LUDWIG VAN BEETHOVEN. Sus composiciones a veces parecen pensadas para los instrumentos modernos.

En el artículo anterior señalábamos que  la imaginación de los músicos suele carecer de medios materiales suficientes para poderse expresar con absoluta fidelidad. El perfeccionamiento  de los instrumentos fue entonces crucial para la evolución de la música.

 Algunas de las Sonatas para piano de Beethoven, por ejemplo, contienen ciertos pasajes que recuerdan una orquesta sonando a pleno; pero más adelante, y en una misma obra, la música pasa a la placidez de un remanso para la ensoñación… El músico genial pareció haberse adelantado a su época, pues todo aquello se puede lograr plenamente tan sólo con los pianos modernos. Algo similar ocurre con sus Sinfonías, especialmente a partir de la tercera, donde ciertas dificultades técnicas que enfrentaban los músicos de la orquesta, sobre todo en los pasajes donde intervienen trompetas y trompas, desaparecen con los instrumentos actuales.

También ha ocurrido que la necesidad de medios sonoros para expresarse puede ser tan imperiosa que ha hecho, en ocasiones, que sea el propio compositor quien invente algún instrumento. Richard Wagner, por ejemplo, fue uno de esos casos poco comunes; creó las llamadas “tubas wagnerianas” – que son una variedad dentro del grupo de instrumentos de viento (más específicamente, de cobre) – para su tetralogía El Anillo del Nibelungo.

Los instrumentos de viento.

Los instrumentos de viento se dividen en dos grupos, que son los metales y las maderas, según sea el material con que estén construidos.

Las maderas.

Este grupo de instrumentos está formado por  flautas, oboes, clarinetes y  fagotes (el plural en cada caso se refiere a que existen variedades de cada uno de ellos).

CLARINETE. En la figura amplificada al pie se ve el sistema de llaves.

Recordemos que el origen fue una sencilla caña hueca con perforaciones, pero, a partir de ahí, la búsqueda de posibilidades expresivas y de timbres diferenciados hizo que el primitivo instrumento se fuese transformando en las cuatro variedades que hoy conocemos. Esa evolución incluyó la invención de diferentes diseños, donde varió la forma del tubo para modificar el timbre, y se llegó a la invención de palancas y llaves incorporadas al instrumento, accionables manualmente, para abrir y cerrar los orificios, incluso varios a un mismo tiempo. Esto último permitió exceder la limitación de la mano y aumentó considerablemente la cantidad de sonidos diferentes que cada instrumento puede producir.

También el filo de la embocadura fue sustituido por una lengüeta en todos los instrumentos de madera, menos en la flauta. Ésta terminó por construirse de metal, pero continúa incluida en el grupo de “maderas” en la orquesta sinfónica.

Las únicas flautas de madera que hoy continúan en uso son la flauta dulce y la flauta de pico, que son instrumentos medievales y carecen de llaves. Hay toda una variedad de tamaños de estos instrumentos y por lo general se recurre a ellos para interpretar música antigua, tal cual  sonaba en la época.

Las maderas se caracterizan por ser el grupo de timbres más diferenciados entre sí, aunque mantienen un cierto “parentesco” sonoro que los identifica como grupo. Esto se puede apreciar comparando el sonido de la flauta, el oboe, el clarinete y el fagot separadamente.

Los metales.

Este grupo está integrado por trompas, trompetas, trombones y tubas.

Todos ellos conservan la esencia de la forma originaria, o sea, un cuerno. El instrumento tiene así un extremo estrecho por donde se sopla un tubo que termina en forma de campana. El material originario fue sustituido por el cobre (de ahí que al grupo se le llame metales o, directamente, cobres) lo cual permitió diseñar más libremente la forma del cuerpo del instrumento, dando así origen a instrumentos diferenciados que son los cuatro que mencionábamos recién.

No se recurrió desde el principio a practicarle orificios al cuerpo del instrumento, porque se descubrió una técnica de hacer vibrar los labios para alterar la altura del sonido. Pero esto no soluciona una gran limitación, pues resultan instrumentos capaces de tocar solamente en una sola tonalidad. Es decir, sobre la base de los armónicos que puede producir la columna de aire dentro de un tubo de longitud fija.

Dentro de un momento volveremos a hablar de los armónicos, explicando cómo es que se producen y la importancia que tienen en la construcción de instrumentos. Pero por el momento, y para lo que viene a continuación, es útil saber que los armónicos también son la base sobre la que se estructuran las escalas,  como por ejemplo do-re-mi-fa-sol-la-si-do,  que es la escala que corresponde a la tonalidad de “Do mayor”. Sabiendo esto, veamos las soluciones que fueron hallándose para superar las imperfecciones de estos instrumentos.

TROMPA MODERNA (O "corno"). La construcción de este instrumento "enrolla" la longitud total del tubo de más de 3 metros de largo, para facilitar el manejo. En el centro se ubican las llaves y sus respectivas válvulas. .

El tubo corredizo (la vara del trombón) y la curvatura del tubo para reducir el tamaño del instrumento, sin duda fueron mejoras decisivas a efectos de la manipulación de los instrumentos. Pero persistió durante mucho tiempo la limitación de los “instrumentos naturales”, así llamados porque podían tocar en una sola tonalidad, la de la escala correspondiente a los armónicos que el tubo podia producir.

La primera solución fue que el ejecutante dispusiese de varios instrumentos afinados en diferentes tonalidades cada uno, para lo cual debían ser todos de tamaños también diferentes. Este problema fue solucionado mediante el uso de los tornillos de recambio, que eran tubos que se colocaban o quitaban para posibilitar diferentes tonalidades. No obstante, éste es un procedimiento incómodo y se mantuvo durante todo el Período Barroco (siglo XVII), hasta la invención de los pistones. Recién ahí, nacieron los instrumentos modernos de este grupo. La ingeniosa solución de la trompa con válvulas accionadas por llaves (ver figura al lado) es un ejemplo muy claro, pues permitió que un tubo muy largo ocupase muy poco espacio, haciéndolo más manejable que de cualquier otra manera.

Como curiosidad, a la trompa se le siguió llamando “corno” (o sea, cuerno, en italiano), como recordando su antiguo origen. La denominación italiana es muy difundida entre la mayoría de los músicos en todos los países. El antecesor directo de la trompa moderna fue un instrumento antiguo, conocido como cuerno de caza que era usado durante las cacerías deportivas medievales. 

No obstante, hasta que todas estas mejoras fueron siendo inventadas y difundidas, la música  tuvo que adaptarse a las circunstancias. Los trompetistas del Barroco (y por lo tanto, los compositores también)  se veían obligados a conformarse con que el instrumento pudiese tocar melodías solamente en el registro más agudo, que era donde se podían producir armónicos de frecuencias próximas entre sí. En caso contrario, el uso de armónicos de baja frecuencia hace que la melodía se restrinja tan sólo a tres o cuatro notas. Y todavía, ya a comienzos del siglo XIX,  en las orquestas sinfónicas aún existían trompas y trompetas naturales, es decir, sin llaves o pistones. La única solución posible seguía siendo el uso de los “tornillos de recambio” durante el transcurso de una misma música, lo cual era una operación manual que pide cierto tiempo para realizarla, impidiéndo al compositor hacer cambios rápidos de tonalidad. Contra esa dificultad un poco malabarística luchaba Beethoven al componer sus sinfonías, que, como decíamos antes, parecen más bien pensadas para las orquestas modernas.

El grupo de los metales tiene un timbre inconfundible y penetrante, y todos los instrumentos que lo integran tienen una gran capacidad para complementarse entre ellos, e incluso reforzar el sonido del conjunto. Excepto la trompa (“corno”), que tiene una sonoridad muy característica, la trompeta, el trombón y la tuba se escuchan como si cada uno completase las notas agudas o graves que los demás no alcanzan, aunque con alguna diferencia de timbre.

Los instrumentos de cuerda.

Una cuerda puede producir un sonido de tres maneras diferentes: frotándola, pulsándola o golpeándola.

De la posibilidad de frotar la cuerda surgió algún antecesor desconocido del violín (en realidad no se pudo saber nunca el origen con total certidumbre, y parecería que los árabes lo habrían introducido en Europa) pero, como sea, la cuestión era primero que nada con qué cosa se frotaría la cuerda, luego cómo optimizar el volumen del sonido y, finalmente, cómo abarcar una gran extensión de sonidos, desde muy bajos hasta muy altos, manteniendo a la vez  un timbre uniforme.

Hay que reconocer que encontrar una solución total, es decir, una única solución para resolver todos los problemas, es algo bastante complicado.

ARCO ACTUAL DEL VIOLÍN.

Buscándole una solución al primer problema (frotar la cuerda) se llegó a las cualidades que debe tener el arco. Se conjetura que el primer arco habría sido (de ahí el nombre) un arco para tirar flechas, donde el hilo se habría usado para frotar las cuerdas. Pero no hay ninguna prueba concreta de que haya sido así, excepto indicios, y cuando el instrumento registra su aparición en la historia ya tiene su arco correspondiente para tocar y es muy parecido al actual.

Ese modelo del arco se ha mantenido bastante estable a través del tiempo. Consiste en una varilla de madera con un haz de cerdas naturales dispuestas en forma de cinta fija en ambos extremos de la varilla, con un grado determinado de tensión. La experimentación en cuanto a las cualidades y la calidad de los materiales, e incluso detalles de la forma, fue perfeccionando este modelo del arco que todavía hoy conserva las características generales originales, consideradas como las mejores posibles. Se ajustó mejor la forma, el peso, la longitud, la tensión del haz de cerdas y la resina que se aplica a éstas para darles consistencia, además de la forma de la empuñadura para asegurar que los movimientos del brazo y el pulso sean transmitidos fielmente a las cuerdas. Estas condiciones en conjunto influirán en el sonido producido.

VIOLÍN DE LA EDAD MEDIA. Obsérvese que la forma del arco recuerda al arco de tirar flechas. El violín, a su vez, todavía tiene una forma ovalada que más tarde sería modificada.

En cuanto a la optimización del volumen del sonido, la búsqueda llevó al estudio de resonadores, cuyas formas actuales en los instrumentos, y los materiales con que se los fabrica, no son casuales. Dicho  estudio permitiría también controlar a voluntad el timbre característico de cada instrumento en particular - y no tan sólo el de los instrumentos de cuerda, sino también el de los de viento.

Un resonador es un objeto capaz de recibir vibraciones y amplificarlas. Como ejemplo muy conocido, la gran tabla que está debajo de todas las cuerdas de un piano de cola es un resonador.

El resonador puede tener muchas formas y tamaños, incluso puede ser un recinto abierto o cerrado. Estudiando sus propiedades también se sabe que es capaz de producir una amplificación selectiva, reforzando ciertos sonidos. Esa selección depende del volumen y del número de vibraciones por segundo de cada sonido, es decir, de las características respectivas de la onda. Conociendo además que los sonidos, por su naturaleza, contienen armónicos, se puede llegar a trabajar con gran sutileza la manera como el instrumento habrá de sonar finalmente. El tema es tan importante, como se entiende fácilmente, que será útil detenernos un momento por aquí y ver este fenómeno físico más de cerca.

¿Qué son los armónicos?

Ustedes me sabrán disculpar por poner ahora aquí un hueso algo duro de roer. Pero es importante comprender lo que sigue, porque para quienes no estén familiarizados con la Acústica, esto les facilitará entender no sólo el tema que aquí venimos hablando, sino, además, varias cosas que vendrán en los capítulos siguientes.

Los armónicos (también llamados  parciales) son sonidos que se producen naturalmente al poner un cuerpo en vibración, y se oyen todos en forma simultánea. Pero la sensación es de escuchar un solo sonido y no varios a la vez. Forman un conjunto donde cada uno tiene su propia frecuencia  (número de vibraciones por segundo). El conjunto de todos los armónicos produce el sonido que escuchamos y que parece uno solo.

Para el análisis, los armónicos son numerados en orden creciente, y cuanto más elevado es su número ordinal, mayor es el número de vibraciones, o ciclos, por segundo.

La longitud de las líneas azules representa el aumento del número de vibraciones por segundo (frecuencia) que va aumentando a medida que los armónicos son de orden más alto. La variación corresponde a una función logarítmica.

Supongamos que, trabajando las características del resonador, se consigue amplificar el volumen de algunos de los armónicos, como, por ejemplo, los marcados en rojo:

¿Cuál es exactamente la diferencia para el oído, entre el caso de la izquierda y el de la derecha? Es nada menos que el timbre del sonido, es decir, lo que nos permite saber si estamos escuchando una trompeta, una flauta o un violín, aunque todos estén tocando una misma nota.

Si las frecuencias de dos o más armónicos son muy próximas entre sí y de orden muy elevado, el timbre resultante se escuchará más “brillante” – aunque podría llegar a cierta estridencia -, como sucede por ejemplo con los armónicos en rojo de la figura a la derecha. Este efecto disminuye a medida que aumenta la diferencia en ciclos por segundo, y desaparece por completo entre los armónicos de orden más bajo de todos, aunque sean de orden consecutivo, como 2 , 3 y 4 (figura a la izquierda). Por ese motivo estos dos últimos ejemplos arriba son de efecto auditivo diametralmente opuesto.

Y si, todavía, es posible anular algunos de los armónicos, además de amplificar otros, las posibilidades son enormes.

¿Cómo se puede manejar este tipo de combinaciones? 

Se puede manejar diseñando la forma del resonador. El ejemplo más sencillo lo tenemos en los instrumentos de viento y por eso saldremos un momento del tema.

Los instrumentos de viento se dividen en dos grupos: tubos abiertos y tubos cerrados. En el interior hay una columna de aire que se pone en vibración al soplar por la embocadura. Si se trata de un tubo abierto en ambos extremos, el tubo produce una serie completa de armónicos (1, 2, 3, 4…). En cambio, si se trata de un tubo cerrado en un solo extremo se producirán solamente armónicos de orden impar. Además podrá considerarse la forma del tubo; un cilindro no sonará igual que un cono, y podrá influir también la longitud y el diámetro. Tampoco se debe descuidar el material. No es lo mismo la madera que el metal, e incluso habrá que elegir cual será la madera o el metal a utilizar, pues podrían ser factores importantes. Por eso se han estudiado minuciosamente las propiedades naturales de cada material para reforzar armónicos de maneras muy sutiles. Para tener una idea de lo detallistas que son tales investigaciones, se estima que hasta el barniz que se aplica a la madera puede influir en la calidad del sonido.

Cualesquiera que fuesen las características más convenientes de un resonador, éste es una pieza fundamental para todos los instrumentos musicales, casi sin excepción. Solamente para algunos de percusión no hace falta, pues el objeto que vibra se basta a si mismo como puede ser, por caso, los conocidos platillos de una batería. Pero, salvo excepciones, todos los instrumentos tienen su resonador.

Y ahora, sabiendo todo esto, volvamos a hablar de los instrumentos de arco.

La necesidad de producir sonidos de alta y baja frecuencia, en cantidad suficiente y manteniendo la homogeneidad del timbre, partió de algo que hoy es muy familiar pero que en su origen fue sumamente ingenioso. Presionando fuertemente con un dedo un punto cualquiera de una cuerda tensa, varía la afinación y se escucha un sonido más “alto”, o sea, de una frecuencia más alta que el sonido de la cuerda suelta (cuerda al aire, en la terminología musical).  Luego, si el dedo se desliza sobre la cuerda de una punta a la otra, sin aflojar la presión y manteniendo el arco en movimiento para que la cuerda siga vibrando, ya se puede pensar en tocar una melodía sencilla. No sabemos cuándo se conoció la utilidad musical de este descubrimiento, pero ahí se inició la historia de los instrumentos de arco.

Con el andar del tiempo se concluiría en que para un instrumento de arco era suficiente disponer de cuatro cuerdas de igual longitud, diferentemente tensadas, usándose cuatro dedos de la mano izquierda para tocar y reservando el pulgar para sostener el instrumento, mientras la mano derecha manejaría el arco.

Pero el primer instrumento que se construyó en base a todas aquellas observaciones tenía un límite: si se podía producir sonidos muy agudos, no se podía alcanzar sonidos muy bajos, y viceversa. ¿Habría quizá una forma de exceder esos límites manteniendo las mismas características del timbre? Es decir, ¿qué hacer para disponer de una gran extensión desde muy abajo hasta muy arriba, pero sin afectar el timbre que es característico de un instrumento de arco?

Para hallar la solución a esta otra parte del problema, se comenzó a investigar la relación entre el tamaño de los resonadores y la capacidad de los mismos para amplificar sonidos de determinadas frecuencias. Se descubrió que una pequeña caja de resonancia favorece mejor la amplificación de sonidos de alta frecuencia, mientras que una de mayor tamaño amplifica mejor los sonidos de baja frecuencia. De ahí surgieron “violines” de diferentes tamaños, es decir, la viola, el violoncelo y el contrabajo. Todos ellos tienen la forma básica del violín, pues ésa es la que define el timbre característico del grupo de los instrumentos de arco.

El grupo de instrumentos de arco es mayoritario en la orquesta sinfónica, y una de las razones es precisamente la homogeneidad de timbre que los caracteriza. Esto permitió a los constructores de estos instrumentos diseñarlos de manera que una gran cantidad de sonidos que cualquiera de ellos puede producir, también los puede producir otro del grupo que, además, independientemente, puede agregar más sonidos todavía hacia la región aguda o grave. Si bien esta capacidad también la tiene cualquiera de los intrumentos de viento, no se equiparan con los instrumentos de arco en cuanto a lo parejo del timbre. Todo esto se puede comprobar fácilmente escuchándolos, para ver cómo se parecen mucho entre si. El violín produce los sonidos más agudos del grupo de arcos, la viola es un “intermediario” entre el violín y el violoncelo, este último, en particular, tiene una extensión de registro tan grande que hasta puede producir algunas de las notas del violín, todas las de la viola y muchas del contrabajo.

De forma parecida a los instrumentos de arco fue tratada la posibilidad de producir un sonido pulsando una cuerda. Los ejemplos más conocidos son la guitarra y el arpa. La guitarra sigue el mismo principio de los instrumentos de arco para producir sonidos de diferente altura. No así el arpa, que predetermina la longitud diferente de las cuerdas, siendo necesario por eso disponer de un encordado mayor. Pero también hay instrumentos de cuerda que funcionan con teclado, como por ejemplo el piano y el clavecín. Mencionaremos aquí también el clavicordio, aunque no tiene cuerdas, pero la razón se verá en seguida.

