Ayuda en Matemática - Teoría y cantidad de problemas resueltos

Identidades Trigonométricas Problema resuelto

2011-10-02T16:16:00.002-05:00

Problema

Demostrar:

Sug. Puedes usar identidades trigonometricas.

Solución

Podemos demostrar el ejercicio utilizando la fórmula de suma de ángulos pero el problema surge cuando el argumento es grande(hablamos de 5x, 6x, 7x, ...) debido a que el proceso resulta muy engorroso por ello desarrollaremos el ejercicio utilizando números complejos de esta forma fácilmente podremos calcular por ejemplo el sen5x.

Sabemos por este problema que el "seno de x" podemos expresarlo:

También por el Binomio de Newton sabemos:

Ademas podemos generalizar la expresión (i) así:

Procedemos a elevar al cubo ambos miembros de (i):

Aplicando (ii) y lo aprendido en este problema

Acomodamos para obtener expresiones similares a (i) y (iii)

De (i) y (iii)

finalmente:

Para calcular el Sen5x procedemos análogamente:

Finalmente reemplazando (iv) en la expresión anterior:

De esta forma podemos calcular fácilmente el sen4x,sen5x, sen6x, sen7x, sen8x, sen9x, ...

Transformada de Fourier Problema resuelto

2011-09-25T11:10:00.004-05:00

Problema

Calcular la TDF de:

Sug. Derivar f(t) y proceder a calcular TDF.

Solución

Nos piden calcular la Transformada de Fourier de:

Para ello procedemos a derivar (i)

Aplicamos la TDF en ambos miembros de la ecuación anterior:

Recordemos las siguientes propiedades de la TDF:

Por tanto aplicando las propiedades en (ii):

Pero:

Esto en (iii):

Efectuando:

Integramos:

Solo nos faltaría hallar la constante c₁, para ello recordemos que:

Pero de (iv) notamos que obtenemos c₁ cuando w=0, es decir:

Evaluando en (v), w=0

De un ejercicio anterior sabemos el valor de la integral, por tanto c₁ será:

Luego de (iv), tendremos:

La gráfica de f(t) es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss

Integrales Problema resuelto

2011-09-18T17:47:00.002-05:00

Problema

Calcular la integral

Sug. Utilizar coordenas polares resolver la integral.

Solución

Nos piden calcular la siguiente integral:

Dado que "x" es una variable muda la anterior integral también puede ser expresada por:

Multiplicando (i) y (ii):

Operando:

Calculemos la integral anterior usando coordenadas polares, para ello recordemos

Ademas definamos los límites de integración; en coordenada cartesianas el área de integración es todo el plano dado que "x" va de menos infinito a mas infinito al igual que "y",la misma área en coordenadas polares será:

Luego

Procedemos a integrar

finalmente:

Esta integral es conocida como la Integral de Gauss

Transformada Zeta Inversa Problema resuelto

2011-04-03T19:40:00.007-05:00

Problema

Hallar el término n-ésimo de la sucesión 1,1,2,4,7,11,16,...

Sug. Hallar la ecuación de diferencias y luego aplicar la transformada Z.

Solución
Resolveremos este problema usando la Transformada Z y su Inversa, no obstante existen otras formas de resolverlo.

Recordemos las siguientes fórmulas de la Transformada Z.

Ademas tengamos en cuenta las siguientes expresiones equivalentes.

Sabemos

Derivamos la expresión anterior

Nuevamente derivamos lo anterior

Observando la sucesión vemos que esta satisface la siguiente ecuación de diferencias, para n ≥ 0.

Aplicando la Transformada Zeta a la ecuación anterior

Teniendo en cuenta las fórmulas dadas anteriormente y cuando T=1, obtenemos:

Ademas como condición inicial tenemos

Finalmente obtenemos

La expresion z/(z-1) puede ser expresada de la siguiente forma:

La expresion z/(z-1)³ puede ser expresada de la siguiente forma:

Reemplazando (v),(vi) en (iv):

De aqui concluimos que el término n-ésimo es:

Facilmente podemos calcular cualquier término de la sucesión dada gracias a que conocemos f(n).

Sistema de Numeración Problema resuelto

2011-03-27T16:56:00.024-05:00

Problema

Realizar las siguientes conversiones:

a) 1238 al sistema binario.
b) 10101012 al sistema octal.
c) BACA16 al sistema binario.
d) 10101012 al sistema hexadecimal.
e) 1316310 al sistema binario.

Sug. Usar divisiones sucesivas y descomposición polinómica. T.

Solución
Presentamos 2 formas de resolver este problema.

a)
Primera Forma: Digamos que esta la forma trivial de realizar este proceso.

Convertimos el número 1238 a un número en base 10 (la que usamos),a través de la descomposición polinómica de la siguiente forma:

Luego convertimos el número 83 a un número en base 2 (binario) a través de divisiones sucesivas:

Procedemos a escribir los números de color azul, empezando con el número que se encuentra en la parte mas inferior para terminar con la que se encuentra en la parte superior obteniendo así el número en base 2, es decir:

ó

Luego diremos que el número 123 en base 8 es equivalen al número 83 en base 10 y estos a su vez son equivalentes al número 1010011 en base 2.

Segunda Forma

Examinemos la siguiente tabla, nos muestra números en el sistema decimal(de base 10), en el sistema octal(base 8) y en el sistema binario(base 2).

Vemos las equivalencias entre los valores de los distintos sistemas de numeración, por ejemplo el número 5 en base 10 es equivalente al número 5 en base 8(octal) y a su vez estos son equivalentes al número 101 en base 2(binario).

Cuando queramos convertir un número de base 2 a base 8 o viceversa es conveniente expresar los números de base 2(sistema binario) como números de 3 cifras como en la tabla.

