Belajar Sepanjang Hayat

Bahan Ajar Geometri Analitik

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Tue, 05 Mar 2013 01:33:00 +0000

Bahan ajar ini memuat bahan-bahan untuk dipelajari mahasiswa matematika agar mahasiswa memiliki kemampuan memahami konsep-konsep dan teorema dalam geometri melalui pendekatan geometrik-deduktif. Lingkup materi bahan ajar ini meliputi konsep-konsep dan teorema esensial dalam geometri analitik di ruang berdimensi satu (R), dan di ruang berdimensi dua (R²), serta di ruang berdimensi tiga (R³), Disamping itu, melalui buku ajar ini diharapkan mahasiswa dapat meningkatkan keterampilan menerapkan konsep-konsep dan teorema serta membuat grafik bangun ruang di ruang berdimensi dua, dan tiga. Agar kemampuan yang diharapkan dapat dicapai oleh mahasiswa, perlu dikembangkan pengalaman belajar antara lain melalui diskusi kelompok, dan tugas kelompok berbantuan program Maple.

Unduh Bahan Ajar Geometri Analitik di gambar berikut.

Basic Geometry, Book 1: Polygon

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Wed, 12 Dec 2012 06:56:00 +0000

Assalamumu'alaikum wr.wb.

Kawan, Sahabat, dan Para Mahasiswaku semuanya. Silahkan unduh soft copy dari handout yang disusun oleh Ibunda Kusni, yang kemudian saya terjemahkan dalam Bahasa Inggris (#maaf kacau, red) dan saya sertai dengan beberapa soal yang saya ambilkan dari buku Challenging Problem in Geometry, tulisan dari Alfred S. Posamentier dan Charles T. Salkind. Semoga bermanfaat. (klik cover buku untuk unduh file)

Buku Ajar Pengantar Dasar Matematika (Drs. Sugiarto, M.Pd.)

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Tue, 11 Sep 2012 01:14:00 +0000

Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) bertujuan agar mahasiswa memiliki kecakapan untuk memahami : Konsep dasar himpunan, macam himpunan, relasi pada himpunan, operasi pada himpunan, himpunan bilangan-bilangan, ralasi, fungsi, bilangan kardinal, logika matematika dan kuantifikasi

Prasyarat

Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) tidak memerlukan pengetahuan prasyarat secara khusus. Pengetahuan matematika yang telah didapat di Pendidikan Dasar dan pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok pada perluliahan PDM.

Petunjuk Belajar

Strategi yang dikembangkan pada perkuliahan ini adalah startegi hiuristik dengan metode tanya jawab, demonstrasi dan diskusi dilanjutkan dengan presentasi hasil diskusi kelompok, serta pemberian tugas terstruktur (TT) baik tugas individual maupun tugas kelompok. Strategi ini juga mengembangkan kemampuan mahasiswa untuk bereksplorasi dan berelaborasi dalam kegiatan mengonstruk pengetahuan yang berupa pemahaman konsep, prisnsip dan penerapannya dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan teori himpunan dan Pengantar logika matematika. Untuk memantapkan pengetahuan mahasiswa dan untuk menghindari miskonsepsi, maka perlu dilaksanakan kegiatan konfirmasi oleh dosen dan oleh mahasiswa.

Berikut adalah buku ajar mata kuliah Pengantar Dasar Matematika, yang disusun oleh Drs. Sugiarto, M.Pd., dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang

Buku Ajar Geometri Dasar (Drs. Suhito, M.Pd.)

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Thu, 06 Sep 2012 15:50:00 +0000

Deskripsi

Buku ajar ini disusun sebagai salah satu buku wajib yang harus dipelajari mahasiswa matematika agar dapat memberi kemampuan memahami konsep-konsep dan teorema dalam geometri melalui pendekatan geometrik-deduktif. Lingkup materi bahan ajar ini meliputi konsep-konsep dan teorema esensial dalam geometri di ruang berdimensi satu (R), berupa pemahaman konsep-konsep dan teorema dasar yang terdapat dalam aljabar dan geometri dasar antara lain konsep variabel, kalimat terbuka, persamaan, himpunan penyelesaian, teorema Pythagoras, kesebanguan/ kekongruwenan segitiga, dalil de Ceva, dalil Steward.

Agar kemampuan yang diharapkan dapat dicapai oleh mahasiswa, perlu dikembangkan pengalaman belajar antara lain melalui diskusi kelompok, dan tugas kelompok.

Prasyarat

Agar mudah mempelajari bahan ajar ini diperlukan prasyarat berupa pemahaman konsep-konsep dan teorema dasar yang terdapat dalam aljabar dan geometri yang telah diperoleh mahasiswa di jenjang pendidikan dasar dan menengah.

Petunjuk Belajar

Strategi perkuliahan adalah heuristik dengan metode tanya-jawab, diskusi kelompok dilanjutkan dengan presentasi kelompok, pemberian tugas terstruktur baik tugas individual maupun tugas kelompok, serta pendekatan mengajar yang digunakan adalah deduktif.

Cuplikan bagian pendahuluan tersebut dapat ditemui dalam buku ajar Geometri Dasar yang disusun oleh Drs. Suhito, M.Pd., dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang. Untuk lengkap buku tersebut silahkan unduh file-file berikut:

Congruence of Two Triangle

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Tue, 31 Jan 2012 15:12:00 +0000

We shall say that two figures in the plane are similar whenever one is congruent to a dilate of the other. Therefore the two quadrilaterals are similar, since one is just an enlargement of the other. Any two circles are similar, if the two circles have the same radius. We simply take dilation by 1 to satisfy the definition. For the moment, we will study similar triangles, as illustrated below.

Figure 3.1 Dilation of a triangle

We can easily generate similar triangles by dilating a triangle with respect to one of its vertices or with respect to a point 0 not a vertex like shown below.

Figure 3.2 Process of dilating a triangle

Let T be a triangle whose sides have lengths a, b, c respectively. If we dilate T by a factor of r, we obtain a triangle which we denote by rT. The lengths of its sides will be ra, rb, rc, as we saw in the preceding section. Note that r can be any positive number. For instance in Figure below we have drawn triangles T, T, and 2T.

Figure 3.3 Sample of dilating process of a triangle

Denote by T' the dilation of T by r. Let a', b', c' be the lengths of the corresponding sides. Then we have

a' = ra, b' = rb, c' = rc.

Therefore the ratios of the corresponding sides are all equal, that is:

We have seen that if two triangles are similar, then the ratios of the lengths of corresponding sides are equal to a constant r. We now prove the converse.

Definition.
Two triangles which it’s all corresponding side have same length are similar and congruent.

Note:
If both of the triangles have same length side, then it is denoted by SSS.
Notation for congruent is
Another ways to explain the congruency will be given soon.

Theorem 1.1.
Let T, T' be triangles. Let a, b, c be the lengths of the sides of T, and let a', b', c' be the lengths of the sides of T'. If there exists a positive number r such that

a' = ra, b' = rb, c' = rc,

then the triangles are similar.