Clavecín

En elclavecín, el principio seguido para producir los sonidos es el mismo del arpa, aunque no por la acción directa de los dedos sobre las cuerdas, sino mediante una máquina que hace que al accionar una tecla cualquiera, una pequeña cuña le da un tirón a la cuerda haciéndola sonar. Es un instrumento de sonido bastante potente, pero carece de cualquier posibilidad de controlar el volumen del sonido mediante la fuerza de los dedos.

Clavicordio

El clavicordio, en cambio, al contrario del clavecín, puede producir sonidos de diferente intensidad, según la fuerza de los dedos, porque el sonido se produce de forma completamente diferente. En lugar de cuerdas hay un conjunto de láminas metálicas, que son percutidas por acción de las teclas. No obstante, este instrumento tiene otro inconveniente y es que posee un sonido pequeño.

Ambos inconvenientes fueron solucionado de una sola vez por el italiano Bartolomeo Cristófori (1655-1731) con la invención del piano.

Modelo de "pianoforte" inventado por Bartolomeo Cristofori.

El “piano” (abreviatura del nombre original, “pianoforte”, que en italiano significa “suave-fuerte”) le permitió al ejecutante graduar a voluntad el volumen del sonido, según tocase las teclas con fuerza o suavidad, pero – y he aquí la importancia del invento – teniendo cuerdas en lugar de placas metálicas, el sonido  resultó mucho más potente en comparación con el clavicordio.

Con la invención del piano se aplicó con máximo resultado la tercera forma de hacer vibrar una cuerda, es decir, percutiéndola. Sin duda este invento marcó el comienzo de una época, pues abrió la puerta a todo un género de música con efectos de sonido y expresión que hasta ahí eran imposibles en instrumentos de cuerda con teclado. Y al igual que cualquier nuevo instrumento, el piano también tuvo una notable evolución.

La máquina de un piano moderno es un gran perfeccionamiento del modelo original de Cristófori, que, entre otras cosas, todavía carecía de pedales. Aplicando las leyes de la mecánica en Física se llegó a diseñar un complicado sistema de palancas que incluye el uso de pedales. Combinado con el teclado, el pedal derecho permite que las cuerdas prosigan vibrando, a voluntad, aun después de soltar las teclas. El pedal izquierdo, por su parte, desplaza toda la máquina horizontalmente de manera que los martillos no golpeen todas las cuerdas que corresponden a cada tecla. Además, la máquina del teclado es capaz de mover los martillos exactamente a la misma velocidad con que se mueven los dedos al bajar las teclas. Esto último se hizo observando que la fuerza muscular es directamente proporcional a la velocidad de los movimientos del cuerpo humano. La calidad de un piano se aprecia entonces no sólo por el sonido, sino también por la capacidad de respuesta de la máquina a las sutilezas de toque del pianista.

Ahora bien, conviene saber que esta descripción de la máquina moderna corresponde exclusivamente al piano de cola. El piano vertical, inventado para ocupar menos espacio en las casas de familia, tiene importantes diferencias en la máquina y no puede nunca tener la misma fidelidad de respuesta que un piano de cola.

He dejado a propósito un detalle para el final, por tratarse de una característica común a todos los instrumentos de cuerda,  sin excepción. Existe un problema al que hubo que hallarle una solución tempranamente, y es que las cuerdas capaces de producir sonidos de baja frecuencia necesitarían tener una longitud desmesurada en proporción al tamaño del instrumento, excepto observando que también hay una relación entre el peso de la cuerda y la frecuencia del sonido producido. Si tenemos dos cuerdas, A y B, de la misma longitud e igual grado de tensión, pero donde la cuerda B es más gruesa que la cuerda A, se puede comprobar que el sonido de la cuerda B será de más baja frecuencia que el de la cuerda A. No obstante, si el grosor necesario fuese excesivo, ya no tendríamos una “cuerda” propiamente dicha, sino un cilindro de menor longitud pero muy poco flexible, y no podría producir un sonido musicalmente aceptable. La solución hallada fue el entorchado, que consiste en enrollar un alambre fino a lo largo de toda la cuerda en cuestión. Con este procedimiento se consigue aumentarle el peso, sin afectar significativamente la flexibilidad, y la longitud queda reducida a dimensiones más practicables en la construcción de instrumentos. Si observamos las cuerdas de las notas más bajas del piano, por ejemplo, podremos ver ese tipo de cuerdas – llamadas bordonas – que también podemos hallar en la guitarra, el arpa, el violín, etc.

Los instrumentos de percusión.

Por su parte, los instrumentos de percusión forman una variedad enorme, pues de hecho cualquier cosa que se golpee producirá un sonido. La riqueza mayor se encuentra en la música folclórica, posiblemente debido a esta facilidad. Claro que esto no se debe tomar muy al pie de la letra, porque si bien es cierto que cualquier objeto puede ser usado como instrumento de percusión, no es menos cierto que, igual que en cualquier otro caso, existen perfeccionamientos buscando la calidad del sonido producido, pues marcar el ritmo no es la única aplicación de estos instrumentos, como suele creerse. Hay también instrumentos de percusión con afinación y en algunos se puede tocar perfectamente una melodía. Y, aunque  es una clasificación poco conocida, nada menos que el piano se considera que es un instrumento de percusión. ¿Por qué? Será discutible, pero la causa es que el sonido se produce a golpes de martillo…

Otros instrumentos.

La lista de instrumentos es incompleta por fuerza, ya que las músicas regionales emplean no sólo instrumentos autóctonos, sino incluso variedades raras de los instrumentos ya mencionados. También durante la Edad Media estuvieron en uso varios instrumentos de cuerda y flautas que luego cayeron en desuso, pero fueron antecesores de los instrumentos modernos.  En la actualidad algunos intérpretes han rescatado el uso de instrumentos antiguos con el fin de hacer escuchar la música tal cual era en aquellas épocas, con sus sonoridades originales – muy distintas de las actuales.

El rey de los instrumentos.

No se puede dejar de mencionar en esta reseña el órgano, que en realidad es una enorme orquesta de instrumentos de viento, con tubos cuyas longitudes pueden ir desde pocos centímetros hasta varios metros, todo accionado por un solo ejecutante desde uno o más teclados y una pedalera (teclado manejado con los pies), además de consolas de registros que permiten manejar combinaciones de timbres y acoplar sectores enteros de tubos, permitiendo graduar el volumen del sonido resultante. Un motor mueve un sistema de aire comprimido que sopla constantemente, pues cada vez que se baja una tecla, o se activa un registro, se abren válvulas en los tubos que corresponden a las notas y el aire debe entrar para que suene. Podemos imaginar fácilmente que detrás de la construcción de órganos hay estudios muy desarrollados, incluso de ingeniería, para materializar un instrumento tan complejo.

La voz humana.

En toda esta búsqueda de mayores recursos técnicos para la música no podemos olvidar los trabajos de investigación sobre la voz humana. A fin de cuentas, no olvidemos que uno de los orígenes de la música es atribuido al canto.

Cuando todavía no se había inventado el micrófono, el problema era hallar alguna manera de hacer que la voz cantada se pudiera escuchar con claridad en grandes salas e incluso al aire libre. Y no sólo eso. La música terminaría exigiendo que la voz pudiese ser escuchada en combinación con grupos instrumentales que podían llegar a ser una orquesta sinfónica, como ocurrió a partir de los siglos XVIII y XIX. El desarrollo de la ópera exigió muchas cualidades a los cantantes, haciendo que la técnica del canto evolucionase grandemente. Esa técnica se llama impostación de la voz. ¿En qué consiste exactamente?

Es un estudio de base anatómica para aprovechar los resonadores naturales del cuerpo humano. Éstos se ubican en la cabeza y el tórax. Similarmente a cualquier instrumento, los huesos de esas partes del cuerpo amplifican las vibraciones de las cuerdas vocales. Si no fuese por esos resonadores naturales, no podríamos hacernos oír ni siquiera cuando hablamos. Además, el timbre de voz que diferencia a una persona de otra responde exactamente a los mismos factores que vimos acerca de los armónicos. Aunque, claro está, en este caso las características del resonador están dadas por la naturaleza, y solamente mediante las técnicas del canto pueden resaltarse y aun modificarse de manera más o menos significativa. En el canto las exigencias pueden ser muy grandes, y diferentes estudios acerca de la musculatura del aparato respiratorio, y la garganta, además de investigarse cómo se puede dirigir mejor la voz hacia los resonadores, en forma a veces empírica y otras veces no, terminaron consolidando la técnica vocal aplicada al canto lírico.

La invención del micrófono y los amplificadores electrónicos de sonido no hicieron caer en la obsolencia las técnicas del canto lírico por varias razones. La más importante es que la técnica vocal le permite al cantante aumentar considerablemente no sólo la potencia, sino además la amplitud del registro de su voz, es decir, hasta dónde podrá llevar la voz, tanto hacia las notas agudas como las bajas, sea que cante con o sin micrófono. Por otra parte, el público sigue prefiriendo que en el repertorio lírico las voces se escuchen naturalmente y no se recurra al micrófono.

Pero la historia no nos puede contar todo…

Uno de los violines de la colección Stradivarius del Palacio Real de Madrid. (Wilkipedia)

Desafortunadamente, muchos de los investigadores se llevaron a la tumba el fundamento de sus teorías y descubrimientos. En algunos casos es muy probable que esto haya ocurrido porque, además, ellos mismos eran fabricantes de instrumentos. En el afán de mantener en secreto los procedimientos de fabricación, para no cederlos a ningún competidor, terminaron comportándose de una forma por cierto poco generosa hacia las generaciones futuras de músicos.

Uno de los casos más célebres fue Antonio Stradivarius, hace trescientos años, cuyos violines han podido ser imitados pero nunca igualados en la calidad del sonido. Los violines modernos y demás instrumentos de arco que hoy vemos en las orquestas, además de la mayoría de los utilizados por los solistas, son el resultado de exhaustivas investigaciones, incluso mediante computadoras, que lograron mucho – pero no todo – tratando de descubrir, sin suerte, el último gran secreto de un legítimo Stradivarius.

Y sin duda debe haber habido también muchos otros casos similares, cuyos nombres desconocemos. Tan sólo deducimos que debieron existir porque, a medida que los instrumentos van apareciendo en la historia, los vemos ya en una etapa de perfección lograda que debió tener necesariamente antecedentes.

Algo semejante sucede con la historia de la técnica para tocar o cantar. Muy rara vez se conoce a los auténticos descubridores de esas técnicas, porque muchas veces  obraron tan sólo por instinto para hacer sus descubrimientos. En el próximo artículo le dedicaremos atención a estos intuitivos, pues existe una polémica al respecto.

DE LA CALAMIDAD QUE ACAECIÓ A YUN-ILARA JUNTO AL MAR Y DE LA CONSTRUCCIÓN DE LA TORRE DEL FIN DE LOS DÍAS

Cuando Kabok y sus miedos hubieron descansado, la gente buscó un profeta que no temiera a Mung, cuya mano se alzaba contra los profetas.

Y finalmente encontraron a Yun-Ilara, que era pastor y no temía a Mung, y la gente lo llevó a la ciudad, para que pudiera ser su profeta.

Y Yun-Ilara construyó una torre junto al mar que miraba al Sol poniente. Y la llamó la Torre del Fin de los Días.

Y al final del día, Yun-Ilara subía a la cúspide de la torre y miraba hacia la puesta de sol para lanzar sus maldiciones sobre Mung, gritando: “¡Oh, Mung, cuya mano se alza contra el Sol, a quien los hombres aborrecen pero adoran porque te temen, aquí se alza y habla un hombre que no te tiene miedo! Asesino, señor de la muerte y la oscuridad, aborrecible, inmisericorde, haz el signo de Mung contra mí cuando quieras, pero hasta que el silencio selle mis labios por el signo de Mung, ¡maldeciré a Mung en su cara!”

Y la gente de las calles cercanas miraban maravillados hacia Yun-Ilara, que no temía a Mung, y le llevaban regalos; sólo en sus casas, una vez caía la noche, rezaban de nuevo con reverencia a Mung.

Pero Mung dijo, “¿Puede un hombre maldecir a un dios?”

Sin embargo, Mung no se acercaba a Yun-Ilara mientras éste lanzaba sus maldiciones sobre Mung desde su torre junto al mar.

Y Sish lanzaba el Tiempo a través de los Mundos, y mataba las Horas que tan bien le habían servido, y conjuraba más desde la extensión intemporal que hay más allá de los Mundos, y las lanzaba de nuevo para asaltar a todas las cosas vivientes. Y Sish convirtió el pelo de Yun-Ilara en blanco, e hizo crecer hiedra sobre su torre, y cansancio sobre sus miembros, pero Mung seguía ignorándolo

Y cuando Sish se hizo un dios aún menos soportable que Mung para Yun-Ilara, dejó de lanzar sus maldiciones sobre Mung desde la cúspide de su torre cada puesta de sol, hasta que llegó el día en el que el hastío del regalo de Kib pesó gravemente sobre los hombros de Yun-Ilara.

Entonces, desde la Torre del Fin de los Días, Yun-Ilara llamó a Mung, exclamando: “¡Oh Mung, el más maravilloso de los dioses! ¡Oh Mung, el más deseable de todos! Tu don de la Muerte es la herencia del hombre, con su descanso y silencio y retorno a la Tierra. Kib no otorga más que trabajo y problemas; y Sish envía remordimientos con cada hora con la que asalta al Mundo. Yoharneth-Lahai ya no viene más. Limpang-Tung no me satisface. Cuando los otros dioses lo han abandonado, el hombre sólo tiene a Mung.”

Pero Mung dijo, “¿Puede un hombre maldecir a un dios?”

Y todo el día y toda la noche Yun-Ilara seguía exclamando: “Ah, lo que daría por la hora del luto de muchos, y las coronas de flores y las lágrimas, y la tierra oscura y húmeda. Ah, lo que daría por el descanso bajo la hierba, donde los firmes pies de los árboles sujetan el mundo, donde el viento que ahora enfría mis huesos nunca llega, y donde la lluvia llega lenta y cálida en vez de impulsada por la tormenta, donde los huesos se desmoronan plácidamente en la oscuridad.” Así rezaba Yun-Ilara, que en su juventud y estupidez había maldecido a Mung y nunca lo había apreciado.

Y aún hoy, desde el montón de huesos que es todavía Yun-Ilara, esparcidos alrededor de la base de la torre que construyó, surge una voz estridente que se entrelaza con el viento, clamando por la misericordia de Mung, si es que existe.

José Cuena Bartolomé en el curso 1973-74

En el artículo anterior de esta anticuada (pero intensa) serie sobre Lógica de aplicación para la informática, para confeccionar la cual estoy usando los apuntes de la asignatura de “Metodología” de mi lejanísimo Segundo de Carrera, de Informática, del año académico 1973-74, impartida por el desgraciadamente fallecido profesor D. José Cuena Bartolomé, llegamos a definir el proceso de deducción lógica dentro del cálculo proposicional. Habíamos visto cómo usar la implicación lógica, el modus ponens y alguna cosilla más.

Como veréis, en esta serie no aparecen ni los silogismos ni, prácticamente, el “modus tollens”^[1] ni todas esas cosas tan de buen ver en la Lógica filosófica tradicional, por no decir medieval, o escolástica, o aristotélica, o sanagustiniana, vaya Vd. a saber.

Pero es que en aquella asignatura de tan misterioso nombre, “Metodología”, de un par de horas semanales nada más, nos quedamos siempre “en el chasis”, en los fundamentos que nos permiten definir, con sólo pensar un poco, todos los demás modos de “modus”, etc. Todo está gobernado por el álgebra de Boole. Ah, si los afanosos silogistas medievales hubieran conocido el álgebra de Boole, las cosas hubieran sido mucho más sencillas… pero aún faltaban algunos siglos para que George Boole, que nació en 1815, definiera su famosa álgebra.

Y el método de exposición que siguió Pepe Cuena, como ya dije, era desde lo particular a lo general, definiendo bien los ladrillitos y luego construyendo con ellos cada vez edificios más y más altos y complejos…^[2] Pues ya nos estamos aproximando a “lo general”…

Estamos ya a mediados, casi finales de abril, el curso se está acabando. Las clases finalizaban por entonces a mediados de mayo, para realizar los últimos parciales y dedicar casi todo junio a los finales, y luego septiembre a los exámenes de recuperación.^[3] El curso se está acabando… y la serie con él. El último tema del curso, y el que cierra el círculo, tendrá que ver con el Cálculo de predicados. Cedamos un día más la palabra a Don José…

Cálculo de predicados, sí, pero… ¿qué es un predicado?

Pues un predicado es alguna cosa que se dice de algo, una cierta información que se da acerca de un término (en gramática o lingüística, diríamos del sujeto).

Supongamos la frase “Juan es fontanero”. Aquí el término es “Juan”, mientras que el predicado es “es fontanero”, que nos informa de que Juan tiene ciertas habilidades que le permiten, entre otras muchas cosas, arreglar un grifo que gotea.^[4] En este caso se trata de un predicado “monádico”, puesto que se refiere a un solo término (Juan) y se representa por P(x), siendo la variable x cada término a los que se refiere el predicado, aquellos términos para los que el predicado P(x) es cierto. En este caso P sería “ser fontanero” y x se referiría a todos aquellos humanos para los que “ser fontanero” sería cierto, entre ellos Juan, claro está. Podríamos decir algo como “Ser fontanero(x)”, por ejemplo.

Ahora bien, los predicados que usamos en la vida corriente no son todos monádicos, ni mucho menos, sino que muchos se refieren a dos términos a los que ponen en relación, como en “Luis es amigo de Juan”, que expresaríamos P(x,y) (P sería aquí “ser amigo”, y x e y, dos personas que cumplen esa relación de amistad, como en “Ser amigo(Luis, Juan)”), o también tres términos, como en “Zaragoza está entre Madrid y Barcelona”, que denotaríamos P(x,y,z), o cuatro… y así sucesivamente. Serían predicados diádicos, triádicos, etc, respectivamente.

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Vamos al lío.