Según la tabla vemos que 1 en base 8 es equivalente a 001 en base 2; 2 en base 8 es equivalente a 010 en base 2 y 3 en base 8 es equivalente a 011 en base 2.

Ahora solo reemplazamos las equivalencias anteriores en el número 1238, obtenemos:

Despreciando los ceros de la izquierda del número anterior que esta en base 2, tenemos:

b)
Primera Forma: Una forma trivial de realizar este proceso.

Convertimos el número 10101012 a un número en base 10 , de la siguiente forma:

Luego convertimos el número 85 a un número en base 8 a través de divisiones sucesivas:

Procedemos a escribir los números de color azul, empezando con el número que se encuentra en la parte mas inferior para terminar con la que se encuentra en la parte superior, obteniendo el número en base 8, es decir:

Segunda Forma

Usamos nuevamente la tabla que vimos anteriormente:

Separamos en grupos de 3 cifras de derecha a izquierda al número de base 2.

Vemos que se formaron 2 grupos de 3 cifras y un grupo incompleto de una sola cifra, completamos con ceros este grupo(números de color rojo).

Miramos la tabla y notamos que el número 001 en base 2 es equivalente al número 1 en base 8, el número 010 en base 2 es equivalente a 2 en base 8 y el número 101 es equivalente a 5 en base 8.

Ahora solo reemplazamos las equivalencias anteriores al número 10101012

Obtenemos el número equivalente en base 8.

c)
Veamos la siguiente tabla

Nos muestra las equivalencias entre los valores de los distintos sistemas de numeración.
Luego procediendo como en la segunda parte de a), tendremos:

Acomodando los números:

Haciendo un simple reemplazo convertimos un número de base 16 a base 2.

d)
Tener en cuenta la siguiente consideración: Cuando queramos convertir un número de base 2 a base 16 o viceversa es conveniente expresar los números de base 2(sistema binario) como números de 4 cifras como en la tabla anterior.

Luego procediendo como en la segunda parte de b), solo que esta vez formamos grupos de 4 cifras de derecha a izquierda completando con ceros el grupo incompleto, tendremos:

Que es lo mismo que:

En una línea, en resumen:

En una línea queda resuelta el ejercicio.

e)

Primera Forma
Usamos divisiones sucesivas para convertir el número a base 2.

Es decir el número 13163 en base 2 es:

Segunda Forma

Convertimos el número a base 8.

Usamos lo aprendido en la segunda parte de a) y obtenemos:

En la primera forma de solución utilizamos 14 divisiones engorrosas que nos demoran y en las que nos podemos equivocar, en la segunda forma utilizamos solo 3 divisiones ahorramos tiempo y tenemos menos probabilidad de equivocarnos al encontrar la respuesta final.

Nota importante
Es posible usar los métodos aprendidos al convertir un número de base 2 a base 8 o viceversa o de base 2 a base 16 o viceversa, en los demás sistemas de numeración no funcionan estos métodos.

Notamos que la 2da forma es la más directa, rápida y confiable.

Diferencial de una función Problema resuelto

2011-03-20T17:38:00.014-05:00

Problema

Para el Germanio intrínseco a la temperatura ambiente(300 kelvin). ¿En que tanto por ciento aumenta ni(T) cuando la temperatura aumenta 1 kelvin?
Considerar que:

Sug. Derivar respecto a T.

Solución
Presentamos 2 formas de resolver este problema.

Primera Forma

De la expresión:

notamos que ni varia con la temperatura, por tanto es posible derivar ni respecto a la temperatura T, hacemos esto.

(i) podemos expresarlo también como:

o también:

Para calcular que tanto por ciento aumenta ni respecto a la temperatura T cuando la temperatura aumenta 1 grado, bastará con calcular:

cuando

Entonces tendríamos:

Reemplazando los valores numéricos dados:

ni aumenta en un 5.53% cuando T aumenta un kelvin.

Segunda Forma

Tomamos logaritmo natural a ni

Procedemos a derivar respecto a la temperatura(T) la expresión anterior:

Efectuando:

la expresión anterior también podemos expresarlo:

O también podemos expresarlo como:

Para calcular el tanto por ciento que aumenta, bastará con multiplicar por 100 la expresion anterior, es decir:

Si reparamos en esta expresión notaremos que es la misma obtenida en (iii) de la solución anterior por tanto llegamos a la misma respuesta.

Notamos que la 2da forma es la más sencilla esto porque la derivada de un número es cero, este hecho hace que se acorte la solución del problema.

Funciones - Dominio y Rango de una función Teoría - Segunda parte

2010-05-17T03:06:00.006-05:00

Funciones
En la Primera Parte aprendimos que una Relación no es más que un conjunto que esta incluido en el conjunto producto cartesiano.
Además vimos que el producto cartesiano incluye 2ⁿ RELACIONES, es decir incluye a varias RELACIONES.

Si de estas RELACIONES separamos a aquellas que cumplan la siguiente condición en sus elementos:
"A cada primera componente solo le corresponde una y solamente una segunda componente".
Separaríamos varios conjuntos que son Relaciones y que a la vez cumplen con la condición anterior, a estos conjuntos llamaremos FUNCIONES.

Ejemplo1
De las siguientes relaciones cuales son FUNCIONES.

Solución
Sabemos que para que una relación sea un FUNCION debe de cumplir la siguiente condición en sus elementos:"A cada primera componente solo le corresponde una y solamente una segunda componente".

