida bajo enormes cantidades de fluido y espesísimas nubes; la solución es medir la velocidad de rotación del campo magnético, que coincide con la del núcleo del planeta. En el caso de Saturno, ambas Voyager midieron un período de rotación de unas diez horas y media.

Voyager 2 midió además, empleando el radar, temperatura y presión estimadas de distintos niveles de la atmósfera saturniana. La cima de las nubes de este gélido monstruo se encuentra a unos -200 °C y, como en el caso de Júpiter, al descender hacia las profundidades de la atmósfera la temperatura va aumentando poco a poco. Nunca existen condiciones que serían agradables para nosotros, desde luego: a una presión similar a la del nivel del mar terrestre la temperatura sigue siendo muy baja, de unos -140 °C. Los instrumentos de Voyager 2 no pudieron llegar más allá, pero para alcanzar temperaturas razonables para un ser humano la presión tendría que ser de muchas atmósferas, ¡no se pueden tener presión y temperatura aceptables a la vez!

Sin embargo, la auténtica sorpresa relacionada con la atmósfera revelada por las Voyager fue un extraño anillo alrededor del polo norte –puedes ver la imagen a la derecha–. Al igual que en Júpiter, las nubes superiores de Saturno forman bandas de colores variados que tienen la apariencia de anillos concéntricos con el eje de giro del planeta, pero este anillo no era circular, sino hexagonal.

Cuando la sonda Cassini llegó a Saturno en 2004, las Voyager eran su referencia: ningún otro objeto humano se había acercado a Tammuz en veinticuatro años. Una de las cosas que hizo, por supuesto, fue echar un vistazo a las nubes cercanas al polo norte… y el anillo seguía estando ahí. Se trataba por tanto de una formación nubosa de al menos dos décadas de duración y una forma muy extraña. Los vientos que rugen a través de esa región viajan a unos 360 km/h, pero el anillo siempre mantiene su forma aunque rote alrededor del planeta. Desgraciadamente, cuando llegó Cassini el polo norte estaba a oscuras, con lo que sus primeras imágenes fueron de infrarrojos –y así era cuando informamos de la noticia aquí–, pero en 2009, con el polo norte iluminado por el Sol, nos regaló imágenes maravillosas del hexágono en el espectro visible.

El hexágono, fotografiado por Cassini en 2009 (NASA). Cada lado es mayor que el diámetro terrestre.

Más curioso aún fue el hecho de que, a pesar de ser una formación nubosa debida seguramente a vientos similares a nuestro jet stream, el período de rotación del anillo era de diez horas y media: no el de rotación típica de las nubes en esa latitud, sino el del interior del planeta y el campo magnético de Saturno. Además, algunas imágenes de Cassini revelaron la aurora boreal justo sobre el anillo.

Hexágono con la aurora sobre él, tomado por Cassini (NASA).

Por tanto, aunque aún no sabemos por qué diablos tiene esa forma, sí sospechamos que tiene algo que ver con el campo magnético saturniano: o bien es el reflejo exterior de la dinámica interna del planeta, o bien es la consecuencia de la interacción de la magnetosfera del planeta con partículas que llegan a él desde fuera. No es, en otras palabras, una formación nubosa normal y corriente, y todavía no sabemos su razón de ser.

Pero donde las Voyager ampliaron enormemente nuestro conocimiento del “planeta orejudo” de Galileo fue al posar sus ojos robóticos sobre los satélites y los anillos de Saturno. Aunque ya sabíamos ciertas cosas acerca de ellos, simplemente no es posible ver ciertos detalles desde la enorme distancia que nos separa del planeta: las pequeñas sondas, al aproximarse, vieron miríadas de pequeños satélites desconocidos, detalles en los anillos que hasta entonces se nos habían escapado… fueron enviándonos golosina tras golosina.

De todos esos dulces, hoy vamos a fijarnos en los que se refieren a la característica que hace a Saturno realmente especial: sus anillos. Ya vimos en la primera parte del artículo cómo nuestro conocimiento sobre ellos fue avanzando desde considerarlos satélites u orejas hasta verlos primero como un anillo sólido y luego como dos anillos. Aún nos quedaba, sin embargo, mucho por conocer.

De manera que sumerjámonos juntos en la gélida horda de pequeños objetos que rodean a Saturno para conocerlos en profundidad.

Como dijimos en la entrega anterior, hacia finales del siglo XVII el italiano Domenico Cassini discernió una separación –tienes su dibujo de 1676 a la derecha– que revelaba que Saturno no estaba rodeado por un anillo, como había pensado Huygens antes que él, sino por dos o tal vez incluso más. Naturalmente, ningún astrónomo de la época tenía la menor idea de por qué había algo así alrededor de Saturno, de qué estaba hecho o por qué no había un anillo sino más, con una separación entre ellos en la que no parecía haber nada.

Esa división entre los dos anillos recibe el nombre de división de Cassini en honor al genovés, a pesar de que posteriormente comprobamos que no está vacía como pensaba él; su problema era, claro, que su telescopio de 90 aumentos no era capaz de ver la tenue materia que llena la mayor parte de esa separación. Durante siglos creímos, erróneamente, que había simplemente dos anillos sólidos girando alrededor del gigante.

Desde 1675, por tanto, en vez de hablar del anillo de Saturno lo hicimos de los anillos de Saturno, en plural, y les dimos nombre. Desgraciadamente, la imaginación de los astrónomos no ha volado en este caso; el anillo exterior se llamaría anillo A y el interior anillo B. Aunque iremos añadiendo otros, creo que es más fácil recordar nombres y características introduciéndolos poco a poco e históricamente; mi recomendación –si quieres salir de aquí recordando lo más posible, claro– es que te vayas haciendo una imagen mental de dónde está cada anillo.

Aunque luego entremos en más detalle y conozcamos más sobre cada uno de los anillos, empecemos entonces con esta foto del Hubble para que puedas ir identificando estructuras sobre fotos “de verdad” en vez de diagramas primitivos; en este caso observa los dos anillos y la división de Cassini:

Anillos A y B y división de Cassini (Hubble Space Telescope, NASA/ESA). Versión sin etiquetas a 2200×1200 px.

Sin embargo, lo que no sospechaba Cassini era que los anillos no eran objetos como tales; casi nadie lo imaginaba. El primero en sugerirlo fue un astrónomo francés, Jean Chapelain, quien planteó la idea de que los anillos estaban compuestos realmente de lunas de Saturno de tamaño tan pequeño que no podíamos verlas. Pero Chapelain postuló su idea en 1660, con lo que no tenía argumentos experimentales para apoyarla –pues los telescopios no eran lo suficientemente potentes por entonces– ni tampoco argumentos teóricos que hicieran esa posibilidad más razonable que la otra –pues Sir Isaac Newton aún necesitaría otros veintitantos años para publicar su mecánica y, sin ella, el movimiento de los objetos en el espacio era sencillamente resultado del equilibrio natural–.

Hubo que esperar casi dos siglos para avanzar en el conocimiento sobre los anillos de manera sustancial. En 1850 dos astrónomos estadounidenses, William Cranch Bond y su hijo George Phillips Bond, descubrieron que había algo más cerca de Saturno aún que el anillo B, pero era tan tenue que había pasado inadvertido hasta entonces. Se trataba del anillo C. George llegó además a la conclusión de que tantos anillos sólidos no podrían mantenerse estables sino que se romperían –usando, ahora sí, la mecánica de Sir Isaac–, con lo que sugiere que se trata realmente de masas fluidas que rodean al planeta.

