En este anexo, por cierto, vamos a centrarnos en los aspectos directamente relacionados con las cuatro ecuaciones de Maxwell y la ley de Lorentz, y no dar una visión completa de la historia de la relatividad especial. Tampoco vamos a continuar con la propia teoría einsteniana, entre otras cosas porque ya tenemos una serie completa dedicada a ella. Para comprender la segunda parte de este anexo es esencial haber entendido algunos conceptos de relatividad, como la contracción de la longitud, de modo que si no has leído aquella serie te recomiendo que lo hagas antes de seguir aquí.

Lo que sí podemos hacer es ir más allá de lo que lo hicimos en el preludio a Relatividad sin fórmulas. Allí hablamos –como lo haremos brevemente hoy– del experimento de Michelson-Morley para detectar la velocidad de la Tierra respecto al éter, pero no de la otra cara de la moneda, la teórica: la inspiración de Einstein en las ecuaciones de Maxwell y su invariancia para desarrollar su teoría. No lo hicimos porque era imposible sin conocer las ecuaciones de Maxwell, pero ahora la cosa es diferente.

No voy a repetir en detalle los avisos del anexo anterior, porque son los mismos: aunque he hecho lo posible por explicar esto con razonamientos lo más claros posibles, esto no es fácil de entender, es abstracto, confuso y endiabladamente complicado. Así que ya puedes engrasar las neuronas y la paciencia si quieres seguir; por otro lado, si sabes de esto, deja de leer, bébete un batido, pasea al perro o haz algo más útil con tu vida que leer mis simplificaciones abyectas.

¿Listos? Pues vamos con ello.

Como dijimos al terminar el anexo anterior, la teoría electromagnética de Maxwell, aunque era de una belleza extraordinaria, presentaba un problema que se hizo evidente en las décadas posteriores a su publicación, y realmente acuciante en los últimos años del siglo. La raíz de este problema era el hecho de que en la mecánica primaba el principio de relatividad de Galileo, del que hemos hablado más en profundidad al hacerlo del italiano hace unos meses. Según este principio, cualquier experimento realizado por dos observadores diferentes que se muevan el uno respecto al otro con velocidad constante proporciona exactamente los mismos resultados para ambos: es imposible afirmar que uno está quieto y el otro se mueve. Este principio físico aún estaba presente a finales del XIX, puesto que todos los experimentos lo habían confirmado hasta entonces.

Pero las ecuaciones de Maxwell y Lorentz no eran iguales para todos los observadores: la velocidad de las ondas electromagnéticas se medía respecto al éter, y la velocidad de un cuerpo cargado que sufre la fuerza de Lorentz también. El principio de relatividad de Galileo quedaba, por lo tanto, invalidado en la práctica. El italiano sostenía que no era posible saber quién estaba parado y quién se movía, pero resolver el dilema era tan sencillo como coger una linterna y medir la velocidad de la luz. Si tú mides 300 000 km/s y yo no, es que tú estás en reposo respecto al éter y yo no. Sí existe un sistema de referencia privilegiado, un “espacio absoluto”, y ese sistema está definido por el éter.

Hasta aquí, desde luego, no hay problema experimental por ninguna parte, y el propio Maxwell estaba satisfecho con medir las velocidades respecto al éter, ya que el escocés estaba convencido de su existencia. El problema experimental surgió cuando se intentó medir la velocidad de la Tierra respecto al éter y se comprobó repetidas veces que la Tierra estaba en reposo respecto al éter todo el tiempo, ¡incluso según cambiaba de velocidad en su movimiento alrededor del Sol! No voy a dedicar más tiempo a los experimentos correspondientes porque lo hicimos en Relatividad sin fórmulas y no tendría sentido repetirlos aquí.

En lo que quiero centrarme hoy, porque es lo que inspiró a Einstein a desarrollar su teoría, es en un aspecto diferente en el que la luz no desempeña ningún papel pero que también muestra el carácter absoluto del espacio de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell; creo que a estas alturas estás preparado para afrontarlo, tras asimilar las leyes de Gauss (ambas), Faraday y Ampère-Maxwell.

Para comprender el problema inherente a las ecuaciones y las consecuencias extrañas que se derivan de ellas utilizaremos un ejemplo concreto –que no es mío, sino que es un clásico al explicar este tipo de cosas a gente que conoce las ecuaciones de Maxwell y Lorentz–. Mi objetivo con este ejemplo es, por un lado, mostrar cómo lo que observan dos personas diferentes que se mueven una respecto a la otra no es lo mismo en ambos casos, violando así el principio de relatividad de Galileo, y por otro lado cómo resolver el problema modificando nuestro punto de partida desde un espacio absoluto hacia una relatividad del espacio y el tiempo.

Imagina, como haría Maxwell, que tenemos un cable eléctrico rectilíneo e infinitamente largo, en reposo respecto al éter, por el que circula una corriente determinada. El cable tiene exactamente el mismo número de protones que de electrones, es decir, no tiene carga eléctrica neta. Los electrones del cable, eso sí, se mueven a una velocidad hacia la derecha respecto al éter. Tú, estimado y paciente lector, estás en reposo respecto al éter, y observando lo que sucede a su alrededor. Lo que verías sería algo así (protones en reposo y electrones en movimiento):

De acuerdo con la ley de Ampère-Maxwell –que tú, como observador, conoces bien– debido a esta corriente eléctrica el cable produce a su alrededor un campo magnético cuyo rotacional puedes calcular sin problemas, aunque aquí no lo hagamos. Debido a que no hay ningún campo eléctrico variable cerca, la ecuación de Ampère-Maxwell se queda sólo con la primera parte, sin la corrección de Maxwell:

Como digo, podríamos calcular la densidad de corriente J a partir de las cargas del cable y su velocidad, y con ella el campo magnético alrededor del cable, etcétera. Pero lo importante no es eso, es el hecho de que alrededor del cable aparecerá un campo magnético como el que movía las limaduras de hierro en las experiencias de Faraday, y que “girará” alrededor del cable como si éste fuera un tornillo, de una manera parecida a ésta:

Imagina ahora que situamos un protón libre y díscolo cerca del cable que se mueve hacia la derecha a una velocidad respecto al cable:

De acuerdo con la ley de Lorentz, ese protón sufrirá una fuerza magnética. Dado que, una vez más, aquí no hay ningún campo eléctrico, la fuerza de Lorentz sólo tiene el término correspondiente al campo magnético:

Ya sé que esto parece un repaso inane a lo que ya sabes, pero paciencia. Podríamos calcular cuánto vale esa fuerza pero, una vez más, eso nos da igual; lo importante es que el protón sufre una fuerza magnética debida al campo magnético creado por el cable. Esa fuerza es, por cierto, perpendicular tanto a la velocidad del protón como al campo magnético y, aunque no sea muy importante, en este caso está dirigida hacia abajo:

Aunque estemos hablando de un problema teórico, por cierto, esto realmente sucede: si pones una carga moviéndose paralelamente a un cable por el que circula corriente, la carga sale disparada en una dirección perpendicular al cable. Hasta aquí, todo normal. Tú, como observador en reposo respecto al cable, deberías ver el protón curvar su trayectoria hacia abajo separándose del cable debido al campo magnético.

Veamos qué observo yo, que no estoy en reposo respecto al cable sino que me muevo hacia la derecha a velocidad , exactamente la misma que la de los electrones en el cable y el protón fuera de él. Claro, como yo viajo respecto al cable a la misma velocidad que los electrones y el protón, veo parados tanto a unos como al otro. Lo que yo veo moverse es a ti y al resto del cable –es decir, los protones– a la izquierda a la misma velocidad :

Por lo tanto, yo también veo que el cable transporta una corriente eléctrica, en este caso debido no al movimiento de los electrones hacia la derecha sino de los protones hacia la izquierda. Curiosamente, la intensidad de corriente que veo es exactamente la misma que tú: la misma cantidad de carga –pues hay el mismo número de electrones que de protones–, la misma velocidad y, aunque aquí el movimiento es al contrario que antes, como la carga también es la opuesta –positiva en vez de negativa– la intensidad de corriente es exactamente igual que la que veías tú. Hasta aquí nos libramos de paradojas raras.

Es más, puesto que veo la misma intensidad de corriente, la ley de Ampère-Maxwell predice exactamente el mismo campo magnético que veías tú:

Pero ahora nos topamos con un problema de cuidado. De acuerdo con la ley de Lorentz, ¿qué fuerza sufrirá el protón?

Absolutamente ninguna.

Cuando hablamos de la ley de Lorentz hicimos énfasis en que el campo magnético se diferencia del eléctrico en que sólo actúa sobre cargas en movimiento. Al mirar la situación tú, la fuerza de Lorentz era , pero ahora la velocidad del protón es cero, luego el producto de esa velocidad por el resto de factores es cero, y el protón no sale disparado para ninguna parte y, desde luego, no se separa del cable.

¿Cómo es posible esto? ¿Cómo puedes tú ver que el protón se aleja del cable y yo no? La única respuesta clásica posible, desde luego, es que lo que sucede es lo que ves tú, y no yo, porque la velocidad en la ley de Lorentz es la velocidad respecto al éter, que es el sistema de referencia “de verdad” respecto al cual suceden los fenómenos electromagnéticos, luego no hay principio de relatividad galileana que valga. Tú estás parado de verdad, yo me muevo de verdad, y ambos vemos al protón separarse del cable. Sin embargo, esta respuesta producía una inmensa insatisfacción en muchos, entre ellos en el propio Lorentz, en Henri Poincaré y en Albert Einstein.

Desde luego, sería una respuesta válida si se comprobase que, efectivamente, el éter existe y es un sistema de referencia absoluto. Sin embargo, todos los experimentos que trataron de demostrar ese hecho fracasaron estrepitosamente. ¿No podría, se preguntó Einstein, haber una explicación alternativa que no violase el principio de relatividad y que predijera que tanto tú como yo observamos lo mismo?

Ése es el punto del que parte el alemán para establecer una base diferente: la suposición de que lo real es el principio de inercia –que siempre se había comprobado empíricamente– y no la existencia del éter y el movimiento absoluto –cuya existencia no había sido probada–. En 1905 Einstein publica su Zur Elektrodynamik bewegter Körpe (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento), donde establece sus dos famosos postulados y asombra al mundo con su teoría especial de la relatividad. Pero, como ves por el nombre, el origen último de la inspiración de Einstein es el electromagnetismo.

En el prólogo, inmediatamente tras explicar un experimento teórico ligeramente distinto pero equivalente al nuestro, Einstein afirma:

Otros ejemplos de esta índole así como los intentos infructuosos para constatar un movimiento de la Tierra con respecto al “medio de propagación de la luz” permiten suponer que no solamente en mecánica sino también en electrodinámica ninguna de las propiedades de los fenómenos corresponde al concepto de reposo absoluto. Más bien debemos suponer que para todos los sistemas de coordenadas, en los cuales son válidas las ecuaciones mecánicas, también tienen validez las mismas leyes electrodinámicas y ópticas, tal como ya se ha demostrado para las magnitudes de primer orden.

Queremos llevar esta suposición (cuyo contenido será llamado de ahora en adelante “principio de la relatividad”) al nivel de hipótesis y además introducir una hipótesis adicional que solamente a primera vista parece ser incompatible con el principio de la relatividad. Dicha hipótesis adicional sostiene que la luz en el espacio vacío siempre se propaga con cierta velocidad v que no depende del estado de movimiento del emisor.