Luego:
s1. El conjunto C tiene como elementos 4 pares ordenados, cuyas primeras componentes son los números 1,2 y 3; y como segundas componentes las letras a y b.
Vemos que los pares ordenados (1,a) y (1,b) no cumplen con la condición dada porque la primera componente 1 tiene dos segundas componentes, por lo tanto la relación C NO es una función.

s2. El conjunto D tiene como elementos 3 pares ordenados, cuyas primeras componentes son los números 1 y 2; y como segundas componentes las letras a y b.
Vemos que los pares ordenados (2,a) y (2,b) no cumplen con la condición dada porque la primera componente 2 tiene dos segundas componentes, por lo tanto la relación D NO es una función.

s3. El conjunto E tiene como elementos 3 pares ordenados, cuyas primeras componentes son los números 1,2 y 3; y como segunda componente la letra a; es decir a las PRIMERAS COMPONENTES se les asigna la misma SEGUNDA COMPONENTE.
Vemos que los pares ordenados (1,a),(2,a) y (3,a) cumplen con la condición dada porque a cada primera componente solo se le asigna una segunda componente, por lo tanto la relación E es una función.

s4. El conjunto F tiene como elementos 2 pares ordenados, cuyas primeras componentes son los números 2 y 3; y como segunda componente las letras a y b.
Vemos que a cada primera componente solo se le asigna una segunda componente, por lo tanto la relación E es una función.

s5. El conjunto H tiene como elemento un solo par ordenado,por lo tanto la relación E es una función.

Luego:

Conclusiones

1) De s1. y s2. notamos en los pares ordenados si se repite la primera componente entonces esa relación NO es función, esto se cumple generalmente.
2) De s3. notamos en los pares ordenados si no se repiten las primeras componentes y si se repiten las segundas componentes entonces esa relación SI es una función.

Ejemplo2
¿Cómo se obtuvieron los conjuntos del Ejemplo1?

Solución
En resumen, al realizar el producto cartesiano de 2 conjuntos obtenemos el conjunto AXB.

Por s1. sabemos que el conjunto C es una Relación mas no una Función(línea de color roja), el conjunto C se obtiene de la siguiente forma.

Por s2. sabemos que la Relación D no es una Función(línea de color azul), el conjunto D se obtiene de la siguiente forma.

Ademas.
Al conjunto A se le llama Conjunto de Partida de la Relación.
Al conjunto B se le llama Conjunto de Llegada de la Relación.

Por s1. , s2. , s3. sabemos que las Relaciones E,F y H son funciones, se obtuvieron de la siguiente forma.

Ademas.
Al conjunto A se le llama Conjunto de Partida de la función.
Al conjunto B se le llama Conjunto de Llegada de la función.
Vemos que las funciones son conjuntos cuyos elementos son pares ordenados.

Dominio y Rango de una función
Sabemos que una función es un conjunto de pares ordenados, al conjunto formado por las primeras componentes de estos pares ordenados llamaremos DOMINIO DE LA FUNCION; al conjunto formado por las segundas componentes de estos pares ordenados llamaremos RANGO DE LA FUNCION.

Notar que el conjunto DOMINIO DE LA FUNCION esta incluido en el conjunto de Partida de la función.
También que el conjunto RANGO DE LA FUNCION esta incluido en el conjunto de Llegada de la función.

Al dominio de la función F lo denotaremos por Dom F, y al rango de la función F lo denotaremos por Ran F.

Para la función F del ejemplo2, por s4. conocemos el conjunto dominio de la función F y el conjunto rango de la función F ademas sabemos que estos conjuntos están incluidos en el conjunto de partida y llegada respectivamente, luego tendremos:

También para la función H del ejemplo2, tendremos:

Razones Trigonométricas de ángulos agudos Teoría - Segunda parte

2010-05-04T02:31:00.001-05:00

Co-razón trigonométrica (Co-R.T.)
Cada razón trigonométrica (lo abreviaremos por R.T.) tiene su correspondiente co-razón trigonométrica (lo abreviaremos por Co-R.T.).

Por ejemplo de (i) vemos que de la R.T. seno su Co-R.T. es el coseno.
Ten en cuenta este concepto porque lo usarás para reducir un ángulo al 1er cuadrante o para hallar las R.T de los ángulos complementarios.

Ángulos Complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Pero ¿Qué pasa si los ángulos están expresados en radianes o en grados centesimales?

Caso I: Si α y β están expresados en grados sexagesimales.

Caso II: Si α y β están expresados en radianes.

Caso III: Si α y β están expresados en grados centesimales.

Razones trigonométricas de ángulos complementarios:
Si α y β son ángulos agudos, entonces α y β son complementarios si y solo si:

Ejemplo
Hallar la R.T. equivalente del Seno de 30°

Solución

De (i) sabemos que la Co-razon del Seno es el Coseno.
Si suponemos que el ángulo α es 30° entonces de (iv) vemos que el ángulo β es 60°.
Sustituyendo lo deducido en (vii):

Razones trigonométricas de ángulos notables:

En la siguiente animación vemos como obtenemos el triángulo rectángulo de 53°,37°.

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Tenemos los siguientes triángulos notables.
Razones trigonométricas del triángulo pitagórico del ángulo de 37° y 53°

Razones trigonométricas del ángulo de 45°

Razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°

Factorización Teoría - Segunda parte

2010-05-02T17:23:00.004-05:00

En la primera parte aprendimos el método del factor común, aprendamos otro método más.

Métodos

Agrupación: El objetivo es "obtener un factor común general" para ello se tratará de reunir los términos convenientemente.

Ejemplo1
Factorizar:

Solución
Supongamos que enumeramos los polinomios según sus monomios, de la siguiente forma:

Para factorizar este polinomio daremos algunas pautas, que con la práctica lo realizarás inconscientemente.
a. Inspeccionamos el polinomio, buscando peculiaridades; por ejemplo:
a1. El 1° y 5° monomio son expresiones cuadráticas.
a2. El 3° y 6° monomio son los unicos negativos.
a3. El 1°,2°,3° y 4° monomio tienen variable x.
a4. El 2°,4°,5° y 6° monomio tienen variable y.
a5. El 3° y 6° monomio son los únicos que tienen variable z.
a6. El 2° y 4° monomio son iguales a xy.
a7. El polinomio esta formado por 6 monomios.