Proof.
The dilation by of T' transforms T' into a triangle T’’ whose sides have lengths a, b, c, because

Therefore T, T’’ have corresponding sides of the same length. By condition SSS we conclude that T and T’’ are congruent. Therefore T is congruent to a dilation of T', and triangles T and T' are similar.

Theorem 1.2.
If two triangles are similar, then their corresponding angles have the same measure.

Theorem 1.3.
If two triangles have corresponding angles having the same measure, then the triangles are similar.

Proof.
Let T, T' be the triangles. Let A, B, C be the angles of T and let A', B', C' be the corresponding angles of T'. Let a, b, c and a', b', c' be the lengths of corresponding sides. Let

r = a'/a

be the ratio of the lengths of one pair of corresponding sides. Then a' = ra. Dilation by r transforms T into a triangle T" whose sides have lengths

a" = ra, b" = rb, c" = rc

respectively. The triangles T' and T" have one corresponding side having the same length, namely

a" = a' = ra.

The situation is shown below.

Figure 3.4 Condition of theorem 3.6 and 3.7

We have seen in the previous theorem that dilation preserves the measures of angles. Hence the angles adjacent to this side in T' and T" have the same measure, that is:

m(ÐB') = m(ÐB") and m(ÐC') = m(ÐC").

It follows from the ASA property that T', T" are congruent. Hence T' is congruent to a dilation of T, and hence T' is similar to T, as was to be shown.

Theorem 1.4.

Two triangle are congruent if
a. there is similar side
b. angle in that side and angle which is opposite to the side is similar
then we called it congruent by SAA.

Theorem 1.5.

Two triangles are congruent if both of triangles are right angle triangle and one leg and also its hypotenuse is same length.

We let the proof as exercises for the reader.

Soal Induksi Matematika (2)

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Sun, 01 Jan 2012 16:13:00 +0000

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.

Diberikan P(n) ≡ 5²ⁿ - 1 . Tunjukkan P(n) habis dibagi 8, untuk semua n ∈ N.

Penyelesaian:

Tulis:

N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡ 5²ⁿ - 1.

Ditunjukkan P(1) benar.

Jelas P(1) ≡ 5^2.1 - 1 = 5² - 1 = 25 - 1 = 24

Jelas 24 habis dibagi 8.

Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ... (#)

Dipunyai P(k) benar.

Jelas P(k) ≡ 5^2k - 1 = 8m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)

Jelas P(k + 1) ≡ 5^2(k+1) - 1

= 5^2k+2 - 1

= 5^2k . 25 - 1

= [(5^2k - 1).25] + 24 [langkah ini merupakan kunci dari pembuktian]

= [8m.25] + 8.3 [langkah ini sah karena berdasarkan (2*), 5^2k - 1 = 8m]
= 8 . (25m + 3)
= 8p, untuk suatu p = 25m + 3, m, p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 8p, untuk suatu p ∈ N.

Jadi P(k + 1) habis dibagi 8. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.

Jadi P(N) benar.

Contoh Soal Induksi Matematika

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Sun, 01 Jan 2012 15:57:00 +0000

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.

Diberikan P(n) ≡ n³ + 5n. Tunjukkan P(n) habis dibagi 6, untuk semua n ∈ N.

Penyelesaian:

Tulis:
N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡ n³ + 5n.

Ditunjukkan P(1) benar.
Jelas P(1) ≡ 1³ + 5.1 = 1 + 5 = 6.
Jelas 6 habis dibagi 6.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 6 maka P(k + 1) habis di bagi 6. ... (#)

Untuk membuktikan implikasi (#), dibutuhkan lemma (*) berikut:
Pada himpunan bilangan asli berlaku, hasil kali dua bilangan asli berurutan adalah genap, atau dapat ditulis: jika m ∈ N maka berlaku (m).(m + 1) = 2n, untuk suatu n ∈ N.

Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ k³ + 5k = 6m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)
Jelas P(k + 1) ≡ (k + 1)³ + 5(k + 1)
= k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5
= k³ + 5k + 3k² + 3k + 6
= 6m + 3(k)(k + 1) + 6 [sesuai dengan (2*), k³ + 5k = 6m, untuk suatu m ∈ N]
= 6m + 3.2n + 6
= 6m + 6n + 6 [sesuai dengan lemma (*) di atas]
= 6.(m + n + 1)
= 6p, untuk suatu p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 6p, untuk suatu p ∈ N.
Jadi P(k + 1) habis dibagi 6. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

Mathematical Induction (Induksi Matematika)

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Sat, 31 Dec 2011 00:49:00 +0000

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan teorema atau definisi yang berlaku untuk semua n anggota bilangan asli. Sebagai contoh, Buktikan: 2n ≤ 2^k, untuk k ∈ N. Jelas tidak mungkin kita akan membuktikan satu persatu dengan mengambil nilai n anggota bilangan asli. Prinsip induksi matematika manjadi satu alat pembuktian yang handal.

Principal of Mathematics Induction.
Let n₀ ∈ N and let P(n) be a statement for each natural number n ≥ n_0.
Suppose that:
(1) The statement P(n₀) is true.
(2) For all k ≥ n₀, the truth of P(k) implies the truth of P(k + 1).
Then P(n) is true for all n ≥ n₀.

Catatan:
n₀ adalah suku terkecil dari bilangan asli yang memenuhi syarat untuk P(n).

Jadi, jika n₀ yang memenuhi syarat adalah 1, maka induksi matematika dapat dituliskan sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang berlaku untuk suatu n anggota bilangan Asli.
Jika kondisi berikut berlaku,
(1) P(1) benar, dan
(2) Jika p(k) benar, maka P(k+1) benar,
maka P(n) benar untuk semua anggota bilangan asli, dan dapat ditulis dengan P(N) benar.

Contoh Aplikasi Induksi Matematika.

Contoh [1].
Buktikan: 2n ≤ 2^k, untuk k ∈ N.
Bukti:
Dibuktikan: P(1) benar. Jelas P(1) ≡ 2.1 ≤ 2¹ ≡ 2 ≤ 2.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k+1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ 2k ≤ 2^k.
Jelas:
2k ≤ 2^k
≡ 2k + 2 ≤ 2^k + 2
≡ 2k + 2 ≤ 2^k . 2
≡ 2(k+1) ≤ 2^(k+1).
Jadi P(k+1) benar. ... (2*)

Dari (1*) dan (2*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

[Contoh 2].
Diberikan:

Tentukan nilai p dan buktikan kebenarannya!

Penyelesaian:
Dicari nilai p terlebih dahulu.
Jelas:

Jadi nilai p adalah

Dibuktikan bahwa:

Tulis:

Jelas

Jadi P(1) benar. ... (3*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k + 1) benar.

Dipunyai

Ditunjukkan P(k + 1) juga benar.

Jelas

Jadi P(k + 1) benar. ... (4*)

Dari (3*) dan (4*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

---

Demikian tulisan singkat mengenai induksi matematika dan beberapa contoh aplikasinya. Jika ada pertanyaan, silahkan tuliskan dalam komentar. Pertanyaan bisa langkah-per-langkah atau seluruh kontent perkuliahan. Terima Kasih, selamat belajar, salam sukses.