Si tenemos un cierto Conjunto Universal (los españoles, los hispanoparlantes, la Humanidad en pleno, las plantas de mi jardín… lo que sea), podemos definir un cierto predicado que sea cierto para todos y cada uno de los componentes de dicho Conjunto Universal (como en “Todos los hombres son mortales”), o bien que sea cierto solamente para algunos de ellos (como en “Algunos hombres son fontaneros”), o, por fin, que no sea cierto para ninguno (por ejemplo, “Ninguna planta de mi jardín sabe hablar”).

Creo que os habéis dado cuenta de que ésta es la definición formal de un concepto que estaba apareciendo de rondón en artículos anteriores de la serie, sobre todo en el de la implicación lógica y en el anterior, el del proceso deductivo. Me refiero a la distinción entre los predicados Universales, que aplican a todos los elementos que componen un cierto Conjunto Universal, y los Particulares, que sólo aplican a algunos elementos de dicho Conjunto Universal y no a otros.

Todo lo que hemos visto hasta ahora, la escurridiza implicación y el proceso deductivo, se aplican a cualquier proposición, sea del tipo que sea. Tanto nos da que las proposiciones sean ciertas en todo el universo o sólo en el rellano de mi escalera: el método para tratarlas es idéntico.

Es ahora, mediante el Cálculo de Predicados, donde se introduce el concepto Universal/Particular y donde se hacen distinciones evidentes según que un predicado sea de un tipo o de otro. Ladrillito a ladrillito, la casa cada vez es más alta y resistente…

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Bueno, pues para la definición formal de estos predicados, que se refieren a todo un conjunto o a sólo una parte, necesitamos algo más, algo que nos ayude a cuantificar cuántos elementos están afectados. Este algo más son los cuantificadores (), que junto con la negación () permiten expresar todos estos tipos de predicados.

Estos cuantificadores se definen de la forma siguiente:

Todos los hombres son mortales: (siendo H: “Los Hombres”, y P: “ser mortal”, y se lee: “Para todo x perteneciente a Los Hombres, x es mortal”).

Algunos hombres son fontaneros: (siendo H: “Los Hombres”, y P: “ser fontanero”, y se lee: “Existe algún x perteneciente a Los Hombres, donde x es fontanero”).

Ninguna planta de mi jardín sabe hablar: (siendo J: “Las Plantas de mi Jardín”, y P: “saber hablar”, y se lee: “Para todo x perteneciente a Las Plantas de mi Jardín, x no sabe hablar”).^[5]

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Como veis, hasta aquí no es muy complicado… Veamos ahora cuáles son las propiedades de los dos cuantificadores, el universal (Para todo) y el existencial (Existe), y cómo podemos representarlos en nuestra vieja conocida forma, como variables booleanas extraídas directamente del Cálculo Proposicional. No nos acobardemos: veréis que, en realidad es todo muy sencillo e intuitivo…

implica que , es decir, todos y cada uno de los que forman el conjunto universal estudiado cumplen que

En nuestro ejemplo de “todos los hombres son mortales”, esto quiere decir que Juan es mortal, Luis es mortal… etc, hasta El Tato es mortal: todos los individuos comprendidos en el conjunto de “Los Hombres” son mortales, por lo que “mortal(x)=1, para cualquier x”. Y esto lo podemos formular de forma sencilla como proposiciones, como vimos en el artículo correspondiente:

 o, en álgebra de Boole:

,

Tranquilidad en la Sala… Esta formulita de nada no hace ni más ni menos que decir lo siguiente: si todo x perteneciente a X cumple P(x) implica que si tomamos por separado todos y cada uno de los “x” que integran el conjunto X, y miramos qué le pasa a P(x), entonces resulta que la proposición P(x) es cierta, o sea, 1, para todos los x. Si no fuera así, no sería “Para todo…”.

Por tanto, la conjunción (·) de todos los P(x) individuales es 1 también (puesto que 1·1·1…·1=1, evidentemente).

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Por otra parte, implica que habrá algún , al menos 1, en que ocurrirá que . Por ejemplo, como Juan es fontanero, (siendo P “ser fontanero”, en este caso). En notación proposicional, esto quedaría:

  o, en álgebra de Boole:

.

Ahora, lo que decimos con Existe un x perteneciente a X que cumple P(x) es, ni más ni menos, que al menos uno de todos los x que pertenecen al conjunto X debe cumplir que P(x)=1. Por tanto, la disyunción (la suma lógica, el +) de todos los P(x) tendrá como resultado 1, dado que hay uno, al menos un P(x), ése que “existe“, cuyo valor es 1. Entonces, por mucho que todos los demás P(x) valgan 0 (sean falsos), ese único valor verdadero (ese único Juan que sí que es un fontanero de rompe y rasga) hará verdadera la suma lógica.

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¿Y qué pasa con la negación de un cuantificador? Veamos:

 , debido a la aplicación de la siempre tan útil Ley de De Morgan, y por tanto:

Es natural y lógico. Decir que “No todo x cumple P(x)” es lo mismo que decir que “Existe un x tal que no se cumple P(x)“, o lo que es lo mismo, “Existe un x para el que no se cumple P(x)“, y por fin, “Existe un x tal que P(x)=0“.

O sea, traduciendo al lenguaje natural, si no todo el mundo es fontanero, es porque hay alguien, al menos uno, yo mismo sin ir más lejos, que no es fontanero. Una perogrullada como una casa.

¿Veis cómo en realidad las fórmulas son muy sencillas? Imponen, con tanta x y tanto simbolito raro, pero son evidentes.

Al contrario, es fácil demostrar que . Es decir, si no existe nadie que sea fontanero es porque todo el mundo no es fontanero. Otra vez evidente, al traducirlo al lenguaje cotidiano.

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Entonces, refiriéndose al producto lógico, o sea, booleano, y no a la multiplicación “normal”, como supongo que os habréis dado cuenta, y en cuanto al cuantificador existencial:

^[6]

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Por otra parte, ¿qué pasaría si nuestro predicado no fuera monádico, sino que se refiriera a dos términos a los que pone en relación?

Pues, si tenemos la expresión , podemos operar con ella de la siguiente manera:

…

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Este tocho de fórmulas es intimidante, de acuerdo, pero en lenguaje cotidiano es una obviedad. En realidad no quiere decir ni más ni menos que lo siguiente: que todas las posibles combinaciones de P(x,y), tomemos como tomemos los x’s y lo y’s, los emparejemos como los emparejemos,  tendrán siempre como resultado 1, y por tanto,  la conjunción (con Y, con ·) de todas ellas, como todas valen 1, será 1 también.

Así, por ejemplo, si decimos que en un pueblo todo el mundo es amigo de todo el mundo, con lo que el predicado básico es Ser Amigo(x,y), que valora si x e y son amigos (y valdrá 1 si sí que son amigos, y 0 si no lo son),^[7] entonces, elijamos como elijamos las x’s y las y’s, sean quienes sean esos x e y, aunque vivan en los extremos más alejados del pueblo, son efectivamente amigos, así que para ellos el predicado Ser Amigo(x,y) es igual a 1, y por tanto la conjunción (el producto lógico) de todos ellos será 1 también. No es tan difícil, como veis.

Para  tres variables (x,y,z), cuatro, etc, procederíamos de igual manera, generalizando esta misma fórmula.

Y naturalmente, dada la simetría del álgebra de Boole, podemos de la misma forma asegurar que

No lo voy a escribir, pero cambiando el + y el · sale del tirón…

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Por otra parte, es sencillo demostrar que los cuantificadores pueden “saltar” por los signos de conjunción o disyunción a través de las funciones. Veamos (y que no os intimiden las fórmulas, que parecen muy complicadas pero no lo son en absoluto).

En primer lugar, supongamos que tenemos los dos siguientes predicados individuales:

: “Hace frío”, y

: “Todas las vacas tienen cuernos”, o, mejor expresado, “Para todo x perteneciente al conjunto de las vacas, x tiene cuernos”.

Entonces el predicado significaría “Hace frío y todas las vacas tienen cuernos”. Es evidente que “p” es aquí un predicado que no tiene nada que ver con la variable y, es independiente a ella (porque hace frío, o no, independientemente de que las vacas tengan o no cuernos).

Operemos ahora un poco con este predicado compuesto:

Es decir: , lo que quiere decir en nuestro ejemplo que “Para todo x perteneciente al conjunto de las vacas, hace frío y x tiene cuernos”. Como veréis es incluso realmente difícil expresar esta sutil distinción en español.

Ahora veamos qué le ocurre al siguiente predicado: . Operando:

. . .

Aquí, cada predicado es independiente de (tiene que ver con la variable x, que es obviamente distinta de y), así que podemos aplicar la propiedad que demostramos unas líneas más arriba. Queda que:

Entonces podemos finalmente afirmar que:

, y que el cuantificador “Para todo” puede saltar a través de la fórmula del predicado, a guisa de saltimbanqui…

Análogamente (esto ya no lo demuestro: es prácticamente inmediato en base a lo anterior):

y por fin:

Bello, ¿no?

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Se define entonces la Forma Normal PRENEX para representar fórmulas en Cálculo de Predicados, donde las funciones adoptan la forma siguiente:

Primero, todos los cuantificadores, en cabeza de la fórmula, aprovechando que pueden “saltar” a través de ellas.

Después, todas las expresiones, ligadas exclusivamente por conjunciones, , o disyunciones, , y donde la negación, las que haya, están aplicadas exclusivamente a las proposiciones simples, no a expresiones.

Esta última parte es sencilla de ver, pues ya vimos cómo se podía convertir cualquier expresión booleana a una suma de productos, para llegar a expresar toda función booleana en su Forma Normal Disyuntiva (o Conjuntiva, tanto da)… y dado que los cuantificadores pueden “saltar” a través de la expresión (siempre que se refieran a las propias variables sobre las que saltan, o bien sean independientes de ellas), no es muy difícil llegar a escribir cualquier predicado, por compleja que sea su expresión, en Forma Norma PRENEX. Con ello se consigue tener una forma de expresión que permite comparar diferentes expresiones con predicados, para ver si son iguales o, si no lo son, en qué se diferencian (algo similar a lo que se obtenía mediante la Forma Normal Disyuntiva, si os acordáis).

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Un ejemplo. Se pide escribir en Forma Normal PRENEX la siguiente expresión:

Veamos…

 en primer lugar, una simplificación de la implicación “”  …

  ahora un cambio de cuantificador negado: No existe ningún x tal que R(x) es lo mismo que Para Todo x se cumple que No R(x). R(x) aquí hace referencia a la expresión compleja que hay dentro del paréntesis…

 la negación entra dentro del paréntesis, y en el camino cambia el por el , según la Ley de De Morgan…

  otro nuevo cambio de cuantificador negado: No todo y cumple Q(y) es lo mismo que Existe un y tal que No se cumple Q(y)…

 ahora el cuantificador existencial salta, a modo de saltimbanqui, a través del paréntesis…

,  et voilà!, la expresión resultante ya está en Forma Normal PRENEX.

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Vaya. Ha salido un artículo relativamente cortito para mis costumbres. Pero otra vez intenso. Creo.

Se está terminando el mes de abril… de 1974. Sólo quedan un par de clases, como mucho,^[8] antes de los exámenes finales, así que usamos esas dos clases finales para terminar con algún detalle y hacer ejercicios para ejercitarnos antes de dichos exámenes… pero aún da para otro artículo más, que, esta vez sí, será el último de esta serie sobre Eso que llamamos Lógica que rememora las clases que Don José Cuena impartió a los alumnos de Segundo de Informática aquel calentito año de 1974… Hasta entonces.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Ni mucho menos el “modus ponendo tollens”, el “modus tollendo ponens” ni ningún otro tipo de inferencia clásica… sabiendo álgebra de Boole y cálculo proposicional, no hacen falta.
2. Es lo que los consultores llamarían un método “bottom-up”, o de abajo arriba, en contraposición al método “top-down”, de arriba abajo, o desde lo general a lo particular.
3. Ahora, con eso de “Bolonia”, el calendario universitario tradicional ha cambiado tanto que ya no sé cómo funciona.
4. Atentos al dato: Lo que yo tengo anotado en mis apuntes, el ejemplo que usó Pepe Cuena en 1974, no era “Juan es fontanero”, no, sino que era… “Juan es negro”. En aquella época, decir de alguien que “era negro” no tenía ninguna acepción extraña: su piel era de color negro o de algún tono más o menos chocolate, y punto. Si ahora se me ocurre poner en el texto principal, “Juan es negro”, así por las buenas, sirviéndome además para casi todos los ejemplos y diatribas posteriores, seguro que me cae la del pulpo. Ay, ¡cómo ha cambiado la sociedad española en cuarenta años! ¡Y qué mal llevo yo lo de la “corrección política”, eso de “personas de color”, “ciudadanos y ciudadanas”, “miembros y miembras” y demás sandeces, memeces y estupideces por el estilo.
5. Al menos, no saben hablar en español…
6. No tendré que repetir aquí que se trata de una suma lógica, y no aritmética… ¿verdad?
7. Y no, no vale “0,5″ si son conocidos pero no se llevan muy bien y tal… sólo 0 y 1.
8. Y eso si no hacemos huelga por alguna importante razón; a mediados de los setenta del siglo pasado ésa era una situación bastante común… los únicos que podían hacer huelga sin terminar en el trullo éramos los estudiantes, aunque ciertamente la autoridad de entonces lo llamaba más bien “hacer pellas”.

Tras 33 artículos y más de un año, la serie de Teoría de juegos llegó a su fin, y nos ha parecido interesante recopilarla en forma de libro, para que podáis regalarlo o quemarlo ritualmente o lo que sea.

El contenido del libro es básicamente el mismo que el de los artículos, aunque editados para adecuarse al medio impreso. Algunos pasajes han sido ligeramente ampliados, para aprovechar la experiencia de haber leído vuestros comentarios a los artículos de El Cedazo, pero en general el contenido es fundamentalmente el mismo. Por supuesto, hemos aprovechado para corregir una nueva remesa de erratas, que siempre siguen quedando, por más que lo hayas leído medio centenar de veces… pero vamos, eso es peccata minuta.

¿Y por qué uso continuamente la primera persona del plural si el autor soy yo? Pues porque os podéis imaginar que los revisores/editores/correctores/animadores han sido Pedro y Macluskey, a los que no podré agradecérselo lo suficiente. No solo por las numerosas lecturas que han hecho del texto (corrigiendo en cada una de ellas un puñado de errores), sino por el acicate para mejorarlo, convirtiéndolo de una recolección de los artículos a algo con forma de libro de texto. Ah, y además, Macluskey se ha marcado un prólogo con más batallitas. Ahí es nada.

Por supuesto, el otro agradecimiento grandote es para los lectores que, primero, habéis jugado a los juegos que proponía, ayudando a hacer el experimento, y segundo, habéis ayudado a corregir el texto, remarcando cuando algo no quedaba del todo claro o corrigiendo cosas que eran directamente errores.

Y finalmente no debemos olvidarnos de Geli, que además de ayudar a Pedro a mantener El Tamiz y El Cedazo, ha diseñado la “cubierta corporativa” verde que tan chula queda.

El precio de lista del libro es de 12€ en su versión impresa (gastos de envío aparte) y 5€ en su versión electrónica (PDF), pero durante la primera semana estará disponible con un 20% de descuento como oferta de lanzamiento.

• Edición impresa.
• Edición electrónica.

Además, como sabéis, Pedro acaba de publicar también su monografía sobre las ecuaciones de Maxwell, de modo que si por casualidad queréis pedir ambos a la vez, podéis compartir los gastos de envío. Si es así, aseguráos de que añadís ambos a la cesta antes de pagar, de modo que combinen gastos de envío; el libro de las ecuaciones de Maxwell está disponible aquí.

Espero que os guste tanto como me gustó a mí escribirlo.

Hallazgos arqueológicos  indican que en la prehistoria ya existía la música.

En el artículo anterior decíamos que la ciencia es la autora de ciertos principios donde el artista podrá, luego, expresar con sonidos su propio espíritu. Y, tal vez también el de la humanidad, pues la expresión mediante sonidos habría sido previa a lo que entendemos por vida civilizada.

Preparémonos entonces para un largo viaje, hasta los mismos confines de la historia humana, allá donde alguna vez nació la música.

No es mucho lo que sabemos, pero hay indicios claros de que la música se originó en aquellos tiempos lejanos. Si queremos entender con mayor profundidad un proceso complejo de evolución que llega hasta nuestros días, nuestro punto de partida deberá remontarse hasta aquella época lejana. Ahí fueron inventados los primeros instrumentos musicales, nació el ritmo, el canto, la danza, y – aunque parezca extraño – se hicieron las primeras observaciones que conducirían, finalmente, hasta la formulación de ciertas leyes de la Acústica que habrían tenido su origen en la música.

Pero no nos adelantemos tanto al tiempo…

Quedan muchas incógnitas que tal vez jamás podamos resolver.

Algunos opinan que la música habría comenzado con la imitación de ciertos sonidos de la naturaleza que tienen alguna entonación, como el sonido del viento, el canto de las aves, el rugido de algunos animales, etc. Otros creen que las primeras manifestaciones fueron por medio del canto, que se habría originado al desarrollar las inflexiones naturales de la voz al hablar, siendo ésta una teoría apoyada por algunos filósofos y sociólogos, entre ellos Jean Jacques Rousseau y Spencer. También hay quienes suponen que pudo originarse en el ritmo y la danza. La danza, a su vez, sería un desarrollo de los gestos corporales y los movimientos al caminar marcando el ritmo con algunos instrumentos de percusión.

En realidad cualquiera de estas hipótesis puede estar en lo cierto, pero no hay ninguna prueba de que haya sido así. Si nos atenemos a la documentación arqueológica, lo único que podemos saber es que se danzaba, que se practicaban ciertos ritos y que se halló una variedad de  instrumentos musicales en las excavaciones. No hay trazos de escritura que pudieran sugerirnos algo sobre cómo sonaba aquella música. Y eso es todo.

FLAUTAS PREHISTÓRICAS. Estos ejemplares están entre los más antiguos encontrados. Sin embargo, obsérvese que ya tienen casi el diseño de las flautas actuales.

Respecto a los instrumentos, tan sólo “aparecen” con sus formas casi definitivas en la historia, sin conocerse exactamente dónde, cuándo ni cómo se originaron. Lo que ciertamente se podría afirmar sería que, para inventarlos, debió haber necesariamente una experimentación metódica y cierta tecnología – aunque fuese primitiva -, además de ciertos hallazgos sonoros que no habrían sido pasados por alto.