Factorizaremos el polinomio de 2 formas:

Primera Forma:
b. Luego tratamos de agrupar los términos convenientemente con el fin de encontrar un factor común.
b1. De a7. podemos suponer que para factorizar el polinomio lo podemos separar en 2 grupos de 3 monomios cada uno.
Pero para formar un grupo ¿Qué monomios debemos elegir?
b2. Recordemos que buscamos formar un factor en cada grupo, pero este factor debe ser el mismo en cada grupo, por tanto de a2. vemos que el 3° monomio debe ir en un grupo mientras el 6° monomio debe ir en el otro grupo.
b3. De a5. vemos que el 3° polinomio necesariamente debe ser factorizado por "x", mientras que el 6° polinomio necesariamente debe ser factorizado por "y"; luego el grupo que contiene al 3° polinomio sera factorizado por "x" y el grupo que contiene al 6° polinomio será factorizado por "y".
b4. Teniendo en cuenta a3.,a4. y b3. tratamos de agrupar convenientemente, obtenemos:
Ahora factorizamos los grupos, de b3. el 1° Grupo por "x" y el 2° Grupo por "y".

Vemos que el factor común es x+y-z
Luego para factorizar agrupamos el factor común de la siguiente manera:

Listo polinomio factorizado.

Segunda Forma:
Recordemos un producto notables, el trinomio cuadrado perfecto, tiene la forma:

De a1. vemos que posiblemente podemos formar un trinomio cuadrado perfecto en el polinomio a factorizar.
De a6. vemos que el polinomio puede ser expresado:

Luego formamos 2 grupos, el 1° con los monomios de color azul.

El 1°Grupo es un trinomio cuadrado perfecto.
De a5. vemos que el 2° grupo puede ser factorizado por z.
Luego tendremos:

Pero por teoría de exponentes: (x+y)² = (x+y)(x+y) , entonces tendremos:

Luego para factorizar agrupamos el factor común de la siguiente manera:

Listo polinomio factorizado.

Hay una 3ra forma de factorizar el polinomio, formando 3 grupos, te animamos a que lo realices, como sugerencia ten en cuenta a5.

Conclusion: Inspecciona el polinomio, detecta peculiaridades y factoriza

Proporciones - Reparto Proporcional Teoría - Tercera parte

2010-05-01T19:11:00.002-05:00

Reparto Proporcional
Consiste en repartir una cantidad en partes proporcionales a números dados.

Ejemplo
Dividir 1000 nuevos soles en partes proporcionales a 2, 3 y 5.
Sug. Aplicar proporcionalidad y luego las reglas de proporciones geométricas.

Solución
Supongamos que a, b y c representas a las tres partes.
Obviamente que estas 3 partes deben de sumar 1000 nuevos soles.

Como las partes a,b y c son proporcionales a 2,3 y 5 respectivamente, expresaremos esto matemáticamente de la siguiente forma.

Por propiedades de proporciones sabemos que (ii) puede ser expresado también como:

Reemplazando (i) en (iii) tenemos:

De aquí resulta que:

Si deseas ver la Primera parte de este tema ve aquí
Si deseas ver la Segunda parte de este tema ve aquí

Funciones - Relaciones, Par ordenado, Conjuntos Teoría - Primera parte

2010-04-25T19:02:00.005-05:00

Definamos, recordemos algunos conceptos previos que nos ayudarán a comprender que es una función.

Conjuntos
Es una agrupación, colección de objetos llamados elementos.
Un conjunto puede ser representado gráficamente a través de un Diagrama de Venn.
Por ejemplo, tenemos que el conjunto A es:

Vemos que los elementos del conjunto son números y son los números 1, 2 y 3.
Luego expresado matemáticamente el conjunto A será:

Si tenemos que el conjunto B es:

Vemos que los elementos del conjunto son letras y son las letras a y b.
Luego expresado matemáticamente el conjunto B será:
Notar que en un caso los elementos son números y en el otro los elementos son letras.

Si tenemos el conjunto T y el conjunto R diremos que "R esta incluido en T" si:

Ejemplo1
Precisar si el conjunto R esta incluido en el conjunto T, si:

Solución
Si representamos los conjuntos en Diagramas de Venn notamos que:

Un conjunto puede incluir a varios conjuntos.
¿Cómo así?
Supongamos que tenemos un conjunto H y este tiene "n" elementos, entonces existirían 2ⁿ conjuntos que estarán incluidos en el conjunto H; estos conjuntos incluidos se llaman subconjuntos.

Par Ordenado
Es un ente matemático representado por (a,b),donde

A "a" se le llama primera componente y a "b" segunda componente.

Ejemplo2
¿Cuál es la primera componente y segunda componente de los siguientes pares ordenados?
a) (1,b)
b) (2,a)
c) (3,b)
d) (1,a)

Solución
a) Primera componente es 1 y la Segunda componente es b.
b) Primera componente es 2 y la Segunda componente es a.
c) Primera componente es 3 y la Segunda componente es b.
d) Primera componente es 1 y la Segunda componente es a.

Fácil ¿verdad?

Pero ahora nos preguntamos: ¿Podemos formar un conjunto cuyos elementos sean los pares ordenados del ejemplo2?

Sí se puede, supongamos que el conjunto se llame C, entonces:

Dado que C es un conjunto podemos representarlo gráficamente mediante un Diagrama de Venn.

Producto Cartesiano A X B
Se define el producto cartesiano A X B para 2 conjuntos, en este caso el conjunto A y el conjunto B.
El producto cartesiano A X B es un conjunto que tiene como elementos pares ordenados.
Simbolicamente:
Ejemplo3
Calcular el producto cartesiano A X B, si:

Solución
El distribuir los elementos de los conjuntos en un diagrama llamado "diagrama del árbol" no facilitará el cálculo del producto cartesiano de los conjuntos.