El descubrimiento del anémico anillo C fue importantísimo porque era lo suficientemente tenue como para que los astrónomos pudieran ver, a través de él, el borde del disco de Saturno. Esto demostraba sin lugar a dudas que los anillos no eran objetos sólidos, pero ¿eran fluidos como decía Bond? Tal era la curiosidad de la comunidad científica por este enigma que el St. John’s College de Cambridge lo planteó como objeto de su Premio Adams en 1857. ¿Quién lograría postular una hipótesis coherente y razonada sobre la naturaleza de los, hasta entonces, tres anillos?

Anillos A, B y C (Cassini, NASA). Versión sin etiquetas a 7227×3847 px (ojo, que es un monstruo).

Si llevas tiempo con nosotros sabes la respuesta: James Clerk Maxwell. Maxwell se puso manos a la obra y aplicó sus conocimientos de mecánica de sólidos y de fluidos a la tarea. El problema no era fácil, porque se disponía de muy pocos datos experimentales, dada la distancia a Saturno y la limitación de los telescopios de la época: Maxwell tardó dos años en encontrar la solución. En 1859 demostró que los anillos no podían ser fluidos, pues hace mucho tiempo se habrían disgregado, ni podían ser un sólido pues las tensiones estructurales los habrían roto en pedazos. Su sugerencia razonada fue que probablemente se trataba de muchos pedazos sólidos de pequeño tamaño, y que la distancia hasta Saturno era la responsable de que nos parecían ser un solo objeto. Su On the stability of Saturn’s rings (Sobre la estabilidad de los anillos de Saturno) obtuvo el Premio Adams en 1859.

A finales del siglo, en 1895, el astrónomo estadounidense James Edward Keeler trató de determinar si la hipótesis de Maxwell era cierta o no. Para ello empleó la espectroscopía, es decir, el análisis del espectro luminoso reflejado por los anillos, y el efecto Doppler, por el que la longitud de onda recibida por alguien varía dependiendo de la velocidad relativa de emisor y receptor. Así, suponiendo que un mismo anillo refleja la luz de igual manera en todas partes, es posible determinar la velocidad sobre cualquier punto del anillo midiendo las minúsculas variaciones en la longitud de onda de la luz que refleja, por ejemplo, del Sol. Una partícula que se acerca a nosotros modificará la luz reflejada en ella ligeramente hacia el violeta, y una que se aleja lo hará hacia el rojo. Incluso si las dos partículas se acercan a nosotros, la que más rápido lo haga alterará más la luz reflejada y viceversa, con lo que es posible, midiendo estas pequeñas variaciones, tener una muy buena idea de las velocidades relativas de las distintas partes de los anillos.

Al hacerlo, Keeler comprobó que cada punto de los anillos se movía con una velocidad independiente de los demás e incompatible con la de un solo cuerpo sólido: Maxwell tenía razón, al menos, en negar la existencia de un solo objeto. Eso sí, la comprobación experimental de Keeler no descartaba la presencia de anillos fluidos — para eso haría falta esperar aún medio siglo. Fue el británico Harold Jefferys quien, realizando cálculos aún más detallados que los de Maxwell y estudiando la reflectividad de los anillos a diferentes ángulos frente a la Tierra y el Sol demostró en 1947 que los anillos, sin lugar a dudas, estaban compuestos por una miríada de pequeñas partículas.

Además de descartar definitivamente la idea de anillos sólidos, Keeler descubrió una segunda región casi vacía, más exterior que la de Cassini. Se encontraba cerca del extremo exterior del anillo A, y Keeler la nombró en honor a un astrónomo alemán, Johann Encke, que había observado una banda oscura más o menos en esa región cincuenta años antes. La división de Encke partía por tanto el anillo A en dos regiones, una externa y otra interna, de tamaños muy desiguales, ya que está casi en el borde exterior del anillo A. Pero ¿habría otras? Y más importante aún ¿por qué se concentraban las partículas que componían los anillos en unas órbitas y no había ninguna, o casi ninguna, en otras?

Anillos A, B, C, divisiones de Cassini y Encke (Hubble Space Telescope, NASA/ESA). Versión sin etiquetas a 2200×1200 px.

Es posible que, si has seguido esta serie desde el principio, seas capaz de responder a la última pregunta: resonancia orbital. Hablamos de ella por primera vez al hacerlo del satélite de Júpiter Ío, pues la resonancia fue postulada por Pierre-Simon de Laplace para explicar los períodos orbitales de las cuatro lunas galileanas. En el caso de Saturno también fueron descubriendose satélites –y de la mayor parte hablaremos en entregas posteriores–, y las resonancias eran inevitables.

Por ejemplo, el astrónomo estadounidense Daniel Kirkwood encontró períodos de resonancia entre las divisiones de Cassini y Encke con los satélites Encelado, Mimas, Tetis y Dione. La gravedad de estas cuatro lunas pegaba “tirones” repetidos sobre las partículas de los anillos, convirtiendo algunas órbitas en muy estables y otras, cercanas a ésas, en muy inestables. Aunque las resonancias no explicaban todos los huecos que se irían descubriendo más adelante, sí daban una buena explicación de las más importantes. Hacía falta ir hasta allí para ver la razón de ser de algunas de las divisiones, como veremos más adelante.

A lo largo del siglo XX, según mejoraban nuestros telescopios, fuimos ganando resolución al mirar los anillos y, por tanto, descubriendo estructuras que antes estaban escondidas. El mismo año que el ser humano pisaba la Luna, en 1969, el francés Pierre Guerin descubrió un anillo muy, muy tenue en el interior del anillo C, aún más cercano a Saturno que él: el anillo D. No es fácil ver dónde termina el anillo C y empieza el D. Ambos son débiles –más aún el D que el C– y de hecho no estuvimos seguros de que Guerin había descubierto un anillo nuevo hasta que fue confirmado por Voyager 1, que además fue capaz de discernir subanillos dentro del D. Los pequeños anillos dentro de uno mayor suelen nombrarse con números junto a la letra, como D68 o D72 (pero no te preocupes, que esos no entran en el examen). Incluso un anillo tan modesto como el D tiene multitud de subanillos, aunque sólo sea posible verlos estando cerca.

Anillo D fotografiado por Cassini (el anillo C está arriba a la izquierda). El contraste de la imagen ha sido aumentado para ver bien el anillo D (Cassini, NASA/ESA).

Cuando Cassini alcanzó el sistema saturniano veinticinco años después que las Voyager, observó algo muy interesante: la estructura de los anillos no era permanente. Varios de los subanillos del D habían cambiado de forma, y uno de ellos se había desplazado 200 km hacia el planeta. Además, observó ondulaciones y perturbaciones en el anillo D debidas, según pensamos, al impacto de los pedazos de un cometa disgregado, que alteran durante un tiempo el movimiento de las partículas de los anillos como una gota que cae en un estanque crea ondas que recorren la superficie del agua.