Y tal actitud debió ser el embrión científico de donde habría de nacer no solamente un arte, sino también las herramientas para que los futuros artistas se pudiesen expresar.

¿A quién le molesta la ciencia?

Hay un tema controversial  que conviene atender antes de proseguir. Se dice, con cierta frecuencia, que el arte es una manifestación subjetiva –  y la música no sería una excepción -, razón por la cual no sería necesaria la intervención de la ciencia para hacer arte.

Esta posición radical es sostenida por muchos músicos intuitivos. Defienden la pureza de la inspiración y señalan  casos históricos de músicos geniales que innovaron sin pensar jamás en cuestiones técnicas, y mucho menos en la ciencia.

Pero la historia de la humanidad nos enseña otra cosa, más allá de las excepciones individuales. Los pueblos cuya música ignoró la ciencia se caracterizan por perpetuar – incluso hasta hoy día – una clase de música estancada, que no evoluciona. Solamente cuando la ciencia ha acompañado a la música ha habido una evolución continua.

Es cierto que, sin inspiración artística, la parte científica relacionada no tendría razón de ser. Pero también es verdad que cuando se carece de medios materiales para expresarse – como pueden ser los instrumentos musicales -, de nada le vale al artista la inspiración, aunque fuese genial. En el mejor caso, el único medio disponible será la propia voz para cantar y quizá las manos para marcar algún ritmo.

Y esta limitación parecería que fue percibida ya desde la prehistoria, pues en caso contrario no se habría inventado ni un solo instrumento. Sin embargo, este razonamiento abre una cantidad de interrogantes nuevas.

Sabemos cuáles fueron los primeros instrumentos musicales,  pero ¿ por qué se los habrá inventado?

La arqueología cuenta con yacimientos de restos que incluyen los tres grupos básicos de instrumentos, o sea, de percusión (tambores, maracas de calabaza, palos y raspadores), de cuerda (instrumentos primitivos de arco) y de viento (flautas, cuernos, caracoles, etc.). Pero la mayor parte de esos hallazgos son piezas sueltas de un complicado rompecabezas. No dan una imagen clara del origen de la música, ni de cómo era esa música y, mucho menos, por qué alguien que tuvo entre sus manos algunos objetos  pensó transformarlos en instrumentos musicales.

Los arqueólogos han formulado al respecto las más diversas teorías acerca de los motivos de los humanos primitivos  para hacer música. Por ejemplo, durante el paleolítico habría sido un recurso mágico para los rituales de cacería. También se piensa que en el neolítico la vida sedentaria de algunos grupos humanos habría dado lugar a momentos de ocio, amenizados con danzas y cantos. Pero todas estas suposiciones no explican gran cosa.

En realidad, si imaginamos las posibilidades y oportunidades que el humano prehistórico tenía para producir sonidos, es posible fundar cualquier teoría lógica acerca del origen de la música. Se ha dicho que golpeando dos piedras o cortando un árbol se obtenía un sonido rítmico. También que las formaciones de estalactitas y estalagmitas de las cavernas producen sonoridades diversas al golpearlas con la mano, una madera o un hueso. Charles Darwin imaginaba que la música habría evolucionado a partir de la invitación amorosa del animal humano.

Para llenar mucha información faltante, la musicología comparada estudia la música de los pueblos primitivos que todavía hoy existen. Luego, sobre la base de esas observaciones, se elaboran hipótesis acerca de cómo era probablemente la música de la prehistoria. Tales hipótesis permiten incluso suponer cómo sonaba, tal vez, aquella música. Aunque sólo tal vez.

Pero es precisamente ahondando en esas hipótesis, y sobre todo en la última, como podemos medir el alcance de un misterio.

Ciertamente, es probable que cuando alguien golpeó un tronco hueco y escuchó, descubrió lo que con el andar del tiempo se convertiría en un tambor. Y, por supuesto, repitiendo los golpes para escuchar mejor, pudo haber descubierto un ritmo.

Se dice también que alguien halló por casualidad que al soplar por el extremo estrecho de un cuerno extraído de algún animal muerto se podía producir un sonido, pero… ¿por  casualidad? Para lograr ese resultado aquel individuo tuvo que descubrir, primero, que debía abrir en la punta un agujero no mucho mayor de un centímetro, y soplar allí  haciendo vibrar los labios pues en caso contrario lo único que oiría sería el soplido.  ¿Por qué se le ocurrió investigar todo eso? No lo sabemos.

Y las motivaciones para tanto esfuerzo son difíciles de comprender por el solo hecho de, por ejemplo, querer amenizar momentos de ocio.

Tampoco es sencillo imaginar cómo se descubrió que, si en vez de un cuerno, se usaba el extremo afilado de una caña hueca para soplar, también se podía hacer música. Pero en algún momento esto debió haberse descubierto, u hoy desconoceríamos las flautas. ¿Qué habrá impulsado al descubridor a seguir investigando de ahí en adelante? Seguramente esa cosa sonaba como un pito monótono. Faltaba averiguar que haciendo agujeros en la caña (o en un hueso ahuecado) se podía variar la altura del sonido. Después, observando “dónde y cómo” convenía hacer las perforaciones y, todavía más, observando que tapando con los dedos algunos agujeros y otros no, sucesivamente, se conseguiría que ese objeto tan primitivo hiciese finalmente oír una melodía.

Entonces…

Una gran incógnita sigue en pie.

La mayor de todas estas incógnitas es no poder explicar bien la necesidad originaria de dar algún sentido estético a lo que se oye. ¿Cuál habrá sido el encanto que aquellos oídos primitivos le hallaron a algunos sonidos elementales? ¿Cuál habrá sido el incentivo que tuvieron para transformar una caña hueca, un cuerno o un caracol, en algo capaz de producir una música?

En una palabra: ¿por qué el hombre prehistórico no se conformó solamente con seguir golpeando un hueso contra una estalactita?

Si queremos complicar las cosas todavía un poco más, pensemos que en algún otro momento desconocido de la historia alguien supo que una cuerda tensa podía sonar. Ignoramos cuándo y cómo lo descubrió, pero averiguar, todavía, que podía sonar frotándola con algún objeto o simplemente golpeándola o tirando de ella con un dedo, es algo que pide una fuerte motivación para seguir investigando cuidadosamente.

Los primeros experimentos debieron ser decepcionantes. Se producía nada más que un solo sonido, siempre el mismo, aunque gustase escucharlo. Para solucionar el inconveniente alguien debió observar que una cuerda más larga sonaba diferente que otra más corta… y que poniéndola más tensa, o más floja, la “nota” (diríamos hoy) también variaba. Luego se empezaría a avanzar, paso a paso, hacia el momento en que aparecerían los primeros instrumentos ya casi terminados, y, más tarde, los cálculos matemáticos de la Física relacionada con la música comenzarían en las antiguas civilizaciones.

Recién ahí es donde todo empieza a quedar más claro.

Las primeras orquestas de la historia.

Cuando varios músicos decidieron tocar al mismo tiempo agregando, en ocasiones, el canto a una o más voces, las combinaciones debieron ser sin duda un nuevo incentivo para seguir avanzando. De no haber sido así hoy no conoceríamos los coros ni las orquestas.

Pintura hallada en el interior de una pirámide del antiguo Egipto.

Orquesta sinfónica actual.

Meditemos ahora un momento acerca de lo siguiente: Todas las actividades de la cultura humana comenzaron en alguna época prehistórica oscura. La base científica de la música, que más tarde cristalizaría en civilizaciones como la antigua Grecia o el antiguo Egipto, no debió ser una excepción. Debieron apoyarse necesariamente en la evolución paulatina de los primeros hallazgos sonoros y en una inventiva desarrollada, cultivada con ahínco por los primeros músicos de la prehistoria.

Pero aquellos esfuerzos de observación y creatividad, fuese para cantar, para danzar, o aun ¿por qué no?, para imitar sonidos del ambiente, debieron tener otra finalidad quizá desde los mismos orígenes. Quizá la mejor pregunta que uno se puede hacer al pensar en todos aquellos pioneros anónimos, aquellos lejanos antepasados que descubrieron la música, sea:

¿Por qué tuvieron la ocurrencia de amenizar el ocio, o los ritos, precisamente con música?

Es interesante detenernos un momento en este punto.

¿Por qué existe la música?

De todas las artes, la música parece ser la más difícil de justificar en su existencia como una necesidad del espíritu humano. Puede ser sorprendente, pero si preguntásemos a la gente por qué o “para qué” existe la música, obtendríamos un sinfín de respuestas heterogéneas imposibles de resumir en un contexto claro. Pero preguntemos si es posible un mundo sin música…

Habrá un rotundo ¡NO!, casi unánime.

Es que las demás artes son mucho más explícitas en cuanto al contenido de lo que pueden querer transmitir. Otros artistas se valen de medios tan concretos como las palabras, las formas materiales y las imágenes. Los músicos, en cambio, no.

Por cierto, en ocasiones la música se asocia con otras artes, para conseguir una expresión más concreta, pero será siempre bajo una condición.  Si, por ejemplo, las palabras se incorporan a la música, será en forma de canto y entonces la música y las palabras deberán congeniar entre sí, pues de lo contrario el resultado podrá caer hasta en el ridículo.

Es que la percepción musical es un proceso mental muy complejo. Una serie desordenada de sonidos puede ser que resulte hasta agradable, como podrían ser los sonidos de la naturaleza, pero empezaremos a sentir la necesidad de ordenarlos de alguna manera, poniendo más atención en algunos sonidos que en otros, hasta poder percibir alguna “forma”.  Esa forma no es material, es tan sólo la capacidad que nuestro cerebro tiene para separar, combinar y hasta ordenar de manera lógica lo que nos interesa y lo que no.

¿Un ejemplo?

En una habitación donde hay una música de fondo podemos conversar con la persona que tenemos al lado y entender lo que dice sin que la música nos moleste. Pero viene alguien y levanta el volumen del sonido. Queremos seguir hablando y ahí la música se vuelve molesta, casi un ruido. Pero si la persona a nuestro lado dice sólo tonterías, puede ser que la conversación sea un barullo molesto porque habríamos comenzado a atender a la música aunque nadie hubiese levantado el volumen.

De manera muy parecida, si el texto de una canción nos resulta más interesante que la música en sí, no será lo mismo que a la inversa. Claro que si ambos elementos congenian entre sí percibiremos la experiencia como un todo unificado.

Es posible que sin esa capacidad de la percepción auditiva los sonidos nunca se podrían ordenar en nuestra mente para darles un significado comprensible. Hay personas “sin oído” – decimos – que no logran entender la música, y la causa parecería estar justamente en una incapacidad para una síntesis mental de los sonidos que perciben. Se conjetura que la causa de este defecto estaría en que hay un alto grado de abstracción en el hecho musical, pero parece que no puede ser en grado absoluto.

Por alguna causa, la música necesita ser asociada con otras zonas del pensamiento y las percepciones.

Con frecuencia los músicos se refieren al “lenguaje musical”, a la “frase” como componente del “discurso musical”, al “color” de las combinaciones sonoras, hablan de la “paleta orquestal”, de las “formas” y hasta de la “arquitectura” de una obra musical, etc. En realidad, se trata evidentemente de metáforas, pues la música no habla, carece de forma visible o palpable, el espectro de las ondas del sonido no coincide con el de la luz y no se puede descomponer en colores.

La escritura de la música es una grafía que concuerda con las sensaciones espaciales. No se necesita explicación para saber cuáles son los sonidos "ascendentes" o "descendentes".

Y sin embargo se han formulado toda clase de teorías intentando explicar por qué una proporción estimable de personas normales asocia los sonidos musicales con algún lenguaje sin palabras,  espacios, formas, y hasta colores, concordando así con las metáforas que los músicos suelen usar. Por alguna causa que la ciencia aún no ha logrado explicar bien, cualquier persona que escucha por ejemplo una sucesión de sonidos cuyas frecuencias (vibraciones por segundo) van en aumento, dice que la progresión es “ascendente” y casi nunca al contrario. A la inversa, si las vibraciones por segundo van decreciendo, la percepción es que el sonido “cae” hacia regiones “profundas” (sonidos de muy baja frecuencia). Por alguna razón que se ignora, también hemos terminado diciendo que un sonido de muy alta frecuencia es “agudo” como si pudiese tener filo o punta, le medimos el “volumen” como si hubiese algún espacio ocupado, algunas voces tienen “dulzura” o son “ásperas”, etc.

Fenómenos psíquicos como estos se catalogan frecuentemente dentro de la sinestesia, que sería la capacidad de los sentidos para interactuar entre si. El fenómeno no se limitaría, por otra parte, tan sólo a los músicos. Por ejemplo, Baudelaire hablaba de “una metamorfosis mística de todos mis sentidos fundidos en uno solo”.

Richard Cytowic

Los trabajos de investigación en este campo son bastante recientes y muy discutidos. Hay citas históricas de larga data por parte de quienes investigan en este terreno. En 1999 el investigador italiano Tornitore, en su Teoría de la Historia de la Sinestesia, declara que ya Pitágoras, Aristóteles y Newton identificaban la presencia de tales fenómenos sensoriales. Tanto Tornitore como el norteamericano Richard Cytowic, en 1995, coincidieron en afirmar que el campo de estudio de la sinestesia solamente podrá ser ensanchado a partir del desarrollo de la neurociencia y, en particular, de la neuropsicología, con auxilio de la tomografía computarizada del cerebro. No obstante, existen básicamente dos tendencias opuestas en el campo del estudio de la sinestesia. Una defiende el carácter hereditario y selectivo en los seres humanos, mientras la otra posición es más radical y sostiene que todos somos sinestésicos, pero solamente un pequeño grupo de personas tiene consciencia de la naturaleza holística de la percepción sensorial. Según Cytowic, en cambio, el fenómeno se presentaría en el ser humano de forma peculiar y diferenciada.

Generalmente estas conclusiones llevadas a los extremos se califican como seudociencia, y es por una causa muy concreta. Algunos casos comprobados de personas que cuando ven una luz oyen realmente un sonido, o que si saborean un dulce ven un color, son considerados dentro de la patología neurológica, pues se trata de un síndrome que puede conducir a la persona a desarreglos mentales que le impidan orientarse en el ambiente, con consecuencias en el comportamiento.

Desde luego, los casos que decíamos primero no están entre estos últimos, sino en el campo estricto de las asociaciones de ideas, donde diferentes percepciones, registradas anteriormente en la memoria, pueden resultar combinadas ante cualquier nuevo estímulo.

Pensemos un momento en lo siguiente.

¿Podemos evadirnos del mundo sonoro?

Aquí habría que hacer una distinción entre oír y escuchar. Quien oye, no necesariamente escucha. Para que una persona normal pueda asociar mentalmente un sonido cualquiera con algún otro tipo de sensación, tiene que poner por lo menos un mínimo de atención, escuchando. No importa mucho si el sonido proviene de una orquesta sinfónica o de la naturaleza. Y entonces, nuestro cerebro debe interpretar de alguna manera la sensación percibida, y lo hace por comparación con información guardada en la memoria. Cuando, en cambio, un estímulo produce una sensación que no se puede comparar con nada que la persona recuerde, resulta incomprensible.

Ahora bien, el sonido está en todas partes y comparte una multitud de otras sensaciones a un mismo tiempo. No es sorprendente que la memoria registre entonces toda clase de asociaciones. Por eso es que los sonidos nunca nos serán indiferentes, y que tenemos tendencia natural a asociarlos con alguna otra cosa, excepto que jamás prestemos atención a lo que nuestros oídos nos permiten percibir. Es posible que quien sea incapaz de escuchar con atención el viento o el canto de las aves, el retumbar del trueno, el murmullo del follaje, o del agua en un arroyuelo, el chasquido de las olas al borde del océano, y muchos sonidos más de la naturaleza, además del ruido humano que ríe, grita y llora, quizá sea también incapaz de comprender la música en profundidad. Esto no quiere decir que nunca la oiga, pero podrá serle casi siempre una experiencia más o menos intrascendente por falta de asociación de ideas… aunque luego asegure que no imagina un mundo sin música.

¿Podemos concluir con esto en que el ruido sería la esencia que da origen a la música?

Podría ser que sí, pero entendiéndolo únicamente desde un punto de vista evolutivo. Es decir de lo elemental hacia lo elaborado. Desde la materia prima en bruto hasta una obra de contexto estético.

Al igual que los sonidos musicales, el ruido contiene las cuatro cualidades del sonido, que son: altura, intensidad, duración y timbre, pero el ruido no es música. Puede producir asociaciones de ideas, sí, pero en forma desordenada. El ser humano necesita crear un orden en todo aquello que percibe y, en el caso de los sonidos, es posible que la música sea el único recurso mental para crear ese orden.

El conocimiento científico y la música.

La vinculación más conocida de la ciencia con la música es una rama de la Física, la Acústica. Se trata de la ciencia que estudia todas las propiedades físicas del sonido, y se aplica desde la construcción de instrumentos hasta de salas de concierto, sin olvidar las herramientas teóricas necesarias durante el trabajo creador del artista.

Pero hay otras ciencias no menos importantes, vinculadas a través de industrias, principalmente para la fabricación de instrumentos. Para tener una idea, se realizan tratamientos especiales para muchas maderas utilizadas, se elige el clima donde crecerán los árboles de donde esas maderas serán extraídas, se establece la forma de criar las ovejas de las que luego se extraerá la lana para ciertas piezas como los paños de los martillos de un piano, se estudia cuáles son las aleaciones más adecuadas de metales para fabricar diversos instrumentos o piezas accesorias y, en los últimos 60 años, la electrónica ha dado un fuerte impulso a la invención y perfeccionamiento de nuevos instrumentos cuyas posibilidades musicales están en evolución.

Todavía hay que añadir que, también en años recientes, las técnicas para tocar los diferentes instrumentos se han perfeccionado mediante estudios científicos. Hoy, la preparación de los futuros concertistas se considera eficiente si la técnica que se enseña es de base anatómica y fisiológica, de modo que posibilite un máximo rendimiento de las aptitudes físicas y evite daños corporales a veces irreversibles. La psicología y la neurología también han hecho sus aportes en el campo de los mecanismos del aprendizaje, con diversas aplicaciones en el desarrollo de la memoria y el dominio de la motricidad especializada.