Basándonos en la teoría de Maxwell para cuerpos en reposo, estas dos hipótesis son suficientes para derivar una electrodinámica de cuerpos en movimiento que resulta ser sencilla y libre de contradicciones. La introducción de un “éter” resultará ser superflua puesto que de acuerdo a los conceptos a desarrollar no es necesario introducir un “espacio en reposo absoluto”, ni tampoco se asocia un vector de velocidad a ninguno de los puntos del espacio vacío en los que se llevan a cabo procesos electromagnéticos.

A partir de ahí, el alemán realiza los razonamientos que ya vimos en Relatividad sin fórmulas y obtiene cosas sorprendentes. Otros además de él habían ya intentado dar soluciones teóricas parciales al problema: Hendrik Lorentz, George Francis FitzGerald, Heaviside y sobre todo Henri Poincaré sugirieron hipótesis y teorías que resolvían varios de los problemas planteados por la incongruencia entre el carácter absoluto del electromagnetismo y el relativo de la mecánica.

De hecho, una de las posibles explicaciones al fracaso del experimento Michelson-Morley, sugerida por FitzGerald, era que al moverse respecto al éter, las fuerzas eléctricas y magnéticas que mantienen las moléculas unidas unas a otras se ven afectadas de modo que se produce una contracción en la longitud de los objetos en la dirección del movimiento, lo cual altera los valores de la velocidad de la luz medidos en el experimento. Pero ninguno llegó tan lejos como Einstein, ni de una forma tan limpia, ni desterrando ideas anteriores que no tenían verificación experimental, ni con tal cantidad de conclusiones verificables empíricamente.

Curiosamente, esta contracción de la longitud sugerida por FitzGerald y demostrada por Einstein a partir de sus dos postulados resuelve la aparente contradicción de nuestro experimento en un plis-plas. Quiero dar esta breve explicación no sólo por el puro placer de ver la relatividad en acción (por eso decía al principio que sin entender algo de relatividad esto no se puede seguir), sino porque la conclusión que se obtiene a partir de ella debería llevarte a mirar E y B de otra manera. Si lo hacemos bien tanto tú como yo, debería haber en un momento dado un “encendido de bombilla” de esos que se recuerdan. Veremos.

Retrocedamos al ejemplo del cable y a lo que yo, que me movía respecto a él a la misma velocidad que los electrones y el protón:

Pensemos en lo que yo veo relativísticamente hablando. Los protones del cable se mueven hacia la izquierda luego, de manera inevitable, van a estar más cerca unos de otros de lo que estaban en reposo. De modo que, teniendo en cuenta la relatividad, lo que yo veo se representa más fielmente así:

Los protones están más “apretados”, lo cual sería simplemente un efecto curioso pero no relevante, si no fuera por un pequeño detalle tan importante que lo voy a poner en su propia línea y en negrita:

El cable ya no es neutro.

La distancia entre protones se ha acortado, luego en la región cercana al protón y que nos interesa hay los mismos electrones de antes, pero hay más protones que antes. Como ves en el dibujo, ahora el cable tiene carga eléctrica neta positiva. De acuerdo con la ley de Gauss para el campo eléctrico, por lo tanto, la divergencia del campo eléctrico alrededor del cable será también positiva:

Por lo tanto, el campo eléctrico “sale” del cable y en la posición del protón irá hacia abajo:

y el protón sufre sus efectos de acuerdo con la ley de Lorentz. Ya vimos que el efecto del campo magnético que yo observo sobre el protón es nulo, puesto que el protón no se mueve, ¡pero ahora tenemos un campo eléctrico! La fuerza que sufre el protón será por tanto

Esa fuerza irá en la dirección del campo eléctrico, es decir, alejándose del cable:

¡Ahora todo encaja! El protón, debido a la fuerza de Lorentz causada por el campo eléctrico, es repelido por el cable y se aleja de él, exactamente lo mismo que veías tú desde tu sistema de referencia, de modo que es una vez más imposible saber quién se mueve y quién está parado. La relatividad ha salvado el día y podemos dormir tranquilos… salvo por otro pequeño detalle.

Sí, el protón es repelido por el cable y ambos lo vemos, pero ¿por qué es repelido exactamente? Tu explicación es clara: la corriente del cable crea, de acuerdo con la ley de Ampère-Maxwell, un campo magnético. El protón es una carga en movimiento en el seno de un campo magnético luego sufre una fuerza que lo separa del cable. Mi explicación es igualmente clara: la contracción en la longitud de los protones del cable hace que éste tenga carga neta positiva. Como consecuencia de la ley de Gauss, crea a su alrededor un campo eléctrico que apunta “hacia fuera” del cable, y ese campo eléctrico empuja al protón alejándolo del cable.

¿Quién ha repelido al protón? ¿El campo magnético, como dices tú, o el campo eléctrico, como digo yo? ¿Quién tiene razón?

Como dije tantísimas veces en Relatividad sin fórmulas, los dos tenemos razón, y la pregunta no tiene sentido. Pero las consecuencias de esto son bastante más profundas de lo que puede parecer en un principio.

Cuando yo observaba lo que sucedía, moviéndome respecto al cable, apareció un campo eléctrico que no existía en el sistema de referencia del propio cable como consecuencia del movimiento relativo entre protones y electrones (pues si ambos se hubieran movido igual, no habría habido carga neta positiva, ya que ambos se habrían contraído del mismo modo). Dicho con otras palabras, el campo eléctrico es un efecto relativista del campo magnético.

Pero la cosa no acaba aquí. Recuerda que nadie tiene razón: es igualmente válido razonar al revés (o inventar un experimento mental diferente con un cable distinto) y ver cómo el campo magnético aparece como consecuencia de un desequilibrio de carga y movimiento relativo, de modo que ese campo magnético produzca el mismo efecto que producía el eléctrico original: el campo magnético es un efecto relativista del campo eléctrico.

No es que uno de los dos sea el “campo de verdad” y el otro una “consecuencia relativista”, no. Hay un solo campo electromagnético, y dependiendo de cómo nos movamos respecto a los objetos lo notamos –y llamamos– como “campo eléctrico” o “campo magnético”, y sus efectos son idénticos tanto en un caso como en otro cuando se aplica la relatividad con cuidado. Damos los nombres a las dos caras de la moneda, pero la moneda es sólo una.

Una vez asimilado esto –y no es fácil–, la ecuación de onda de Maxwell no resulta tan sorprendente, ¿verdad? Los campos eléctrico y magnético están tan entrelazados entre sí que no son más que aspectos de una misma realidad física, luego no resulta sorprendente en absoluto que se afecten el uno al otro como lo hacen de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell. Tampoco lo es el hecho de que hablemos tantas veces del campo electromagnético sin distinguir una de sus facetas de la otra — no es simplemente una manera de hablar, es un modo de reflejar la realidad más profunda que se esconde tras ambos, aunque para comprender esa naturaleza común haga falta entender las ecuaciones de Maxwell y la relatividad, al menos hasta cierto punto.

Y con esto y un bizcocho, despedimos esta miniserie. Espero que hayas disfrutado leyéndola lo mismo que yo escribiéndola –pero ojalá con menos esfuerzo–, y que hayas aprendido cosas que de otro modo se te hubieran escapado. Y, la próxima vez que veas las ecuaciones del buen James, échales una sonrisa, que se lo merecen.

Nota: Una vez este artículo haya pasado vuestro filtro (erratas varias y demás) recopilamos la serie en un librito electrónico y lo anunciamos en cuanto esté listo.

Maxwell podría haber considerado este hecho como una simple curiosidad de los campos eléctrico y magnético, pero reflexionando sobre ello se dio cuenta de dos cosas: por un lado, que ambos campos estaban entrelazados de un modo que los convertía en un auténtico campo electromagnético; por otro, de que las ecuaciones que regían su comportamiento y que el propio Maxwell había obtenido predecían que la interacción entre ambos campos generaría ondas en el espacio. Manipulando sus ecuaciones, el escocés obtuvo el tesoro de la entrada de hoy: la ecuación de onda electromagnética.

James Clerk Maxwell (1831-1879) (dominio público).

A diferencia del primer anexo, el de hoy tiene un único héroe: el propio James Clerk, que obtuvo uno de las predicciones teóricas más sorprendentes realizadas hasta entonces utilizando simplemente un papel, un lápiz y su cerebro. Mi objetivo hoy, por lo tanto, es intentar explicar cómo es posible predecir la existencia de ondas electromagnéticas a partir de las cuatro ecuaciones de Maxwell, y luego hablar sobre algunas de las consecuencias de este hecho. ¿Conseguiré hacerlo sin extenderme más de la cuenta? No, seguramente no.

Antes de empezar, por cierto, un par de avisos: en primer lugar, con el cálculo vectorial adecuado y la versión moderna de las ecuaciones (es decir, las ecuaciones à la Heaviside, porque el cálculo original de Maxwell es más engorroso) es posible obtener una ecuación de onda en un abrir y cerrar de ojos. Sin embargo, para ello hace falta conocer bien operadores como el rotacional o el laplaciano, saber reconocer una ecuación de onda y, en resumen, saber la suficiente Física como para no tener que estar leyendo esto. Además, a menudo se realizan esas manipulaciones matemáticas sin ahondar en el significado físico de lo que se está haciendo, con lo que tampoco se aprende tanto haciendo las operaciones sin más. De modo que no lo haremos así; realmente haremos algo parecido, pero con palabras y no tanto ecuaciones.

Eso sí, para poder hacerlo hay una contrapartida: voy a realizar simplificaciones que harían al gentil Maxwell mascullar obscenidades, y al bueno de Heaviside sollozar como un niño al que han quitado a su perrito. Si es necesario voy a trampear y obviar pegas que harán rechinar los dientes a quienes sabéis de esto — ¡ja! Si seguís leyendo, merecéis todo lo que os pase.

Finalmente, a pesar de que razonaremos con palabras y no espero que sepas más matemáticas que las que se aprenden en el colegio, este anexo es denso y requiere esfuerzo; realizaremos razonamientos lógicos –o eso espero–, e iremos poco a poco, pero es posible que este artículo requiera una segunda lectura antes de que lo asimiles del todo. Avisados estáis.

Dicho todo esto, partamos de nuestras ya familiares cuatro ecuaciones de Maxwell, que deberían empezar a parecerte como los muebles de la casa de tus padres:

Los términos de la derecha, como espero que recuerdes, son las fuentes de los campos eléctrico y magnético, y había básicamente dos tipos de fuentes, que alguna vez en estos artículos hemos llamado primarias y secundarias: las cargas eléctricas –por sí mismas o en movimiento– eran las causas primarias de los campos, y las variaciones en el tiempo de los propios campos eran las secundarias. De no ser por esas fuentes secundarias, los campos eléctrico y magnético serían muy aburridos, ya que sólo podrían existir alrededor de las cargas eléctricas.

Sin embargo, podemos eliminar toda la materia de las ecuaciones: ni átomos, ni protones, ni electrones, ni nada; en términos de nuestras ecuaciones, podemos suponer que no hay ni ρ ni J. Incluso así, suponiendo que estamos en el vacío, las cuatro ecuaciones siguen estando ahí, más concisas, pero no nulas:

Si te fijas, al eliminar las cargas las ecuaciones del campo eléctrico y el magnético se parecen mucho más que antes: uno estaba afectado por las cargas en sí mismas mientras que el otro estaba afectado por las cargas en movimiento, pero al eliminar todas las cargas, esa diferencia desaparece. De hecho, las dos primeras ecuaciones sí tienen la apariencia que cabría esperar en ausencia de cargas: no hay fuentes de los campos. Pero, como ya dijimos al hablar de las dos últimas, la variación en cualquiera de los dos campos produce un rotacional del otro campo incluso en ausencia de cargas y corrientes. Es en estas dos ecuaciones en las que vamos a fijarnos hoy.