Wassalamu'alaikum.

A Paralellogram Characteristic Problem

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Fri, 30 Dec 2011 02:12:00 +0000

It is known a 4-gon ABCD. The midpoints of AB, CD, BD and AC are P, Q, R, S. Prove that PQ and RS intersects at mid points.

Answer.
The condition above can be drawn below!

Connect PQRS such that it is drawn a smaller 4-gon.

Look at triangle ABD and PBR!
Obvious BP:BA = BR:BD. So that we can conclude that triangle BPR similar to triangle BAD. Thus, we can conclude that PR // AD ……… (1*)

Look at triangle CAD and CSQ!
Obvious CS:CA = CQ:CD. So that we can conclude that triangle CSQ similar to triangle CAD. Thus, we can conclude that QS // AD ……… (2*)

Because PR // AD and QS // AD, then we conclude that PR // QS ……… (3*)

Look at triangle ABC and APS!
Obvious AP:AB = AS:AC. So that we can conclude that triangle APS similar to triangle ABC. Thus, we can conclude that PS // BC ……… (4*)

Look at triangle DRQ and DBC!
Obvious DR:DB = DQ:DC. So that we can conclude that triangle DRQ similar to triangle DBC. Thus, we can conclude that QR // BC ……… (5*)

Because PS // BC and QR // BC, then we conclude that PS // QR ……… (6*)

Because PR // QS and PS // QR, we can conclude that PQRS is a parallelogram by the definition. And its characteristics, by theorem 1.6, we can see that PQ and RS intersects at midpoint of it.

Parallelogram and some of its theorems

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Wed, 28 Dec 2011 01:28:00 +0000

Let A, B, C, D be four points which determine the four-sided figure consisting of the four sides AB, BC, CD, and AD. Any four-sided figure in the plane is called a quadrilateral. If the opposite sides of the quadrilateral are parallel, that is, if AB is parallel to CD and AD is parallel to BC, and then the figure is called a parallelogram:

Figure 1. A parallelogram

Note:
Please write,
m(ABC) eq the size of angle ABC, and
d(P, Q) eq the length of segmen PQ.

1. Parallelogram

Definition.

Parallelogram is a quadrilateral which its corresponding sides are parallel.

Theorem.

1.1. In a parallelogram, the size of opposite angles is same.

Proof.

Look at the figure below.

Figure 2. A parallelogram with its some parts

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that m(A) = m(C) and m(B) = m(D).

Draw diagonal AC.

Obvious

m(A1) = m(C1) (because of alternate interior angles) and

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles).

We get m(A1) + m(A2) = m(C1) + m(C2)

eq m(A) = m(C).

By the similar step, we get m(B) = m(D).

So the size of opposite angles in a parallelogram is same.

Theorem.

1.2. In a parallelogram, the length of opposite sides is same.

Proof.

Look at the figure 2.

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that AB = CD and BC = DA.

Draw diagonal AC.

Look at DABC and DACD

Obvious

m(A1) = m(C1) (because of alternate interior angles),

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles), and

AC = AC (because of coincide).

We get triangle ABC kongruent with triangle ACD (because of ASA)

One of the consequence is AB = CD and BC = AD.

Theorem.

1.3. In a parallelogram, both of its diagonals are intersecting in the midpoint of its diagonals.

Proof.

Look at figure below.

Figure 3. A parallelogram with its some parts

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that AT = TC and BT = TD.

Look at triangle ATD and triangle BTC.

Obvious

m(D2) = m(B2) (because of alternate interior angles),

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles), and

AD = BC (why?).

We get triangle ATD congruent with triangle BTC (because of ASA)

One of the consequence is AT = TC and BT = TD.

So that T is midpoint of AC and T is also midpoint of BD.

Theorem.

1.4. In a quadrilateral, if the size of opposite angles is same, then the quadrilateral given is a parallelogram.

Proof.

Look at the figure 1.

It is given a quadrilateral ABCD and

m(A) = m(C) also m(B) = m(D).

Prove that ABCD is a parallelogram.

Obvious the sum of all angles in 4-gon is (4 – 2).180^o = 360^o

Obvious
m(A) + m(B) + mÐC + mÐD = 360^o

eq m(A) + m(B) + m(A) + m(B) = 360^o

eq 2. m(A) + 2.m(B) = 360^o

eq m(A) + m(B) = 180^o.

We get:

1. Because of m(A) + m(B) = 180^o then AD // BC.

2. Because of m(A) + m(B) = 180^o and m(B) = m(D) then m(A) + m(D) = 180^o.

3. Because of m(A) + m(D) = 180^o then AB // CD.

Because AD // BC and AB // CD, we conclude that quadrilateral ABCD is a parallelogram.

Theorems.

1.5. In a quadrilateral, if the length of opposite sides is same, then the quadrilateral given is a parallelogram.

1.6. In a quadrilateral, if both of diagonals are intersecting one another at the midpoint, then the quadrilateral given is a parallelogram.

1.7. In a quadrilateral, if there are two pairs parallel sides, then quadrilateral given is a parallelogram.

Proof.

We leave the proof for 1.5, 1.6, and 1.7 as exercises.

Kekongruenan untuk Membuktikan Trapesium Sama Kaki

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Mon, 26 Dec 2011 05:44:00 +0000

Diberikan lingkaran dengan pusat O dengan jari-jari r. Pada lingkaran tersebut dibangun 2 buah tali busur g dan h sedemikian sehingga g sejajar h. Jika perpotongan g dan h dengan lingkaran terletak di titik PQRS, buktikan bahwa PQRS adalah trapesium sama kaki.

Perhatikan gambar sebagaimana kondisi tersebut di atas.

Bukti:

Tulis

Besar sudut ABC adalah m(ABC), dan

Panjang garis AB adalah d(AB).

Hubungkan pusat lingkaran dengan semua titik P, Q, R, S.

(Catatan: Untuk membuktikan bahwa PQRS trapesium sama kaki, cukup ditunjukkan bahwa segitiga ROP kongruen dengan segitiga QOS)

Jelas RO = PO = QO = OS = r.

(Catatan: Jadi untuk menunjukkan ROP kongruen dengan QOS cukup ditunjukkan bahwa besar sudut QOS = besar sudut ROP)

Bangun diameter lingkaran tegak lurus dengan g.

Jelas segitiga PQO sama kaki mengakibatkan TO adalah garis tinggi segitiga PQO. Akibatnya segitiga PTO kongruen dengan segitiga QTO (mengapa?).

Karena PTO kongruen dengan QTO, berakibat m(POT) = m(QOT).

---

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa m(UOS) = m(UOR).

---

Jelas m(UOS) + m(SOQ) + m(QOT) = m(UOR) + m(ROP) + m(POT) = 180.

Berakibat m(SOQ) = m(ROP).

Karena (i) m(SOQ) = m(ROP); (ii) d(SO) = d(RO); dan (iii) d(QO) = d(PO), maka segitiga SOQ kongruen dengan segitiga ROP karena alasan SAS (Side – Angel – Side).