Anillos A, B, C, D, divisiones de Cassini y Encke (Cassini, NASA/ESA).

De modo que, antes de empezar a poner números sobre la mesa y hablar de sutilezas, la estructura conocida a grandes rasgos en 1980, a la llegada de las Voyager: muy cercano al planeta, el anillo D, oscuro, tenue y muy difícil de ver; rodeándolo, su “hermano mayor”, el anillo C, algo más denso y fácil de detectar pero aún no tanto como los dos anillos principales, el B y el A, separados por la enorme división de Cassini. Finalmente, el anillo A tiene una pequeña división propia, la de Encke, cerca del borde.

Conozcamos, pues, los anillos más en profundidad, ya con los datos completos que tenemos en la actualidad gracias sobre todo a Voyager y Cassini.

Antes de nada, algunas características comunes a todos ellos. Aunque desde la Tierra, utilizando la espectroscopía, ya pudimos determinar la composición general de los anillos, las sondas lo han logrado hacer con una exactitud enorme, y la respuesta es muy clara: son hielo de H₂O. Sí, tienen impurezas debido a impactos con objetos diversos a lo largo del tiempo, pero la mejor estimación hasta ahora es que están compuestos de un 99,9% de H₂O congelada, lo cual es una pureza extraordinaria.

Es decir, los anillos son una especie de halo de hielo que gira alrededor del planeta formando agrupaciones a distancias determinadas, con ondulaciones y huecos entre ellas debidas a la interacción gravitatoria de los cuerpos del subsistema saturniano y las resonancias correspondientes. Aunque posteriormente hablaremos del espesor, son extraordinariamente delgados y se encuentran casi todos prácticamente alineados con el ecuador del planeta.

Aunque algunos pedazos son milimétricos y otros pueden llegar a tener 1 km de diámetro, ambos son excepciones; la inmensa mayoría de los pedazos de hielo están entre 1 cm y 10 metros de lado a lado. Claro, en términos astronómicos incluso 10 metros es una ridiculez; dicho mal y pronto, los anillos son básicamente polvo de hielo. La distancia entre los pedazos evidentemente varía, pero suele oscilar entre unos 100 y 250 metros de media. Una vez más, una distancia minúscula en términos astronómicos.

Visión artística de las partículas que componen los anillos (Marty Peterson/NASA).

Por eso, al mirarlos desde aquí o incluso desde las sondas a unos cuantos cientos de miles de kilómetros de distancia tienen esa forma circular tan perfecta, ese perfil matemático de una belleza difícil de expresar con palabras. Si nos acercáramos podríamos ver las irregularidades, los distintos tamaños de los pedazos de hielo, y nos daríamos cuenta del enorme espacio que hay entre los de tamaño más grande. Una persona que flotase a través de ellos muy probablemente cruzaría el espesor de los anillos sin llegar a tocar nada más grande que su mano.

La masa total de los anillos no es fácil de estimar, pero pensamos que es de alrededor de 3·10¹⁹ kg. Para poner esto en perspectiva, ¿recuerdas el asteroide 2 Palas, el tercer asteroide más masivo del Cinturón Principal? Palas tiene una masa de unos 2·10²⁰ kg, lo cual significa que la masa combinada de todas las partículas que componen los anillos es alrededor del 15% de la masa de Palas.

Otra manera de verlo, bastante más impresionante, es la siguiente: la cantidad total de H₂O en nuestro planeta –contando la de los océanos, la atmósfera, los casquetes polares, absolutamente todo– es de alrededor de 1,34·10¹⁸ kg. Es decir, toda el agua de nuestro planeta es un mero 4,4% de la masa total de agua contenida en los anillos. Escalofriante.

Por lo tanto, resumiendo, los anillos son una estructura gigantesca en extensión, muy discreta en masa y delicadísima en lo fino de su división, que rodea al monstruo con una elegancia geométrica absolutamente inefable:

Se me saltan las lágrimas. Saturno y sus anillos, vistos por Cassini en mayo de 2007, a un millón de kilómetros del gigante (Cassini/NASA/ESA). Versión a 4824×3048 px.

Desde luego, conocer el tamaño de las partículas y, sobre todo, la composición de hielo casi puro lleva a preguntas inevitables: ¿por qué? ¿de dónde han salido los anillos? ¿desde cuándo están ahí? ¿hasta cuándo seguirán? En la siguiente entrega seguiremos explorándolos, viajando poco a poco hacia fuera desde la cima de las nubes saturnianas para empezar la expedición en el tenue anillo D y viajar hacia fuera por el C, la división de Cassini, el B, el A con la división de Encke y más allá… hasta entonces.

Con mayo llega el que probablemente sea el último Desafío antes de las vacaciones. Se me ocurrió en la ducha hace un par de mañanas y ni siquiera he intentado resolverlo aún, pero creo que es más fácil que algunos de los últimos que hemos planteado –eso sí, espero que, aunque lo sea, siga siendo divertido luchar con él–.

Por si nunca has participado en uno, aquí tienes las condiciones para jugar:

• Podéis enviar la solución a desafios@eltamiz.com hasta el jueves 10 de mayo inclusive. Es decir, hay tiempo de requetesobra para pelearse con él.

• No importa cuándo se envíe la solución; lo importante no es la rapidez, sino la creatividad y la claridad en las explicaciones.

• Se puede trabajar en grupo siempre que se mencionen los nombres de todos los miembros del equipo en la solución.

• Es infinitamente mejor dar una solución aproximada, por burda que sea, que no dar ninguna. Si nadie obtiene la solución perfecta, quien más se aproxime será el ganador (si explica bien las cosas, claro).

• Es posible utilizar programas de ordenador siempre que los hagas tú y los envíes como parte de la solución para que otros puedan verlos.

Como siempre, los comentarios están cerrados en esta entrada por si acaso algún listillo fastidia el misterio a los demás poniendo la solución o alguna pista. Dicho todo esto, vamos con el desafío.

Las habitaciones de la muerte

Debido a los azares del destino tú, querido lector, has sido capturado y esclavizado por los malévolos, babosos y sepiáceos Alienígenas matemáticos tras su conquista de la Tierra. Para saciar su sádica curiosidad, las criaturas deciden jugar contigo a un macabro juego probabilístico: cuando despiertas del sueño inducido por las drogas que te han inyectado durante tu captura¹ te encuentras en una habitación metálica y estéril que tiene dos puertas, como en el dibujo:

La voz batrácea de un Alienígena te anuncia a través de un altavoz:

“Bienvenido, xuglurz. Vamos a jugar a un pequeño juego juntos…”; aquí el monstruo se detiene un momento y hay un gorgoteo de sorna. “Estás en un recinto de cuatro habitaciones idénticas, A, B, C y D, unidas por pasillos de modo que A conecta con B y D, B conecta con A y C, y C conecta con B y D.”

Miras al suelo y ves que, efectivamente, una enorme A está marcada sobre él. A través de un corto pasillo ves una habitación marcada con B y a través de otro, una segunda habitación marcada con D. Es entonces cuando te percatas de que el techo es una plataforma móvil como un émbolo, ¡no está unido a las paredes!