El propio Maxwell hizo algo así, y le dio mucho que pensar el hecho de que, incluso eliminando las cargas y las corrientes, siguiera habiendo términos a la derecha de las ecuaciones. ¿Qué quería esto decir sobre cada campo? El problema para intentar desentrañar el misterio es que, como puedes ver, en cada una de las dos ecuaciones de abajo aparece un campo en función del otro. Para obtener conclusiones sobre alguno de los dos campos, lo ideal sería encontrar una ecuación que describiera sólo ese campo –por ejemplo el magnético–, de modo que tuviéramos información sobre él que no dependiera explícitamente del otro. Eso es precisamente lo que Maxwell se propuso hacer manipulando sus ecuaciones — es decir, pensando sobre el problema de una manera formal.

Nosotros haremos lo propio pero a nuestro estilo, claro; por suerte, Maxwell y Heaviside no van a ver esto.

Empecemos con un ejemplo concreto. Supongamos que, en un punto cualquiera del vacío, existe un campo magnético que está cambiando en el tiempo, por ejemplo, aumentando hacia la derecha cada vez más deprisa; evidentemente, para que esto pase algo tiene que haber creado ese campo magnético, y de eso hablaremos más adelante, pero por ahora eso no nos importa, mientras lo que quiera que haya creado el campo esté lejos de aquí para no perturbar nuestras bellas ecuaciones sin cargas; digamos que alguien está agitando un protón a un kilómetro de distancia, por ejemplo.

Lo importante es que tenemos un campo magnético dirigido hacia la derecha que es cada vez más grande y aumenta cada vez más rápido: hace falta que cambie en el tiempo, recuerda, o no conseguiremos un campo eléctrico como consecuencia. De acuerdo con la tercera ecuación de arriba, la ley de Faraday, alrededor del punto en cuestión aparecerá un campo eléctrico cuyo rotacional va en contra del campo magnético, de modo que el campo eléctrico será perpendicular a él y estará “girando” como un tornillo que se mueve hacia la izquierda, como ya indicamos al hablar de la ley de Faraday, de modo que permite que no me detenga mucho en esto:

Sí quiero hacer énfasis en algo que no era muy importante cuando hablamos sobre esto la primera vez, pero hoy es fundamental: el hecho de que el rotacional del campo eléctrico va en contra de la variación del campo magnético, no en el mismo sentido. En términos de las ecuaciones, simplemente quiero que tengas bien presente ese pedazo de signo negativo en la ley de Faraday, que es el responsable de que las dos flechas de la ecuación de arriba vayan en sentidos contrarios. Porque, como veremos, los campos eléctrico y magnético no se comportan igual respecto a esto, y ese diferente comportamiento es una de las razones de que estés leyendo estas líneas.

Además, puesto que hemos dicho que nuestro campo magnético no sólo está aumentando, sino que lo hace cada vez más rápido, el rotacional del campo eléctrico no sólo aparecerá “de la nada”, sino que será cada vez más grande. En fin, el caso es que con nuestro ejemplo hasta ahora hemos simplemente repasado la ley de Faraday. Pero, como hizo Maxwell, tenemos que ir más allá y enlazar esta ley con la siguiente, la de Ampère-Maxwell.

Recuerda que antes no existía campo eléctrico alguno: ha aparecido a consecuencia del campo magnético variable que nos hemos inventado. Ahora, sin embargo, sí hay un campo magnético con un rotacional que es cada vez mayor. Si antes no había campo eléctrico y ahora sí es que tenemos un campo eléctrico variable en el tiempo. Pero ya vimos, al hablar de la ley de Ampère-Maxwell, que un campo eléctrico que cambia en el tiempo origina inevitablemente un campo magnético a su alrededor que es perpendicular a su variación en el tiempo:

¡Pero aquí ya había un campo magnético! ¿Ahora tenemos dos? No, claro que no: tenemos un campo magnético total que es la suma del campo magnético adicional añadido al que ya existía. Lo esencial para comprender esto, el quid de la cuestión, es ver qué relación guardan el campo magnético “original” y el campo magnético “secundario”. Hay dos cosas importantísimas que hace falta entender aquí.

En primer lugar, con la ley de Faraday hemos obtenido un campo eléctrico perpendicular al campo magnético original; pero ahora, con la de Ampère-Maxwell, obtenemos un campo magnético perpendicular a ese campo eléctrico. ¡Por lo tanto, el campo magnético secundario debe ser de nuevo paralelo al campo magnético original! Dicho con otras palabras, en la ley de Faraday giramos B 90º para obtener la dirección de E, pero ahora en la de Ampére-Maxwell, que también tiene un rotacional, giramos E 90º para obtener la dirección de B, de modo que estamos como al principio.

Esto es lo suficientemente importante como para que lo exprese de una tercera manera, por si a alguien le ayuda a verlo: el campo magnético secundario es perpendicular a la perpendicular al campo magnético original, luego debe ser paralelo a él. Es como si hubiéramos hecho el “rotacional del rotacional” y nos hubiéramos quedado como estábamos antes… o casi.

Porque aquí viene la segunda cosa importantísima de la que hablaba: antes dijimos que algo esencial en la ley de Faraday es que había un signo menos a la derecha de la ecuación, es decir, que el rotacional del campo eléctrico no iba en el sentido de la variación del campo magnético, sino en contra. Pero en la ley de Ampére-Maxwell no hay ningún signo menos, y esa diferencia es de una importancia capital, tanta que voy a poner un signo más en la segunda aunque no haga falta:

Aquí tienes las imágenes que mostramos en ambas leyes, en las que puedes ver la diferencia de comportamiento entre ambos campos:

De modo que antes hablé mal: dije que habíamos hecho “el rotacional del rotacional”, pero en el primer caso no hicimos eso, sino “menos el rotacional”, con lo que lo que hicimos realmente al combinar ambas ecuaciones, partiendo del campo magnético original para obtener el secundario, fue “menos el rotacional del rotacional”. Por lo tanto, el campo magnético secundario vuelve a ser paralelo al campo original, pero va en sentido contrario.

Es decir, el campo magnético original aumentaba con el tiempo, y como consecuencia produjo un campo eléctrico que antes no existía; la aparición de ese campo eléctrico, a su vez, indujo la aparición de un nuevo campo magnético que se dirige justo en contra del campo magnético original. Por lo tanto, el campo magnético total ya no aumenta tan rápido como antes pues, por pequeño que sea este nuevo campo magnético secundario, compensará parte del campo principal, ya que va en sentido contrario a él.

Si hubiéramos hecho este “menos rotacional del rotacional” como Dios manda, hubiéramos obtenido la ecuación que resulta de combinar ambas para librarnos del campo eléctrico y fijarnos sólo en el magnético, que es algo así:

Ese operador nabla al cuadrado se llama laplaciano, en honor al francés Pierre-Simon de Laplace, viejo conocido nuestro, y tiene que ver con este “rotacional del rotacional”, pero aquí no voy a meterme en el berenjenal de explicar cálculo vectorial, así que dejémoslo así: me basta con que hayas comprendido la explicación cualitativa con palabras, si es que no te has dormido por el camino. No quería, sin embargo, dejar de poner la ecuación, para que veas que el razonamiento que hemos hecho nos permite obtener una ecuación nueva en la que sólo aparece el campo magnético, justo el objetivo de Maxwell.

Pero la cosa no acaba aquí.

Según el campo magnético original va perdiendo ímpetu, pasa algo curioso: el campo magnético aumenta cada vez más despacio, frenado poco a poco por el aumento constante del campo eléctrico. ¡Pero las ecuaciones de Maxwell no han dejado de estar ahí tras el primer tramo de nuestro razonamiento! Ahora empezará a suceder justo lo contrario.

El campo magnético neto empezará a disminuir, y cuando el campo magnético secundario supere al original, se invertirá el sentido del campo magnético total. El campo eléctrico ha ido aumentando cada vez más rápido y, como consecuencia de la ley de Ampére-Maxwell, también lo está haciendo el rotacional del campo magnético perpendicular a él; pero este campo magnético secundario producirá entonces un campo eléctrico perpendicular a él, pues el rotacional del campo eléctrico va en contra de la variación del campo magnético. Estamos haciendo “el rotacional de menos el rotacional”, pero llegamos a la misma conclusión inevitable de antes: el campo eléctrico inducido ahora será justo de sentido contrario al campo eléctrico anterior.

Matemáticamente, el resultado es idéntico a la ecuación que obtuvimos antes para el campo magnético, una vez más con el laplaciano:

Dicho en términos energéticos, una vez el campo eléctrico empieza a crecer a costa de “robar” parte de la energía con la que crecía el otro, disminuyendo así su ritmo de crecimiento, es él el que induce la aparición de un campo magnético cada vez mayor y, como consecuencia, pierde energía a su vez para “alimentar” al otro, de modo que crece menos de lo que debería porque están creciendo ambos a la vez. Pero este campo magnético no va en el sentido del campo original, sino que va en contra de él (en nuestro ejemplo, hacia la izquierda). Naturalmente, a continuación pasará lo mismo: el campo magnético originará uno eléctrico que irá en contra del anterior, y éste uno magnético que irá en contra del anterior, y así constantemente.

¿Qué le está sucediendo entonces a cada uno de los dos campos, sin fijarnos en el otro? Nuestro campo magnético empezó yendo hacia la derecha y era cada vez más grande. Sin embargo, pronto empezó a perder ímpetu, luego fue decreciendo y finalmente se dio la vuelta para empezar a ser cada vez más grande hacia la izquierda. Pero, ¡ah!, este campo invertido enseguida empezó a perder ímpetu también, pues creaba un campo en sentido contrario, para luego decrecer y luego revertir al campo original. Lo que está sucediendo es que el campo magnético crece, para de crecer, decrece, se invierte, crece, para de crecer… el campo magnético está oscilando.

Naturalmente, lo mismo le está pasando al campo eléctrico: crece, deja de crecer, decrece, se invierte, etc. Sólo hay dos diferencias entre ambos, y estoy convencido de que, si has soportado todo este rollo hasta aquí, las tienes muy claras: en primer lugar, ambos campos oscilantes son perpendiculares entre sí. En segundo lugar, ambos campos crecen y decrecen a la vez, ya que el aumento de uno produce el aumento del otro, pero ese segundo aumento “roba” parte de la energía que seguiría aumentando el primero, con lo que ambos van perdiendo ímpetu y finalmente dejan de crecer para disminuir de nuevo y, finalmente, invertirse.

Sin embargo, hay otro efecto más que no podemos olvidar: esto no se detiene en el punto en el que estamos mirando. El rotacional del campo eléctrico indica que aparece un campo alrededor del punto original, no sólo allí. Por lo tanto, el campo eléctrico que estamos induciendo no sólo aparecerá en este punto, sino en otros cercanos. Y ese campo eléctrico, al variar en el tiempo, producirá otro magnético alrededor de él, pero una vez más, no sólo en ese punto, sino en otros cercanos. De modo que esta especie de reacción en cadena que hemos creado con nuestro campo magnético original se va propagando por el espacio, no se queda donde la iniciamos.

De hecho, si piensas en términos energéticos, esto significa que la energía del campo magnético original se va desperdigando, pues parte de ella pasa al campo eléctrico de los puntos próximos al original, y parte de ésa a los puntos próximos al nuevo punto en forma de campo magnético… si no hiciéramos nada más, en el punto original la oscilación de los campos eléctrico y magnético se iría desvaneciendo poco a poco según los campos inducidos en puntos próximos se fueran llevando esa energía cual sanguijuelas electromagnéticas. La única manera de mantener la oscilación inicial es si quienquiera que estuviera creando el campo magnético sigue haciéndolo, proporcionándonos “energía extra” con la que mantener la oscilación.