Karena segitiga SOQ kongruen dengan segitiga ROP, berakibat d(PR) = d(QS), sehingga PQRS adalah trapesium sama kaki.

[CATATAN: BAGAIMANA JIKA TALI BUSUR YANG DIPILIH ADALAH SEBAGAI BERIKUT!]

Drawing a line by a point outside of a line (not linear) and perpendicular to the given line

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Wed, 12 Oct 2011 08:40:00 +0000

A little bit different from the construction one, in construction two we the segment first. In construction one, the segment AB is given but in second construction we build the segment.

Question.
Draw a line which is perpendicular to AB and pass through the point P.

Answer.

The principal concept to solve the problem is making perpendicular bisector through point P. The problem now is, which vertex on line that we will choose as center of the arc. From point P, make an arc with P as the center. Choose radius as yours such that the arc intersect the line in two points, namely K and L. See figure 1.16.

As the center, make an arc from K and L, which has radius more than a half of ½KL½. The intersection between arc K and arc L is given name Q. Now, we have explain that the points like construction 1 are K and L, and we build that.

Make a line that is connecting P and Q and we get a line PQ that is perpendicular to line AB through point P outside the line of AB.

Memahami Peranan Matematika Dalam Pengembangan Ekonomi

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Fri, 23 Sep 2011 01:01:00 +0000

Penggunaan Matematika dalam Ekonomi. Fakta, hakekatnya merupakan besaran-besaran, yang diterjemahkan berupa persamaan, bentuk-bentuk fungsional, atau persamaan differensial. 2 pendekatan dalam penyelesaian masalah ekonomi: analisis matematis dan analisis non matematis. Contoh kasus analisis matematis, dalam memulai kegiatan forex trading pada hari X, saya biasa menggunakan analisis regresi sederhana dengan menggunakan data terbaru pada malam hari sebelumnya. Jadi masalah ekonomi dalam hal pergerakan valuta asing dapat pula dianalisis dengan analisis regresi sederhana. Sedangkan team saya melakukan analisis non matematis dengan melihat pergerakan kebijakan pemerintah dan Bank Indonesia dalam menghadapi masalah moneter.

Translasi penyelesaian masalah ekonomi dengan analisis matematis

Mengapa perlu Matematika dalam Ekonomi?
1. Bahasan matematika lebih ringkas dan tepat
2. Kaya akan hukum-hukum, teorema, sehingga memudahkan pemakaian
3. Dapat merumuskan asumsi dengan jelas sehingga terhindar bias
4. Memungkinkan menggunakan sebanyak mungkin variabel

Masalah Fundamental dalam Ekonomi?
Masalah ekonomi selalu berkembang seiring dengan perkembangan jaman . Mengakibatkan perubahan gaya hidup dan nilai suatu barang. Contohnya sepeda, televisi, radio, handphone , dsb.
Fenomena tersebut secara matematika dirumuskan sbb:

Dengan
Q: qualitas hidup
R: sumber daya alam yang tersedia
C: kebutuhan

Sebagai Akibatnya
Kebutuhan memunculkan nilai barang.
1. Barang ekonomi (economics goods), jika barang tersebut memiliki harga.
2. Barang bebas (free goods), jika barang tersebut tidak memiliki nilai harga.
Jadi masalah fundamental ekonomi berkait pada 3 (hal) yaitu, WHAT, HOW, dan FOR WHOM.

Contoh Masalah:
Masalah Ketahanan Pangan Nasional
What: jenis komoditas apa? Padi yang mana?
How: bagaimana pengembangannya? Siapa dan bagaimana menghasil-
Kannya? Penggunaan faktor-faktor produksi yang tersedia.
For Whom: Siapa yang akan memanfaatkannya.

Uji Kompetensi

Temukan satu masalah, pikirkan masalah fundamental ekonomi terkait masalah Anda!
Untuk memecahkan fenomena ekonomi dengan menggunakan pendekatan matematika diperlukan 2 translasi. Jelaskan!
Ada 4 keuntungan yang diperoleh bila fenomena ekonomi dipecahkan dengan pendekatan matematika. Jelaskan!
Batas klasifikasi kebutuhan sekunder dan tersier bagi seseorang relatif tipis. Jelaskan makna pernyataan ini, mohon disertai dengan contoh!
Jelaskan masalah fundamental dalam ekonomi!
Air yang dihasilkan PDAM merupakan barang ekonomi tetapi di beberapa daerah tertentu air merupakan barang bebas. Jelaskan! Berikan jenis barang yang lain yang memiliki karakteristik seperti air!

Materi Ajar Pengantar Dasar Matematika

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Wed, 21 Sep 2011 06:19:00 +0000

Berikut materi ajar/ media pembelajaran mata kuliah Pengantar Dasar Matematika, oleh pengampu Ardhi Prabowo.

Slope of line bisecting another 2 lines

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Wed, 27 Apr 2011 03:46:00 +0000

Pertanyaannya sederhana, jawabannya pun sesederhana pertanyaannya. (Kalau sudah ketemu ide kreatifnya saja, ahaha)

Find the gradient of line bisecting the angle from k₁ with gradient 7, to k₂, with gradient 1!

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut ini.

Jelas k₁ dan k₂ seharusnya mudah untuk dilukis. Prinsipnya sesungguhnya mudah saja ketika membagi sudut dari k₁ dan k₂ itu, yaitu dengan membuat segitiga samakaki.

Perhatikan gambar berikut!

Berapakah panjang OA? Jelas sekali adalah akar kuadrat dari 50. Nah, sekarang buatlah ruas garis yang memiliki panjang akar kuadrat 50 di garis k₂!

Jelas 50 = 25 + 25 = 5² + 5². Jadi jika kita letakkan 1 titik B di koordinat (5,5) maka jelas panjang OB adalah akar kuadrat dari 50. (Sampai disini masih bingungkah?)

Perhatikan lagi gambar berikut!

Hubungkanlah A dan B, kemudian cari koordinat titik C sebagai titik tengah AB. Karena segitiga AOB adalah sama kaki, dan C adalah titik tengah alas segitiga sama kaki AOB, maka berdasarkan sifat segitiga sama kaki, besar sudut AOC = besar sudut BOC. Dengan kata lain, garis OC bisecting the angle of AOB.

Mestinya dengan cara sederhana, Saudara sudah dapat menemukan gradien garis OC.
Yak, jelas bahwa OC terletak di koordinat (3,6) mengapa?
Jadi gradien OC mestinya adalah 2.

Pertanyaan saya berikutnya adalah, temukan garis lain yang juga membagi sudut yang terbentuk dari perpotongan k₁ dan k₂ menjadi 2 sama besar!

Selamat belajar!

Daya Beda dan Tingkat Kesukaran Soal Multiple Choice

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Mon, 21 Mar 2011 06:52:00 +0000

Daya Pembeda Soal

Daya pembeda digunakan untuk menentukan soal sungguh dapat membedakan siswa yang termasuk kelompok pandai (upper group) dan siswa yang termasuk kelompok kurang (lower group).