Luego:

Dado que el producto cartesiano A x B es un conjunto podemos representarlo gráficamente mediante un Diagrama de Venn.

Relaciones
Sean 2 conjuntos A y B. Un conjunto R cuyos elementos son pares ordenados se llama una RELACION de A en B si R esta incluido en el conjunto del producto cartesiano A x B.
Ejemplo4
Si los conjuntos A,B y C son los conjuntos mencionados a lo largo de este post.
¿C es una RELACION de A en B?
Solución
Sabemos que para que C sea una RELACION de A en B, el conjunto C debe de estar incluido en A x B.

Realizando un procedimiento análogo al ejemplo1, tendremos:

Donde claramente vemos que C esta incluido en A x B, por lo tanto C es una RELACION de A en B.

Existen varios conjuntos que estarán incluidos en A x B.
Más precisamente hablando, si A x B tiene n elementos, entonces existirán 2ⁿ conjuntos que estarán incluidos en A x B por tanto existirán 2ⁿ RELACIONES de A en B.
Todo esto porque A x B tiene 2ⁿ subconjuntos y todo subconjunto esta incluido en A x B.

Actualización: La segunda parte ya esta lista, la encuentras aqui.

Sistemas de ecuaciones Problema resuelto

2010-04-24T22:26:00.003-05:00

Problema

Un frutero gasta 3 sumas iguales de dinero en comprar manzanas, naranjas y plátanos. Cada naranja cuesta 10 euros menos que una manzana y 15 euros más que un platano; en total compró 150 frutas. El número de naranjas excedió al de manzanas en tantos platanos como pudo comprar por 150 euros. ¿cuanto invirtió en total el frutero?

Sug. En función a una constante resolver el sistema de ecuaciones.

Solución
Supongamos que:
x : es el número de manzanas que compró el comerciante.
y : es el número de naranjas que compró el comerciante.
z : es el número de plátanos que compró el comerciante.
m : el precio de una sola manzana.
n : el precio de una sola naranja.
p : el precio de un solo plátano.

La expresión:"Un frutero gasta 3 sumas iguales de dinero en comprar manzanas, naranjas y plátanos".
Traducido matemáticamente seria:

Si asumimos que la suma de dinero que gasta el frutero en comprar manzanas o naranjas o plátanos es k, entonces:

De (i), podemos deducir las siguientes igualdades:

La expresión:"Cada naranja cuesta 10 euros menos que una manzana y 15 euros más que un plátano".
Traducido matemáticamente seria:

De donde podemos decir que:

La expresión:"en total compró 150 frutas".
Traducido matemáticamente seria:

Finalmente la expresión:"El número de naranjas excedió al de manzanas en tantos platanos como pudo comprar por 150 euros.".
Traducido matemáticamente seria:

Estos son los datos dados por el problema, de aquí en adelante viene la resolución del sistema de ecuaciones.

Como z representa el número de plátanos que compró el comerciante, entonces con certeza decimos que z es mayor que cero, gracias a esto podemos dividir cualquier expresión por z con la seguridad que no variaremos la ecuación.

Luego dividimos la ecuación anterior por z:

Reemplazamos las equivalencias mostradas en (i) y (ii) en la ecuación anterior:

Reemplazamos las equivalencias mostradas en (iv) en la ecuación anterior:

Despejamos el valor de k de la ecuación anterior:

Por otro lado dividimos entre z la ecuación (v):

Reemplazamos las equivalencias mostradas en (ii) en la ecuación anterior:

Reemplazamos las equivalencias mostradas en (iv) en la ecuación anterior:

Si te das cuenta las ecuaciones (vi) y (vii) forman un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas.

Resolviendo este sistema, hallamos:

Como p representa el precio de una fruta, obviamente p es mayor que cero, por lo tanto p = 15

Reemplazando en (iv) el valor de p:

Reemplazando en (vi) el valor de p:

Por lo tanto el frutero invirtió 3600 euros.

2MPE7DE6GN7T

Proposiciones Lógicas Teoría - Segunda parte

2010-04-22T11:47:00.003-05:00

En la primera parte habíamos aprendido que representa una proposición lógica, a partir de ahora centrémonos en el kit del asunto que es la interpretación de las tablas de verdad de las Proposiciones compuestas.
Cuando hablemos de "valor de verdad" nos estaremos refiriendo a verdadero o a falso.
Cuando digamos p nos estaremos refiriendo a la proposición p.
Saber interpretar tablas de verdad nos ayudará mucho a la hora de resolver problemas.

Proposiciones compuestas básicas
La Disyunción:
Su símbolo:
Su representación con las proposiciones p, q :
La forma de leer la representación anterior : p o q

Su tabla de verdad:Recordar que en la tabla de verdad "V" denota a verdadero y "F" a falso.

De la tabla de verdad deducimos:

"p v q" es falsa solamente cuando p es falsa y q es falsa, en cualquier otro caso es verdadera.

Si tenemos el siguiente caso:

Donde p es verdadero, no sabemos el valor de verdad que toma q y queremos saber que valor de verdad toma p v q.
Podemos decir con certeza que p v q es VERDADERO:

¿Por qué?
Veamos q puede tomar solo 2 valores de verdad, es decir q puede ser verdadero o q puede ser falso, entonces:

Si vemos la tablas de verdad de p v q, notaremos que:

p v q es siempre verdadera.
Conclusion: En una disyunción si una proposición es verdadera la disyunción siempre será verdadera.

Si tenemos otro caso:

Donde p es falso, no sabemos el valor de verdad que toma q y queremos saber que valor de verdad toma p v q.
El valor de verdad que toma p v q es el valor de verdad que tomará q.
¿Por qué?
Veamos q puede tomar solo 2 valores de verdad, es decir q puede ser verdadero o q puede ser falso, entonces:

Si vemos la tablas de verdad de p v q, notaremos que:

el valor de verdad que toma p v q es igual al valor de verdad que toma q.
Conclusion: En una disyunción si una proposición es falsa la disyunción tomará el valor de verdad de la otra proposición.