Hagamos entonces, como hizo Maxwell, una reflexión sobre lo que está sucediendo aquí realmente. Tenemos algo que oscila en un vaivén constante, y la energía de esa oscilación se propaga a otros puntos cercanos, en los que aparece una oscilación similar, y así una y otra vez. Hay un transporte de energía oscilante a través del espacio.

Se trata de una onda.

Ojalá pudiera haber visto la cara de Maxwell cuando se dio cuenta. A él no le hizo falta pensar en la propagación de la energía oscilante de unos puntos a otros, desde luego, sino simplemente obtener cualquiera de las dos ecuaciones con el laplaciano que hemos visto antes. La razón es que esas ecuaciones, si has estudiado mecánica ondulatoria, gritan “¡Onda, ondaaaaaa!” como unas descosidas. Aquí tienes la ecuación de una onda cualquiera en el espacio en la que oscila lo que quiera que sea que está oscilando, que represento con la letra A:

Compárala con la que hemos obtenido, por ejemplo, para el campo eléctrico, e imagina que eres Maxwell:

Más claro el agua, ¿no?

Desde luego, si hay algo oscilando en forma de onda, la primera pregunta inmediata es “¿Qué demonios está oscilando aquí, si no hay materia por ninguna parte?”; una respuesta posterior a Maxwell podría ser que lo que está oscilando es el propio campo electromagnético. En la época de Maxwell, sin embargo, se pensaba que lo que estaba oscilando realmente era el éter luminífero, una sustancia redundantemente etérea que llenaba todo el espacio y cuyas perturbaciones eran las oscilaciones del campo eléctrico y el magnético. Pero, en lo que a nosotros respecta hoy, lo importante es la existencia de una onda de los campos eléctrico y magnético oscilantes que se alimentan mutuamente: una onda electromagnética.

Pero ésa no es la única pregunta, y estoy convencido de que Maxwell se hizo la segunda muy rápidamente y la contestó también bastante deprisa. es muy fácil producir campos eléctricos y magnéticos variables. Basta con cambiar la intensidad de corriente en un cable o agitar un imán. Si los campos magnéticos y eléctricos variables son tan comunes y fáciles de producir, ¿dónde están estas “ondas electromagnéticas” que deberían estar por todas partes?

Afortunadamente para Maxwell, esta pregunta se respondió casi a sí misma cuando el escocés determinó una cosa más sobre la oscilación del campo electromagnético. Si te fijas en la ecuación de onda general que hemos puesto arriba en la que oscila algo llamado A, la única diferencia con las ecuaciones de las ondas electromagnéticas es que en una aparece y en la otra ; y esa no es más que la velocidad de propagación de la onda.

De modo que el producto determina la velocidad de las ondas electromagnéticas, con lo que Maxwell podría calcular esa velocidad como . Una vez más, afortunadamente para él, los valores de las dos constantes, eléctrica y magnética, habían sido obtenidos ya con una precisión razonable por varios científicos experimentales antes que él (dimos sus valores respectivos en las entradas correspondientes de esta mini-serie), con lo que James sólo tuvo que calcular la raíz cuadrada de su producto.

Al hacerlo, Maxwell obtuvo el resultado: unos 300 000 kilómetros por segundo.

Curiosamente, no fue el primero en obtener ese número a partir de las constantes electromagnéticas. Antes que él lo habían hecho los alemanes Wilhelm Eduard Weber y Rudolph Kohlsrauch en 1855, que se habían dado cuenta –sin saber nada sobre ondas electromagnéticas ni nada parecido– de que tenía unidades de longitud partido por distancia, es decir, de velocidad, y habían calculado que ese valor era de 3,1·10⁸ m/s. Sin embargo, ni Weber ni Kohlrausch le dieron mayor importancia a la coincidencia de este valor con la velocidad de la luz, que el francés Hippolyte Fizeau había determinado unos pocos años antes como 3,14·10⁸ m/s (incorrecto, pero recuerda la época de la que estamos hablando). Desde luego, Weber y Kohlsrauch ni se plantearon que la luz tuviera que ver con esas unidades de velocidad obtenidas a partir de constantes eléctricas.

Pero, para llegar allí, Maxwell había partido de algo muy distinto: de la ecuación de una onda. Las oscilaciones electromagnéticas producían una onda que viajaba por el espacio a 300 000 km/s, y la luz era una onda que viajaba por el espacio a 300 000 km/s. El escocés llegó a la conclusión de que eso no podía ser una coincidencia: efectivamente, las ondas electromagnéticas sí estaban por todas partes, y sí que las veíamos, ¡literalmente! En palabras del propio Maxwell, que he citado otras veces pero no puedo resistirme a hacerlo aquí,

Esta coincidencia de resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son efectos de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga a través del campo de acuerdo con las leyes del electromagnetismo.

En 1864, con un título absolutamente clarificador, Maxwell publicó Electromagnetic Theory of Light (Teoría electromagnética de la luz). Allí, el escocés detallaba su derivación de las ecuaciones de onda electromagnética y el cálculo de su velocidad de propagación. Nada volvería a ser lo mismo.

Naturalmente, hubo quien pensó que sí se trataba de una coincidencia y que Maxwell no sabía de lo que estaba hablando, pero al genio teórico de James Clerk se sumó el genio experimental del alemán Heinrich Rudolph Hertz, que en una serie de experimentos entre 1885 y 1889 demostró sin ningún género de dudas que la hipótesis electromagnética de la luz de Maxwell era cierta, y este segundo episodio, el experimental, fue objeto de un artículo entero que, si no has leído, complementaría bastante bien el que vas a terminar ahora.

Finalmente, no quiero olvidar algo que mencionamos al empezar nuestro ejemplo y que es importante: ¿quién estaba generando el campo magnético original del ejemplo? Dicho de otro modo, una vez aparece un campo magnético o un campo eléctrico variable, aparece una onda electromagnética de manera inevitable pero, ¿quién produce ese campo original?

Si recuerdas las cuatro ecuaciones de Maxwell, puedes contestar tú mismo a esa pregunta: las cargas eléctricas. Eso sí, no vale cualquier carga eléctrica, porque no queremos simplemente un campo eléctrico o uno magnético — hacen falta cargas eléctricas que hagan aumentar el campo magnético (o uno eléctrico, que lo mismo da) cada vez más deprisa. Podríamos lograr esto, por ejemplo, con una carga eléctrica que se acercase hacia el punto que estábamos estudiando cada vez más deprisa: con una carga eléctrica acelerada. Lo mismo daría, por supuesto, que el campo fuera disminuyendo cada vez más deprisa porque la carga se estuviera alejando cada vez más rápido, o que hubiera cualquier otro cambio en el campo eléctrico o magnético que fuera cada vez más o menos brusco.

Son las cargas eléctricas aceleradas, por lo tanto, quienes crean la perturbación original y de las que proviene la energía necesaria para ponerla en marcha, y son las cuatro ecuaciones de Maxwell las que determinan esa perturbación original a partir de las densidades de carga y corriente; y, una vez puesto en marcha el proceso, son las cuatro ecuaciones sin carga ni corrientes las que describen cómo se propaga la perturbación por el espacio a la velocidad de la luz — es decir, de las ondas electromagnéticas de James Clerk Maxwell.

Esto llevó a un auténtico problema en la física de finales del XIX, por supuesto: los electrones en los átomos son cargas eléctricas aceleradas, ya que están girando constantemente alrededor del núcleo. Las ecuaciones de Maxwell, por lo tanto, predicen con una exactitud y minuciosidad tremendas las características de la onda electromagnética emitida por esos electrones constantemente. Esa onda electromagnética se iría llevando la energía del electrón, que iría cayendo más y más hacia el núcleo hasta pegarse un mamporrazo contra él… pero claro, eso no sucede o no existirían los átomos estables que existen. La respuesta a este dilema fue una revolución como pocas en la historia de la Física: la cuántica.

Sin embargo, había otro problema aún más evidente: como hemos dicho, Maxwell obtuvo una velocidad de propagación para las ondas electromagnéticas de unos 300 000 km/s. Ahora bien, ¿300 000 km/s respecto a qué? Lo mismo pasa con la fuerza de Lorentz que estudiamos en el anexo anterior, en la que aparece la velocidad de una partícula cargada que sufre un campo magnético… ¿velocidad respecto a qué? Puedes imaginarte la respuesta según el escocés: respecto al éter. Al fin y al cabo, en su teoría electromagnética el éter era el medio que oscilaba, el éter era el medio que transmitía las fuerzas eléctricas y magnéticas… el éter era algo así como el océano en el que notábamos las olas y los movimientos de otros objetos inmersos en él.

Esto suponía un enorme problema expeirmental, y a él dedicaremos el tercer y último anexo a esta miniserie, ya que supuso, una vez más, una revolución como pocas, comparable sólo a la propia cuántica: la relatividad.

Afortunadamente, tengo un par de artículos ya escritos (los dos anexos que quedan a las ecuaciones de Maxwell), de modo que programaré el anexo de la ecuación de onda para que se publique automáticamente este lunes por si acaso no me puedo conectar, y dejamos el tercero sobre la relatividad, que también está escrito, para la semana de vuelta, de modo que no tenga que agobiarme por escribir nada nuevo.

Esto significa que esta semana no habrá artículo, y que febrero tendrá tres y no cuatro como suele ser habitual, pero qué se le va a hacer. A cambio de eso yo disfrutaré de Florencia, Pisa y Roma y, sobre todo, de mis alumnos — ¡y lo digo sin el menor sarcasmo, que a algunos los adoptaría! Desde luego, cuando estemos en Pisa aprovecharé para soltarles un rollo patatero sobre Galileo, que no sólo de Historia del Arte vive el hombre…

Como otros protagonistas en esta serie –ahora mismo se me ocurren John von Neumann y Enrico Fermi–, el personaje de hoy es un auténtico genio. Poincaré destacó en prácticamente todo a lo que dedicó su atención: la física, la ingeniería, las matemáticas, la filosofía… injusta que es la vida, ¡unos tanto y otros tan poco! Como siempre, aquí no pretendo dar una visión profunda sobre su vida, sino las suficientes pinceladas como para que te hagas una idea de su genio y, si te interesa lo suficiente, leas cosas más profundas sobre él.

Aviso: Ojalá fuera matemático, pero no lo soy. Así que no tengáis problema quienes sabéis mucho más que yo en corregirme cuando diga barbaridades en este artículo, que las diré.

Jules Henri Poincaré nació en 1854 en Nancy, en Francia, en el seno de una familia acaudalada. Ya desde niño era evidente que no era normal: destacaba enormemente en prácticamente todas las asignaturas –aunque era especialmente bueno en Matemáticas, un “monstruo” en palabras de su profesor–, le interesaba todo y mostraba una enorme pasión por aprender. Tras pasar nueve años en el Lycée de Nancy y servir en el cuerpo de ambulancias en la guerra franco-prusiana de 1870, ingresó en la École Polytechnique, en los suburbios de París, donde estudió Matemáticas.

En 1879 obtuvo su título de ingeniero por la École des Mines, aunque nunca dejó de estudiar matemáticas como un poseso. De hecho, lograría mantener un equilibrio entre ambas facetas –ingeniería de minas y matemáticas– a lo largo de su vida, aunque desde luego fue como matemático que dejó al mundo boquiabierto. Al mismo tiempo que obtenía el título de ingeniero trabajaba en su doctorado en Ciencias y Matemáticas bajo un mentor de excepción, Charles Hermite, una de las máximas figuras europeas de las matemáticas de la época. La importancia de esta tesis es tal que hablaremos de ella un poco más adelante; también lo haremos de Hermite, ya que aparecerá en un episodio bastante interesante de la vida posterior de Poincaré.

Charles Hermite (1822-1901).