Todo este cúmulo de conocimientos está a disposición del músico contemporáneo tras un proceso evolutivo cuyo origen es difuso y se pierde milenios atrás en la historia. Pero nada de ello tendría sentido sin el impulso de los creadores que imaginan la música, es decir, los compositores. Sin ellos, todas las teorías y las técnicas resultarían estériles, por carecer totalmente de aplicación.

Conviene recordar, sin embargo, que la aplicación de la ciencia por parte de los compositores ha sido por lo general  intuitiva y más bien guiada por las necesidades del arte. Pero, por esa misma razón, muchas veces la investigación científica se vio exigida por la intuición artística para hallar herramientas materiales y técnicas capaces de traducir en sonidos el vuelo imaginativo de los compositores.

Acerca de ello comenzaremos a hablar en el próximo artículo, a propósito de la historia de los instrumentos y cómo la ciencia contribuyó a perfeccionarlos.

Aquejado de un insomnio galopante, el conde pasaba muchas noches en vela.

Corría el año 1741, y el conde Keyserlingk, que a pesar de su germánico nombre era un diplomático ruso, era a la sazón embajador del imperio ruso, cuya zarina era en aquellas fechas Ana de Rusia, en Dresde, la capital de Sajonia, cargo que ostentó hasta 1745, cuando fue destinado en Berlín, la capital de Prusia. El buen Hermann Carl era, como buen príncipe ruso de la época, rico, riquísimo, además de un hombre culto y amante del arte, condición indispensable para poder alternar con la nobleza y la realeza alemana de la época. Y, comme il faut, mantenía a su servicio un considerable número de criados, sirvientes y acompañantes, incluidos, naturalmente, músicos que amenizaban fiestas, reuniones y veladas.

Uno de estos músicos era Johann Gottlieb Goldberg, un dotado clavecinista reputado como uno de los más hábiles de su época, al que Keyserlingk conoció en 1737 y que desde entonces fue su protegido y músico de cabecera. Además, el conde Keyserlingk era, ¡faltaría más!, mecenas y protector de artistas y músicos, entre ellos de un tal Johann Sebastian Bach del que posiblemente hayáis oído algo, por entonces cantor de la Thomaskirche de Leipzig, también en Sajonia, hasta el punto de que llegó a apadrinar a Carl Philipp Emanuel Bach, hijo de Johann Sebastian. Fruto de esta relación mecenas-protegido fue que Goldberg fuera enviado a pasar temporadas con Bach para perfeccionar su técnica y aprender del gran factótum de la música religiosa luterana del siglo XVIII.

Sí, el conde Keyserlingk era un hombre afortunado, todo lo tenía, todo… pero no podía dormir.

Johann Sebastian Bach

Entonces al buen conde se le ocurrió encargar a su protegido y amigo Johann Sebastian la composición de alguna obra que, ejecutada por su fiel Goldberg, le permitiera conciliar el sueño. Entonces Bach decidió escribir para su mecenas un conjunto de variaciones para clavecín sobre un tema principal, alternando pasajes rápidos con otros más lentos, en general alegres y que exaltaran el espíritu de tal forma que llevaran al oyente a un estado de relajación que le ayudara a conciliar el sueño. Y todo eso, a pesar de que al gran Bach de 1741 no le gustaba nada componer variaciones: le resultaba aburrido y poco gratificante: su genio era tal que lo que para casi todo el mundo era dificilísimo o simplemente imposible, para él era trivial… Bach estaba por entonces en el culmen de su producción como Maestro Cantor de la Iglesia de Santo Tomás, donde compuso sus obras más insignes, como por ejemplo la Pasión según San Mateo que salió por estas páginas hace ya bastantes meses.

El resultado de tanto esfuerzo fue un conjunto de un aria (el tema principal), seguido de treinta variaciones sobre ella y terminadas con una repetición final del mismo aria inicial, cerrando así el círculo. Una variación sobre un cierto tema consiste en tomar dicho tema y alterar de forma consistente bien el tempo, la altura de las notas, su disposición u orden, añadirle contrapuntos, cánones, etc, de tal forma que, estando todas ellas basadas sin ambages en el tema original, son al oído del ignorante tan diferentes entre sí que parecen completamente distintas.

Una vez que las variaciones estuvieron en poder del conde Keyserlingk, se las encomendó a su clavecinista de cabecera, Goldberg, para su ejecución siempre que el embajador lo necesitara. A partir de ese momento, en las noches de insomnio el conde pedía a Goldberg que le tocara “alguna de mis variaciones”… y el conde por fin pudo dormir. Tal fue su agradecimiento que entregó a Bach, en pago por sus queridas Variaciones, la escandalosa cifra de cien luises de oro contenidos en una copa también de oro, el equivalente de unos 500 táleros, es decir, casi la misma suma que representaba para Bach un salario anual como maestro cantor de la Thomaskirche, que ya era un salario más que generoso… Y las variaciones fueron desde entonces conocidas como Variaciones Goldberg, en recuerdo del esforzado clavecinista del conde.^[1]

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Todos estos acontecimientos los refiere prolijamente el biógrafo de Bach, Johann Nikolaus Forkel, en la biografía suya que publicó en 1802, más de cincuenta años después de su muerte. La de Bach, quiero decir, que ocurrió en 1750. Y es una historia realmente bonita y sugerente: yo la conozco hace muchos años y siempre me fascinó.

Sí, es una historia bonita. Y falsa.

Prácticamente ningún estudioso de la obra y de la vida y circunstancias de Johann Sebastian Bach la da por verdadera. La obra, originalmente denominada por Bach “Aria con variaciones diversas para clave con dos teclados” fue compuesta a lo largo de varios años y publicada en 1741 como la cuarta parte del “Clavier-Übung”, algo así como “Ejercicios para teclado” para aficionados exigentes. Y competentes, vaya que sí. Las tres primeras partes eran: la primera, Seis partitas para clave; la segunda, el Concierto italiano y la Obertura francesa; y la tercera, la Misa alemana para órgano y cuatro duetos para clave.

El hecho de que la publicación se produjera en 1741 o 1742, es decir, en vida del autor, es una rareza. Sin embargo, es casi seguro que su composición sería años anterior, pues se ha encontrado una copia manuscrita del aria en un cuaderno de la segunda esposa de Bach, Anna Magdalena fechado hacia 1725, aunque bien pudo ser añadida después.

En fin, lo más probable es que bien Goldberg, bien el propio Keyserlingk, se hicieran con una copia de esa primera edición, quizá entregada por el propio Bach a su protector en un viaje a Dresde, y tanto fue el agradecimiento del conde y tanto las interpretó su clavecinista que, con el paso de los años, todo el mundo las conoce como “Variaciones Goldberg”. Le sirvieran para dormir, o no, pero eso nunca lo sabremos con seguridad, me temo.

En una palabra, lo que importa es que dentro de esta ignorante serie sobre música hoy toca disfrutar con una interpretación absolutamente maravillosa de estas Variaciones Goldberg. Ya me contaréis, ya…

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Clavecín, Siglo XVIII

Las Variaciones Goldberg están escritas para clave, es decir, un instrumento de teclado^[2] con dos teclados, situados uno por encima del otro; es posible, y muy normal en las obras compuestas para clave, que una mano esté ejecutando la pieza en uno de los teclados y la otra mano, en el otro, es una técnica habitual al tocar el clave, que, por otra parte, era casi el único instrumento de teclado (junto con el órgano, que es de viento) de la época.

En efecto, el pianoforte, que había sido inventado por Bartolomeo Cristofori a comienzos del siglo XVIII, aún no tenía la gran difusión que tendría unos años después, debido a que la construcción de estos primeros pianos dejaba bastante que desear. A diferencia del clave, el mecanismo del pianoforte hace que al pulsar una tecla un martillo golpea la cuerda equivalente; la gran diferencia con el clave reside en que dependiendo de la fuerza con que se pulsa la tecla, así golpea el martillo la cuerda, permitiendo un sonido suave (piano) o fuerte (forte) según la firmeza de la pulsación. De ahí su nombre: piano-forte. Sólo con la experimentación y la mejora del mecanismo a lo largo de los años se obtuvieron pianofortes que obtuvieran con fidelidad los sonidos que se suponía que debían obtener. De hecho, Bach no compuso pieza alguna para pianoforte; seguramente sí llegó a conocerlo, pero no le interesó para componer sus refinadas piezas para ser ejecutadas en él.^[3]

Si las Variaciones Goldberg fueron compuestas originalmente para clave se podría pensar que éste sería el instrumento adecuado para su interpretación. Y lo es, claro, pero es que los modernos pianos no son como los del siglo XVIII, han mejorado “un poquito”, así que, en la modestísima opinión de este ignorante escribidor, el instrumento con el que se obtienen los mejores resultados, con el que se consigue reflejar mejor el espíritu de esta obra, es con el piano. Su capacidad de variar la potencia del sonido (piano-forte) según la fuerza aplicada en la tecla permite una mayor capacidad expresiva que con el clave, donde cada tecla siempre suena con la misma potencia independientemente de cómo se pulse la tecla… Y para ejecutar la obra en el piano sólo hay que transcribir la partitura para este instrumento. Fácil.

Bueno, fácil, fácil… Sí, fácil es hacer la transcripción. En alguna parte olvidada he leído que transcribir del clave al piano es sencillo y casi automático, aunque ya sabéis que como no sé nada de estas cosas, igual es todo lo contrario… Pero, claro, el clave tiene dos teclados diferentes y el piano solamente uno, así que, por muy fácil que sea transcribir la obra, el resultado no tiene por qué ser fácil de ejecutar. Y eso es lo que pasa exactamente con las Variaciones Goldberg al transcribirlas para piano. A la enorme dificultad de ejecutarlas en el clave original, con sus cánones a tres y cuatro voces, sus esmerados contrapuntos y su delicada armonía, se suma el hecho de que, al tener un solo teclado, es necesario ahora, para ejecutar las variaciones esritas para los dos teclados, que son bastantes, que las manos se crucen una y otra vez, incluso que estén ambas manos sobre literalmente el mismo grupo de notas, una sobre otra, en un dificilísimo ejercicio de acrobacia pianística…

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Y aquí es donde entra el tercer protagonista del artículo de hoy, tras el compositor (Bach) y el clavecinista que dio nombre a la obra (Goldberg). Demos la bienvenida a uno de los más eximios pianistas de todos los tiempos: el canadiense Glenn Gould.

Glenn Gould

Glenn Herbert Gould nació en Toronto en 1932, y falleció en 1982, a los cincuenta años de edad. Dotado de una técnica sobrenatural, sin embargo era un auténtico inadaptado social. Lleno de manías a cuál más rara, tenía dificultades para relacionarse con el personal; muchos años después de su muerte fue diagnosticado como poseedor del síndrome de Asperger, no me preguntéis por qué métodos. Los afectados de este síndrome suelen ser inteligentísimos y muy creativos, pero tienen serias dificultades para percibir o sentir emociones, lo que les lleva en muchos casos a no poder relacionarse normalmente son sus semejantes, incluso a la marginación social.

En el caso de Gould, éste siempre se interesó por la tecnología de la grabación. Era un estudioso de las técnicas de grabación aplicadas a la música, y de hecho se sentía mucho más a gusto en un estudio de grabación que en una interpretación en directo. Efectivamente, maníaco de la perfección hasta lo indecible, él se daba cuenta de los pequeños errores que cometía en los conciertos en directo (errores inevitables, por otra parte), aunque nadie entre el auditorio se hubiera dado cuenta de ellos, y esos errores le fastidiaban; entre eso y que el aplauso del público y su admiración realmente le traían al pairo (típico de los “aspergianos”), el caso es que en 1964, con 32 años aún sin cumplir, decidió dejar los conciertos en directo (cuando era una de las mayores figuras mundiales) y dedicarse en exclusiva a la grabación en estudio. Mientras a la mayoría de grandes pianistas los micrófonos les intimidan, pues captan todos y cada uno de los errorcillos que pasan desapercibidos en el directo, Glenn se sentía realmente a sus anchas rodeado de ellos, o de cámaras, a solas con ellos y su piano.

En conversaciones con otros afamados pianistas, afirmaba (con buena parte de razón), que la influencia que él tendría con sus interpretaciones sería muy superior a la que el otro obtendría con sus conciertos en directo. Decía que “siempre que haya dudas o se desee recordar una ejecución, basta con poner el disco y escuchar de nuevo la obra…”.

Y el caso es que verle tocar en directo debía ser todo un espectáculo. Solía aparecer para realizar sus grabaciones (y antes, sus conciertos) con abrigos, bufandas y guantes, aunque fuera pleno verano, con un cargamento de píldoras, jarabes y medicamentos varios para cualquier posible afección real o imaginada, y siempre, siempre, con su silla…

…Con su especialísima silla especial de tocar el piano: una desvencijada silla de enea, baqueteada por sus viajes a lo largo y lo ancho el mundo, con las patas recortadas de tal manera que el teclado le quedaba a la altura casi de la barbilla, lo que le obligaba a tocar en una extrañísima postura, encorvado sobre el piano y con una posición de brazos completamente antinatural… no es que lo diga yo; lo vais a ver en un momentito, así que no digo más.

¡Ah, y canta! Cuando Glenn Gould ejecuta una obra, sobre todo las que de verdad le gustan, canta. Tararea y sigue el ritmo con sonidos guturales que son perfectamente audibles en la gran mayoría de sus grabaciones… y también eso lo vais a ver en unos momentos. Supongo que algún editor meticuloso le reprocharía este canturreo que “estropea” la nitidez sobrenatural de sus interpretaciones… pero, claro, eso también le importaba un ardite.

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Seguiremos la audición de la obra con una película que se rodó con motivo de su ¡cuarta! grabación de las Variaciones Goldberg, en 1981, sólo un año antes de su fallecimiento en 1982, debido a un infarto cerebral. Esta grabación concreta está universalmente reconocida como la grabación de referencia de las Goldberg, y esta vez sí veremos al artista desplegar su arte ejecutando la dificilísima obra, en lugar de ver fotos de paisajes o de Bach o del mismo Gould o lo que sea…

La película comienza con unos minutos en los que el locutor introduce la obra y al intérprete, y luego prosigue con una corta entrevista al propio Gould, donde expresa su ideario acerca de la interpretación de esta obra y en general… Toda esta introducción dura unos seis minutos, y en el minuto 6:35 comienza ya la obra en sí, que se desarrollará sin interrupciones hasta su conclusión: su duración total es de unos 50 minutos y toda ella está en un solo video.^[4]

Es excelente la realización, extraordinario el sonido, y de la interpretación ya, ni hablo. Es para mí un auténtico placer presentaros a Glenn Gould cantando y haciendo cantar a su magnífico piano Steinway en estas maravillosas Variaciones Goldberg.

Como en la Wikipedia mismamente hay una descripción estupenda de cómo es el aria y cada variación, me limitaré a daros una indicación del minuto exacto en que comienza cada una de ellas, para que no tengáis que perder de vista a Mr. Gould haciendo fantasía en honor a Bach. Únicamente comentar que cada tres variaciones Bach introduce un canon, supongo que para hacer más alegre y festiva la obra completa… ¡o para poner a prueba a Herr Goldberg!. En fin, vamos ya con el video.

El Aria inicial, tocada con enorme dulzura y recreándose en ella como se merece, comienza en el minuto 6:35 del video. A partir de ahí, cada variación comienza en los minutos siguientes (segundillo más o menos):

Variación 1: Minuto 9:25.

Variación 2: Minuto 10:35

Variación 3 – Canon al unísono: Minuto 11:25

Variación 4: Minuto 12:55

Variación 5: Minuto 13:45 (Una locura de variación: obsérvese el cruce continuo de manos)

Variación 6 – Canon a la segunda: Minuto 14:20

Variación 7 – Al tempo di Giga: Minuto 15:00

Variación 8: Minuto 16:20

Variación 9 – Canon a la tercera: Minuto 17:15

Variación 10 – Fughetta: Minuto 18:15

Variación 11: Minuto 19:15

Variación 12 – Canon a la cuarta: Minuto 20:10

Variación 13: Minuto 21:45

Variación 14: Minuto 24:25

Variación 15 – Canon a la quinta (in moto contrario): Minuto 25:30

Variación 16 – Ouverture: Minuto 30:30

Variación 17: Minuto 32:10

Variación 18 – Canon a la sexta: Minuto 33:05

Variación 19: Minuto 34:05

Variación 20: Minuto 35:10 (Otra locura de interpretación)

Variación 21 – Canon a la séptima: Minuto 36:00

Variación 22 – Alla breve: Minuto 38:15

Variación 23: Minuto 39:20

Variación 24 – Canon a la octava: Minuto 40:15

Variación 25 – Adagio: Minuto 41:55

Variación 26: Minuto 47:55

Variación 27 – Canon a la novena: Minuto 48:50

Variación 28: Minuto 50:15

Variación 29: Minuto 51:15

Variación 30 – Quodlibet: Minuto 52:15

Aria da capo (o sea, la misma que la que abría la obra, aunque ahora ejecutada un poco más lentamente que al principio, si cabe con aún mayor dulzura y expresión): Minuto 53:45. Por cierto, el realizador nos obsequia aquí con un primer plano de los micrófonos, esos grandes amigos de Gould…

La obra termina en el minuto 57:25, quedando junto al piano tan sólo la silla, esa sillita ridícula que usaba el gran hombre, bajo los focos, hasta el final del film.

Ni que decir tiene que existen muchas grabaciones de las Variaciones Goldberg. Es obvio recomendar la que para mí es la mejor versión de todas la de Glenn Gould, pero todos los grandes pianistas la han tocado y, muchos de ellos, grabado, como puede ser el caso del gran pìanista y director argentino, Daniel Barenboim o la tremendamente eficaz del checo Jenö Jandó (la estrella emergente del sello Naxos). Y también existen bastantes grabaciones con el clave para el que fueron originalmente escritas, como la del clavecinista y organista Richard Egarr, por ejemplo. Pero es que además hay versiones para otros instrumentos, como por ejemplo para Trío de Cuerda, orquesta de cuerda, arpa, violas… En fin, mucho y bueno donde elegir, aunque ya os advierto que en todas partes encontraréis alguna de las versiones de Glenn Gould…

En Spotify hay, como es de suponer, muchas versiones de las Variaciones Goldberg, pero he seleccionado una versión del propio Gould, pero grabada mucho antes que la del video, así podéis comparar cómo entendía la obra el artista canadiense cuando tenía veintitantos años con cómo la entendía con casi cincuenta. He aquí su enlace. Pero, eso sí, preparaos para escuchar publicidad si sois gratuitos, como es mi caso, pues son 32 piezas en total, aunque muchas de ellas de menos de un minuto de duración. En cualquier caso, está también en Spotify la versión de Gould 1981, la del video, por si os gusta más, y es muy sencilla de encontrar.

