Ayuda en Matemática - Teoría y cantidad de problemas resueltos

GEOMETRIA: Volumen

2020-03-11T20:48:00.000-05:00

Problema
[Nivel:Intermedio]

Según la figura calcular el volumen del sólido limitado por el casquete esférico AN que se muestra, si el plano P es perpendicular a MN, tal que MN = 12, NB = 9 y la medida del ángulo \( \angle \)AMB es 90°

Solución

En el gráfico del problema vemos una figuras de 3 dimensiones(X,Y,Z), para hacer más sencillo la resolución del problema busquemos disminuir el número de dimensiones, en una vista frontal de la gráfica simulamos que tenemos dos dimensiones:

Si se traza una recta tangente sobre una circulo, según el gráfico:

Si asumimos que:

\( \angle ANS = \theta \)

Entonces:

\( \angle AMN = \theta \)

Suponiendo que el ángulo entre la recta tangente y la recta MN es \( \gamma \)

Entonces:

\( \angle NAM = \gamma \)

Dado que \( |\overline{OA}| = |\overline{ON}| = |\overline{OM}| \)

Entonces el \( \triangle AON \) es isosceles, lo mismo que el \( \triangle NOM \)

Si ahora trazamos una recta tangente sobre el otro circulo.

Si asumimos que:

\( \angle TNB = \beta \)

Entonces:

\( \angle MNB = \beta \)

El \( \triangle NMD \) es isosceles

Por tanto:

\( \gamma = \beta \)

Por condición del problema, \( \overline{MN} \perp Plano \quad P\)

Entonces:

\( \gamma + \theta = 90° \)

Por tanto:

En el \( \triangle NMB \) el \( \angle NBM = \theta \)

Entonces:

La recta tangente al segundo circulo y \( \overline{MN} \) forman un ángulo \( \theta \)

Es decir esta recta tangente tiene la misma dirección que \( \overline{ON} \)

Luego por el enunciado,

\( |\overline{MN}| = 12\),

\( |\overline{NB}| = 9\)

\( \angle AMB = 90° \)

Quiere decir que el \( \triangle MNB \) es rectangulo y por la relación de los catetos es un triángulo notable de \( 37° \)y \( 53° \) donde \( \theta = 53° \)y \( \gamma = 37° \)

Se observa que el \( \triangle ANM \) es un triángulo rectangulo de \( 37° \)y \( 53° \) y de cateto MN igual a 12, por tanto:

\( |\overline{AN}| = 16\)

\( |\overline{AM}| = 20 \quad \therefore \quad R=10\)

Luego se traza una recta OF perpendicular a la cuerda AN, por tanto el punto E biseca a la cuerda AN.

Del triángulo rectangulo \( \triangle AEO \) de hipotenusa 10 y \( \angle OAE = 37° \) se obtiene la longitud del segmento \( |\overline{EO}| = 6\), por tanto \( |\overline{EF}| = 4\), dado que \( |\overline{OF}| = R\).

El volumen solicitado será calculado:

\( V = \cfrac{(\pi)(|\overline{EF}|)}{6}(3\times |\overline{AE}|^{2} + |\overline{EF}|^{2}) \\ V = \cfrac{(\pi)(4)}{6}(3\times 8^{2} + 4^{2}) \\ V = \cfrac{416 \pi}{3} \)

GEOMETRIA Problema 20

ARITMETICA: Divisibilidad

2020-02-26T21:48:00.000-05:00

Problema
[Nivel:Intermedio]

Si:
\( \sqrt[3]{\overline{abcd}} = \overline{md} \\ \overline{ab} + \overline{cd} = \dot{9}+ 1 \)

Calcular \( a \times b \times c \times d \) si ademas \( \overline{ab} - \overline{cd} \) es un cuadrado perfecto.

Solución

Tenemos:
\( \sqrt[3]{\overline{abcd}} = \overline{md} \\ \rightarrow \overline{abcd} = \overline{md}^{3} \quad ...(i) \)

En \( (i) \) vemos que el número \( \overline{md} \), cuya unidad es \( d \), al ser elevado al cubo se obtiene el número \( \overline{abcd} \) cuya unidad tambien es \( d \).

\( d \)	\( d^3 \)	\( d = \textrm{último digito de }d^3 \)
0	0	Si
1	1	Si
2	8	No
3	27	No
4	64	Si
5	125	Si
6	216	Si
7	343	No
8	512	No
9	729	Si

Es decir \( d \) puede ser 0,1,4,5,6,9.