El mismo año que obtenía su título de ingeniero de minas, Poincaré recibía el doctorado en matemáticas por la Sorbonne. En un par de años era miembro del Corps des Mines, el cuerpo de ingenieros de minas del estado, y además entraba como profesor asociado de Análisis en la Sorbonne. Para culminar un año extraordinario para él, se casó con Poulain d’Andecy, con la que tendría cuatro hijos.

Con los años fue tomando más responsabilidades en las dos vertientes de su carrera profesional: como miembro del Corps des Mines se convirtió primero en Ingeniero jefe y luego en Inspector general. En la Sorbonne enseñaba casi de todo: en un momento dado tenía las cátedras de Probabilidad, Mecánica Celeste y Astronomía, Mecánica Física y Experimental y Física Matemática. Pero es que, como digo, este individuo era bueno en prácticamente todo, y su capacidad estaba alimentada por una energía inagotable.

Aparte de su inteligencia, Poincaré era muy peculiar en su forma de trabajar, que consistía en una extraña mezcla entre el orden más metódico y el caos más absoluto. Por un lado, su rutina diaria era sacrosanta: prácticamente todos los días trabajaba con el mismo horario distribuido de la misma manera. Clases aparte, dedicaba dos horas por la mañana (de las diez a las doce) y otras dos por la tarde (de las cinco a las siete) al trabajo que requería más concentración –fundamentalmente las matemáticas–, mientras que por la noche se dedicaba a leer.

Henri Poincaré (1854-1912) antes de desarrollar plenamente sus cejas (dominio público).

Nunca se detenía en un asunto más de un par de horas, y saltaba de una cosa a otra como una mariposa va de flor en flor. Eso sí, mientras estaba centrado en un asunto concreto se enfocaba en él como si no existiera otra cosa en este mundo. Este constante saltar de una cosa a otra se debía a dos razones fundamentales: por un lado, para evitar aburrirse, ya que consideraba que mantener la mente fresca e interesada era lo esencial para resolver problemas.

Por otro, porque Poincaré –a quien le interesaba la psicología, como prácticamente todo– creía que el cerebro necesita su tiempo para crear conocimiento nuevo a partir de una información determinada, y que trabaja en ello inconscientemente aunque dediquemos nuestra atención a otra cosa. De modo que se ponía a trabajar en un problema un tiempo, y luego lo dejaba estar unas horas, o unos días, para luego volver a él fresco y encontrar, muy a menudo, que tenía la solución en la mente sin haberle dedicado un minuto consciente entre ambas sesiones. Tanto es así que no le gustaba pensar en problemas matemáticos tras determinada hora, porque su sueño se veía perturbado por su mente intentando resolverlo durante la noche en vez de descansar.

Todo esto puede sonar al comportamiento de un artista, y no el de un científico, pero es que el carácter de Henri era una mezcla entre ambos. Por ejemplo, muy al contrario que otros insignes matemáticos, Poincaré creía que la meticulosidad y la lógica eran trabas para crear ideas nuevas, y que la matemática es una disciplina de creación. Por lo tanto, para alcanzar nuevo conocimiento –o más bien, para él, para crear nuevo conocimiento– había que dejar a la mente volar libre en una primera etapa.

Evidentemente, la cosa no se queda ahí o Poincaré hubiera podido ser un gran artista pero no un gran matemático. No, una vez concluida esa primera etapa para la idea de que se tratase, aplicaba la lógica más minuciosa para verificar si tenía sentido o no y, si lo tenía, perfilar y refinar el teorema o lo que quiera que estuviera investigando en ese momento: como digo, no es que rechazara la lógica, sino que pensaba que la raíz de las nuevas ideas era un proceso de creación, no de análisis lógico. A diferencia de muchos otros matemáticos, por tanto, no solía trabajar mucho tiempo con lápiz y papel, sino que pensaba y visualizaba en su cabeza las cosas y luego, si tenían sentido, las ponía por escrito en poco tiempo. Caos y orden.

Esta combinación peculiar de trabajo en períodos cortos pero intensos, intuición y creación asociados al pensamiento lógico y el interés por tantas cosas diferentes hicieron que Poincaré, a lo largo de los años, realizara aportaciones enormes en muy diversos campos, aunque sobre todo en matemáticas y, dentro de ellas, en algunos de los asuntos más abstractos de todos. Tanto es así que, aunque mi intención es mostrar lo genial de Poincaré, es muy difícil hacerlo, tan profundo y tan abstracto es casi todo lo que creó o resolvió.

El primer gran logro de Poincaré, que le proporcionó fama en el mundo matemático, se produjo como consecuencia de su tesis doctoral bajo Charles Hermite, de la que hemos hablado antes. El título de la tesis era Sur les propriétés des fonctions définies par les équations différences (Sobre las propiedades de las funciones definidas por las ecuaciones diferenciales), y en ella Poincaré postuló la existencia de un tipo de funciones especiales, que hoy llamamos formas automórficas y engloban algo más general, pero que él denominó funciones de Fuchs o funciones fuchsianas en honor al matemático alemán Lazarus Immanuel Fuchs, que había contribuido mucho al avance en el estudio de las ecuaciones diferenciales¹.

El propio Poincaré relató posteriormente el proceso por el que llegó a plantear la existencia de las formas automórficas como una extensión de las funciones trigonométricas, y que ejemplifica muy bien su manera de trabajar y de pensar:

Durante quince días intenté demostrar que no podían existir funciones como las que he denominado posteriormente funciones fuchsianas. Era muy ignorante; cada día me sentaba frente a mi mesa de trabajo y permanecía allí una o dos horas, probando un gran número de posibilidades y no obteniendo ningún resultado. Una noche, en contra de mi costumbre, tomé un café solo y no podía dormir. Las ideas venían a mi cabeza a multitudes; las sentía chocar hasta que pares de ideas se conectaban, por así decirlo, para formar combinaciones estables. A la mañana siguiente había establecido la existencia de una clase de funciones de Fuchs, las que provienen de la serie hipergeométrica; simplemente tenía que poner el resultado por escrito, algo que me llevó pocas horas.

Un par de años más tarde, Poincaré publicó su Théorie des groupes fuchsiens y dejó al mundo patidifuso… porque el mundo no sabía lo que quedaba por venir, claro. A partir de entonces fue raro el año en el que el francés no nos apabullara con alguna innovación matemática.

Una página del Théorie des groupes fuchsiens (1882).

Además de en matemáticas puras, la intuición de Poincaré era afilada en muchas otras disciplinas relacionadas. Por ejemplo, la mecánica celeste era fundamentalmente una aplicación de las matemáticas: por un lado, debían resolverse las ecuaciones diferenciales derivadas de las leyes de la dinámica newtoniana y, por otro, las trayectorias de los cuerpos celestes seguían las leyes de la geometría. No en vano, durante muchos siglos las palabras astrónomo y matemático significaban prácticamente lo mismo. La época de Poincaré fue el final de esta etapa, pero él es uno de los últimos ejemplos de esta combinación –en parte por sus variados intereses–.

Como ejemplo de esto tenemos un episodio interesante por muchas razones: el del premio ofrecido en 1885 por Óscar II de Suecia a quien fuera capaz de resolver el problema de los n cuerpos, del que hemos hablado recientemente en la serie sobre el Sistema Solar pues Joseph-Louis Lagrange obtuvo las posiciones de lo que hoy llamamos puntos de Lagrange intentando resolver ese problema para tres cuerpos mucho antes de que Óscar II propusiese recompensa alguna.

El rey Óscar, a su vez, propuso el premio a instancias de Gösta Mittag-Leffler, el insigne matemático sueco de amable mirada que ves a la derecha. Más que por sus muchos logros, este individuo es injustamente conocido por un rumor falso. Cuando Alfred Nobel instituyó sus famosos premios, no incluyó uno de Matemáticas –entre otras cosas porque ya existían importantes premios en esta disciplina–. Las malas lenguas rumorearon que esto se debía a que Nobel estaba enamorado de Signe Lindfors, la mujer de Mittag-Leffler, y su rivalidad con el matemático era la razón de que no existiera un Nobel de matemáticas, una mentira como un piano de cola.

El caso es que el premio proponía varios problemas diferentes, no sólo el de los n cuerpos, pero éste era considerado el más difícil de todos; otro de los problemas propuestos, por cierto, estaba referido a las funciones fuchsianas del propio Poincaré. De hecho, mucha gente pensaba que el francés se presentaría al premio con algún trabajo relacionado con las funciones de Fuchs, ya que era la máxima autoridad en ese campo… pero la mariposa ya había pasado a otra flor, el estudio del problema de los n cuerpos. La descripción del problema en la presentación del premio era la siguiente:

Dado un sistema compuesto por un número arbitrario de masas puntuales que se atraen mutuamente de acuerdo con la ley de Newton, bajo la suposición de que las masas nunca colisionan entre sí, debe tratarse de encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie de una variable que sea una función conocida del tiempo, de modo que para todos los valores de esa variable la serie converja uniformemente.

Dicho en términos menos rimbombantes, el premio sería otorgado a quien pudiera predecir matemáticamente la posición de las masas a lo largo del tiempo. El problema, a decir verdad, era más matemático que físico: su planteamiento era trivial utilizando la mecánica newtoniana, pero se llegaba a una serie de ecuaciones diferenciales que dependían unas de otras de un modo que convertía el problema en una auténtica pesadilla. Ya vimos como Lagrange no pudo resolverlo, a pesar de tratarse sólo de tres cuerpos en su caso –el de Óscar II era más ambicioso– y de suponer que uno de ellos era mucho más ligero que los otros dos.

Un tribunal de tres matemáticos insignes deliberaría sobre las posibles soluciones para determinar la vencedora: el propio Gösta Mittag-Leffler y los dos mayores expertos en análisis matemático del mundo, el alemán Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y el francés Charles Hermite (el director de tesis doctoral de Poincaré). Naturalmente, las soluciones serían enviadas bajo pseudónimos, de modo que los tres jueces pudieran ser objetivos en su deliberación. La solución ganadora sería anunciada el 21 de enero de 1889, el sexagésimo cumpleaños de Óscar II.

De todas las soluciones recibidas, una brillaba con luz propia: Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique (Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica). Era tan diferente, tan lejana al enfoque tradicional para intentar resolver el problema y tan afilada que, a pesar del pseudónimo, los tres jueces tenían bastante claro que el autor era Poincaré. En cierto sentido supongo que esto evitaba que fueran realmente objetivos, pero por otro lado era el propio genio de Poincaré el que hacía su solución especial, y no tanto el nombre de Henri.

Henri Poincaré con sus prodigiosas cejas plenamente desarrolladas.

Y es que el francés había hecho algo que nadie había intentado hasta entonces: en vez de intentar resolver las ecuaciones para obtener una solución, se había centrado en algo diferente. ¿Cómo podrían ser todas esas soluciones? ¿Habría muchas y muy diferentes, o serían parecidas? Si se dibujaran las trayectorias de todos los cuerpos involucrados, ¿realizarían órbitas estables, inestables, movimientos periódicos o qué otra cosa?

Dicho de otro modo, Poincaré no se preocupó de estudiar la trayectoria que seguiría cada cuerpo, sino en las propiedades comunes de todas las trayectorias posibles para cada cuerpo. Al mirar el problema “desde lejos”, como un todo, sin centrarse en los detalles, Poincaré llegó mucho más lejos que nadie antes que él, y las otras soluciones parecían juegos de niños comparadas con la suya. En palabras de Weierstrass, Hermite y Mittag-Leffler, la solución constituía “el trabajo original y profundo de un genio matemático cuyo lugar está junto a los grandes geómetras de este siglo”.