“Aah, incluso tú te has percatado”, continúa tu captor con voz melosa. “Sí, el techo es un émbolo que puede descender hasta el suelo, triturándote como a una hormiga. De hecho, el techo de todas las habitaciones y de los pasillos se comporta de igual manera”, y al decir esto, el monstruo acciona algún tipo de botón y ves cómo el techo de todo el recinto excepto la habitación en la que te encuentras desciende bruscamente y estampa contra el suelo con una fuerza brutal.

“Cada cinco segundos, el techo de todo el complejo descenderá de golpe, triturando todo a su paso”, sigue el monstruo. “Bueno, casi todo: una de las dos habitaciones conectadas con la tuya será respetada, y el el techo no bajará. De modo que, como estás en la habitación A, cuando empiece el juego puedo asegurarte que o bien la habitación B o bien la habitación D –una y sólo una de las dos conectadas con la tuya– se mantendrá segura, mientras que todo el resto, incluida la A, será aplastada por el techo sin remisión.” Otro gorgoteo jocoso.

“¿Cuál de las dos habitaciones adyacentes será la segura?”, gritas, desafiante e ingenuo, provocando otra risa húmeda y babosa.

“Una de las dos completamente al azar”, responde la criatura. “Cuando suene la sirena más te vale correr a una de las dos, ya que es el tiempo justo que un bípedo implume como tú necesita para recorrer el pasillo. Si tienes suerte, habrás elegido la correcta. Si no… bueno, puré de homínido.”

Tras una pausa para dejar que tu débil mente asimile la situación, el monstruo continúa.

“Naturalmente, la cosa no acaba ahí. Si sigues vivo tras el pimer paso, la sirena sonará de nuevo: una de las dos habitaciones conectadas con aquella en la que estés, elegida al azar, será respetada, y el resto del techo descenderá irremisiblemente hacia el suelo. Si eliges bien cuando corras de nuevo, seguirás vivo. Si no…”

“Sí, sí: puré de homínido.”

“Eso es lo que más me gusta de los seres humanos: su sentido del humor”, responde el Alienígena. “Bueno, eso y el bazo.”

“Pero… ¿cuál es el juego entonces?”, preguntas. “¿Simplemente muero y ya está? ¿No hay manera de salvarme? Con un 50% de probabilidad de sobrevivir cada vez, eso significa un 25% tras dos pasos, un 12,5% tras tres pasos… ¡no tengo esperanza!”

“No. La verdad es que no. El proceso se repetirá una y otra vez hasta que… bueno, hasta que elijas mal. Pero, ¡ah!, hay una recompensa. Si logras decirme cuál es la probabilidad de que mueras en cada una de las cuatro habitaciones (porque vas a morir en una de ellas tarde o temprano, claro), el siguiente humano al que le toque jugar será liberado. Como puedes comprender, no eres el primero en participar en el juego y… el anterior intentó hacer trampa.”

Te das cuenta entonces de que el suelo a tu alrededor está cubierto de lo que parece foie-gras rosa.

“Eligió quedarse en A y no moverse tras sonar la sirena: había predicho que moriría en A con un 100% de probabilidad. Pero claro, el juego sólo tiene gracia si intentas sobrevivir el máximo de tiempo posible: no hagas trampa.”

“De hecho, para hacerlo interesante, aquí tienes la condición clave: cada vez debes moverte a una de las dos habitaciones disponibles al azar. No vale, por ejemplo, moverte siempre entre A y B y decir que hay un 25% de probabilidades de morir en A y un 75% de morir en B — debes analizar las probabilidades suponiendo que cada vez te mueves aleatoriamente entre las dos habitaciones adyacentes”.

“¿Y bien?”, pregunta acariciadoramente la criatura. “¿Qué probabilidad hay de que mueras en A, qué probabilidad de morir en B, en C y en D? ¡La vida de uno de tus congéneres depende de la respuesta!”

¿Y bien, xuglurz? Aunque tú estés condenado, puedes salvar la vida de otro ser humano si eres capaz de predecir la probabilidad de muerte en cada habitación suponiendo que maximizas tu tiempo de supervivencia moviéndote cada vez a una habitación adyacente.

¿Puedes salvar al siguiente?

Este desafío ya ha finalizado. Puedes leer la solución aquí.

1. En serio, cuando escribo estas cosas siempre me río cuando imagino a un lector nuevo que no conoce la serie leyendo estas barbaridades…

Así que, entre algunas ideas que me llevan rondando la cabeza hace tiempo está la de traducir algunas de estas historias de los años treinta y cuarenta. Esto se parece algo a la idea de traducir las historias de Pegana, pero a mayor escala y en una paǵina creada específicamente para ello –pues no pega mucho ni en El Tamiz ni en El Cedazo y no quiero machacar a la gente con algo que puede no interesarles en absoluto–.

Veremos en qué queda la cosa, pero por ahora he pasado un muy buen rato trabajando en ello (y no, por si a alguien le preocupa, no me ha quitado tiempo de escribir contenidos para El Tamiz ni lo hará en el futuro). Podéis ver el resultado en http://transbiblio.org, leer la presentación y razón de ser del blog, el primer fragmento de la historia actual y suscribiros por RSS o Twitter si os parece interesante.

Como siempre, agradezco sugerencias, comentarios y demás; sobre todo porque el que este empeño siga adelante o no depende, en gran medida, del interés que despierte en vosotros — si disfrutamos juntos de recorrer estas historias olvidadas, seguramente dure mucho. A quienes la ciencia-ficción de los años treinta no les dice nada, siento la intromisión e intentaré no ser demasiado pesado en el futuro (aunque seguro que lo menciono de nuevo). A quienes tengáis curiosidad, allí nos vemos.

Nos habíamos quedado en un momento clave de la historia: cuando, al aumentar la temperatura y con ella el factor reproductivo de los conejillos, el estado final del sistema se bifurcaba a dos y luego a cuatro estados finales.

Si aumentas r, verás que a partir de 3,54 las oscilaciones vuelven a bifurcarse y hay 8, y después 16, y después 32, etc. Con el aumento de temperatura, el “reloj oscilante” de los conejos se iba volviendo más y más complejo, con un ciclo más y más largo. Y en todos los casos ese ciclo es independiente de pero dependiente de :

Sin embargo, las bifurcaciones no duran siempre lo mismo en términos de r. Entre y tuvimos un solo valor de población final, entre 3 y 3,45 dos, entre 3,45 y 3,54 cuatro, pero cada vez la bifurcación se produce antes. De hecho, pronto las bifurcaciones se producen tan deprisa que un cambio minúsculo de r produce muchísimas más, y los intervalos se hacen tan cortos que convergen a cero: llega un momento en el que las bifurcaciones se hacen prácticamente infinitas.

¿Te suena esto de algo? Un estado final único, al aumentar el valor de r, se bifurca en dos; cada uno de esos en otros dos, cada uno de esos en otros dos, y así hacia el infinito… ¡es un fractal! Si recuerdas el artículo correspondiente en esta misma serie, de una manera muy similar construimos nuestro fractal allí. Para mí, ver esta bifurcación hasta un fractal fue lo que hizo encenderse la bombilla del caos en mi cabeza.

Observa lo que sucede al mirar el mapa de bifurcación más allá de 3,57 (te recomiendo que mires también la versión a máxima resolución porque es una gozada):

Versión a 3390×2375 px (Jordan Pierce / Dominio Público).