Rumus daya pembeda adalah

dengan
D : daya pembeda item soal;
B_A : banyaknya peserta tes kelompok atas yang menjawab benar butir item yang bersangkutan;
B_B : banyaknya peserta tes kelompok bawah yang menjawab benar butir item yang bersangkutan;
J : banyaknya peserta tes.

Kriteria tingkat daya pembeda item soal adalah sebagai berikut.

Daya Pembeda Item	Keterangan
0 – 0,20	item soal memiliki daya pembeda lemah
0,21 – 0,40	item soal memiliki daya pembeda sedang
0,41 – 0,70	item soal memiliki daya pembeda baik
0,71 – 1,00	item soal memiliki daya pembeda sangat kuat
Bertanda negatif	item soal memiliki daya pembeda sangat jelek

Sumber: Arikunto, 2003:213, 218

Taraf kesukaran

Uji tingkat kesukaran suatu soal bertujuan mengetahui tingkat kesulitan soal yang digunakan untuk mengukur hasil pembelajaran. Instrumen perlu diuji tingkat kesukaran dengan menggunakan rumus:

Keterangan:
P : angka indeks kesukaran item;
B : banyaknya peserta tes yang menjawab dengan benar terhadap butir item yang bersangkutan;
JS : jumlah peserta tes yang mengikuti tes.

Kriteria tingkat kesukaran suatu item soal dapat dilihat pada Tabel berikut:

Indeks Kesukaran	Keterangan
Kurang dari 0,30	item soal berkategori sukar
0,30 – 0,70	item soal berkategori cukup
Lebih dari 0,70	item soal berkategori mudah

Sumber: Arikunto (2003:210)

Pengukuran TIngkat Kesukaran Soal Uraian

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Mon, 21 Mar 2011 06:23:00 +0000

Assalamu'alaikum wr.wb.

Ibu, Bapak Guru, Peneliti Pendidikan, dan Sahabat blogger. Penulisan artikel ini berpijak kepada keprihatinan saya akan pengukuran tingkat kesukaran soal uraian yang terjadi selama ini. Biasanya, peneliti telah menjustifikasi suatu nilai tertentu yang menjadi pijakan akan keberhasilan sebuah soal. Dengan berpijak kepada nilai tersebut, peneliti kemudian melakukan justifikasi dengan menganggap benar sempurna jika skor yang diperoleh responden lebih dari nilai pijakan, dan menganggap gagal keseluruhan jika nilai responden kurang dari nilai pijakan. Contoh sederhana berikut: Saya akan menganalisis soal uraian, dan saya telah menetapkan nilai ketuntasan satu soal adalah 63%, artinya jika siswa telah memperoleh skor 70% dari bobot nilai butir, maka siswa dianggap mengerjakan soal tersebut dengan benar 100%. Andaikan siswa mengerjakan 10 butir soal, dan kemudian hanya memperoleh skor 70% di 4 nomer, sedangkan 6 nomor lainnya hanya memperoleh skor 60%, maka siswa tersebut dianggap tidak memenuhi ketuntasan. HItung saja, (0,7 x 4) + (0,6 x 6) = 0,64. Artinya lebih dari nilai ketuntasan sebesar 63. Terjadi kontradiksi bukan? Penjelasan lebih lanjut silahkan saja lanjut membaca.

Referensi:

Aiken, Lewis R. (1994). Psychological Testing and Assessment,(Eight Edition). Boston: Allyn and Bacon.
Nitko, Anthony J. (1996). Educational Assessment of Students, Second Edition. Ohio: Merrill an imprint of Prentice Hall Englewood Cliffs.
Nunally, Jum C. (1981). Psychometric Theory, Second Edition. New Delhi: Tata McGraw Hill Publishing Company Limited.
Haladyna, Thomas M. (1994). Developing and Validating Multiple-Choice Test Items. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

Artikel Tingkat Kesukaran
(Jangan jadikan blog ini sebagai referensi, saya akan mencarikan referensi untuk anda)

Tingkat kesukaran soal adalah peluang untuk menjawab benar suatu soal pada tingkat kemampuan tertentu yang biasanya dinyatakan dalam bentuk indeks. Indeks tingkat kesukaran ini pada umumnya dinyatakan dalam bentuk proporsi yang besarnya berkisar 0,00 - 1,00 (Aiken (1994: 66). Semakin besar indeks tingkat kesukaran yang diperoleh dari hasil hitungan, berarti semakin mudah soal itu. Suatu soal memiliki TK= 0,00 artinya bahwa tidak ada siswa yang menjawab benar dan bila memiliki TK= 1,00 artinya bahwa siswa menjawab benar. Perhitungan indeks tingkat kesukaran ini dilakukan untuk setiap nomor soal. Pada prinsipnya, skor rata-rata yang diperoleh peserta didik pada butir soal yang bersangkutan dinamakan tingkat kesukaran butir soal itu. Rumus ini dipergunakan untuk soal obyektif. Rumusnya adalah seperti berikut ini (Nitko, 1996: 310).

(catatan pakardhi: Rumus di atas biasa digunakan untuk memeriksa tingkat kesukaran soal multiple choice)

Fungsi tingkat kesukaran butir soal biasanya dikaitkan dengan tujuan tes. Misalnya untuk keperluan ujian semester digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran sedang, untuk keperluan seleksi digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran tinggi/sukar, dan untuk keperluan diagnostik biasanya digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran rendah/mudah.
Untuk mengetahui tingkat kesukaran soal bentuk uraian digunakan rumus berikut ini.

Kemudian dilanjutkan dengan proses berikut:

Hasil perhitungan dengan menggunakan rumus di atas menggambarkan tingkat kesukaran soal itu. Klasifikasi tingkat kesukaran soal dapat dicontohkan seperti berikut ini.
0,00 - 0,30 soal tergolong sukar
0,31 - 0,70 soal tergolong sedang
0,71 - 1,00 soal tergolong mudah
Tingkat kesukaran butir soal dapat mempengaruhi bentuk distribusi total skor tes. Untuk tes yang sangat sukar (TK<0,25)>0,80) distribusinya berbentuk negatif skewed.

Tingkat kesukaran butir soal memiliki 2 kegunaan, yaitu kegunaan bagi guru dan kegunaan bagi pengujian dan pengajaran (Nitko, 1996: 310-313). Kegunaannya bagi guru adalah: (1) sebagai pengenalan konsep terhadap pembelajaran ulang dan memberi masukan kepada siswa tentang hasil belajar mereka, (2) memperoleh informasi tentang penekanan kurikulum atau mencurigai terhadap butir soal yang bias. Adapun kegunaannya bagi pengujian dan pengajaran adalah: (a) pengenalan konsep yang diperlukan untuk diajarkan ulang, (b) tanda-tanda terhadap kelebihan dan kelemahan pada kurikulum sekolah, (c) memberi masukan kepada siswa, (d) tanda-tanda kemungkinan adanya butir soal yang bias, (e) merakit tes yang memiliki ketepatan data soal.
Di samping kedua kegunaan di atas, dalam konstruksi tes, tingkat kesukaran butir soal sangat penting karena tingkat kesukaran butir dapat: (1) mempengaruhi karakteristik distribusi skor (mempengaruhi bentuk dan penyebaran skor tes atau jumlah soal dan korelasi antarsoal), (2) berhubungan dengan reliabilitas. Menurut koefisien alfa clan KR-20, semakin tinggi korelasi antarsoal, semakin tinggi reliabilitas (Nunnally, 1981: 270-271).