Tanto es así que los tres jueces, de forma unánime, le otorgaron el premio, y se publicó su solución. Sólo había un pequeño problema.

La solución de Poincaré estaba mal.

El asunto tiene, además, una ironía deliciosa. No sólo el propio Henri Poincaré, un genio matemático de primera línea, había cometido un error de bulto que invalidaba su solución; además, los tres mayores expertos en análisis de todo el mundo se lo habían tragado como si tal cosa. El trabajo de Poincaré fue enviado a un joven matemático sueco, Lars Edvard Phragmén (algo así como el becario), para que lo adecentara y lo enviara a la imprenta. ¡Y fue el “becario” el que se dio cuenta! Con bastante cautela, Phragmén escribió a Mittag-Leffler para señalar varios puntos en los que no estaba convencido de las conclusiones de Poincaré, y Mittag-Leffler envió las preguntas de Phragmén al propio Poincaré.

En cuatro de los cinco puntos señalados por Phragmén, Poincaré tenía razón y se trataba de algo que Phragmén simplemente no había entendido… pero en el quinto punto, el sueco tenía razón y Poincaré no. Y la razón era la habitual: Poincaré había mirado las cosas a grandes rasgos y no se había fijado mucho en los detalles. En un momento dado, había demostrado un teorema utilizando una serie convergente, ¡pero nunca había demostrado que lo fuera! El cauteloso Phragmén simplemente había sugerido que tal vez fuera útil para el lector tener una demostración de que esas series eran convergentes, pero cuando Poincaré se dispuso a detallar la demostración se dio cuenta de que no tenía por qué ser convergente. Pero claro, el resto de la argumentación de Poincaré se basaba en la convergencia de esa serie, con lo que todo lo que venía después se iba al traste.

En honor a Poincaré, el francés escribió rápidamente a Mittag-Leffler para reconocer su error –otros más arrogantes hubieran luchado con uñas y dientes, o hubieran buscado excusas o alguna otra cosa ruin–. Pero había otro pequeño problema: la solución errónea al problema no sólo había sido ya enviada a la imprenta, sino que ya se había imprimido y se había enviado a los matemáticos que así lo habían solicitado. Al pobre Gösta se le pusieron los pelos de punta: ¡menudo ridículo! Se dedicó a retirar las copias que pudo agarrar, y escribió a muchos matemáticos pidiéndoles que le reenviaran su copia antes de leerla con pretextos un poco absurdos. Mittag-Leffler ni siquiera se atrevió a mencionar el error a Hermite y Weierstrass aunque, desde luego, al final todo el mundo se enteró y el propio Poincaré se dedicó a trabajar en el problema corregido.

Incluso considerando el error, por cierto, la solución de Poincaré seguía siendo tan superior a las otras que se mantuvo el premio. Pero la ironía se completa por el hecho de que, aunque la solución original de nuestra mariposa estaba mal, la corrección nos trajo algo aún más hermoso de lo que hubiera sido una solución correcta al problema de los n cuerpos. Al trabajar en el problema una vez más, Poincaré se dio cuenta de algo extraño: aunque el problema físico era determinístico, es decir, a partir de una situación inicial determinada debía ser posible predecir con precisión arbitrariamente grande lo que sucedería en el futuro, en la práctica no lo era.

La razón era la siguiente: supongamos unos datos iniciales determinados (valores de las masas, posiciones iniciales, etc.), para los que habría una solución al problema de los n cuerpos. Si modificamos los datos iniciales la solución, naturalmente, cambia. Pero ¿qué pasa si modificamos los datos iniciales una cantidad minúscula? Lo lógico sería pensar que la nueva solución sería prácticamente igual que la antigua, modificada un valor minúsculo. Pero, al estudiar el problema, Poincaré se dio cuenta de que no era así: la nueva solución y la antigua divergían en el tiempo de modo que, tras el transcurso de un tiempo determinado, eran tan diferentes como soluciones a datos completamente distintos. Era como si un levísimo toque inicial al sistema produjese un comportamiento absolutamente diferente al cabo del tiempo, un comportamiento caótico.

Al tratar de resolver el problema de los tres cuerpos y fallar, Lagrange había obtenido sus famosos puntos. Al hacer lo mismo y fallar de nuevo, Poincaré había creado lo que posteriormente se convertiría en teoría del caos. Pero la mariposa ya estaba buscando otras flores.

Además de sus responsabilidades como inspector de minas y catedrático, en 1893 Poincaré entró a formar parte del Bureau des Longitudes, la oficina fundada en 1795 y responsable de la estandarización de unidades de medida, sobre todo en lo que se refería a la navegación. En 1897, el Bureau des Longitudes se planteó de nuevo un sueño de un siglo antes: llevar el Sistema Internacional de Unidades a las unidades de tiempo, uno de los pocos lugares en los que no se había implantado realmente. Sí, existía el segundo como unidad, pero ¿y sus múltiplos? En otras magnitudes, como la longitud, se empleaban de manera rutinaria los kilómetros, pero en el tiempo se seguían empleando las unidades ancestrales de minutos, horas y días.

De modo que los miembros de la oficina, entre ellos Poincaré, se dedicaron a estudiar el problema de la medida del tiempo, la sincronización de relojes en distintos lugares del planeta, etc. Como consecuencia, entre muchas otras cosas, Poincaré se dedicó a pensar en la cuestión del tiempo medido por observadores diferentes. Si un reloj se encontraba en el hemisferio occidental de la Tierra y otro reloj en el oriental, de modo que ambos se movieran a gran velocidad el uno respecto al otro, ¿medirían el mismo tiempo o los relojes se irían desfasando uno respecto al otro?

Por entonces, de hecho, se estaban realizando los experimentos de Michelson-Morley en los que la Tierra parecía estar en reposo respecto al éter, salvo que algo en la física que estábamos empleando hasta entonces no fuera correcto, y muchos físicos trataban de encontrar una solución al tremendo dilema. Quien finalmente lo hizo, como bien sabes si eres “viejo del lugar”, fue Albert Einstein, pero sin negar el genio del alemán, la solución era inevitable y seguramente hubiera llegado en poco tiempo incluso sin él.

El holandés Hendrik Antoon Lorentz, por ejemplo, de quien acabamos de hablar hace poco por su trabajo en electromagnetismo, ya introdujo en algunas ecuaciones que trataban de refinar las ecuaciones de Maxwell lo que denominó “tiempo local” que dependía de la velocidad relativa de los observadores, aunque nunca le dio relevancia física, sino que lo trató como una herramienta matemática. Por aquella época era muy común el diálogo epistolar entre científicos, y Lorentz y Poincaré hablaban a menudo de este modo, debatiendo los artículos de uno y otro, corrigiéndose y haciéndose sugerencias. En este caso, como en otros (Einstein y Bohr son otro ejemplo excelente), ambos eran de buen talante y no se enfadaban, ni mucho menos, cuando estaban en desacuerdo.

Como consecuencia, Poincaré estaba muy al tanto del trabajo de Lorentz, y llevó más allá las ideas del holandés: según Poincaré, el “tiempo local” de Lorentz apuntaba a algo profundo en nuestro concepto de tiempo y simultaneidad. En 1898, siete años antes del annus mirabilis de Einstein, el francés publicó La mesure du temps (La medida del tiempo), donde se planteaba cómo definir exactamente qué es, cómo medirlo y qué queremos decir cuando hablamos de que dos sucesos son simultáneos o no lo son. ¿Te suena?

La conclusión de Poincaré es bien simple: no tiene sentido hablar de simultaneidad o tiempo entre dos sucesos utilizando nuestra intuición. Es más, no podemos estar seguros de que cualquier definición sea la “buena”, de modo que debemos olvidarnos de reglas aplicadas al tiempo que sean “ciertas”. La definición de simultaneidad que debemos emplear es la que nos permita formular leyes físicas de manera eficaz. En sus propias palabras,

En conclusión: no tenemos una intuición directa de la simultaneidad ni de la igualdad entre dos períodos de tiempo. Si creemos tener esta intuición se trata de una ilusión. La reemplazamos con la ayuda de ciertas reglas que aplicamos casi siempre sin siquiera pensar en ellas.

Pero ¿cuál es la naturaleza de estas reglas? No existe una regla general ni rigurosa; utilizamos una multitud de pequeñas reglas aplicables a cada caso en concreto.

Estas reglas no nos son impuestas y podemos divertirnos inventando otras; pero no podríamos descartarlas sin complicar enormemente la formulación de las leyes de la física, la mecánica y la astronomía.

Por lo tanto elegimos estas reglas, no porque sean ciertas, sino por que son las más convenientes, y podríamos resumirlas del siguiente modo: “La simultaneidad de dos sucesos o el orden en el que se han producido, la igualdad entre dos períodos de tiempo, deben ser definidos de modo que la formulación de las leyes naturales sea lo más simple posible. En otras palabras, todas estas definiciones son sólo el fruto de un oportunismo inconsciente.

Sin embargo, aunque parezca paradójico, Poincaré era un defensor de la idea del éter, el sistema de referencia absoluto, y creía que un reloj en reposo respecto al éter mostraría el tiempo absoluto y cualquier reloj en movimiento respecto al éter mostraría el tiempo local — otra cosa es que, para formular nuestras leyes físicas, nos interese utilizar uno o el otro. De hecho, en 1889 el propio Poincaré sopesó la idea de que tal vez el éter fuera algo indetectable y por tanto una entelequia física… pero al mismo tiempo siguió considerándolo como una entelequia útil, con lo que continuó utilizándolo en sus argumentos. Dos ideas algo contradictorias, pero es que no es fácil ponerse en la piel de los físicos de finales del XIX: es muy, muy difícil abandonar la última “referencia absoluta”, el éter, y quedar sin rumbo ni ancla ni nada a donde agarrarse.

Ahí es donde Einstein le dio sopas con honda a Poincaré: ambos publicaron conclusiones bastante similares en 1905, a pesar de que, a diferencia de Lorentz-Poincaré, no había relación entre ellos ni estaban al tanto del trabajo uno del otro. Poincaré tenía ideas revolucionarias y muy interesantes, como la extrapolación como realidad física del tiempo local de Lorentz, pero fue Einstein quien rechazó toda referencia absoluta y trabajó “hacia atrás”, partiendo del carácter absoluto de la velocidad de la luz. Einstein también llegó más lejos en sus conclusiones, demostrando entre otras cosas la equivalencia masa-energía; finalmente, la simplicidad de sus postulados y argumentos deja a cualquier otro físico de la época en pañales y, además, después desarrolló una teoría más general que llega tan lejos respecto a las ideas de Poincaré que es difícil siquiera compararlas.

Pero creo que estarás conmigo, si has leído sobre relatividad y ahora este artículo, en que la teoría especial de la relatividad era cuestión de tiempo, y no demasiado tiempo: Lorentz y Poincaré (además de otros, como FitzGerald) habían ya alcanzado conceptos como tiempo local, contracción de la longitud, relatividad de la simultaneidad… es imposible tratar de conciliar las ecuaciones de Maxwell con los experimentos de Michelson-Morley y el principio de relatividad de Galileo sin llegar a conclusiones parecidas. De no haber habido un Einstein, probablemente algún discípulo o lector de Poincaré y Lorentz hubiera elaborado una teoría muy similar, pues sólo faltaba el paso de abandonar la referencia absoluta, tan difícil de olvidar.

Poincaré en su despacho cerca del final de su vida.

El resto de su vida, hasta su muerte en 1912, nuestra mariposa siguió revoloteando, dejando que su prodigiosa creatividad nos regalara conceptos nuevos constantemente, sobre todo en Matemáticas. El nombre de este francés cejudo está por todas partes: la métrica de Poincaré, el teorema de Poincaré-Bendixson, el teorema de la dualidad de Poincaré, el teorema de Poincaré-Hopf, la serie de Hilbert-Poincaré, el método de Lindstedt-Poincaré, el teorema de la recurrencia de Poincaré, la desigualdad de Poincaré… ¿hace falta que siga?