A partir de ese momento, alrededor de , la población ya no oscila entre un número razonable de valores, sino un número que, estrictamente hablando, se hace infinito. Pero claro, oscilar entre un número infinito de valores es no oscilar, pues ninguno se repite. Esto ya es algo que me parece sorprendente, pero hay algo más, y aquí llegamos a la clave de la cuestión y el auténtico cambio respecto a los casos anteriores, un cambio tan radical e importante que voy a ponerlo en su propio párrafo y en negrita.

Cualquier cambio, por minúsculo que sea, en las condiciones iniciales, produce una gráfica absolutamente distinta de la anterior.

Aquí tienes la correspondiente a , y :

Y aquí tienes lo mismo, pero cambiando x a 0,82, sólo una centésima más allá:

Puedes comparar las dos en esta imagen en la que se ven juntas (0,81 arriba y 0,82 abajo):

Esto es cuando miramos las cosas a largo plazo, por supuesto; si haces lo mismo con pocas generaciones, por ejemplo n = 10, verás que las dos gráficas son muy parecidas entre sí. La sensibilidad a las condiciones iniciales “amplifica” las diferencias hasta que ambas se hacen tan distintas que no parece haber la menor relación entre ellas.

Esto significaba que Florencia podía predecir más o menos lo que iba a suceder durante unos días, pero más allá le era imposible, porque aunque intentaba contar cuántos conejillos había en la estación, eran tantos que era imposible hacerlo con total exactitud. Pero una diferencia de uno o dos conejos iniciales suponía que, en una semana, era imposible saber cuántos habría en el valle con lo que, en la práctica, el comportamiento de los conejos era una locura.

Por ejemplo, en la octava generación tenemos que, en el primer caso, y en el segundo caso, . Son distintos, pero no mucho: ambas gráficas aún no han divergido de verdad. Pero mira el caso : en el primer caso , y en el segundo caso, . ¡Nada que ver! ¿Ves la similitud con la gráfica de Lorenz en el caso del tiempo meteorológico? Pero bueno, volvamos a nuestra historia…

Tras un par de semanas, Florencia oyó las pesadas pezuñas de su jefe frente a su puerta; era un momento que había estado temiendo varios días, pues había estado evitando a Maldibento desde que había comprendido su incapacidad para dar una predicción fiable. ¿Qué diría su jefe al enterarse? Cuando la puerta se abrió y la enorme figura bovina entró en su despacho, la lemurina tragó saliva.

“Hace muuuUUUuucho tiempo que espero resultados”, dijo Maldibento sin un mísero “buenos días”. La elevadísima temperatura de la estación estaba haciendo estragos en él: su pelaje estaba empapado y pegajoso, y sus ojos rojizos lloriqueaban debido al sudor que entraba en ellos. “¿Cuántos conejos habrá en un mes?”

“Bien, bueno… el número de conejos estará entre 0% y 100%, básicamente”, respondió la lemurina tragando saliva de nuevo. “Me es imposible decirle exactamente el número, ya que cada día es algo completamente diferente, y hay infinitos estados finales que…”

“¿Me esta usted diciendo que estoy pagándole un generoso sueldo, que estoy pagando miles de créditos diarios para alimentar a esas repugnantes criaturas y no puedo decir a mis futuros inversores CUÁNTAS PIELES PODRÁN OBTENER CADA DÍA?”, bramó el Bovinoide, ignorante de un hecho crucial: que el más gentil de los corazones puede ser el más despiadado cuando está en peligro el objeto de su afecto.

Fue entonces cuando Florencia, a pesar de su enorme ingenuidad, comprendió los planes de su jefe.

Fue entonces cuando Florencia, a pesar de su enorme bondad, no mencionó de nuevo el urgente aviso de su mentor Irneh Eracniop, el mayor experto galáctico en conejos zweldreordanos, sobre el otro efecto de la temperatura sobre los conejillos además de la reproducción.

Fue entonces cuando Florencia respondió, con una voz calmada y gélida que debería haber supuesto una advertencia para el burdo Maldibento:

“No, no, por supuesto que no… Lo único necesario es que me eche usted una mano con un detalle y podré darle un número para sus inversores.”

“¡Desde luego!”, respondió el otro, sus ojillos bovinos brillantes de lágrimas, sudor y avaricia.

“Necesito que cuente usted cuántos conejos hay”, dijo la lemurina. Y Maldibento, sin preguntarse por qué iba ella a pedirle algo así, cegado por la codicia, asintió con entusiasmo.

“MuuUUUUuuuy bien, pero más le vale darme un resultado satisfactorio después de esto, o está despedida”, mugió, y tras abrir la puerta del recinto de los conejitos, entró de dos zancadas.

Fue entonces cuando Florencia cerró la puerta tras de él y desactivó todos los sistemas de monitorización del interior del recinto, de modo que los sonidos del interior no fueran recibidos por los técnicos a través de los micrófonos instalados dentro.

Fue entonces cuando comprobó que, efectivamente, el aumento de temperatura por encima de , además del ritmo reproductivo, también modificaba los hábitos alimenticios de los adorables conejillos zweldreordanos.

Por si te lo estás preguntando, sí, Florencia logró una beca cuantiosa y de larga duración gracias a sus conclusiones, publicadas en “Hábitos alimenticios de Leporidus zweldreordis”, que le otorgó además varios premios. Con ella acondicionó la estación de investigación de Maldibento y todo podría haber sido muy bonito, pero la brújula moral de Florencia había sido destrozada por su terrible acto y poco a poco se fue volviendo más y más despiadada, con lo que… pero eso es otra historia, y tendrá que ser contada en otra ocasión.

Lo importante es que nos hemos topado, ahora sí, ante un sistema caótico, y al haber llegado hasta él poco a poco y con un ejemplo concreto y relativamente simple, creo que las características de los sistemas caóticos que mencionamos en el artículo general deberían serte fáciles de asimilar. Vamos poco a poco y expresémoslas de una manera algo más rigurosa de lo que hicimos allí.

En primer lugar, la más evidente: la sensibilidad a las condiciones iniciales.

Como hemos visto aquí, cuando el sistema es caótico (más allá de ), si cambiamos la población inicial aunque sea de manera ligerísima, al principio las predicciones se parecen, pero finalmente divergen de manera exagerada. ¿En qué se diferencia la sensibilidad de los datos anteriores de la de un sistema no caótico como ? Es esencial entender esta “diferencia cualitativa de sensibilidad” para comprender la siguiente característica del caos.

En un sistema no caótico, la diferencia entre las predicciones de datos iniciales distintos es tanto más grande cuanto más diferentes son los datos. Por ejemplo, si en un sistema no caótico comparamos x = 0,1 con x = 0,11, las soluciones serán distintas, pero más parecidas entre sí que comparando x = 0,1 con x = 0,8. Sin embargo, en un sistema caótico cualquier diferencia, a largo plazo, produce predicciones absolutamente distintas entre sí. Da igual el valor de la diferencia inicial, es suficiente para llevar a algo completamete distinto.