Factorización Teoría - Primera parte

2010-04-21T11:59:00.002-05:00

Factorización
Es el proceso que consiste en expresar un polinomio bajo la forma de un producto de factores.

Métodos

Factor común: Para factorizar "extraemos la variable(s) que se repite(n)".

a.En un monomio:

Ejemplo1
Factorizar:

Solución
Inspeccionamos el polinomio dado y buscamos que variable se repite en cada término, en este caso se repite la variable x, lo escribimos con color azul.

Luego para factorizar separamos el factor que se repite en este caso x luego agrupamos de la siguiente manera:

Listo el polinomio ya esta factorizado.

Ejemplo2
Factorizar:

Solución
Notamos que la variable que se repite en cada termino de la suma es x, lo escribimos con color azul.

Para factorizar agrupamos separando el factor que se repite.

luego:

De esta forma demostramos el porque 5x+3x+x es igual 9x, solo se suman coeficientes.

b.En un polinomio:
Ejemplo1
Factorizar:

Solución
Escribimos con color azul el término que se repite.

Para factorizar agrupamos separando el factor que se repite.

Listo el polinomio ya esta factorizado.

Ejemplo2
Factorizar:

Solución
factorizando:

Listo polinomio factorizado.

Conclusion: Localiza el término que se repite

Razones Trigonométricas de ángulos agudos Teoría - Primera parte

2010-04-19T09:27:00.004-05:00

¿Qué es una razón trigonométrica de un ángulo agudo?
Es el cociente entre las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo.
Recordar que un ángulo agudo esta comprendido entre 0° y 90°, es por ello que hablamos de triángulo rectángulo.
Para definir más claramente esto, veamos algunos conceptos; en la figura:

Vemos que el triángulo rectángulo tiene como lados 2 catetos y 1 hipotenusa, donde la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90° y los catetos son lados opuestos a los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Ahora si tomamos como referencia el ángulo agudo α del triángulo rectángulo podremos definir al cateto opuesto y al cateto adyacente ¿Cómo así? Diremos que "el cateto opuesto del ángulo α es el lado BC del triángulo rectángulo y el cateto adyacente del ángulo α es el lado AC del triángulo rectángulo".
Nota: También podemos aplicar el Teorema de Pitagoras en el triángulo rectángulo ACB (ver figura).

Las razones trigonométricas son el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Luego si aplicamos estas razones trigonométricas al ángulo agudo α del triángulo rectángulo, tendremos: sen α(seno de alfa), cos α(coseno de alfa), tg α(tangente de alfa, también es expresado como tan α), ctg α(cotangente de alfa), sec α(Secante de alfa) y csc α(Cosecante de alfa).
El valor que le corresponde a las razones trigonométricas de un ángulo agudo son:

Repetimos son razones trigonométricas sobre un ángulo agudo.

Ejemplo
De la figura, calcular las razones trigonométricas del ángulo de 53°.
Sug. Usar la tabla anterior.

Solución
En el triángulo rectángulo ACB vemos que la longitud de los catetos son 3 y 4, ademas la longitud de la hipotenusa es 5.
Dado que nos piden calcular las razones trigonométricas del ángulo de 53°, tomamos este ángulo como referencia para poder calcular las longitudes de los catetos opuesto y adyacente a él:

Luego:

Nota: Es posible calcular las razones trigonométricas de esta forma porque 53° es un ángulo agudo.

Proposiciones Lógicas Teoría - Primera parte

2010-04-16T19:50:00.003-05:00

¿Qué es una Proposición lógica?
Es una expresión, oración que solo puede ser calificada de verdadera o falsa.
Repetimos, que solo es verdadero o solo es falso.

Ejemplos de proposiciones lógicas
"Una semana esta compuesta por 7 días"
Obviamente la proposición anterior es verdadera.

"Un día tiene 25 horas"
Obviamente la proposición anterior es falsa.

Es conveniente denotar las proposiciones con letras como p,q,...; de tal forma que nos den comodidad a la hora de realizar operaciones con ellas.

Por ejemplo a la proposición "Una semana esta compuesta por 7 días" lo podemos denotar por la letra q, es decir:
q : "Una semana esta compuesta por 7 días"
También:
p : "Un día tiene 25 horas"

Proposiciones compuestas básicas: La Negación:
Anteriormente habíamos definido la siguiente proposición:
q : "Una semana esta compuesta por 7 días"

Sabemos que esta proposición es verdadera, pero que pasaría si quisiéramos negar esta proposición, entonces la proposición que negaría la anterior sería:"Una semana no esta compuesta por 7 días", pero ahora ¿Cómo expresaríamos esta nueva proposición matemáticamente?, de la siguiente forma:
~q : "Una semana no esta compuesta por 7 días"
Que por cierto ~q es una proposición falsa.

Luego su tabla de verdad es:

Nota: En la tabla de verdad "v" denota a verdadero y "f" a falso.

Actualización Ya esta lista la 2da parte la encuentras aqui

Proporciones Teoría - Segunda parte

2010-04-15T15:32:00.005-05:00

Proporcionalidad
Dos magnitudes pueden ser directamente proporcionales o inversamente proporcionales.

1) Directamente proporcionales: Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una de ellas la otra aumenta o disminuye respectivamente, expresado matemáticamente :
Donde k es una constante, donde la constante representa a cualquier número.

Ejemplo
La distancia recorrida por un carro y el número de galones consumidos por este son 2 magnitudes directamente proporcionales debido a que a mayor distancia recorrida por un carro mayor será el número de galones consumidos por este o también que a menor distancia recorrida por un carro menor será número de galones consumidos por este.