No quiero, sin embargo, terminar este repaso a su genio sin dejar otro ejemplo que me deja patidifuso intentando asimilar el instinto matemático y la capacidad de abstracción de este personaje. En 1893, mientras básicamente creaba la topología, Poincaré propone una conjetura (que no es la famosa conjetura de Poincaré, de la que hablaremos en un momento) a la que llega por intuición pero que es incapaz de demostrar, y que hoy conocemos como teorema de la dualidad de Poincaré. La conjetura (pues no era teorema entonces, ya que este individuo llegó a ella sin demostrarla, así, al buen tuntún), expresada en términos modernos, dice los siguiente: si se tiene una variedad de n dimensiones que sea cerrada y orientable, el k-ésimo grupo de cohomología de esa variedad es isomorfo al (n-k)-ésimo grupo de cohomología de la variedad para cualquier número entero k.

Si Cthulhu viera eso, se le caían los tentáculos.

Finalmente, resulta irónico el hecho de que, con tantas cosas en Matemáticas que llevan su nombre, la más conocida por el común de los mortales es, en cierto sentido, un error. Se trata de la famosa conjetura de Poincaré, a la que llegaremos en un momento, pero antes, paciencia.

Ya se sabía hacía mucho tiempo que cualquier superficie cerrada y sin agujeros es, dicho fatal, una “esfera deforme”: es posible coger esa superficie cerrada y sin agujeros y deformarla hasta conseguir una esfera o al revés. Los matemáticos, que son mucho más finos que esto y no hablan de esferas deformes, dicen que una variedad de dos dimensiones cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a una esfera.

Otra manera de verlo que no involucra deformar superficies es la siguiente: si tienes una superficie cerrada y sin agujeros, es posible tomar un lazo atado sobre sí mismo sobre la superficie e ir cerrándolo hasta colapsarlo a un punto. Aquí tienes un dibujo con una esfera:

Salix alba/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.

Es decir, que una esfera es homeomorfa a una esfera, lo cual es de perogrullo. Pero imagina que fuera un ovoide, o un globo en forma de jirafa hecho de una sola pieza sin agujeros, o un cubo: siempre podrías ir cerrando el lazo y colapsarlo a un punto. Sin embargo, como ejemplo de una superficie cerrada que no es homeomorfa a una esfera (porque tiene agujeros), tenemos el toroide, es decir, el donut. Como ves, ninguno de los dos “lazos” puede colapsarse a un punto:

Fropuff/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.

Como digo, esto del homeomorfismo entre superficies cerradas sin agujeros y la esfera ya era bien conocido. Bien, Poincaré se pregunta si esto también será cierto en el caso de una variedad de tres dimensiones en vez de dos, es decir, un volumen cerrado. ¿Es un volumen cerrado y sin agujeros homeomorfo a un volumen esférico? Evidentemente, él no lo expresó en estos términos tan vulgares, pero bueno. El caso es que el bueno de Henri no supo contestar, ni realizó realmente conjetura alguna, sino simplemente una pregunta.

Otros después de él siguieron intentando contestar, y con el tiempo la afirmación se empezó a conocer como conjetura de Poincaré, a pesar de que él nunca sostuvo que fuera cierta:

Toda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a una esfera.

Pero claro, esto no es tan intuitivo como antes. En el caso anterior la variedad era como la cáscara de una naranja que encierra una naranja de tres dimensiones, pero ahora es una cáscara de tres dimensiones cerrada que encierra a una naranja de cuatro dimensiones. Curiosamente, los matemáticos lograron demostrar que esta afirmación es cierta para dimensiones mayores que tres, pero no para tres dimensiones, hasta hace relativamente poco: entre 2002 y 2003, el matemático ruso Grigori Yakovlevich Perelman publicó una demostración de la conjetura. Pero no es esto lo que me interesa: es el hecho de que la intuición de Poincaré lo llevaba a plantear cuestiones tan tremendas que no sólo él no podía responder sino que nos han llevado, en ocasiones, un siglo conseguir resolver.

A cambio de estos quebraderos de cabeza, Henri nos proporcionó maravillas como la topología o la teoría del caos que cambiaron nuestra manera de ver el mundo. Pero hablando de la teoría del caos…

Para saber más (esp/ing cuando es posible):

• Henri Poincaré / Henri Poincaré
• Problema de los tres cuerpos / Three-body problem, como siempre,
• Conjetura de Poincaré / Poincaré Conjecture

1. Pero no sé si fue quien definió por primera vez las formas automórficas o no… ¿matemáticos, alguien sabe algo?

Acabamos de enviar el número de enero a los correos de nuestros mecenas y también de los colaboradores recientes de El Cedazo. Por lo que nos han avisado, se ha colado un punto al final del “.zip” en algún enlace, con lo que si no os funciona para intentar descargarlo, probad a quitar el punto del final. Si alguien sigue teniendo problemas ya sabe dónde encontrarnos.

En el número de enero:

• Desafíos – Trineo lutrino

• Desafíos – Trineo lutrino (solución)

• Henri Poincaré (aún sin publicar)

• Las ecuaciones de Maxwell – La ecuación de onda electromagnética (aún sin publicar)

Que lo disfrutéis y, si es en buena compañía, mejor.

Una vez desgranadas, mal que bien, las cuatro ecuaciones, quiero complementarlas con unos pequeños anexos sin los que me parece que la cosa se queda un poco coja. En primer lugar, como habrás visto si has seguido la serie hasta ahora –y si no es así, ¿qué haces leyendo un anexo, alma de cántaro?–, las cuatro ecuaciones establecen cuáles son las fuentes y las propiedades de los campos eléctrico y magnético. Como hemos visto, el campo electromagnético tiene cuatro fuentes fundamentales: las cargas eléctricas, las corrientes eléctricas –es decir, las cargas en movimiento–, las variaciones en el campo eléctrico y las variaciones en el campo magnético.

Pero eso es sólo la mitad de la historia: hemos estudiado los campos eléctrico y magnético como consecuencias, pero la razón por la cual nos pusimos a estudiarlos en primer lugar es porque notamos sus efectos a nuestro alrededor: ¿qué consecuencias tienen esos dos campos sobre la materia? Como recordarás, cuando hablamos sobre la ley de Gauss para el campo eléctrico dijimos que en cierto sentido era una reformulación más moderna de una ley anterior, la ley de Coulomb que describía cómo las cargas del mismo signo se repelen y las de signos contrarios se atraen.

La ley de Gauss, sin embargo, no decía absolutamente nada de cargas que se repelen o se atraen, sino que simplemente establecía la creación del campo eléctrico a causa de la existencia de cargas. En tiempos de Coulomb, la interacción entre cargas se estudiaba de una manera directa, como algo así:

Sin embargo, la formulación de Maxwell del electromagnetismo es más abstracta y tiene algo así como dos pasos. Como hemos visto, la materia cargada crea campos — en el caso de la ley de Gauss, las cargas crean un campo eléctrico a su alrededor. Podríamos representar la ley de Gauss así:

A su vez, ese campo afecta a la materia cargada:

Y es éste segundo “paso”, la influencia de los campos sobre la materia cargada –es decir, la fuerza ejercida por los campos sobre las cargas– el que no aparece en ninguna de las ecuaciones de Maxwell y al que nos vamos a dedicar brevemente hoy. Como puedes ver, el efecto final de unas cargas sobre otras es el mismo que en la versión de Coulomb: el campo aquí no es más que un intermediario de la interacción, que tiene el mismo efecto que antes sobre la segunda carga. Sin embargo, como hemos visto a lo largo de la serie, ambos campos interaccionan entre sí y producen efectos a veces sorprendentes –y a ellos dedicaremos el segundo anexo, por cierto–.

Afortunadamente, a diferencia de la generación de campos a partir de la materia, el efecto de los campos sobre ella es más simple y fue resumido en una sola ley física por un viejo amigo de El Tamiz, Hendrink Antoon Lorentz. Este simpático y genial holandés fue el ganador del Premio Nobel de Física de 1902 por su hipótesis de que la radiación electromagnética era creada por minúsculas partículas cargadas en la materia, pero hoy vuelve a ser el héroe de nuestra historia.

Hendrink Antoon Lorentz (1853-1928) (dominio público).

Sin embargo, como suele pasar en ciencia, el resultado no es la labor de un sólo héroe, sino de una larga cadena de ellos. Como ya hemos visto, Charles-Augustin de Coulomb había establecido ya una ley matemática que describía la atracción y repulsión entre cargas –debida, en términos más modernos, al campo eléctrico–, y André-Marie Ampère había llegado a una ley similar que describía la atracción y repulsión entre corrientes eléctricas –en términos post-Maxwell debida al campo magnético–. De modo que conocíamos ya, de manera más simple, los efectos de los campos sobre la materia cargada, pero nos hacía falta reformular estas leyes en términos post-Maxwell, es decir, en términos explícitos del campo eléctrico y magnético. De ahí que hiciera falta algo más después de Coulomb y Ampère.

El siguiente protagonista es otro viejo conocido, J. J. Thomson, galardonado con el Premio Nobel de Física de 1906 por su descubrimiento del electrón. El británico trató de encontrar una ley matemática que describiera la fuerza que sufren las cargas debida al campo magnético B y estuvo a punto de lograrlo a la perfección. De hecho, la expresión obtenida por Thomson en 1881 es la correcta excepto por un factor de 1/2 debido a algunos errores de cálculo.

Puede parecer un espanto obtener una expresión que predice una fuerza magnética que es la mitad de la real, pero el logro de Thomson es inmenso: aunque el valor numérico no sea el bueno, el comportamiento de la materia respecto al campo estaba perfectamente descrito de forma cualitativa. La expresión de la fuerza magnética que obtuvo Thomson a partir de los datos experimentales era ésta, en función de la carga, la velocidad y el campo magnético:

Sí, ese 1/2 sobra, pero veamos qué significa cualitativamente esta “ley de Thomson” para la fuerza magnética, ya que hay una operación ahí que todavía no hemos visto específicamente en esta mini-serie. En primer lugar, la fuerza debida al campo magnético es un producto de varios factores, lo cual tiene una consecuencia inmediata: no puede existir una fuerza magnética si cualquiera de los factores es nulo.

Dicho de otro modo, para que algo sufra una fuerza magnética ese algo debe:

• Tener carga eléctrica q, luego un cuerpo neutro no sufre fuerzas magnéticas.

• Estar en algún sitio en el que exista un campo magnético B, luego sin campo magnético no hay fuerza magnética, algo de perogrullo.

• Estar moviéndose con una velocidad v, luego un cuerpo en reposo no sufre una fuerza magnética.

De estas tres condiciones la tercera me parece la menos evidente y la más interesante. De acuerdo con Thomson –y con todos los experimentos realizados, claro, pues su fórmula era una ley, es decir, una observación empírica puesta por escrito–, aunque tengamos una carga eléctrica tremenda inmersa en un campo magnético de tres pares de narices, si la carga está quieta, no sufrirá absolutamente ninguna fuerza magnética. ¡Ni se entera de que hay un campo!

Thomson en el Cavendish Physical Laboratory de Cambridge (dominio público).

Si te fijas, esto tiene una bella simetría con la ley de Ampère-Maxwell que describía las fuentes del campo magnético. Como espero que recuerdes o te suspendería si fueras mi alumno, en aquella ley vimos que la fuente primaria del campo magnético –es decir, aparte del campo eléctrico variable– lo constituían las corrientes eléctricas, es decir, las cargas en movimiento.