También puedes mirarlo al revés: imagina que te enseño las dos gráficas comparadas de más arriba (las de x = 0,81 y x = 0,82), pero sin decirte a qué condiciones iniciales corresponden, y te pregunto si crees que son las producidas con condiciones iniciales muy similares o muy diferentes. ¿Podrías decírmelo? No. Puedes probarlo tú mismo — si comparas x = 0,81 con x = 0,23, los resultados no son más diferentes a largo plazo que los de los valores anteriores, aunque aquéllos son mucho más próximos. Esto significa que, en un sistema caótico, es imposible saber de dónde ha venido el sistema en el pasado si no conocemos su estado con absoluta precisión.

Si comprendes esta diferencia en la “calidad” de la sensibilidad a los datos iniciales, estás listo para comprender la segunda característica de los sistemas caóticos. Se trata de algo más sutil y que suena bastante abstracto¹, pero si has asimilado el caso de los conejos no debería presentar menor problema por raro que suene el nombre: la transitividad topológica.

Dicho muy mal y muy pronto, un sistema es topológicamente transitivo si las cosas se embarullan, se mezclan y se hacen imposibles de desenredar después, como las gráficas de arriba de 0,81 y 0,82. Dicho un poco menos mal y bastante menos pronto, un sistema es topológicamente transitivo si podemos conseguir lo siguiente (que ejemplificaré con el caso de los conejos para que sea un poco menos abstracto):

Sin decirme cuál, tú te inventas un estado del sistema, al que llamaremos “meta”. En el caso de los conejos, por ejemplo, el estado del sistema viene definido por el valor de x, así que te inventas uno, digamos que x = 0,184586. Naturalmente, lo que viene después debe funcionar para cualquier valor de meta que te inventes.

Sin decirte cuál, yo me invento un estado del sistema, al que llamaremos “salida”. En nuestro ejemplo, yo me invento el valor x = 0,981425. Una vez más, el resto debe funcionar para cualquier valor que me invente yo.

Finalmente, nos inventamos un valor que llamaremos “margen”, tan pequeño como queramos (pero no 0, porque se trata de un sistema determinista que se comporta igual ante condiciones exactamente iguales), que será algo así como nuestro margen de tolerancia. Digamos que acordamos un margen de 0,0000000001. Somos así de exigentes, aunque podríamos serlo incluso más.

Ahora viene lo bueno. Un respiro y a pensar juntos, porque la frase tiene chicha y es posible que tengas que reflexionar sobre ella, pero te prometo que habrá un “encendido de bombilla” tarde o temprano:

El sistema es topológicamente transitivo si, partiendo de la salida como dato inicial (más o menos el margen), es absolutamente seguro que tarde o temprano alcanzaremos la meta (más o menos el margen).

En nuestro ejemplo, esto quiere decir que si partimos de 0,981425 más o menos 0,0000000001 (es decir, entre 0,9814249999 y 0,9814250001), tarde o temprano habrá un momento en el que tendremos 0,184586 conejos, más o menos 0,0000000001 (es decir, entre 0,1845859999 y 0,1845860001). Pero esto mismo es verdad para cualquier salida, cualquier meta y cualquier margen. Podríamos haber inventado un margen de 0,000…1, con el número de ceros que nos hubiera dado la gana.

Es decir: desde cualquier dato inicial de x, tarde o temprano vamos a alcanzar todos los valores posibles de x, dentro de un margen arbitrariamente pequeño. Ésta es la segunda diferencia fundamental, por ejemplo, con . Como hay un rango limitado de valores posibles de x, y x no termina con ningún valor fijo, al cabo del tiempo va barriendo prácticamente todos los otros valores — tan “prácticamente” que, en cualquier caso real, barre todos los valores posibles.

Un paréntesis: digo “prácticamente” porque, como ves en el mapa de bifurcación, no son realmente todos. Por eso necesitamos un margen, por pequeño que sea — porque la dimensión del conjunto de estados finales no es 1, sino algo menor (pero no 0); recuerda que es un fractal, y ésa es parte de la clave de la cuestión. Pero al asunto de la dimensión fractal del atractor volveremos en un rato, así de importante es.

Otra manera de verlo es la siguiente: tú tienes un valor inicial de x y yo tengo otro. Da igual cuáles sean, al cabo de cierto tiempo nuestras gráficas producirán un valor prácticamente común (dentro de un margen arbitrariamente pequeño, es decir, acercándose tanto como podamos imaginar aunque estrictamente no lleguen a “tocarse”). Esto es cierto para cualquier valor inicial de x, lo cual significa que todos los estados, incialmente diferentes, acaban mezclándose. Es como si tuviéramos tinta de un color tú y otro color yo, y alguien removiera un vaso con las dos tintas inicialmente separadas: al cabo de cierto tiempo, cualquier partícula de mi tinta y cualquier partícula de la tuya habrán pasado arbitrariamente cerca de todos los puntos del vaso, con lo que ambas tintas se han mezclado.

En el caso de Florencia y los conejillos zweldreordanos, el carácter caótico del sistema significa que, partiendo de cualquier número de conejos más o menos un margen minúsculo, tarde o temprano se alcanzarán todos los otros valores (y el mismo del que se partió), salvo por un margen tan pequeño como se pueda imaginar. Como ves, en esto es completamente distinto del caso : en aquel caso, los valores iniciales diferentes se separaban cada vez más, pero en el caso de un sistema caótico se separan, pero luego se juntan, luego se cruzan, luego se separan, etc., con lo que todo acaba “enmadejado”.

En el caso de sistemas con más de una variable como el nuestro, como vimos en el artículo general, a veces se representa el estado del sistema como un punto en un sistema de coordenadas, donde cada coordenada es una variable. Así, la posición del punto representa el estado del sistema, y el punto se va moviendo según cambian las variables que lo definen. En el caso de nuestros conejitos, claro, el estado es un punto en una sola dimensión, que se mueve arriba y abajo a lo largo de un segmento entre 0 (sin conejos) y 1 (máximo de conejos), el eje vertical en las gráficas que hemos usado. En el caso de un sistema de dos variables, el punto sería un punto que se mueve sobre una superficie; si hay tres variables, un punto que se mueve en el espacio tridimensional, etc. (aunque para más dimensiones, claro, esta visualización ya no es tan útil).

Puesto que podemos imaginar, de manera abstracta, el estado del sistema como un punto que se mueve, suele hablarse de órbitas, es decir, de las trayectorias que realiza el punto según pasa el tiempo. El caso es que, en términos de órbitas, la transitividad topológica dice al go como esto: cualquier par de órbitas del sistema, por más diferentes que sean al principio, pasarán, en algún momento, a una distancia arbitrariamente corta la una de la otra. Disculpa si soy pesado, pero quiero asegurarme de que comprendes esta segunda característica, porque es, en mi opinión, la que realmente hace “asimilar” el caos.

La tercera característica, después de la sensibilidad a las condiciones iniciales y la transitividad topológica, tiene también un nombre rimbombante, pero creo que a estas alturas (¿todavía estás aquí? ¡enhorabuena, pero no se lo digas a tus amigos!) no tendrás problema en comprenderla.