Luego si denotamos a la magnitud distancia recorrida por un carro por “D” y a la magnitud número de galones consumidos por este por “G” tendremos que:
Donde la constante puede ser cualquier número.

2) Inversamente proporcionales: Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta respectivamente., expresado matematicamente:
Donde k es una constante, donde la constante representa a cualquier número.

Ejemplo
La rapidez del carro y el tiempo que le toma llegar a su destino son 2 magnitudes inversamente proporcionales debido a que a mayor rapidez del carro menor será el tiempo que le toma llegar a su destino mientras que a menor rapidez del carro mayor será el tiempo que le toma llegar a su destino.

Luego si denotamos a la magnitud rapidez del carro por “v” y a la magnitud tiempo que le toma llegar a su destino por “t” tendremos que:

Pero ahora te preguntarás ¿Para que me sirve esto?
Te sirve para resolver fácilmente un problema que sea de regla de tres simple o compuesta, puedes ver esto aquí.

Si deseas ver la Primera parte de este tema ve aquí

Funciones Bosquejo

2010-04-14T17:23:00.002-05:00

Problema

Si: P(x)= 2x+3 y Q(x)=3x-1
Calcular: P(Q(1))+Q(P(1))

Sug. Calcular el valor numérico de los polinomios en los puntos pedidos.

Bosquejo
Nos piden calcular la suma de 2 polinomios, es decir nos piden el valor de P(Q(1))+Q(P(1)).
Vamos a calcular primero el valor de P(Q(1)) y luego el valor de Q(P(1)).
Para calcular el valor de P(Q(1)), primero debemos calcular el valor de Q(1)
¿Comó calculamos Q(1)?
Sabemos que Q(x)=3x-1,
¿Qué pasaría si en vez de poner x pondríamos 1 en Q(x)?
Tendríamos: Q(1)=3(1)-1=2, es decir Q(1)=2
Pero nosotros queremos calcular P(Q(1)), es decir queremos calcular P(2)
¿Comó calculamos P(2)?
Sabemos que P(x)= 2x+3,
¿Qué pasaría si en vez de poner x pondríamos 2 en P(x)?
Tendríamos : P(2)=2(2)+3=7, es decir P(2)=7
Por lo tanto P(Q(1))=7

Análogamente puedes calcular Q(P(1)) y de ahi calcular la respuesta.
Para calcular un polinomio de la forma P(Q(x)) siempre empieza calculando del interior hacia el exterior.

Proporciones Teoría - Primera parte

2010-04-13T18:09:00.004-05:00

Razón
Resulta de comparar 2 cantidades, tenemos 2 tipos de razones.

Proporción
Es el resultado de igualar 2 razones.

Propiedades de las proporciones geométricas
a) Propiedad fundamental: En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir:

Ejemplos
Aplicando la propiedad fundamental es decir (i) a las siguientes fracciones:

Al final obtenemos igualdades al aplicar (i), con ello queda demostrado la propiedad fundamental.

b) La suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de consecuentes como cada antecedente es a su respectivo consecuente, es decir:

o también:

Ejemplos
Aplicando (ii) a las siguientes fracciones:

Aplicando (iii) a las siguientes fracciones:

Aconsejamos aprender bién esta propiedad, te ayudará a simplificar muchas operaciones con fracciones.

c) El producto de los antecedentes es al producto de consecuentes como cada antecedente es a su respectivo consecuente elevados al cuadrado, es decir:

Ejemplos
Aplicando (iv) a las siguientes fracciones:

Al final se obtiene fracciones equivalentes cuya igualdad puede ser verificada aplicando la propiedad fundamental.

La segunda parte ya esta lista, la encuentras aquí.

Integrales dobles - Area de un sector circular Demostración

2010-04-08T09:42:00.007-05:00

Problema

Demostrar que el área de un sector circular es: ½ αR²

Sug. Usar integrales dobles en coordenadas polares.

Sector Circular
Para calcular el área de un sector circular:
Usamos integrales dobles, pero al ser el sector circular parte de una circunferencia para no complicarnos con el calculo de la integral mejor calculamos en área usando coordenadas polares, para ello veamos que valores toman los parametros r y θ.
Nota: x = rCosθ ; y = rSenθ.

Valores del ángulo θ
De la animación:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Concluimos que: 0 ≤ θ ≤ α

Valores de r
De la animación:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Concluimos que: 0 ≤ r ≤ R

Calculo del Area
Para calcular el área en polares usaremos la siguiente integral doble.

Ademas de las animaciones se concluyó que:

Luego colocando los límites de integración:

Calculamos la integral:

Con lo que queda demostrado.

Suma y resta de Fracciones Teoría - Segunda parte

2010-04-08T09:07:00.001-05:00

Suma de 3 o más fracciones

En la Primera parte aprendimos a sumar o restar solo 2 fracciones, ahora aprenderemos a sumar o restar 3 o más fracciones, por tanto hay que tener en cuenta las siguiente consideraciones.
a) La suma de 3 o más fracciones generalmente resulta otra fracción, la llamaremos fracción resultante.
b)El procedimiento que aplicaremos para sumar o restar 3 o más fracciones también resulta válido para sumar o restar 2 fracciones la ventaja radica que con este método ya no será necesario generalmente reducir la fracción resultante.
c)Es necesario saber calcular el Mínimo Común Multiplo (MCM) de dos o más números, recordemos que el MCM de dos o más números resulta otro número.
d) En la suma de 3 o más fracciones "se calcula el MCM de los denominadores de las fracciones que se van a sumar, este resultado será el denominador de la fracción resultante; se divide el denominador de la fracción resultante entre el denominador de la 1ra fracción a sumar y a esto se le multiplica el numerador de la 1ra fracción esto nos dará un resultado, repetimos el procedimiento con la segunda fracción es decir dividimos el denominador de la fracción resultante entre el denominador de la 2da fracción a sumar a esto se le multiplica el numerador de la 2da fracción esto nos dará otro resultado y por ultimo repetimos este procedimiento con la 3ra fracción obteniendo otro resultado más, luego la suma de estos tres resultados será el numerador de la fracción resultante".