Tingkat kesukaran butir soal juga dapat digunakan untuk mempredikst alat ukur itu sendiri (soal) dan kemampuan peserta didik dalam memahami materi yang diajarkan guru. Misalnya satu butir soal termasuk kategori mudah, maka prediksi terhadap informasi ini adalah seperti berikut.

Pengecoh butir soal itu tidak berfungsi.
Sebagian besar siswa menjawab benar butir soal itu; artinya bahwa sebagian besar siswa telah memahami materi yang ditanyakan.

Bila suatu butir soal termasuk kategori sukar, maka prediksi terhadap informasi ini adalah seperti berikut.

Butir soal itu "mungkin" salah kunci jawaban.
Butir soal itu mempunyai 2 atau lebih jawaban yang benar.
Materi yang ditanyakan belum diajarkan atau belum tuntas pembelajarannya, sehingga kompetensi minimum yang harus dikuasai siswa belum tercapai.
Materi yang diukur tidak cocok ditanyakan dengan menggunakan bentuk soal yang diberikan (misalnya meringkas cerita atau mengarang ditanyakan dalam bentuk pilihan ganda).
Pernyataan atau kalimat soal terlalu kompleks dan panjang.

Namun, analisis secara klasik ini memang memiliki keterbatasan, yaitu bahwa tingkat kesukaran sangat sulit untuk mengestimasi secara tepat karena estimasi tingkat kesukaran dibiaskan oleh sampel (Haladyna, 1994: 145). Jika sampel berkemampuan tinggi, maka soal akan sangat mudah (TK= >0,90). Jika sampel berkemampuan rendah, maka soal akan sangat sulit (TK = < 0,40). Oleh karena itu memang merupakan kelebihan analisis secara IRT, karena 1RT dapat mengestimasi tingkat kesukaran soal tanpa menentukan siapa peserta tesnya (invariance). Dalam IRT, komposisi sampel dapat mengestimasi parameter dan tingkat kesukaran soal tanpa bias.

Pembuktian Teorema Pythagoras

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Fri, 25 Feb 2011 03:13:00 +0000

Assalamu’alaikum wr.wb.
Posting kali ini saya hubungkan antara pemahaman mengenai kesebangunan dan pembuktian teorema pythagoras. Hal ini menjadi penting karena ternyata tidka semua guru dapat membuktikan teorema pythagoras. Sebagian besar hanya bisa mengaplikasikan saja. Berikut pertanyaannya. Perhatikan gambar berikut!

Buktikan teorema pythagoras dengan membuktikan bahwa luas daerah ABED = luas daerah BCGF + luas daerah ACHI.

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut digunakanlah garis bantu yang dibentuk dengan cara menarik garis dari titik C tegak lurus AB sampai memotong DE di K. Secara praktis hal tersebut memberi batas bahwa luas daerah BCGF nanti sama dengan luas daerah BJKE demikian pula dengan luas daerah ACHI sama dengan luas daerah ADKJ.
Berikutnya adalah bangun garis bantu EJ dan EC sebagaimana tampak pada gambar di bawah ini.
Jelas bahwa luas daerah segitiga EBJ sama dengan luas daerah EBC. (Mengapa? Pelajari lebih lanjut Luas Daerah Segitiga). Jelas bahwa segitiga EBJ dan segitiga EBC memiliki alas yang sama, yaitu EB (Nah loh, alas tidak selalu berada di bawah kan?) dan tinggi yang sama pula, yaitu BJ (Ingat kembali garis tinggi segitiga merupakan garis yang tegak lurus dengan alas. Dan jelas EB tegak lurus BJ, karena ABED persegi). Sehingga luas daerah segitiga EBJ sama dengan luas daerah EBC.
Berikutnya bangun garis batu FC dan FA, sebagaimana tampak di bawah ini.
Dengan cara yang sama, diketahui bahwa luas daerah segitiga FBC sama dengan luas daerah FBA. (Mengapa?)
Perhatikan segitiga FBA dan segitiga EBC! Apakah kongruen? Perhatikan bahwa panjang AB = panjang EB dan panjang BF = panjang BC. Demikian pula besar sudut FBA = besar sudut EBC (Mengapa?). Sehingga segitiga FBA kongruen dengan segitiga EBC.
Akibatnya luas daerah EBJ sama dengan luas daerah FBC. Implikasinya adalah luas daerah persegi panjang EBJK sama dengan luas daerah persegi panjang BCGF.
Dengan demikian dapat digeneralisasikan bahwa luas daerah ADKJ sama dengan luas daerah ACHI. Sehingga berakibat luas daerah ABED = luas daerah EBJK + luas daerah AJKD ekivalen dengan luas daerah ABED = luas daerah BCGF + luas daerah ACHI.

Konsep Dasar Segitiga

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Thu, 24 Feb 2011 02:44:00 +0000

Assalamu'alaikum wr.wb. Ibu Bapak guru dan sahabat serta anak-anak yang berbahagia, sedikit saya ulas mengenai konsep dasar segitiga. Hal ini perlu saya sampaikan karena ternyata tidak semua orang memahami konsep dasar segit Perhatikan pertanyaan saya di bawah ini.

Pernahkan Ibu/Bapak dan anak-anak melihat segitiga?
Pernahkah Ibu/Bapak mengukur luas segitiga?

Jika salah satu atau kedua pertanyaan tersebut dijawab dengan PERNAH, maka terjadi salah pemahaman terhadap segitiga. Perhatikan gambar di bawah.

Jika diberikan tiga gambar seperti di atas, dengan gambar A diasumsikan dibuat dengan sedotan yang disambung-sambung, gambar B dibuat dengan karton, dna gambar C dibuat dengan kawat, namun salah satu kawatnya melengkung.

Pertanyaannya: Manakah dari gambar di atas yang merupakan interprestasi sebuah SEGITIGA?

Jika ada yang menjawab B atau A dan B maka perlu ada pemahaman lebih lanjut. Jawaban dari pertanyaan tersebut adalah gambar A. Jadi gambar A-lah yang merupakan interprestasi dari sebuah segitiga.

Dan, gambar B merupakan model dari sebuah DAERAH SEGITIGA. Sedangkan gambar C bukan segitiga dan juga bukan suatu daerah segitiga. Jadi jelaslah bahwa SEGITIGA TIDAK MEMILIKI LUAS. Yang memiliki luas adalah DAERAH SEGITIGA.

Demikian penjelasan singkat dari saya mengenai konsep dasar segitiga.