Tambien \( \overline{abcd} \) al ser un número de 4 cifras podemos considerar:
\( \begin{matrix} 999 & < & \underbrace{\overline{abcd}}_{\overline{md}^{3}} & < & 10000 \\ 999 & < & \overline{md}^{3} & < & 10000 \\ \sqrt[3]{999} & < & \overline{md} & < & \sqrt[3]{10000} \\ 9 & < & \overline{md} & < & 22 \\ 10 & \leq & \overline{md} & \leq & 21 \end{matrix} \)

Luego de los valores que puede tomar \( d \) y \( \overline{md} \), podemos reducir más los valores que puede tomar \( \overline{md} \) que serán 10,11,14,15,16,19.

Por otro lado:
\( \begin{matrix} \overline{abcd} & = & \overline{ab00} + \overline{cd} \\ & = & \underbrace{100}_{\dot{9}+ 1}(\overline{ab}) + \overline{cd} \\ & = & (\dot{9}+ 1)(\overline{ab}) + \overline{cd} \\ & = & (\dot{9})(\overline{ab})+ (\overline{ab}) + \overline{cd} \\ \overline{abcd} & = & \dot{9}+ \overline{ab} + \overline{cd} \quad ...(ii) \end{matrix} \)

De las condiciones del problema sabemos que:
\( \overline{ab} + \overline{cd} = \dot{9}+ 1 \)
Reemplando en \( (ii) \)

\( \begin{matrix} \overline{abcd} & = & \dot{9}+ \underbrace{\overline{ab} + \overline{cd}}_{\dot{9}+ 1} \\ & = & \dot{9}+ \dot{9}+ 1 \\ \overline{abcd} & = & \dot{9}+ 1 \quad ... (iii) \end{matrix} \)

Tambien consideremos:
\( \begin{matrix} \overline{md} & = & \overline{m0} + d \\ & = & \underbrace{10}_{\dot{9}+ 1}(m) + d \\ & = & (\dot{9}+ 1)(m) + d \\ & = & (\dot{9})(m)+ (1)(m) + d \\ \overline{md} & = & \dot{9}+ m + d \quad ...(iv) \end{matrix} \)

Además de \( (i) \) y considerando \( (iii) \) y \( (iv) \):
\( \begin{matrix} \overline{\underbrace{abcd}_{\dot{9}+ 1}} & = & \overline{\underbrace{md}_{\dot{9}+ m + d}}^{3} \\ \overline{\underbrace{abcd}_{\dot{9}+ 1}} & = & (\dot{9} + m + d)^{3} \\ \dot{9}+ 1 & = & \dot{9} + (m + d)^{3} \\ \dot{9} - \dot{9} + 1 & = & (m + d)^{3} \\ \dot{9} + 1 & = & (m + d)^{3} \quad ...(v) \\ \end{matrix} \)

Nota. Aqui se aplico la propiedad:
\( ( \dot{r} + s )^{k} = \dot{r} + s^k \)
Donde r,s,k son números naturales.

Teniendo en cuenta los posible valores de \( \overline{md} \) y \( (v) \) tenemos:

\( \overline{md} \)	\( m + d \)	\( (m + d)^3 \)	\( \dot{9} + 1 \)	\( \overline{md}^{3} = \overline{abcd} \)
10	1	1	Si	1000
11	2	8	No
14	5	125	No
15	6	216	No
16	7	343	Si	4096
19	10	1000	Si	6859

Por condición del problema \( \overline{ab} - \overline{cd} \) es un cuadrado perfecto, entonces.

\( \overline{md} \)	\( \overline{md}^{3} = \overline{abcd} \)	\( \overline{ab} - \overline{cd} \)	\( \overline{ab} - \overline{cd} = x^{2} \)
10	1000	10	No
16	4096	-36	No
19	6859	9	Si

Por lo tanto los valorde de a,b,c,d respectivamente son 6,8,5,9 y su producto es 2160.

ARITMETICA Problema 21

ARITMETICA: Proporcionalidad

2020-02-24T21:44:00.000-05:00

Problema
[Nivel:Intermedio]

La grafica muestra los valores correspondientes de dos magnitudes A y B, donde en el tramo \( \overline{OM} \)son Directamente Proporcionales pero en tramo \( MN \) la relación es Inversamente Proporcional.