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En este caso, y sin que sirva de precedente, no sé si voy a poder contradecir a Glenn Gould. Esta versión suya de la Variaciones Goldberg, así como de otras muchas obras, nunca se escucharon en salas de Conciertos… pero era debido más a su especial forma de entender las relaciones humanas que a que el resultado fuera mejor. Seguro, seguro, que en directo sonaría mejor… por muchos pequeños (¡o no tan pequeños!) errores que el intérprete pueda cometer. Siempre que se pueda, en directo.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. Igual se hubieran podido llamar “Variaciones von Keyserlingk”, pero así son las cosas.
2. El clave es un instrumento de cuerda pulsada, similar al arpa o la guitarra, pues la pulsación de una tecla origina una pulsación de la cuerda correspondiente.
3. Esto es raro, pues realmente Bach compuso obras para casi cualquier instrumento conocido de su época, incluido alguno que no se conserva, pero no para pianoforte.
4. Gracias a Youtube/Google desde que eliminó la duración máxima de los videos: los aficionados a la música clásica se lo agradecemos infinitamente.

Cayo Julio César (Wikipedia)

Finalizaremos hoy la guerra civil entre César  y sus enemigos pompeyanos. En la entrega anterior vimos cómo César venció al gran Pompeyo Magno y conoció a  la famosa Cleopatra.

Como siempre hago, aclaro que relato acontecimientos que sucedieron antes de la llegada de Cristo, por lo que las fechas mencionadas serán todas asumidas como a. C. Sólo aclararé con d. C. si algún hecho ocurrió después de Cristo.

La guerra civil pasa a África

Tras la derrota de Farsalia, Metelo Escipión, Labieno y otros pompeyanos  se trasladaron a África a reunirse con Catón. Allí lograron juntar alrededor de 10 legiones, aunque muy novatas, y además obtuvieron el auxilio del rey Juba I, que proveyó de 4 legiones más, entrenadas al estilo romano. Aportó, además, a su excelente caballería.

Considerando esto, César decidió marchar hacia África a fines del año 47. Como ya es costumbre, no deseaba dar tiempo al enemigo. Hizo una parada primero en Sicilia y luego embarcó con un pequeño ejército improvisado. Una vez allí, desembarcó sus tropas por Hadrumentum, acampó cerca de la costa y volvió a embarcarse para juntarse con otras tropas que venían detrás. Seis legiones en total fueron transportadas en varios viajes. La mayoría, legiones novatas, y alguna que otra experimentada. Tenía solamente 2000 jinetes.

En África las provisiones nuevamente escasean, por esto prefiere no moverse de la costa. Para colmo de males, Labieno, al mando de un gran contingente de númidas, galos y germanos, le ataca. Hubo un punto en que César  tuvo que intervenir personalmente para evitar males mayores, organizando la retirada al campamento. César sufre así una pequeña derrota, pero evitó con su acción una catástrofe mayor.

De a poco, legionarios del bando pompeyano comienzan a cambiarse de bando al enterarse de que César está del otro lado. Esto comenzó a preocupar un poco a los pompeyanos.

Los pompeyanos contaban en sus filas con un miembro de la familia Escipión, famosa por su antepasado Publio Cornelio Escipión el Africano, por lo que otra vez un Escipión pisaba suelo africano. César sabía del oráculo sobre la invencibilidad de los Escipiones en África, por eso él cuenta también con un miembro de la familia Escipión entre sus tropas: Escipión Salvitón. Lo designa en un lugar de privilegio, bien a la vista de las tropas.

Tapso. Año 46

Escipión (el de Catón), decidió ir a por César. Ambos ejércitos se acechaban mutuamente. Escipión dividió sus tropas en 2 campamentos y partió con algunos hombres, dejando otros en los campamentos de Afranio y otros con Juba. Llegó a un lugar donde preparó su nuevo  fuerte: la idea era usar ese fuerte como base en caso de batalla.

César enfrentó a Escipión con la X y IX en la derecha y la XIII y XIV a la izquierda. La V Alaude la dividió en dos, como reserva en ambos costados. En el centro pondría 3 de las legiones más inexpertas, mientras la caballería se colocó a los costados. No se sabe bien el orden de batalla de Escipión, pero se dice que contaba con elefantes.

La cuestión se dirimió así: se dice que un trompetista de César dio la orden de atacar. Presos del entusiasmo, sus compañeros se lanzan al ataque. Para el horror de César, las demás trompetas copian la orden y el ejército se lanza al ataque por completo. Inútilmente trató de frenarlos, los oficiales y centuriones hicieron lo imposible por frenar la masa humana. Ya resignado ante la inminencia del ataque, da la orden él mismo y… ¡que sea lo que los dioses quieran!

Los cesarianos destrozan a los pompeyanos, los elefantes entran en pánico y causaron destrozos en sus propias líneas. Muchos legionarios pompeyanos se rindieron pero fueron ejecutados, el descontrol era total. Incluso César ejecutó a un oficial que había perdonado en Hispania pero había vuelto al bando contrario. Se dice que 10.000 legionarios pompeyanos perecieron y sólo cincuenta cesarianos, aunque estas cifras deben ser una exageración. También se cree que César se tuvo que retirar de la batalla debido a un ataque de epilepsia.

Después de la victoria decidió continuar el asunto. Enseguida se dirigió al campamento de Afranio y, sin que él pudiera prepararse, lo toma por asalto, y a continuación tomó el campamento de Juba.

De los políticos enemigos que se encontraban allí (pretores y cónsules) muchos se quitaron la vida. Labieno y algunos hijos de Pompeyo huyeron a Hispania. Metelo Escipión también huyó a Hispania, pero no llegará a su destino y será capturado y ejecutado más tarde.

“Astérix Legionario”: el héroe galo y su compañero Obélix participan del bando de César  y prácticamente provocaron sin desear la batalla de Tapso. Cabe destacar cómo en el cómic relatan que muchas personas eran forzadas a enrolarse y los mandaban a la batalla luego de un entrenamiento muy básico. Nada más cercano a la realidad de las tropas de César, dadas las continuas campañas y la permanente escasez de recursos.

César buscó a Catón, que se encontraba en Utica protegido por una guarnición. Sin embargo, enterado del desastre de Tapso, intentó quitarse la vida, pero solo logró herirse. Luego de ser curado por los médicos, Catón, cuando está solo, se quita las vendas y con sus propias manos se arranca los intestinos, muriendo de esta manera. César, amargado, sabía que Catón hizo esto para evitar dar a César  la gloria de “perdonarlo”; otros dicen que no deseaba vivir en un mundo gobernado por César. Bruto y Cicerón escribirán tiempo después libros donde hablarán muy bien de Catón. César respetó la decisión de ellos, pero no deseaba tener un mártir político, por lo que se puso a escribir la Anti-Catón. Se cree que la versión de Bruto no era tan elegante literariamente como la de Cicerón. De todas formas, el suicidio de Catón caló hondo en muchos amantes de la república.

Triunfos en Roma

Después de poner orden en las provincias africanas, César volvió a Roma en julio del 46, donde sacó jugo de su campaña africana. El pueblo ahora disponía de grandes cantidades de trigo y de aceite, cuando históricamente la provisión de comida en Roma era un asunto muy serio.

César celebró sus triunfos: el adeudado de las Galias, la campaña en Egipto, la guerra relámpago en el Ponto, y el africano. Entró en un carro con la tradicional vestimenta. Al llegar al Capitolio, subió la escalinata mientras era vitoreado. Según la tradición romana un esclavo le recordaba al oído que él apenas era un hombre. Sus soldados, relajados como solía ser en estos eventos, recitaban a gritos cantos hacia él:

“Romanos, vigilad con atención vuestras mujeres pues ya llega el galán calvo”.

La costumbre va más allá aún. Llegaron a cantarle canciones de burla a su comandante, incluso haciendo mención de su amorío con el rey de Bitinia. Cosa que molestó un poco a César.

A continuación proseguía el inmenso botín capturado y los prisioneros más importantes, como Vercingétorix, Arsinoe, hermana de Cleopatra y el hijo del rey Juba. Sin embargo, Arsinoe y el joven hijo de Juba fueron perdonados de ser ejecutados. Este último se convertiría en un importante historiador y una persona muy culta. También hubo carruajes decorados con motivos de sus victorias, británicas y galas; uno de ellos hacia mención a su frase Veni Vidi Vinci en su campaña asiática. Como cabría esperarse, los triunfos en una guerra civil no eran bien vistos, ya que la población era sensible a las guerras “entre romanos”, por lo que no hubo mención alguna a Farsalia, pero sí a su campaña en África, que fue considerada como contra el Rey Juba, eso si: con aliados traidores romanos.

Luego del triunfo continuarían los festejos en la población. Celebró banquetes para miles de invitados y juegos con gladiadores y animales salvajes de dimensiones nunca vistas para el pueblo.

A sus tropas las premió con cinco mil denarios a cada soldado (equivalente a lo que ganarían en los 16 años de servicio obligatorio). A cada centurión le dio diez mil, y a cada tribuno y prefecto, la mayoría de la clase ecuestre, veinte mil denarios. A la población civil más pobre le dio 100 denarios y alimentos, y a los que eran inquilinos les condonó un año de alquiler.

Trajo consigo a Cleopatra, aunque seguía casado formalmente con Calpurnia y vivía con ella… ¡imaginémonos qué situación! Se cree que Cesarión nació en esta época, aunque tampoco se está hoy en día seguro si el hijo era realmente de César. De todas formas era un hijo ilegítimo, con lo que su único familiar directo era Cayo Octavio, de 18 años, quien sería adoptado por César como único hijo y heredero. Más adelante Octavio se convertiría en el primer emperador romano.

Sus Obras

Fue cónsul de los años 46, 45 y 44, a veces con poder  de dictador otorgado por el Senado. Pero no nos adelantemos. Ordenó el censo más completo de los que se habían hecho con anterioridad. Esto actualizó la población de Roma y ayudó a hacer la distribución de la comida más justa, al tener una idea más certera de quienes la necesitaban.

César nombró como senadores a representantes de las provincias. ¡Vaya espectáculo para los aristócratas codearse con un hispano o un galo en el Senado!

Ordenó construir, entre otros: un edificio de asambleas y reunión para el Senado conocido como la Curia Julia; el Foro Juliano, cerca del antiguo foro; la Basílica Julia; varios templos, entre ellos el templo a Marte en el mismísimo Campo de Marte; la codificación de las leyes, obra que terminará Justiniano en el año 533 d.C.; ordenó también crear una biblioteca como la de Alejandría.

La Curia Julia (Wikipedia)

Creó un programa de colonización donde otorgó a sus veteranos tierra  proveniente de personajes pompeyanos vencidos, y si no alcanzaba, el estado las adquirió. También envío civiles a colonizar tierras conquistadas, como en Cartago (según había planeado Cayo Graco en su momento) y en Corinto, que también había sido destruida por los romanos como Cartago lo fue. Recordemos que Cartago había quedado destruida en la tercera guerra púnica a manos de otro Escipión, el Emiliano.

Ordenó a los mejores matemáticos la rectificación del calendario romano actual, basado en la Luna. Éste tenía serios problemas de desfase, mientras que el resto del mundo (griegos y egipcios) usaba métodos más modernos usando el Sol como referencia. En pocas palabras, resulta que el viejo calendario romano tenía 355 días, por lo que nos podemos imaginar la cantidad de reajustes que eran necesarios, ya que según el calendario era invierno pero el clima les decía que era otoño. A partir del año 45, los años tendrán 365 días y una vez cada cuatro tendrá 366. Lo curioso es que para corregir esto tuvieron que hacer que el año 46 fuera de 445 días, para alinearlo al nuevo año solar y empezar el primero de Enero. Este año sería conocido como “el año de la confusión”, debido a los problemas que trajo el ajuste. De todas formas el calendario de César llevaría su nombre (calendario Juliano) y sería reajustado tiempo después un par de veces hasta ser reemplazado por el Gregoriano que le hizo apenas unos reajustes.

El tema es muy interesante, pero excede nuestro artículo.

La guerra civil termina en Hispania

En el invierno del año 46 los hijos de Pompeyo, Cneo y Sexto, jóvenes ellos, reúnen un numeroso ejército en Hispania, que aún se consideraba pompeyana a pesar de que César había vencido allí unos años antes. Labieno estaba con ellos. En total, los hijos de Pompeyo contaban con 13 legiones. César dejó a Lépido al mando en Roma y marchó hacia allí con tan sólo 8 legiones, incluyendo la X y la V Alaudae

En una campaña en la zona de Córdoba los ejércitos se acechan mutuamente, pero no hay batalla abierta. César, mientras tanto, asedió ciudades para que pasasen a su bando. Ya en febrero del 45 muchas comunidades se pasan de a poco al bando de César, e incluso legionarios pompeyanos se pasan también de bando.

César los persigue hasta enfrentarlos junto a la ciudad de Munda (se cree que es hoy Montilla, en la provincia de Córdoba) en marzo del 45. César formó su ejército en posición de batalla en la planicie esperando que el enemigo hiciera lo mismo, pero Cneo Pompeyo le esperó en una loma arriba. A pesar de estar en inferioridad numérica y contra un enemigo en terreno más elevado, Cesar dio la orden de atacar.

La batalla fue feroz, al punto que estuvo cerca de perderla, si no fuera por su propio liderazgo y su capacidad de motivar a sus tropas. César, en primera fila de su amada Legión X, arengó a sus hombres. Esto causó mayor furor en sus tropas y confusión en el enemigo, que no entendían bien qué sucedía.

A estas alturas, la caballería de César estaba atacando el otro flanco del ejército enemigo, que se desbandó finalmente. La victoria fue total. Se dice que murieron 30.000 soldados enemigos, entre ellos Labieno, y solo 1.000 de los suyos. Cneo y Sexto lograron escapar pero el mayor, Cneo, es capturado y ejecutado por las tropas de César.

La noticia llegó a Roma, donde se celebraron festejos. César va a quedarse 3 meses en Hispania poniendo orden en la provincia, sobre todo en los focos que habían sido leales a los hijos de Pompeyo. Ordenó colonizar Hispania trayendo romanos para que se asentaran allí. En su regreso otorgó tierras en la provincia Transalpina a sus veteranos, para romanizar las colonias que históricamente eran habitadas por griegos.

Bueno, ya casi estamos en el final de la serie de Julio César. Terminamos este artículo aquí, con César en su apogeo. Hasta la próxima.

Tras el prólogo, hoy comienza de verdad esta serie sobre Música y Ciencia.

La música suele dividirse en dos grandes grupos. Uno de ellos hasta hoy no sabemos bien cómo llamarlo, pues se discute cuál sería el nombre más adecuado. El otro grupo es definido claramente como música folclórica o popular. Entonces, ¿qué nombre le daremos al primer grupo?

Se le suele llamar música clásica. Pero el llamado período clásico de la música es tan sólo una época de la historia. Una época corta: fue aproximadamente desde el año 1750 hasta 1820. No parecería entonces adecuado llamar así a todo un género de música que, en su totalidad, abarca más de mil años de nuestra civilización.

Entonces fue propuesto el calificativo de música culta, pero… ¿cuál sería la música inculta?

Ahí fue cuando alguien tuvo la ocurrencia de llamarla música seria. La otra música, la dicharachera, alegre y popular, casi como quien dice “superficial”, y también la música “melódica” y “sentimental”, quizá cursi, todas ellas quedaron automáticamente excluídas del grupo. Luego la música seria, por su cualidad, no tardó en verse como la más adecuada para diversas ocasiones solemnes y en consecuencia pasó a ser llamada también  música solemne. Y entre esas ocasiones solemnes también se contaron los sepelios. Nunca fue un calificativo oficial, pero por esta última causa mucha gente la empezó a llamar música fúnebre. La ignorancia permitió que en varias ocasiones luctuosas se colase inadvertidamente laCanción del Toreador  de la ópera Carmen de Bizet, o la Cantata del Café de Bach, la Música de los Reales Fuegos de Artificio de Händel, y hasta cierta vez tuve la oportunidad de escuchar la versión completa de El Carnaval de los Animales  de Saint Säens en ocasión del fallecimiento de un Presidente de la República.

Para salir del paso drásticamente a todo este batiburrillo, se decidió recientemente pasar todo en limpio y utilizar el calificativo  música erudita. O música académica. Esta distinción viene de observar que se trata de un género donde los músicos que la practican tienen una formación de altos estudios en distintos centros de enseñanza. La definición supone así que para hacer buena música, se necesita un grado alto de erudición, que se puede obtener solamente mediante estudios académicos, y el resultado será, por consiguiente, un acervo de obras maestras.

¿Solucionado? Pues no, no mucho.

Siempre ocurre que alguien viene a poner objeciones cuando parece que por fin se halló la solución de un problema. Y en este caso se señaló que las innovaciones más trascendentes del acervo musical fueron hechas precisamente desafiando todos los preceptos académicos de cualquier época que se desee elegir para corroborar el hecho. En conclusión, la mejor música parece haber estado en contraposición con el academicismo, desde siempre.

¿Cómo le llamaremos entonces a esta música? Eso tal vez sea lo de menos mientras sepamos identificarla, comprenderla y disfrutarla. Una de sus características es la perdurabilidad, lo cual es probable que se deba a que fue evolucionando, más a la par de lo que se cree, respecto a la acumulación del conocimiento humano. Esta característica le ha permitido contar con artistas que expresaron sentimientos y pensamientos de gran profundidad como ninguna otra ha podido hacerlo.

Y podemos seguir llamándola clásica, como lo hace la mayoría de las personas, si a esta palabra le damos la acepción de obras que trascienden más allá de su propio tiempo.

Pero todo tiene sus límites, y aunque algunos lo nieguen, puede ser cierto que demasiada distancia cultural la haga incomprensible.

¿Qué diría un hombre prehistórico si escuchase la música del siglo XXI?