En mi ignorancia, creo que esta característica final es la que diferencia a los sistemas caóticos de los sistemas puramente aleatorios: en el caos hay, al fin y al cabo, orden, puesto que nuestra población de conejos no es fruto del mero azar. Sí, podríamos haber hecho simplemente que x tuviese, en cada generación, un valor aleatorio entre 0 y 1, pero eso no sería un sistema caótico. Y creo –que me corrijan los matemáticos entre el público si me equivoco– que esto está garantizado por la tercera característica que suele asignarse a los sistemas caóticos; digo “suele asignarse” porque ni siquiera todos los matemáticos se ponen de acuerdo en esto.

Esa tercera propiedad es el hecho de que un sistema caótico debe tener órbitas periódicas densas. Sí, ya, ya, muy abstracto, pero tampoco es para tanto si no nos ponemos rigurosos. Y no, no vamos a ponernos rigurosos.

Ya hemos dicho lo que representa una órbita: el “movimiento” en el espacio definido por las variables del sistema del estado del propio sistema. Bien, entender lo que es una órbita periódica no tiene mayor misterio — es una órbita que, al cabo de un tiempo, pasa otra vez por el mismo punto, es decir, las cosas se repiten. En el caso de un planeta que realizase un movimiento circular alrededor del Sol, su órbita sería una representación de la órbita física que realiza en el espacio, mientras que en una representación abstracta de variables en ejes, la “órbita” es conceptual.

No todos los sistemas tienen órbitas periódicas, desde luego. Un ejemplo que sí las tiene: nuestros conejitos. Por ejemplo, cuando hicimos r = 3,5 vimos que el sistema, inevitablemente, terminaba oscilando entre cuatro valores, es decir, se repetía una y otra vez (con un período de cuatro generaciones de conejos):

Ese sistema, desde luego, no es caótico, como bien sabes a estas alturas: no cumple la primera condición ni tampoco la segunda. Simplemente lo recuerdo para que veas un sistema con órbitas periódicas, aunque en una dimensión esas órbitas periódicas sean la oscilación entre dos puntos.

Bien, la tercera propiedad exige la existencia de órbitas periódicas densas, es decir, un número infinito de órbitas periódicas arbitrariamente cercanas unas a otras. Esto significa que deben existir órbitas periódicas muy cerca de otras órbitas periódicas, es decir, algo así como “grupos” de órbitas periódicas infinitamente cercanas, de modo que sea posible pasar de una a otra con una perturbación minúscula del sistema.

Órbitas periódicas densas.

¿Cuáles son las consecuencias de esta tercera exigencia? En primer lugar, que deben existir órbitas periódicas. Deben existir valores iniciales del sistema que produzcan algo que se repite una y otra vez — ¡lo contrario de lo que intuitivamente significa el caos! Como decía antes, el caos tiene orden o sería simplemente azar, y no lo es.

El mejor ejemplo es, una vez más, el de nuestros conejitos. Ya vimos que producía órbitas periódicas, mientras que en la región caótica (, lo cual debiera haber significado absoluto azar, su ecuación predijo una órbita periódica.

Esa órbita se produce cuando, en algún momento, la población de conejos es o bien (es decir, más o menos 0,345491502813 ó 0,904508497187), ya que se trata de una órbita que oscila entre ambos estados. Desgraciadamente, la precisión de nuestro programita javascript no es absoluta, con lo que los números irracionales nos fastidian, y la gráfica no es perfecta, pero nos viene estupendamente representar esto, aunque sea con un número finito de decimales.

Prueba con , y y espero que te lleves la misma sorpresa que Florencia:

Sin embargo –y aquí viene la segunda razón por la que me gusta este ejemplo–, aunque lo parezca, esta órbita no es realmente periódica, porque no estamos usando exactamente los valores “buenos” de x, debido a la imprecisión en los valores de la raíz de arriba. Así, estamos en una especie de órbita inestable, de la que poco a poco nos vamos saliendo hasta terminar, una vez más, en el caos absoluto. En la gráfica de arriba no se ve, pero si aumentas el número de generaciones a , verás el abandono final de nuestra órbita:

Como puedes ver, la tercera condición exige que haya órbitas densas, lo cual significa que una perturbación minúscula desde una órbita periódica puede llevar a otra, pero esto no es una seguridad: en nuestro caso, una pequeña perturbación ha llevado al sistema a alejarse completamente de la órbita inicial.

Aunque no es una necesidad para que un sistema sea caótico, otra propiedad fascinante de este tipo de sistemas es la existencia de atractores extraños, que mencionamos en el artículo general pero en los que aquí profundizaremos algo más. Aquí es donde el fractal que formamos con las bifurcaciones de bifurcaciones con los conejos hace su aparición de nuevo.

Para un sistema que evoluciona en el tiempo –como la población de los conejillos zweldreordanos–, un atractor es una parte de los estados posibles del sistema que cumple una propiedad bastante intuitiva: si un estado está dentro del atractor (o muy cerca de él), permanece dentro del atractor. Es como una región de la que, una vez entras, no vuelves a salir.

Por ejemplo, en los primeros ejemplos que pusimos de los conejillos durante el invierno teníamos atractores muy simples. En el caso de , donde se producía la extinción, el atractor no era más que . Cuando la población oscilaba entre dos valores, el atractor era el conjunto de esos dos valores, etc.

Si se tiene un sistema definido por más variables, y el sistema no evoluciona a “generaciones” discretas, como los conejos, entonces los atractores, además de puntos, pueden ser líneas, superficies o incluso volúmenes de los que las órbitas del sistema no salen. Insisto en que cualquier sistema que evoluciona en el tiempo puede tener atractores — éstos no son una propiedad del caos. Lo sorprendente no es tanto la existencia de atractores en sistemas caóticos –que también, porque, como hemos visto, sorprende encontrar orden dentro del caos–, sino la naturaleza de esos atractores.

Observa el caso del atractor de Lorenz que mostramos en el artículo general:

La forma exacta del atractor es imposible de determinar, más allá del hecho de que es algo parecido a un “ocho deforme”. Pero los matemáticos y los físicos se dieron cuenta desde el principio de que muchos sistemas caóticos tenían atractores, y se dedicaron a ver qué forma exacta tenían esos atractores. Algunos eran puntos, otros líneas, otros superficies… y otros no tenían una dimensión entera. Nuestros conejillos, por cierto, son un sistema de este tipo.

Dicho de otro modo, muchos sistemas caóticos tienen atractores fractales. Los primeros en dar nombre a estos atractores tan extraños fueron David Ruelle y Floris Takens cuando estaban estudiando el flujo turbulento; el nombre que les dieron, ¡sorpresa!, fue el de atractores extraños.

Ya hemos hablado de fractales en esta misma serie, cuando vimos el copo de nieve de Koch, cuya dimensión fractal era alrededor de 1,26, es decir, era una curva tan “doblada” que era casi una superficie. Bien, los científicos se encontraron con que algunos atractores en sistemas caóticos eran de este tipo.

¡Nosotros mismos hemos producido un atractor extraño, aunque no te hayas dado cuenta! La población de conejitos, para (el “umbral del caos”), tiene un atractor de dimensión 0,538. Como ves, es un conjunto de infinitos puntos que están “tan cerca” unos de otros que no tienen dimensión 0 (la de un punto o un conjunto discreto de puntos), pero tampoco llegan a ser una recta de dimensión 1. Desgraciadamente, no es posible ver nada bello al mirar ese atractor, que se denomina atractor de Feigenbaum, pues es simplemente el conjunto de casi todos los puntos del segmento 0-1, pero luego te muestro algunos bellísimos.