Contoh Silabus dan Deskripsi Mata Kuliah

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Wed, 23 Feb 2011 01:12:00 +0000

Assalamu'alaikum wr.wb. Setelah sekian lama tak update status, kembali saya sampaikan posting saya mengenai silabus dna deskripsi mata kuliah. Saya menulis ini karena banyak mahasiswa saya yang menginginkan file ini. Nah, kawan, saudara, sahabat, jika ingin mengunduh file deskripsi dan silabus mata kuliah statistika inferensial, silahkan klik unduh disamping atau jia menginginkan file unduhan lainnya silahkan datang ke halaman unduh. Selamat mengunduh.

Basic Theorems of Polygon

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Tue, 19 Oct 2010 11:45:00 +0000

Theorem!
4.2 In the n-gon, we can build (n – 3) diagonals from a vertex.

Proof!
Look at figure below.

Fig. 4.6. Condition of th. 4.2

Let. P₁, P₂ , … ,P_n be the vertices of the polygon as shown in the figure.
Take any vertex as the certain vertex, let it be P_x.

The segments

build diagonals. So that there are 2 vertices those could not be connected from a chosen vertex, that is P_x–1 , and P_x+1 which are not build diagonals.
Obvious P_x couldn’t make diagonal to itself.
Because of P_x is any vertex, we conclude that the condition is suitable for all vertices.
So we can only build (n – 3) diagonal from a vertex in a n-gon.

Theorem!
4.3 The sum of diagonal in a n-gon is

Proof!
From theorem 3.2 we get there are (n – 3) diagonal for every vertex in a n-gon.
Obvious
from P₁ there are (n – 3) diagonals,
from P₂ there are (n – 3) diagonals,
from P₃ there are (n – 3) diagonals,
…
from P_n–1 there are (n – 3) diagonals, and
from P_n there are (n – 3) diagonals.

Take any P_x vertex in n-gon given.
Obvious there are (n – 3) diagonal out from the vertex and also there are (n – 3) diagonal in from another vertices.
It means every vertex in a n-gon is being counted twice.

So that the sum of diagonal in a n-gon should be
These prove the theorem.

Theorem!
4.4 The sum of exterior angle of a n-gon is 360^o.

Proof!
We leave the proof as exercise.

Permasalahan UASBN Terkait Modus

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Sun, 17 Oct 2010 21:53:00 +0000

Assalamu’alaikum wr.wb.

Berbicara statistika itu kompleks. Bisa dari yang sangat mudah, sampai dengan yang susah. Yang yang sepele sampai yang sangat rumit. Contohnya yang saya temui beberapa hari ini. Ketika berbicara di depan para guru pemandu SD, LUAR BIASAAA…, antusias sekali mereka. Bahkan bahasan serupa MODUS-pun bisa sibuat sedemikian heboh. Mari kita ikuti.

Dalam Suharsimi (2006:34) dikatakan bahwa modus adalah NILAI YANG PALING SERING MUNCUL. Tapi sesungguhnya apa itu nilai? Saya langsung akan mengaplikasikan pada soal berikut ini.

*) Pada hari minggu ini, Andi membeli 4 batang pensil, 5 buah pulpen, 9 butir telur dan 6 bungkus mie instant. Tentukan modus dari barang yang dibeli Andi pada Minggu ini!

Pada bahasan Senin, 11 Oktober 2010, beberapa guru menyatakan, “Pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab, karena tidak ada modusnya!”, namun ada pula yang menjawab, “Tentu bisa, itu jawabnya 9.”

Saya mencoba menengahi bahwa soal tersebut saya adopsi dari soal yang setara pada tahun sebelumnya yang berbunyi demikian,

**) “Dari 40 orang siswa kelas 6 di SD Makmur, 25 diantaranya berangkat ke sekolah dengan berjalan kaki, 15 siswa berangkat dengan cara bersepeda, dan sisanya berangkat ke sekolah dengan diantar. Apakah modus dari cara berangkat siswa kelas 6 SD Makmur ke sekolah?”

Dan pertanyaan tersebut ada jawabnya, yaitu dengan berjalan kaki. Tentu saja, pernyatan **) tersebut di atas dapat pula digambar diagram batangnya, sebagai berikut:

Yak, betul sekali, data yang dapat digambar diagram batangnya adalah data yang nilainya seragam. Pada pernyataan **) data yang dimiliki adalah data cara siswa berangkat ke sekolah. Data tersebut adalah berjalan kaki, bersepeda, dan diantar. Data yang demikian dinamakan data ordinal, artinya masing-masing unsur data tidak merupakan urutan. Dan nilai yang dimiliki data tersebut adalah kuantitas dari siswa yang melakukan hal tersebut di SD Makmur. Jadi nilai data berjalan kaki adalah 25, nilai data bersepeda adalah 15 dan seterusnya.

Jadi, saya simpulkan, setelah melalui diskusi dengan rekan sejawat di kampus, bahwa pertanyaan *) dapat diselesaikan, dan modusnya adalah Telur, yang dibeli sebanyak 9 butir. Mengapa bisa? Karena pada data ordinal yang difokuskan adalah kuantitas (di bahasa Jawa disebut dengan CACAH). Jadi perbedaan satuan butir, dan buah tidak perlu dipertanyakan. Berbeda kalau satuan tersebut kilogram dan buah, misal barang yang dibeli adalah mie instant dan beras, maka kedua barang tersebut JELAS TIDAK DAPAT DIBANDINGKAN. Diagram batang untuk pertanyaan *) adalah sebagai berikut.

Dengan demikian kesalahan telah diperbaiki, semoga dapat membantu.

Convexity and Angles of Polygon

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Sat, 16 Oct 2010 12:23:00 +0000

Polygons which look like those in the top row of Figure 4.5 we will call convex. Thus we define a polygon to be convex if it has the following property:

Given two points X and Y on the sides of the polygon, then the segment XY is wholly contained in the polygonal region surrounded by the polygon (including the polygon itself).

Observe how this condition fails in a polygon such as one chosen from the lower row in Figure 4.5 on Chapter Basic Idea of Polygon

4.6 Example polygon

You might want to go back to Figure 4.5 and verify that this condition does hold on each polygon in the top row.

Throughout this book we shall only be dealing with convex polygons, as they are generally more interesting. Consequently, to simplify our language, we shall always assume that a polygon is convex, and not say so explicitly every time.

In a polygon, let PQ and QM be two sides with common endpoint Q. Then the polygon lies within one of the two angles determined by the rays R_QP and R_QM. This angle is called one of the angles of the polygon. Observe that this angle has less than 180°, as illustrated:

4.7 Angles of polygon

Experiment 4.2.

Besides the number of sides, two characteristics of polygons are the lengths of its sides and the measures of its angles.
What do we call a quadrilateral which has four sides of the same length and which has four angles with the same measure?
Can you think of a quadrilateral which has four angles with equal measures but whose sides do not all have the same length? Draw a picture. What do we call such a quadrilateral?
Can you draw a quadrilateral which has four sides of equal length, but whose angles do not have the same measure?
What do we call a 3-gon which has equal length sides and equal measure angles?
With a ruler, draw an arbitrary looking convex quadrilateral. Measureeach of its four angles, and add these measures. Repeat with two or three other quadrilaterals.
Repeat the procedure given in Part 2 with a few pentagons, and then a few hexagons.
What can you conclude? Can you say what the sum of the measures of the angles of a 7-gon would be? How about a 13-gon?
For the rest of this experiment, we will develop a formula to answer these questions.