Es decir, para que exista un campo magnético no basta con que haya cargas: debe haber cargas moviéndose. Pero ahora, de acuerdo con Thomson, vemos que para que una carga eléctrica sufra los efectos de un campo magnético no basta con que haya un campo y una carga: debe haber un campo y una carga moviéndose. Sólo las cargas en movimiento crean B y sólo las cargas en movimiento sufren B. Esto tiene una importantísima consecuencia si piensas en el hecho de que todo el movimiento es relativo, y de ella hablaremos en el tercer anexo.

Sin embargo, nos queda una cosa más por analizar: ese no es un producto cualquiera, sino un producto vectorial entre la velocidad y el campo, representado por ese signo de multiplicación a la antigua usanza. Aunque explicar en profundidad el significado de este operador matemático es algo que no puedo hacer aquí, sí puedo darte una idea de alguna de sus propiedades ya que, aunque “escondido”, ha hecho su aparición en esta mini-serie siempre que lo hizo el rotacional. Si no, fíjate en la ley de Faraday:

Ese producto del operador nabla por el campo eléctrico no es otra cosa que un producto vectorial. Aunque hoy no estamos multiplicando nabla sino simplemente la velocidad por el campo magnético, la propiedad fundamental es la misma en ambos casos: el resultado es siempre perpendicular a los dos vectores involucrados. En este caso, la consecuencia más interesante de que lo que hemos llamado “ley de Thomson” –pongo comillas porque nadie la llama así que yo sepa– tenga un producto vectorial es la siguiente: la fuerza magnética siempre es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad de las cargas.

Una vez más, si te fijas, existe una simetría con la generación del campo por la ley de Ampère-Maxwell: el campo magnético era siempre perpendicular a las corrientes eléctricas y los cables (¿recuerdas la foto del cable con las limaduras de hierro alrededor?). Del mismo modo que sucede eso, al interaccionar campo con cargas vuelve a pasar lo mismo: la fuerza que aparece sobre las cargas es perpendicular al campo.

Sin embargo, más interesante aún es la otra perpendicularidad, aunque a veces una primera mirada a la ecuación la pasa por alto: la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad. ¿Qué significa esto? Que si, por ejemplo, la carga va hacia la derecha, la fuerza magnética nunca jamás irá hacia la derecha ni hacia la izquierda. De hecho, nunca irá en ninguna dirección que no sea perpendicular a la dirección en la que se mueve la carga: nunca la empujará lo más mínimo “hacia delante” en su movimiento, y nunca la empujará “hacia atrás” en su movimiento. Sí podría ir, en nuestro ejemplo, hacia arriba, o hacia abajo, o en cualquier otra dirección perpendicular a la línea horizontal. Si suponemos que la partícula viaja hacia la derecha y la fuerza va, por ejemplo, hacia arriba, la situación sería algo así:

Pero claro, en el mismo instante en el que la fuerza se llevase nuestra partícula hacia arriba, la partícula ya no estaría viajando hacia la derecha, sino en diagonal hacia la derecha y un poquitín hacia arriba… luego la fuerza magnética también cambiaría de dirección y ya no iría hacia arriba, sino “hacia arriba y un poquitín hacia la izquierda”, pues de acuerdo con la “ley de Thomson” debe ser perpendicular a la velocidad:

Y lo mismo vuelve a pasar todo el tiempo, por supuesto, ya que ahora la carga curva su movimiento aún más, con lo que también lo hace la fuerza:

Como puedes ver, puesto que la dirección de la fuerza va cambiando según lo hace la velocidad, nuestra partícula terminaría realizando una circunferencia. Si hubiera empezado moviéndose en otra dirección, tal vez hubiera seguido una especie de “muelle” avanzando en una dirección pero girando en otra, pero siempre hubiera aparecido algún movimiento circular por la propia naturaleza de la “fuerza de Thomson”. En la realidad muchas partículas subatómicas pueden frenarse o acelerar por otras razones, por ejemplo, si no están en el vacío sino dentro de un gas en el que chocan con otras partículas y se frenan, con lo que muchas veces, en vez de circunferencias, vemos espirales. Seguro que alguna vez has visto alguna foto de una cámara de niebla y en ella aparecen cosas como ésta:

Imagen cortesía del CERN.

Se trata de los rastros de las partículas producidas en la desintegración de un kaón –una partícula inestable de la que hemos hablado hace bastante tiempo–. Lo que me interesa hoy no son los kaones, sino que comprendas la razón de que siempre aparezcan esas espirales, y lo que significan: que en esa cámara de niebla hay un campo magnético y que la fuerza originada por ese campo sobre las partículas cargadas que se mueven en él a gran velocidad produce movimientos circulares — o, en este caso, espirales, dado que las partículas cambian su rapidez por otras razones.

Esta perpendicularidad significa además que un campo magnético nunca jamás puede hacer que una partícula se mueva más deprisa o más despacio que antes. Piénsalo: para que empujase la carga a moverse más rápido que antes, debería empujarla hacia delante, al menos un poco… pero eso no puede pasar, porque la fuerza es perpendicular siempre a la dirección de movimiento. Y para frenarla lo más mínimo, tendría que tirar de ella hacia atrás, ¡pero eso tampoco puede pasar! El campo magnético sólo puede hacer que las partículas “giren”, modifiquen la dirección en la que se mueven, pero nunca puede modificar un ápice lo rápido que van.

Puede que estés arqueando las cejas y pensando algo como: “Vamos a ver, Pedro, cuando pongo dos imanes cerca el uno del otro, completamente parados, empiezan a moverse cada vez más deprisa, ¡ya lo creo que sufren una fuerza hacia delante!” Ah, sí, claro… pero tus pobres ojos humanos no están viendo lo que pasa realmente. No puedo dedicarle suficiente tiempo aquí para explicarlo en profundidad, pero es una confusión suficientemente común –y razonable– como para otorgarle al menos un párrafo.

Las partículas que componen los imanes no estaban paradas, ¡ni mucho menos! Los electrones estaban moviéndose alrededor de sus núcleos a una velocidad tremenda. Lo único que hace el campo magnético del otro imán es curvar el movimiento de muchos electrones al unísono, de modo que todos intenten moverse hacia el otro imán… y, debido a la atracción de Coulomb, se lleven a sus núcleos consigo, haciendo que el imán se mueva como un todo. Dicho de otro modo, la fuerza magnética no hace que las partículas se muevan más deprisa, pero sí que muchas partículas que tenían movimientos dispares “se pongan de acuerdo” y tiren juntas del objeto macroscópico en una dirección determinada. Pero, como no vemos partículas subatómicas, pensamos ingenuamente que los imanes empezaron parados y luego empezaron a moverse.

El caso es que Thomson estableció el comportamiento cualitativo de las cargas en presencia de un campo magnético y sólo metió la pata en ese maldito 1/2. El responsable de corregirlo no fue otro que Oliver Heaviside, el siguiente héroe de hoy, quien reescribió y reorganizó las muchas ecuaciones de Maxwell como las cuatro que conocemos hoy. Heaviside obtuvo la expresión correcta en 1889:

Una vez cuantificada la influencia del campo magnético, para completar la ley que describía la influencia del campo electromagnético sobre la materia sólo faltaba, por tanto, incorporar el campo eléctrico a esa ley; en otras palabras, hacía falta introducir ahí la ley de Coulomb reescrita en términos de los campos de Maxwell. Aquí es donde, por fin, hace su aparición el héroe final de hoy, Lorentz, que en 1892 publicó la expresión completa de la fuerza electromagnética sobre la materia, que incluye el efecto de los dos campos, eléctrico y magnético:

Como sucedía en las cuatro ecuaciones de Maxwell, aquí el campo eléctrico también es más simple y sus efectos más intuitivos. Como puedes ver, en el término de E no hay velocidad que valga, ni productos vectoriales, ni perpendicularidades ni pamplinas. Esto tiene sus consecuencias, por supuesto.

En primer lugar, la fuerza que sufre una carga sometida únicamente a un campo eléctrico será la siguiente:

Punto pelota. Para que una carga sufra una fuerza eléctrica sólo hacen falta dos cosas: una carga y un campo. No hace falta que la carga se mueva; una vez más, simetría con las ecuaciones de Maxwell, ya que la ley de Gauss establecía que las cargas eléctricas producen a su alrededor campos eléctricos, sin necesidad de moverse, y ahora pasa lo mismo pero al revés: las cargas eléctricas sufren la acción de los campos eléctricos sin necesidad de moverse.

Albert Einstein y Hendrik Antoon Lorentz, fotografiados por Ehrenfest a la puerta de casa del último en 1921 (dominio público).

La segunda diferencia con la parte establecida por Thomson y Heaviside es que aquí no hay nada perpendicular: si el campo eléctrico va en una dirección determinada, la carga sufrirá una fuerza en ese sentido o el opuesto. Es posible, por ejemplo, tener una partícula que va hacia la derecha y que el campo vaya hacia la derecha y la fuerza también: esa partícula, como consecuencia, se moverá cada vez más rápido. Los campos eléctricos sí hacen que las partículas vayan más rápido o más despacio, a diferencia de los magnéticos.

A pesar de que existen otras fuerzas fundamentales sin las que nuestro conocimiento del Universo sería incompleto, como la gravedad o las fuerzas nucleares, la fuerza de Lorentz –o, mejor dicho, la fuerza de Coulomb-Faraday-Ampére-Thomson-Heaviside-Maxwell-Lorentz-etcétera, porque siempre somos injustos con los nombres de las cosas– tiene una importancia difícil de expresar con palabras. Combinada con las cuatro ecuaciones de Maxwell, hizo que la última parte del siglo XIX fuera una revolución en nuestro conocimiento de la materia: además de los fenómenos eléctricos y magnéticos más evidentes, las interacciones electromagnéticas determinan las reacciones químicas, el contacto entre los cuerpos… sin este conocimiento hubiéramos sido incapaces de conocer la estructura del átomo y el comportamiento de las cosas a nuestro alrededor a escala microscópica.

De ahí este primer anexo, más extenso de lo que había planeado: porque una mesa construida sólo con las ecuaciones de Maxwell estaría coja. Hace falta esta “quinta pata”, la fuerza de Lorentz, para comprender lo enorme de su relevancia y su papel como fundamento de la Física del cambio de siglo, más aún por los cambios que originaría esta teoría electromagnética a principios del XX. Pero eso es otra historia, y tendrá que esperar a otra ocasión.

Como puedes ver, tras la creación de campos por parte de la materia, la ley de Lorentz establece el segundo paso de la relación materia-campos, es decir, la influencia de los campos sobre la materia. Pero ¿qué hay de la influencia de los campos unos sobre otros? Ahí es donde James Clerk Maxwell revolucionó la Física y dejó al mundo boquiabierto, pero de ello hablaremos en el segundo anexo a esta mini-serie.

El finalista ha sido Karlos, cuya explicación es exquisita y muy clara, incluye gráficas y demás, pero comete un error que lo lleva a una solución incorrecta. De hecho, es posible demostrar que su resultado para el coeficiente de rozamiento es imposible (ejercicio para los lectores), pero os lo dejo aquí para echarle un vistazo: [trineo-karlos.pdf].

El ganador ha sido Jesús, que ha obtenido el valor aproximado del coeficiente de rozamiento calculando el valor de los tiempos que la criatura tarda primero en subir y luego en bajar en función del coeficiente de rozamiento que se pedía, para terminar con una ecuación que resuelve con una hoja de cálculo con gráficas incluidas. Os dejo la solución de Jesús aquí para que podáis leerla con calma: [trineo-jesus.pdf].

Que disfrutéis de las soluciones y ¡hasta el próximo desafío!