El mapa de Hénon es un muy buen ejemplo de atractor extraño, aunque siga sin ser bello. Se trata de un sistema descrito por dos ecuaciones muy simples, y el estado viene definido por dos variables. Al igual que nuestro mapa logístico de los conejos, se trata de un sistema que evoluciona a pasos discretos, como nuestras generaciones:

Dependiendo de los factores y , como nos pasaba a nosotros con , el mapa de Hénon puede presentar comportamientos muy diferentes. Desgraciadamente, no sé hacer un programa que represente algo así, pero puedo mostrarte la forma aproximada del atractor que, como digo, es “algo más que una curva”, puesto que su dimensión es alrededor de 1,26 como la de Koch:

Atractor de Hénon (a=1,4 y b=0,3). Dominio público.

Simplemente por placer, aquí tienes el mapa de bifurcación del mapa de Hénon, bastante más complejo que el nuestro. Observa la región en la que hay órbitas periódicas, entre las otras regiones “locas” en las que las ramificaciones proliferan:

Mapa de bifurcación de Hénon (versión a 3150×2200 px). (Jordan Pierce/Dominio público).

Ahora bien, aquí tienes uno que sí es bellísimo: el atractor de Rössler, que aparece en un sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas, y tiene una dimensión de 2,01 (es algo “muy ligeramente más” que una superficie):

Atractor de Rössler (Wofl/Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 License).

Finalmente, no puedo dejar de mencionar el atractor de uno de los padres del caos, el propio Edward Lorenz. En el llamado sistema de Lorenz, otro de tres ecuaciones con tres incógnitas –el que hemos mostrado en el vídeo antes– se forma este bellísimo atractor extraño, el atractor de Lorenz, de dimensión fractal muy ligeramente superior a la del de Rössler (2,06), el “ocho extraño” que decíamos antes:

Atractor de Lorenz (Wofl/Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 License).

¿No son de una belleza tremenda? Pero, si has asimilado la existencia de algo tan raro como los atractores extraños, vuelve a pensar en nuestro ejemplo de los conejillos y su transición al caos en términos de fractales (si leíste el artículo de fractales en esta misma serie, claro), y tal vez tu comprensión sea mayor que antes:

Al principio, teníamos un atractor (extinción o población estable de conejos). Luego tuvimos 2 (tic-tac), luego 4 (tic-tac-toc-clac), luego 16, luego 32 y, en esa “cascada de bifurcaciones”, tuvimos infinitos fractales. ¡Esa cascada de bifurcaciones era casi exactamente lo mismo que hicimos con los triángulos en el copo de nieve de Koch! Allí había un triángulo del que salían otros, de los que salían otros, y así hasta el infinito; aquí teníamos un estado final –un atractor–, del que salían dos, de los que salían dos, y así hasta el infinito.

Además, ahí puedes ver también como la dimensión fractal del atractor extraño que obtuvimos indica la cara ordenada del caos: si el sistema de los conejos no se hubiera convertido en caótico sino en aleatorio, ¿cuál hubiera sido la dimensión del atractor?

Hubiera sido 1. El atractor hubiera sido el segmento entero entre 0 y 1.

Sin embargo, en el mapa de bifurcación puedes ver que no se cubre el segmento entero. Nuestro atractor pasa arbitrariamente cerca de todos los puntos del segmento (0,1), pero no es el propio segmento, sino un subconjunto del segmento que, aunque tiene infinitos puntos, no cubre todos los puntos del segmento. Por eso nuestro atractor –o, mejor dicho, el de Feigenbaum– tiene dimensión 0,538.

La naturaleza de los sistemas caóticos y los fractales han resultado estar, por tanto, entrelazadas. Y aún estamos descubriendo cosas sobre ellos. Una vez más, no se trata de una curiosidad matemática –aunque, incluso si lo fuera, sería algo fascinante y bellísimo–, sino algo de utilidad constante al estudiar sistemas del mundo real.

El atractor de Lorenz surge en sistemas climáticos, el de Rössler aparece al estudiar el equilibrio de reacciones químicas, el de Tamari (que no he mostrado aquí) al estudiar macroeconomía, el propio nombre de atractor extraño proviene del estudio de la turbulencia, el de Feigenbaum lo hemos obtenido al estudiar poblaciones… sí, los sistemas caóticos están por todas partes.

Espero que, aunque te haya supuesto esfuerzo, hayas disfrutado el viaje y te haya merecido la pena. Y que, aunque te siga pareciendo algo raro –porque, seamos sinceros, lo es–, el caos ya no tenga tanto misterio para ti; que hayas comprendido las características que lo diferencian tanto de los sistemas predecibles como de los aleatorios, y que no sea al menos un extraño².

Me despido con otro atractor extraño y un enlace a la galería de la que proviene, para que puedas ver otros aún más bellos:

Atractor Poisson-Saturne (Nicolas Desprez/Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 License). Más imágenes en la galería de Chaoscope.

1. Y, si nos ponemos rigurosos, lo es, pero yo no voy a serlo, y que me perdonen los matemáticos de la sala
2. Salvo en sus atractores, por supuesto. Menuda chispa tengo hoy.

El número de abril es casi una obsesión con el caos: salvo Zothique, está dedicado exclusivamente a él. Como siempre, gracias a johansolo por las conversiones a epub/mobi/fb2. Además de ellas, los otros formatos habituales, PDF y html, para que cada uno pueda leerlo como y dónde le dé la real gana.

Os recuerdo además que la licencia es Creative Commons, lo que quiere decir que puedes compartirlo con familiares y amigos sin el menor remilgo.

En el número de abril:

• ¿Has leído el ciclo de Zothique, de Clark Ashton Smith?

• La teoría del caos

• Los conejitos zweldreordanos (I)

• Los conejitos zweldreordanos (II) (aún sin publicar)

Que ustedes lo pasen bien leyendo y, como siempre, gracias a los suscriptores por meternos dinero en el bolsillo por tan poca recompensa.

De modo que, ahora sí, está disponible a la venta la monografía de las ecuaciones de Maxwell a través de Lulu.com (enlace al final del artículo). La publicación coincide además con la del libro de Javier “J” Sedano de El Cedazo, Teoría de juegos –que recomiendo encarecidamente– de modo que quien quiera ahorrar gastos de envío puede encargar ambos a la vez.

Las ecuaciones de Maxwell tiene 132 páginas y cuesta 12€, aunque para celebrar la publicación conjunta, lo mismo que el de Javier, tiene un 20% de descuento la primera semana (se queda en 9,60€). Recordad además que, si la crisis acucia, la versión electrónica de Las ecuaciones… está disponible de forma gratuita, y seguirá estándolo durante una semana más — posteriormente lo pondremos a la venta a través de Lulu, así que si no lo tienes aún, descárgatelo ya si no quieres pagar por él.

Podéis comprar los dos libros a través de los siguientes enlaces (recordad añadir ambos a la cesta antes de terminar el pedido para que no os cobren el envío por separado):

• Las ecuaciones de Maxwell

• Teoría de juegos: versión impresa / versión electrónica

¡Que lo disfrutéis y, una vez más, gracias a todos los implicados!