Calcular \( "x+y" \)

Solución

Completando el gráfico con los datos dados:

Del gráfico tenemos:
\( a = 2l \quad ... (i) \\ b - a = l \quad ... (ii) \\ \rightarrow \quad b = 3l \quad ... (iii) \)

Del área del triángulo:
\( 108 = \cfrac{(2l)(b)}{2} \\ \rightarrow \quad lb=108 \quad ... (iv) \)

De \( (iii) \) en \( (iv) \)
\( lb=108 \\ \rightarrow \quad l(3l) = 108 \\ \rightarrow \quad l = 6 \)

Reemplazando en \( (i) \) y \( (iii) \):
\( a = 12 \\ b = 18 \)

Dado que en el tramo \( \overline{OM} \) la relación es Directamente Proporcionales, entonces:
\( \cfrac{b}{a} = \cfrac{a}{n} = \cfrac{n+1}{x} \)

Reemplazando los valores de a y b:
\( \underbrace{\cfrac{18}{12} = \cfrac{12}{n}}_{(*)} = \cfrac{n+1}{x}\quad ... (iv) \)

De \( (*) \) tenemos que \( n = 8 \)
Reemplazando \( n \) en \( (iv) \) se tiene que \( x = 6 \)

En el tramo \( MN \) la relación es Inversamente Proporcionales, por tanto:
\( ab=y(n+1) \)
Reemplazando los valores de \( a,b,n\) tenemos que \( y=24 \)

Luego tenemos que \( x+y \) es 30.

ARITMETICA Problema 20

ALGEBRA: Inecuaciones

2020-02-21T19:08:00.000-05:00

Problema
[Nivel: Básico]

Determine el valor de "a" de manera que la inecuación:
\( ax+2 < x^{2} \) , tenga por solución \( < -∞, -2 > U < 1 , ∞ > \)

Solución

como el conjunto solucion es :
\( < -∞, -2 > U < 1 , ∞ > \)
entonces la inecuacion que genera este conjunto solución sera:
\( (x+2)(x-1) > 0 \)
si operamos :
\( x^{2}+x-2 > 0 \quad ....( i ) \)
De la condicion :
\( ax + 2 < x^{2} \) ,tendremos que:
\( x^{2} - ax - 2 > 0 \quad ....( ii ) \)
de \( ( i ) \) y \( ( ii ) \) , se concluye:
\( a = -1 \)

ALGEBRA: Ecuaciones

2020-02-19T21:53:00.000-05:00

Problema
[Nivel:Intermedio]

Calcular la solución de la ecuación \( x \):

\( \cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } = \cfrac{3}{ \sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } } + \cfrac{4}{ \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3} } } \)

Solución

Recordando que:

\( \sqrt{ a \pm 2 \sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \)
Si:
\( \Bigg\{ \begin{matrix} x + y & = & a \\ xy & = & b \end{matrix} \)

Luego:
\( \sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } = \sqrt{x_{1}} - \sqrt{y_{1}} \)
Si:
\( \Bigg\{ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} & = & 7 \\ x_{1}y_{1} & = & 10 \end{matrix} \)

Vemos que 5 y 2 cumplen el sistema de ecuaciones.
Es decir:
\( \sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } = \sqrt{5} - \sqrt{2} \quad ...(i) \)

Tambien tenemos:
\( \begin{matrix} \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} & = & \sqrt{ 8 + 2 \times 2 \sqrt{3}} \\ & = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{4} \sqrt{3}} \\ & = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{4 \times 3}} \\ \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} & = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{12}} \\ \end{matrix} \)

Luego:
\( \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{12} } = \sqrt{x_{2}} + \sqrt{y_{2}} \)
Si:
\( \Bigg\{ \begin{matrix} x_{2} + y_{2} & = & 8 \\ x_{2}y_{2} & = & 12 \end{matrix} \)

Vemos que 6 y 2 cumplen el sistema de ecuaciones.
Es decir:
\( \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{6} + \sqrt{2} \quad ...(ii) \)

Reemplazando \( (i) \) y \( (ii) \) en la ecuación que solicitan calcular:
\( \cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } = \underbrace{ \cfrac{3}{ \sqrt{5} - \sqrt{2} } }_{(*)} + \underbrace{ \cfrac{4}{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } }_{(**)} \quad (iii) \)

Multiplicando el numerador y denominador por \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \) en \( (*) \) y por \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \) en \( (**) \):
\( \begin{matrix} \cfrac{3}{ \sqrt{5} - \sqrt{2} } & = & \cfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) } \\ (*) & = & (\sqrt{5} + \sqrt{2}) \end{matrix} \)

\( \begin{matrix} \cfrac{4}{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } & = & \cfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{ (\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) } \\ (**) & = & (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \end{matrix} \)

Reemplazando en \( (iii) \):
\( \begin{matrix} \cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } & = & \sqrt{5} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2} & = & \sqrt{6} + \sqrt{5} \end{matrix} \)
Multiplicando el numerador y denominador por \( \sqrt{6} - \sqrt{5} \):