Esto sería casi como darle un libro para leer y preguntarle si entiende algo. Pero el problema no sería únicamente por causa del lenguaje y de la escritura que desconocería. Es que ignoraría la evolución, desde haber observado los sonidos de la naturaleza hasta llegar al concepto de arte, y, todavía más, las transformaciones habidas dentro del arte mismo y hasta en los medios para producir esos sonidos que llamamos música.

Es tan gigantesca la distancia, en esa evolución que duró milenios, que muy probablemente diría que lo que oye es un ruido incomprensible.

Hoy todos estamos habituados a escuchar la música que nos es familiar. Los estilos de épocas relativamente cercanas todavía nos resultan comprensibles, pero no van mucho más allá de doscientos o trescientos años. El problema parece ser una falta de contemporaneidad del contenido expresado y que reflejaría el pensamiento, las costumbres y creencias de una época. Si retrocedemos demasiado tiempo, la mayoría empieza a sentir cierta dificultad para entender lo que escucha, como podría ser la música renacentista, pero ésta nos resultará de todos modos más familiar que la de la Edad Media. Y si hoy pudiésemos escuchar la música que tal vez se hacía en las cavernas de la prehistoria, francamente, nos resultaría incomprensible.

¿Qué es la cultura?

La mayoría de los sociólogos e historiadores la definen como el conjunto de costumbres, creencias, conocimientos y pensamientos propios de una época. El conocimiento influirá en las creencias y éstas, a su vez, terminarán por influir en el pensamiento y las costumbres. El arte será, la mayoría de las veces, un reflejo de ese proceso cambiante.

Y he aquí una incógnita: ¿Por qué existieron artistas en todas las épocas de la humanidad? Es decir, personas que quisieron expresar de alguna manera el entorno, los cambios, los conocimientos y hasta el pensamiento general reinante en el tiempo que les tocó vivir.

Se dice, con razón, que el arte es una parte inseparable de la cultura. Pero podemos preguntarnos cuál es la necesidad humana que hizo del arte una forma única de expresar todos los cambios a medida que éstos se producían. Desde la prehistoria hasta hoy.

No hay respuestas claras para esta interrogante. Parecería que las personas dedicadas a tal tipo de expresión tendrían alguna predisposición psicológica determinante, capaz de impulsarles a trabajar exclusivamente en representar de diferentes formas lo que ven a su alrededor, lo que observan que la gente piensa y hace, los fenómenos de la naturaleza, en fin,  representar o expresar todo aquello que no necesitaría del arte para que aconteciese de todos modos.

Los músicos, en particular, son el caso más enigmático.  Hasta el momento no hay ninguna explicación coherente acerca de por qué alguien siente el impulso de producir sonidos con el solo objeto de expresar algo que, muchas veces, es inmaterial. Tampoco hay explicación para el placer, o el rechazo, que las personas puedan sentir al escuchar esos sonidos, dependiendo de quien sea – o haya sido – el creador de la música.

Entrando en la mente de los músicos.

Albert Einstein tocando el violín.

Estudios recientes realizados en diferentes partes del mundo (Frederick Travis, de la Maharishi University of Management en Estados Unidos; Harald Harung, de la Oslo University College en Noruega; e Yvonne Lagrösen, de la University West en Suecia) revelaron mediante electroencefalogramas que el cerebro de los músicos muestra patrones especiales, con alto desarrollo mental. Según los investigadores, podría deberse a que los músicos poseen lóbulos frontales bien coordinados, siendo esta parte del cerebro la que se activa en las altas funciones cerebrales como el razonamiento y el pensamiento lógico. También se descubrió un predominio de la actividad en una frecuencia llamada ondas alfa, que se da cuando el cerebro hace una síntesis de los detalles en un todo.

Los mismos investigadores revelaron todavía algo más. Otros electroencefalogramas parecían sugerir algo sobre la personalidad más probable del músico. Mostraron que los músicos usan el cerebro con economía, es decir, se ponen alertas para la acción solamente cuando es necesario. También se usaron algunos cuestionarios para medir la relación mente-cerebro. (Fuente: University West, Suecia).

Sin embargo el acto de crear música es probable que nunca se pueda reducir a meros patrones científicos. Aunque su estudio pertenece al campo de la psicología, no se consigue explicar del todo la aptitud de alguien para la creatividad artística, quizá debido a que depende de un número demasiado grande de factores fortuitos, dentro de las ideas y las percepciones que en el caso de un artista serían fuentes de inspiración.

Los científicos y la inspiración de los músicos.

La inspiración musical suele carecer de medios materiales suficientes para poderse expresar con absoluta fidelidad. Pero los músicos casi nunca poseen conocimientos ni formación como para realizar investigaciones con criterios científicos. Por otra parte, la ciencia vinculada a la música casi siempre es multidisciplinaria, pues necesita especializaciones en distintas materias. El diseño y construcción de instrumentos musicales es uno  de los ejemplos más ricos en este sentido y en el próximo artículo veremos más de cerca este tema.

Pero antes de pasar al próximo artículo, la gran pregunta:

¿Qué es la música?

No, no; decididamente no es “el arte de combinar bien los sonidos” como dice la definición más tradicional. Por ventura, ¿alguien sabe cuántas veces, a lo largo de la historia, varió la idea de cuándo los sonidos están “bien” o “mal” combinados? Si alguna vez se pudiese llegar a una conclusión de valor permanente habremos descubierto una verdad absoluta.

Afortunadamente, en el arte no existen verdades absolutas. Todo cuanto se ha escrito sobre teoría de la música es prueba de ello. Sin embargo, eso no significa que el arte pueda ser un barco sin timón. Existen ciertos principios, con orígenes muy remotos pero vigentes aún en la actualidad. Y, como era de esperar, la ciencia es la autora de esos cimientos donde el artista podrá, luego, esculpir con sonidos su propio espíritu y, tal vez, el de la humanidad.

Llegamos a que , o sea, la implicación es cierta si el antecedente es falso o verdadero el consecuente (o ambas cosas, claro), e intenté justificar por qué es así y no de otra manera. Espero haberlo conseguido.

Esto, en álgebra de Boole, se representa así: .

Estamos más o menos en marzo de 1974. Semana Santa acecha, con sus consabidas vacaciones y sus exámenes parciales, se acercan los exámenes finales, y hay que apretar. Veamos cómo empieza hoy la clase Pepe Cuena…

Pero antes de comenzar a deducir nada debo insistir una vez más en cuál es la función de la Lógica formal que estoy contando, con la inestimable ayuda de Pepe Cuena a través del Túnel del Tiempo.

Hemos visto que, teniendo de unas ciertas proposiciones individuales, éstas se pueden combinar de mil y una formas, mediante disyuntivas, conjuntivas o negaciones, con implicaciones, etc, mediante el cálculo proposicional. En todos los casos hemos visto cómo calcular el valor de verdad de la proposición compuesta resultante en base a los valores de verdad de las proposiciones atómicas que las componen, bien de forma algebraica, bien mediante las tan útiles tablas de verdad. Hemos puesto diversos ejemplos, rebatido falacias… y hay que reconocer que el resultado de alguna de estas frases era, cuando menos, chocante, sobre todo cuando lidiábamos con las consecuencias de la escurridiza implicación lógica del capítulo anterior.

Por ejemplo, una frase como “Si la arcilla es un metal, entonces es maleable” es radicalmente verdadera, por mucho que todos sepamos que la arcilla no es de ninguna manera un metal. Y es así porque sólo resultaría falsa en el caso de que siendo verdadero el antecedente (La arcilla es un metal) entonces fuera falso el consecuente (la arcilla es maleable). Como resulta que la arcilla sí es maleable, ese caso no se da, y por tanto la implicación es verdadera. Y eso nos choca, nos suena a cuento chino y nos hace desconfiar de los resultados de la aplicación de las fórmulas… ¡Si ya decía yo que la implicación era escurridiza!

Entonces ¿qué es lo que ocurre? Pues dos cositas, dos nimios detalles que muchas veces damos por sentado y otras… olvidamos, a saber:

Primero: La Lógica trata con proposiciones, y dije en el capítulo correspondiente, he repetido varias veces desde entonces y repito una vez más ahora que “Una proposición es una frase a la que podemos atribuir sin ningún género de duda un valor de certeza o falsedad”. Atención: “sin ningún género de duda”.

Esto elimina todas las frases que no sean objetivamente catalogables en cierto momento como verdad o mentira, es decir, muchísimas afirmaciones de filósofos y pensadores de todos los tiempos que tienen que ver con la divinidad, la naturaleza humana, la moral, etc, etc. Por ejemplo, la frase “Los arios son una raza superior” seguramente sería clasificada como verdad inmutable por los jerarcas y pensadores nazis, pero sería terminantemente catalogada como falsa de toda falsedad por casi todos los demás. ¿Es verdadera o es falsa? ¿Qué conclusiones podemos obtener de cualquier proposición compleja en la que aparezca esta frasecita? Pues eso.

Y segundo, y casi más importante: La Lógica formal no entiende nada acerca de si una proposición individual es verdadera o falsa. No tiene ni la menor idea de si p o q son verdaderas o falsas, ni le importa, ni le interesa lo más mínimo. Lo que sí formaliza es qué les ocurre a las diferentes proposiciones complejas que se forman conjugando o negando o implicando proposiciones individuales, en función de los diferentes valores de verdad de las proposiciones individuales que las forman.

Asegura la Lógica que, por ejemplo, si tenemos la proposición (p•q), esa proposición compleja sólo será cierta si tanto p como q son ciertas, y en cualquier otro caso, p•q es falsa. ¿Qué es lo que dice esta aseveración acerca del valor de verdad o falsedad de p y de q?

Efectivamente: Nada. Nada de nada.

Entonces, ¿quién es el responsable de fijar en cada caso si p o q son verdaderas o falsas? Nosotros, desde luego. No “La Lógica”, sino nuestra percepción o nuestro conocimiento o nuestras costumbres o lo que sea. Para fijar qué proposiciones son ciertas y cuáles falsas están otras disciplinas filosóficas (Ética, Moral, Ontología, etc), o científicas (Termodinámica, Trigonometría, Floricultura, Cromodinámica cuántica, etc). No la Lógica.

En este aspecto la Lógica es como la Matemática: ésta última permite transformar ecuaciones en base a una serie de reglas (por ejemplo, los axiomas de Peano) sin entrar a descifrar su significado. Son otras ramas de la ciencia quienes “descifran” las ecuaciones y las aplican a casos concretos del mundo real; por ejemplo, la fórmula V=I•R (la famosa Ley de Ohm) sale como consecuencia de la aplicación estricta de las reglas matemáticas sobre una serie de otras ecuaciones iniciales. Quien decide si las ecuaciones de partida son verdaderas o falsas no es la Matemática, claro, sino los físicos de la Electricidad. La Matemática garantiza nada más (¡y nada menos!) que todas las transformaciones matemáticas realizadas hasta llegar a V=I•R  son correctas, así que si las ecuaciones iniciales son verdaderas, entonces la conclusión lo es también. Fijaos bien: si las ecuaciones iniciales son verdaderas.

Pues lo mismo ocurre con la Lógica. Dadas una serie de proposiciones iniciales combinadas de cierta manera, por complicada que ésta sea, la Lógica (que no deja de ser una rama de la Matemática) nos dice cómo podemos transformarlas y nos asegura qué les ocurre a las proposiciones que con ellas se forman, según sea el valor de verdad o falsedad de esas proposiciones iniciales… valor de certeza o falsedad que tienen que proporcionar otras personas u otras ciencias. No la Lógica.

Espero haber aclarado un poco más este concepto, que será muy importante para ver lo que viene a continuación: cómo se razona formalmente usando las reglas de la Lógica, es decir, cómo se pueden deducir unas cosas a partir de otras mediante la aplicación razonada de todos los artefactos lógicos que hemos visto hasta ahora. Es decir, vamos a usar los ladrillitos que hemos ido fabricando en los capítulos anteriores para construir primero paredes, luego edificios, luego ciudades… En una palabra, vamos ya a destripar el proceso de Deducción Lógica.

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Antes que nada, hay que definir formalmente qué es una Tautología, puesto que nos hará falta manejar bien este concepto en todo lo que sigue.

Una Tautología es una proposición lógica que es siempre verdad, pero siempre, siempre, como las promesas de un político, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. Por ejemplo, la estúpida frase “Hace calor O No hace calor”, es una tautología: tanto da si hace calor como si no, por fas o por nefas, la frase resultante es obviamente cierta. Muchos políticos, analistas, consultores, economistas y demás basan sus discursos en tautologías más o menos elaboradas para que no resulten tan evidentes a primera vista, de tal modo que sea poco menos que imposible que se equivoquen en sus predicciones. Y aún así, no consiguen acertar…

El caso contrario, cuando una proposición lógica es intrínsecamente falsa, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones atómicas individuales que la forman, se llama Contradicción. “Llueve Y no llueve” es una contradicción: pase lo que pase en la calle, es falsa. Frase idiota,^[1] y encima falsa.

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El auténtico Rey de la Deducción nos contempla...

Definidos estos dos conceptos, para seguir con la exposición hay que definir matemáticamente cómo es la deducción.

Según la Real Academia de la Lengua, deducir es “Inferir, sacar consecuencias de un principio, proposición o supuesto“. No es ésta una definición matemática, como podréis comprobar, así que habrá que ponerse a ello…

Desde ese punto de vista formal, la deducción, que es una de las herramientas matemáticas y lógicas más potentes, consiste en deducir (inferir, construir, crear) nuevas frases a partir de otras preexistentes, llamadas premisas, de tal modo que, si las premisas son todas ellas ciertas, también lo sea la frase deducida, la conclusión.

Esto es intuitivo, de acuerdo, pero hay que asegurarse bien de que cuando deducimos algo, estamos haciéndolo bien, es decir, tenemos que asegurar formalmente que el proceso de deducción en sí mismo es correcto.

En una palabra, si las premisas en que nos basamos, los antecedentes, son verdaderos, entonces, de forma irremediable, obligatoria, necesaria, el consecuente, lo deducido, debe ser verdadero también. Si no fuera así es que el propio proceso deductivo es erróneo.

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En realidad, estamos tan acostumbrados a deducir cosas a partir de otras, a inferir resultados, comportamientos y acciones a partir de otros, que damos el proceso por sentado. Y no es así.

Bueno, no es que no sea así, entendedme, pero hay que formalizarlo para que podamos decir sin temor a equivocarnos que cuando deducimos unas cosas a partir de otras lo hacemos bien, es decir: que podemos fiarnos del resultado de la deducción, para poder seguir deduciendo otras frases a partir de ahí.

Es la base, esto es la base de prácticamente todo en la ciencia y la matemática. Si esto no funciona… se nos cae todo el edificio matemático, así que mejor formalizarlo, y hacerlo bien.

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Veamos:

Si tenemos, por ejemplo, tres premisas A, B y C,^[2] y queremos deducir de ellas una conclusión D, debe ocurrir que cuando todas las premisas son verdad (es decir, en cálculo proposicional: ), entonces la conclusión (D) debe ser también verdad, es decir, igual a 1, o sea, .

Para expresar esta frase según los dictados de la Lógica formal necesitamos de una buena implicación, que para eso las conocemos ya y no nos asustan.

La fórmula es, evidentemente:

Fórmula que en español leeríamos, más o menos: “Si ocurren simultáneamente A, B y C, entonces ocurre D, y esto pasa siempre, siempre“.

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¿Cómo se interpreta esta formulita de arriba?^[3]

Pues que siempre que se cumple que las tres premisas son ciertas,^[4] la conclusión debe serlo también, por lo que la propia implicación lógica debe ser también verdad… o sea, una tautología.^[5]

En una palabra, la tabla de verdad de la expresión anterior,   debe ser una tautología, es decir, todos los valores resultado para todas las combinaciones posibles de valores deben ser 1. Si no fuera una tautología, si con alguna cierta combinación de valores de A, B y C, por un lado, y de D, por el otro, la implicación diera un resultado falso, no podríamos deducir nada, no sería una deducción válida, o mejor dicho, se trataría de una deducción no válida, incorrecta.

Ahora bien, si recordáis la tabla de verdad de la implicación lógica, (en nuestro ejemplo p es la conjunción de las tres premisas originales: ), hay un caso en que el resultado de la implicación es falso… ¿Recordáis? Sí, seguro que recordáis:

Esto choca con lo que acabo de decir, que para que la deducción sea posible es preciso que , y esto para cualquier valor, luego debe ser obligatoriamente una tautología… O sea, que hay que quitarse de enmedio esa fatídica “F“.^[6]

¿Cómo resolverlo? No queda más remedio que obligar a que, cuando p sea verdad, q sea obligatoriamente verdad. Y hay que darle una forma formal, valga la redundancia.

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Desde hace muchos cientos de años los filósofos se han ocupado de este problema, que no es ni más ni menos que la forma común de razonar de la gente, pero, además, es un razonamiento central a la matemática y la ciencia en sí. En el lenguaje corriente se ha llegado a una fórmula que representa fielmente esta forma de razonar, de deducir cosas a partir de otras con la seguridad de que el razonamiento es correcto. Esta fórmula tiene desde tiempos antiguos un llamativo nombre en latín que a muchos os sonará: modus ponens (o, para los más precisos, “modus ponendo ponens”, toma ya).

El modus ponens se representa de la forma siguiente:

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Que las fórmulas no nos acobarden: es muy sencillo, en realidad, e intuitivo. Veámoslo con un ejemplo que ya hemos analizado hasta la saciedad en el artículo anterior, con estornudos y ojos que se cierran:

Estoy estornudando.

Si estornudo, cierro los ojos.

Luego: Cierro los ojos.

El sentido común nos dice que esto es efectivamente así, que el razonamiento es plenamente correcto: si es cierto que “estoy estornudando“, y es también cierto que “si estornudo, entonces cierro los ojos“, si ambas son ciertas, repito, y sólo en ese caso,^[7] entonces indefectiblemente debo estar con los ojos cerrados. Ciego total. Sin ver ni un pimiento.

Y en el ejemplo del prometedor (porque promete cosas) político del último artículo, ése que decía que “Si gano la elección construiré un hospital“, imaginemos que le hemos creído a pies juntillas, que le votamos y que al final ganó la elección. Por tanto, podríamos asegurar que:

El político ganó la elección.

Si gana la elección, entonces construirá un hospital.