Consider a convex quadrilateral. A line segment between two opposite vertices is called a diagonal. We can decompose the quadrilateral ("break it down") into two triangles by drawing a diagonal, as shown:

4.8 A diagonal

Notice that the angles of the two triangles make up the angles of the polygon. What is the sum of the angles in each triangle? In the two triangles added together? And in the polygon?

Now look at a convex pentagon. We can decompose it into triangles, using the "diagonals" from a single vertex, as shown:

4.9 Diagonals

We see that in a 5-gon we get three such triangles. Again, the angles of the triangles make up the angles of the polygon when it is decomposed in this way. What is the sum of the measures of all the angles in the triangles? What is the sum of the measures of all the angles in the polygon?

Repeat this procedure with a hexagon to find the sum of the measures of its angle. Continue the process until you can state a formula which will give the sum of the measures of the angles of an n-gon in terms of n. If you have succeeded, you will have found the next theorem.

Theorem!
The sum of the angles of a polygon with n sides has

(n – 2).180°

Proof!
Let. P1, P2 , … ,Pn be the vertices of the polygon as shown in the figure. The segments

decompose the polygon into (n – 2) triangles. Since the sum of the angles of a triangle has 180o, it follows that the sum of the angles of the polygon has (n – 2).180°.

4.10 Condition of th. 4.1

That's it some basic properties of polygon. In next sub chapter, we will learn more about the properties of polygon.

Pembuktian Kesamaan Dua Himpunan (Tugas Kuliah)

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Fri, 15 Oct 2010 01:28:00 +0000

Kuliah pengantar dasar matematika, pada minggu ke 6 dan 7 perkuliahan, ditiadakan. Selanjutnya, diperislahkan kepada mahasiswa untuk dapat memahami permasalahan yang diberikan pada perkuliahan tersebut. Silahkan klik Continue reading.

Tugas Mahasiswa

1. Buktikan bahwa: A⊂B ⇔ A ∩ B^c = ∅
2. Buktikan bahwa: A⊂B^c ⇔ A ∩ B = ∅

Petunjuk:
1. Jelas pernyataan 1. Merupakan bentuk biimplikasi, sehingga untuk menunjukkan kebenaran dari biimplikasi, Saudara harus menunjukkan kebenaran dari 2 implikasi (⇒) dan(⇐).

Untuk bukti (⇒).
Akan ditunjukkan A ⊂ B ⇒ A ∩ B^c = ∅.
Dari implikasi tersebut di atas, jelas dipunyai A ⊂ B.
Artinya … (silahkan dimaknai).
Akan ditunjukkan A ∩ B^c = ∅.

Perhatikan bahwa pernyataan di atas merupakan kesamaan dari dua himpunan yaitu A ∩ B^c dan ∅. Dan untuk menunjukkan kesamaan dua himpunan yang harus dilakukan adalah menunjukkan:

i) A ∩ B^c ⊂ ∅, dan
ii) ∅ ⊂ A ∩ B^c

Jelas ii) berlaku untuk sembarang himpunan.

Tinggal menunjukkan i) berlaku.
Untuk menunjukkan A ∩ B^c ⊂ ∅, cukup ditunjukkan bahwa sembarang anggota A ∩ Bc merupakan anggota ∅.

Langkah yang harus diambil adalah:
Ambil sembarang x anggota A ∩ B^c.
Maka x … (silahkan dimaknai).
Karena A ⊂ B, maka … (silahkan dimaknai).
Diperoleh x ∈ ∅.
Karena x sembarang anggota himpunan A ∩ B^c , maka berlaku

∀ x, x ∈ A ∩ B^c ⇒ x ∈ ∅

Jadi A ∩ B^c ⊂ ∅.

Karena ii) dan i) berlaku maka disimpulkan bahwa A ⊂ B ⇒ A ∩ B^c = ∅.

Untuk bukti (⇐) dan bukti keseluruhan untuk nomor 2, dipersilahkan salah satu mahasiswa
untuk memaparkan di depan kelas.

Atau jika Saudara kesulitan mengakses posting ini Silahkan klik disini untuk download file PDF-nya.

Selamat mencoba.

Basic Idea of Polygon

noreply@blogger.com (Ardhi Prabowo) — Wed, 06 Oct 2010 03:34:00 +0000

In this chapter, we will explain about polygon. We may start from the basic ideas of a polygon, the convexity, basic theorems of polygon, regular polygon, some kinds of polygon, until kinds of quadrilateral. We give you two kinds of exercise in this chapter, because of its large subject material. Some our daily mistakes are also given and directly solved here. We wish for next activity, the mistakes will not be happen again.

BASIC IDEAS

Some figure which is polygon is shown below.

Figure 4.1 Polygon

Some figures which are not polygon are shown below.

Figure 4.2 Not polygon

We shall give the definition of a polygon in a moment. In these figures, observe that a polygon consists of line segments which enclose a single region.

A four-sided polygon is called a quadrilateral (Figure 4.1(a) or (f)). A five-sided polygon is called a pentagon (Figure 4.1(b)), and a six-sided polygon is called a hexagon (Figure 4.1(e)). If we kept using special prefixes such as quad-, penta-, hexa-, and so on for naming polygons, we would have a hard time talking about figures with many sides without getting very confused. Instead, we call a polygon which has n sides an n-gon.

For example, a pentagon could also be called a 5-gon; a hexagon would be called a 6-gon. If we don't want to specify the number of sides, we simply use the word polygon (poly- means many). As we mentioned for triangles (3-gons), there is no good word to use for the region inside a polygon, except "polygonal region", which is a mouthful. So we shall speak of the area of a polygon when we mean the area of the polygonal region, as we did for triangles.

If a segment PQ is the side of a polygon, then we call point P or point Q a vertex of the polygon. With multisided polygons, we often label the vertices (plural of vertex) P1, P2, P3, etc. for a number of reasons. First, we would run out of letters if the polygon had more than 26 sides. Second, this notation reminds us of the number of sides of the polygon; in the illustration, we see immediately that the figure has 5 sides:

Figure 4.3 A Hexagon

Finally, if we want to talk about the general case, the n-gon, we can label its vertices P1, P2 , P3 , … ,Pn - 1, Pn as shown:

Figure 4.4 General n-gon

We can now define a polygon (or an n-gon) to be an n-sided figure consisting of n segments

which intersect only at their endpoints and enclose a single region.

Experiment 4.1.
Below are two rows of polygons. Each polygon in the top row exhibits a common property, while those in the bottom row do not.

Figure 4.5 Polygons

Can you discover what the top row polygons have in common that the bottom ones do not? Try to state the definition of your property as specifically as possible, using terms and concepts that we have already defined. There are many possible answers.