Nota: En si calcular la suma o resta de fracciones es realizar un proceso repitivo nada más.

Ejemplo
Sumar:

Solución:
Lo primero que hacemos es calcular el MCM de los denominadores de las fracciones a sumar.

Luego
Según el método explicado en d) dividimos el denominador de la fracción resultante entre el denominador de la 1ra fracción a sumar y a esto se le multiplica el numerador de la 1ra fracción, es decir:

Esto nos dará un resultado:

Repetimos el proceso con las 2da fracción:

Esto nos dará otro resultado:

Repetimos nuevamente el proceso pero ahora con la 3ra fracción:

Esto nos dará otro resultado más:

Luego
Por lo tanto:
Para sumar y/o restar 3 o más fracciones seguir los mismos pasos, solo cambiar su signo correspondiente.

Suma y resta de Fracciones Teoría - Primera parte

2010-04-07T11:54:00.003-05:00

Suma de 2 fracciones

Para sumar 2 fracciones hay que tener en cuenta las siguiente consideraciones.
a) Toda fracción esta compuesta por un numerador y un denominador.

b) La suma de 2 fracciones generalmente resulta otra fracción, la llamaremos fracción resultante.
c) En la suma de 2 fracciones "se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, la suma de estos dos ultimos resultados será el numerador de la fracción resultante, luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el denomidor de la segunda fracción, este resultado será el denominador de la fracción resultante".
Para recordar c) como nemotecnia decimos que "la suma del producto en aspa de las 2 fracciones es el numerador de la fracción resultante".
Nota: Es aconsejable reducir la fracción resultante siempre que sea posible.

Ejemplo

Sumar:

Solución:
Si graficamos un aspa en las suma de las 2 fracciones tendríamos:

Vemos que en la linea de color azul están contenidos los números 3 y 12, ademas vemos que en la linea de color verde están contenidos los números 8 y 5; luego según la nemotecnia el numerador de la fracción resultante sera la suma del producto en aspa de las 2 fracciones, es decir:
Según c) el denominador de la fracción resultante será el producto de los denominadores de las 2 fracciones, es decir:
Luego:

Y por último reducimos la fracción resultante y tendremos que:
Nota: Para restar 2 fracciones seguir los mismos pasos, pero en vez de sumar debes restar.

Funciones Bosquejo

2010-04-07T00:30:00.001-05:00

Problema

¿Cuales son las edades, en años, de tres amigos, si su suma es 72 y su producto resulta mayor que 13600? Al mayor de ellos le falta una pierna.

Sug. Poner la edad de uno de ellos como constante de ahi calcular las otras edades.

Bosquejo
Supongamos que las edades de los amigos son: x,y,z.
De datos tenemos:

Si suponemos que:

Entonces de (iii) en (ii) podriamos decir que:

Es decir:

Esto nos da una idea de que valores puede tomar por ejemplo y para que cumpla la ecuación (ii).
Nota: 23< y <69

Luego si y toma el valor de 24, ensayamos un valor para x por ejemplo:

Vemos que los valores que toman las variables x,y,z cumplen con la ecuación (i).
Donde "a" es un número natural.

Reemplazando (v) en (ii), obtenemos:

Resolviendo (vi)

Notar que a no toma el valor cero

Reemplazando los valores de a en (v) encontrarás 3 valores tanto para x,y,z que cumplen con (i) y (ii)

Analogamente al procedimiento anterior, si y toma el valor de 25, ensayamos un valor para x por ejemplo:

Luego:

Luego:

Reemplazando el valor de a en (vii) encontrarás un valor tanto para x,y,z que cumplen con (i) y (ii)
Si "y" toma el valor de 26 o 27. ¿Qué ocurre?

Números Complejos Problema resuelto

2010-04-06T09:53:00.004-05:00

Problema

Demostrar:

Sug. Calcular las potencias de i.

Solución
Calculando las potencias de i, obtenemos:

Según sus resultados podemos separarlos en 4 grupos.
En la 1ra columna vemos que el resultado de las potencias es 1, ademas los exponentes que afectan a i son 4,8,12,... es decir son múltiplos de 4:
En la 2da columna tenemos que el resultado de las potencias es i, ademas los exponentes que afectan a i son ,1,5,9,13,... es decir son múltiplos de 4 más 1:
En la 3ra columna vemos que el resultado de las potencias es -1, ademas los exponentes que afectan a i son 2,6,10,14,... es decir son múltiplos de 4 más 2:
En la 4ta columna vemos que el resultado de las potencias es -i, ademas los exponentes que afectan a i son 3,7,11,15,... es decir son múltiplos de 4 más 3:Nota: No olvidar que n ≥ 0

Sector Circular: área y longitud Bosquejo

2010-04-05T19:45:00.005-05:00

Problema

En un sector circular se tiene que su ángulo central es (x+1), su longitud es (5x+1) y todo mide 9 metros cuadrados. Hallar "x"

Sug. Sustituir datos en las formulas de área y longitud del sector circular.

Sector Circular
En el sector circular:
Recordemos que la longitud de su arco y su área son:

También: A = (1/2)Lr

Bosquejo
De datos tenemos:

Reemplazando (v),(iii) en (i) tendrías una primera ecuacion, luego reemplazando (iv),(iii) en (ii) tendrías una segunda ecuación; resolviendo este sistema de 2 ecuaciones calcularás x.
Nota: Tendrás 2 variables y 2 ecuaciones, es decir el sistema tendrá solución.