Ergo: Construirá un hospital.    Esta conclusión es indefectible, inevitable como el devenir de las estaciones: en unos meses o un par de años habrá un nuevo hospital en la zona…

…Ah. ¿Que no lo construyeron? Vaya. Qué cosas.

Pues el razonamiento está bien hecho, es un razonamiento correcto, ni Descartes lo hubiera hecho mejor… así que en este caso habrá que reexaminar la certeza o falsedad de las premisas. Como parece innegable que nuestro político ganó la elección, que yo le he visto celebrarlo efusivamente en la tele, parece que la única posibilidad factible para que no tengamos hospital nuevo es que la frase “Si gano la elección, construiré un hospital” sea falsa. Falsa como un billete de 38 euros y medio…

Entonces, si la frase de marras, la promesa electoral de nuestro amigo, es falsa, simple y llanamente falsa, es porque, vean Vds., quien la dijo, mintió. Ni más ni menos. Nos la ha dado con queso, nos ha engañado, nos ha hecho un trile. Así que, en justa correspondencia, escarmentados, en las próximas elecciones no le votamos más, por mentiroso.

Ah, ¿que esto tampoco es exactamente así…? Uff, ya decía yo que de Lógica humana sabía yo más bien poco…

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Sigamos con el razonamiento. El modus ponens se especificaba como:

Bien. Si escribimos todo esto según los dictados del cálculo proposicional, llegaremos a que .

Efectivamente, la conjunción (Y) de las dos premisas implicando la conclusión es una tautología. El que una de las dos premisas sea otra implicación es, en realidad, irrelevante, pues no deja de ser una proposición, ni más ni menos que una proposición monda y lironda como otra cualquiera, que puede ser evaluada como cierta o falsa sin dificultad.

Supongo, además, que os habéis dado cuenta de que para obtener un modus ponens con toda la barba, y a la luz del Cálculo Proposicional y su propiedad conmutativa, el orden en que se presentan las dos premisas es irrelevante. Es decir, también sería un modus ponens válido si expresamos las proposiciones de la forma siguiente:^[8]

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Sólo queda comprobar una pequeña cosita… ¿en verdad esta construcción es una tautología?

No os fiéis de mi palabra: comprobémoslo, como siempre, mirando su tabla de verdad.

Efectivamente, resulta una tautología, su resultado siempre es verdadero. ¿No lo ves? Espera, vamos a hacerlo mediante nuestra amiga, la eficacísima álgebra de Boole, verás qué rápido lo entiendes.

Listo.^[9]

Por lo tanto, el hecho de deducir es ver si puede existir formalmente una relación tal que, cuando la conjunción de todas las premisas sea verdad (o sea, todas ellas son simultáneamente verdad) entonces la conclusión ha de ser necesariamente verdad.

Si alguna de las premisas es falsa entonces la conclusión puede ser verdadera, falsa o mediopensionista, no podremos asegurar nada en absoluto sobre ella, como ocurre en el ejemplo de la hospitalaria promesa del político.

Por cierto, y esto es importante, el razonamiento puede ser correcto o incorrecto, nunca verdadero o falso. Las premisas lo son, verdaderas o falsas; el razonamiento en sí no lo es. Si el razonamiento que hemos hecho es correcto, entonces, cuando todas las premisas sean verdad, y sólo en ese caso, podemos asegurar que la conclusión es verdadera también. Eso es lo que se llama una buena deducción…

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Atención: Podría parecer que el proceso deductivo sólo puede hacerse con Leyes Universales, con enunciados que abarquen a todo un conjunto universal, incluso a todo un Universo… Pues no, señores, no es así. El proceso descrito hasta ahora es correcto sean como sean los enunciados sobre los que se aplica… siempre que las premisas sean ciertas, insisto por enésima vez.

Tanto da que apliquemos el proceso deductivo a la Ley de la Relatividad General^[10], como al hecho de  si como o no como palomitas en el cine.^[11] En ambos casos el proceso de falsamiento es el mismo: buscar contraejemplos.^[12] Claro que las repercusiones de falsar la Relatividad General no son comparables a las de falsar mi impenitente avidez por palomitas en el cine… pero el proceso en sí es idéntico. Idéntico.

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Pongamos un ejemplito de proceso deductivo. Chiquitín.^[13] Ver si lo siguiente es un razonamiento correcto… o no. El ejemplo es el siguiente:

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¿Entendéis algo? ¿No? Vaaaaale, pongámosle nombre a las proposiciones:

a: Soy español.

b: Tengo bigote.

c: Me gusta el futbol.

d: Me gustan los toros.

Con estas premisas, el razonamiento a comprobar es el siguiente:

Premisas:

“Si soy español y tengo bigote, entonces me gustan el fútbol y los toros.“

“O no tengo bigote o no me gustan los toros (o ambas cosas, como siempre)“.

Y la conclusión sería: “O no soy español o no tengo bigote“.

¿Se ve mejor así…? Se trata de comprobar si éste es un razonamiento correcto, si se puede deducir la conclusión de esas dos premisas.

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Vamos con ello.  Hay dos premisas, , por un lado, y por el otro .

Si ambas son ciertas, entonces la conclusión, , debe serlo también. Es decir,  

Para comprobarlo, construyamos la fórmula de la deducción en álgebra de Boole y, simplificando, veamos si es efectivamente su valor es 1 en toda ocasión. Esa fórmula es:

, que es lo mismo que:

 Aplicando las Leyes de De Morgan:

 Reordenando:

 Aplicando la distributiva del + sobre el ·  (ésa que tan rara se nos hace):

 Y aplicando nuevamente la distributiva del + sobre el · :

 Reordenando de nuevo:

Y otra vez la distributiva del + sobre el · :

Bufff. Efectivamente, la tabla de verdad del razonamiento es una tautología. O sea, que, sólo en el caso de que las dos premisas sean verdaderas, o no soy español o no tengo bigote (o ambas cosas, recordemos que el O no es exclusivo). El razonamiento está bien hecho, pues. Es correcto. Pero, no nos olvidemos, insisto, sólo podemos asegurar que la conclusión  es cierta cuando ambas premisas, y  sean ciertas. Si alguna no lo es… vaya Vd. a saber lo que le pasará a la conclusión, podría ser cierta o falsa, nada podemos decir de ella.

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A continuación, una serie de razonamientos correctos. Muchos de ellos completamente obvios, además. Dejo al lector la tarea de demostrarlo (advierto: son muchísimo más sencillos que el ejemplo anterior). Para hacerlo, recordad, bastará demostrar que la conjunción de las premisas (o la única premisa, si es que sólo hay una) implicando la conclusión es una tautología:^[14]

Etc. Aconsejo echarle una miradita a estos razonamientos correctos. Alguno de ellos seguramente os parecerá sorprendente, por ejemplo el último… pero a poco que lo penséis (¡o lo calculéis!) os daréis cuenta que todos son correctos y obvios.

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Naturalmente, en la vida real no siempre se conoce de antemano la conclusión. Es posible que un científico^[15] suponga que ocurre algo (la conclusión buscada) y realice el razonamiento deductivo correspondiente para asegurarse de que la conclusión puede derivarse de las premisas conocidas. Pero es más común, creo yo, tener una serie de premisas que son (o se suponen) ciertas y, a partir de ellas, elaborar el razonamiento deductivo hasta llegar a una conclusión. Si el razonamiento está bien hecho, si no es falaz, la conclusión debe ser cierta también (si y sólo si las premisas son ciertas, lo repito una vez más).

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Veamos ahora el razonamiento que hizo el nene luthierano al que su mamá amenazaba con el Hombre de la Bolsa si no tomaba la sopa que vimos en el último ejemplo del artículo anterior. Le decía su mamá: “Si no tomás la sopa, viene el Hombre de la Bolsa“. Y el nene, a pesar de la amenaza, no se tomó la sopa, que no le gustaba ni un poquito. Entonces, el nene se planteó el siguiente modus ponens:^[16]

Evidentemente, el nene no tomó la sopa.

El nene esperó, aterrado, a que el Hombre de la Bolsa viniera a hacer lo que sea que se supone que haga ese siniestro individuo. Pero, pasado un rato prudencial, El Hombre de la Bolsa no vino. La conclusión del razonamiento era, definitivamente, falsa.

¿Qué conclusión, valga la redundancia, sacó el nene de todo esto? Pues que hay algo mal en el planteamiento anterior. O el razonamiento está mal hecho, o alguna de las premisas era falsa (o las dos a la vez).

El nene rápidamente se da cuenta de que el razonamiento es impecable: ¡Si es un modus ponens que ni el mismísimo Aristóteles lo hubiera mejorado! Luego entonces deben ser las premisas; alguna de ellas es falsa, no hay duda. Tan sólo mirando el plato lleno de sopa, y el vacío en su estómago, ya se da cuenta de que la proposición “El nene no tomó la sopa” es cierta, está clarísimo. Luego, por eliminación, es la otra premisa la que está mal, la que es falsa…

Vaya. Entonces, no es cierto que “Si no me tomo la sopa, Viene el Hombre de la Bolsa“. Amenazante frase pronunciada por su mamá, que ha quedado retratada como una… mentirosa. Amante, sí, pero mentirosa. El nene aprendió que no todas las cosas que dicen los adultos, ni siquiera su mamá, son ciertas… ¡Ya se está preparando para la vida adulta!

De todos modos, como los mismos Les Luthiers concluyen al respecto, “Señora… ¿A quién se le ocurre amenazar con un folklórico personaje imaginario…? Puestos en el caso es mucho mejor amenazar con horrores más tangibles: El lobo, la araña, una buena víbora…“. Grandes, Les Luthiers. MUY grandes.

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Volviendo a lo que nos ocupa, es sencillo ver que si el razonamiento es cierto para dos premisas y una conclusión será también válido para tres premisas (pues basta con considerar que una de las premisas es la conjunción de las otras dos).

No hay que ser muy listo, entonces, para darse cuenta de que sirve igual para un número cualquiera de premisas . En este caso, podemos decir que . No me voy a detener en la demostración, porque es muy sencilla e intuitiva y, queridos lectores, tenéis herramientas más que suficientes para poder demostrarlo fácilmente. Y pasar un buen rato. Supongo.

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Igual alguno de vosotros está pensando “Yo estudié alguna vez no sólo el modus ponens, sino también el modus tollens y no sé cuántos modus más… y no los veo por parte alguna”. Tenéis razón. Ni los veis ni los vais a ver: no hacen ninguna falta. Sabiendo cálculo proposicional y cómo es el modus ponens, todos los demás modus aparecen naturalmente de él.

Veamos, por ejemplo, el “modus tollendo tollens“, más conocido por modus tollens a secas, y que tan importante es para el Falsacionismo.  Dice el modus tollens:

O sea, si se cumple que A implica a B, y se cumple la negación de B, entonces la conclusión es la negación de A. ¿En qué se diferencia esto de un modus ponens? En poco: que las proposiciones A y B están negadas y sin negar en diferentes sitios… ¿y eso nos asusta?

Fijaos bien, para saber si esta forma de razonar llamada modus tolllens es correcta, hay que hacer exactamente lo mismo que hicimos con el modus ponens: descubrir si la conjunción de las premisas implicando la conclusión es una tautología.

O sea,     debe ser una tautología, igual a 1, en otras palabras. ¿Lo es?

La fórmula equivalente a comprobar, eliminando sucesivamente las implicaciones y reduciendo, es:

El resultado siempre es 1: Tautología al canto. Luego el modus tollens es un razonamiento correcto. Y lo mismo con el resto de modus. Conociendo bien el modus ponens, pues, y las reglas del Cálculo Proposicional, que en realidad son las del álgebra de Boole, los demás… salen solos.

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Sigamos un poco más. Cuando tenemos una cadena de premisas con implicaciones encadenadas, se puede alcanzar la conclusión usando extensivamente el modus ponens, en una suerte de propiedad transitiva encadenada, usando la conclusión del modus ponens anterior como premisa del siguiente, y así. Por ejemplo:

Es fácil de ver: al ir aplicando modus ponens sucesivos, vemos que:

Imaginad que la cadena de frases de ahí arriba es del estilo: “Soy español”; “si soy español me gusta el fútbol”; “si me gusta el fútbol veo la tele”; “si veo la tele me voy tarde a la cama”, etc, etc. Es evidente que, si todas las frases son ciertas, y sólo en ese caso, si soy español entonces… me voy tarde a la cama. Cosa que suele ocurrir, por cierto.

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Un último ejemplo por hoy: Un vecino mío es de costumbres fijas. Muy fijas:

Si toma café, no toma leche.

Toma galletas sólo si bebe leche.

No toma sopa a menos que haya tomado galletas.

Hoy al mediodía se tomó una taza de café.

La pregunta es: ¿Ha tomado hoy sopa?^[17]

Designemos, en primer lugar,  las proposiciones elementales:

c: Toma café.

l: Toma leche.

g: Toma galletas.

s: Toma sopa.

Bien. Ahora escribamos las diferentes implicaciones del enunciado, que son la base deductiva:

Creo que no habrá problema alguno en entenderlo. Ahora ordenamos y reducimos:

La conclusión, pues, es s‘. La negación de s. Luego no, no tomó sopa hoy. Quizás comió patatas…

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Basta por hoy, deduzco que ya ha habido bastante deducciones por esta vez… El próximo día, más píldoras lógicas de la mano de Don José Cuena, hablándonos vía el Túnel del Tiempo desde mis apolillados apuntes del curso 1973-74.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Aunque ciertamente hay casos en que… ¡a saber si está lloviendo o no!
2. Igual podíamos haber tenido una, dos… o cincuenta premisas: da lo mismo.
3. Fórmula importantísima, en realidad, pues es la base de todo el asunto deductivo.
4. Tres premisas en el ejemplo; en el caso general será el conjunto de todas las premisas, claro.
5. Acabamos de definir tautología como una expresión que siempre es verdadera, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones individuales que la componen. Lo vuelvo a poner aquí para que tengáis a mano el significado de la palabrita.
6. Y, ojo, no vale con plantarle una “V” a la brava y yastá…
7. ¿Habéis detectado la doble implicación? Je, je, la Lógica es como un bulldozer…
8. Imaginaos que la rayita de debajo de la p fuera más larga… cosas del Latex, o, mejor, mías, que no sé cómo hacerla más larga.
9. Vale: ya sé que en realidad es más fácil comprobar la tabla de verdad, pero el método algebraico también funciona.
10. Si la luz pasa cerca de una masa, se curva; La luz pasa cerca de una masa; Conclusión: La luz se curva.
11. Si voy al cine, como palomitas; Ayer fui al cine; Conclusión: Ayer comí palomitas.
12. La luz pasa cerca de una masa, pero no se curva: La Ley de la Relatividad General es falsa. Ayer no comí palomitas, así que o no fui al cine, o no es cierto que “si voy al cine como palomitas”.
13. Bueno, más o menos chiquitín.
14. Perdonad que los ponga en una imagen, pero es que estoy a punto de darme por vencido en mi lucha a brazo partido con el dichoso Latex…
15. O un agricultor,  o un fresador, o un vendedor, o una ama de casa… recordemos que esto funciona no sólo con “Leyes Universales” y fórmulas matemáticas, sino con proposiciones normalitas de la vida corriente.
16. Él no lo sabía, claro, pero estaba “modusponensizando” de lo lindo.
17. Y no, no le amenazaremos con ningún Hombre de la Bolsa si no se la toma.

La música acompaña la historia de la humanidad.

La relación entre la ciencia y la música no es un fenómeno contemporáneo, sino todo lo contrario. La ciencia tuvo, y tiene, mucha influencia para poner en camino diversas tendencias de los artistas. Y, aunque ustedes no lo crean, todo empezó en la prehistoria.

Seguramente muchos quedarán intrigados, preguntándose cómo se puede creer que en la prehistoria ya había… ¿científicos? Podrá parecer muy extraño, pero si por ciencia entendemos una observación metódica de ciertos hechos, luego la organización de experimentos basados en las observaciones, y, finalmente, la descripción de métodos que permitirán repetir resultados en condiciones dadas, puedo asegurarles a ustedes que no tardarán en comprender que el método científico, aplicado a la música, es mucho más antiguo de lo que suele creerse.

Esta serie comenzará entonces por la prehistoria de la humanidad, para saber cómo se originaron los primeros instrumentos. También indagaremos algo en la mente de los músicos para tratar de entender, en lo posible, qué es lo que les impulsa a expresarse tan sólo con sonidos. Luego hablaremos de los fundamentos de las diferentes teorías para componer música y tocaremos, a propósito de ello, algunos temas de Acústica que ayudarán a comprender mejor uno de los aspectos más intrincados de este arte.

En nuestro recorrido por el tiempo pasaremos a través de antiguas civilizaciones, como la de la Antigua Grecia, y veremos los orígenes de la escritura moderna de la música, que arraigan en la Edad Media. Seguiremos de cerca la evolución que hubo de ahí en adelante, veremos varias de las causas de esa evolución y llegaremos finalmente hasta nuestros días.

Y en ese momento habremos llegado al final de esta serie. Frente al legado de la historia, reflexionaremos entonces acerca de algunas incógnitas que hay acerca del futuro de este medio de expresión que, hasta hoy, sigue inevitablemente acompañando a los seres humanos.

Muchas cosas quizá discutibles serán dichas aquí, pero prometo que serán un reflejo de controversias entre músicos y habrá un análisis desde el punto de vista de la ciencia. Veremos los temas más controvertidos que fueron provocando inevitablemente la evolución del arte de los sonidos, a veces de manera tajante y hasta porfiada, arrasando conceptos establecidos y hasta desdeñando la crítica y el gusto del público.

¿Un ejemplo para ir saboreando desde ya…?

Pues bien, a partir de la segunda y tercera décadas del siglo XX, en las salas de conciertos se empezó a producir  una separación violenta entre el público y la música contemporánea. Por primera vez en la historia, la música del tiempo presente resultó incomprensible. Alrededor de las causas hay una discusión, en ocasiones de ribetes sarcásticos, que todavía permanece. No han faltado sátiras e insultos elegantes (o no tan elegantes) publicados en los diarios, revistas y otros medios de comunicación.

Y ustedes querrán saber de qué se trata y por qué ocurre esto.

Pero vayamos paso a paso. La historia de la música es un rompecabezas complicado, que nunca termina de armarse, pues a cada día que pasa le inventamos una pieza nueva.

Bienvenidos entonces a esta serie, espero que resulte interesante.