\( \begin{matrix} \cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } & = & \cfrac{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \\ & = & \cfrac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \end{matrix} \)

Luego:
\( \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } = \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
Si:
\( \Bigg\{ \begin{matrix} 6 + 5 & = & 11 & \\ 6(5) & = & x & = 30 \end{matrix} \)

ALGEBRA Problema 21

ALGEBRA: Fracciones

2020-02-17T21:56:00.000-05:00

Problema
[Nivel:Intermedio]

Determine el valor de \( x \) si:

\( x = \cfrac{1 - \sqrt{2} }{ 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{2 \quad - \quad ...} } } } \)

Solución

Considerando:
\( x = \cfrac{1 - \sqrt{2} }{ \overbrace{2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{2 \quad - \quad ...} } }}^{y} } \)

es decir:
\( x = \cfrac{1 - \sqrt{2} }{ y } \quad ... (i) \)

Luego:
\( y = 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{2 - \quad ...} } } \)

La anterior expresión puede ser escrita:
\( y = 2 - \cfrac{1}{ y } \)
Simplificando la expresión:
\( \begin{matrix} & y & = & 2 - \cfrac{1}{ y } \\ \rightarrow & y^{2} & = & 2y - 1 \\ \rightarrow & 0 & = & y^{2} - 2y + 1 \\ \rightarrow & 0 & = & (y - 1)^{2} \\ \rightarrow & y & = & 1 \end{matrix} \)

Nota. La ecuación cuadratica anterior tiene dos soluciones, ambas son 1.

Reemplazando el valor de y en \( (i) \):
\( x = 1 - \sqrt{2} \)

ALGEBRA Problema 20

TRIGONOMETRIA: Identidades Trigonométricas de ángulo Triple

2020-02-12T19:12:00.000-05:00

Problema
[Nivel: Intermedio]

Calcular el Sen18°

Solución

En las Identidades Trigonométricas de ángulo Triple se relaciona un ángulo con el triple del mismo, por ejemplo si el ángulo es \( 18^{o} \) este es relacionado con \( 54^{o} \)
También sabemos que si dos ángulos suman \( 90^{o} \) entonces el Coseno de uno de ellos es igual a Seno del otro, por ejemplo si uno de ellos vale \( 54^{o} \) el otro valdrá \( 36^{o} \) y cumplirá que \( Cos54^{o} = Sen36^{o} \)
De la igualdad anterior vemos que ambos ángulos, \(54^{o} \) y \(36^{o} \), son múltiplos de \(18^{o} \), entonces:
\( Cos\underbrace{54^{o}}_{18 \times 3} = Sen\underbrace{36^{o}}_{18 \times 2} \)

Asumiendo que \( 18^{o} \) es x, se obtiene:

\( Cos3x = Sen2x \quad....( i )\)

Sabemos que:
\( Cos(3\beta)=4Cos^{3}\beta - 3 Cos\beta \quad....( ii ) \\ Sen(2\theta)=2Sen\theta Cos\theta \quad....( iii ) \)

Reemplazando \( ( ii )\) y \( ( iii ) \) en \( ( i ) \):

\( \begin{matrix} & Cos3x & = & Sen2x \\ \rightarrow & 4Cos^{3}x - 3Cosx & = & 2Senx Cosx \\ \rightarrow & Cosx(4Cos^{2}x - 3) & = & 2Senx Cosx \end{matrix} \)

Antes de simplificar(eliminar) el \( Cosx \) de la ecuación anterior debemos de validar que sea diferente de cero.
Como x vale \( 18^{o} \) y el \( Cosx18^{o} \) es un número mayor que cero entonces se puede simplificar sin problemas.

\( \begin{matrix} \rightarrow & 4Cos^{2}x - 3 & = & 2Senx \\ \rightarrow & 4(1 - Sen^{2}x) -3 & = & 2Senx \\ \rightarrow & 1 - 4Sen^{2}x & = & 2Senx \\ \rightarrow & 4Sen^{2}x + 2Senx - 1 & = & 0 \end{matrix} \)

Tenemos una ecuación de segundo grado donde la variable es el \( Senx \)

Sabemos que la formula general de una ecuación de segundo grado es:

\( ay^{2} + by + c = 0 \\ y = \cfrac{- b \pm \sqrt[]{b^{2}-4(a)(c)}}{2 (a)} \)

Aplicando la formula general de una ecuación de segundo grado considerando que la variable es el \( Senx \):

\( \begin{matrix} \rightarrow & Senx & = & \cfrac{- (-2 ) \pm \sqrt[]{2^{2}-4(4)(-1)}}{2 (4)} \\ \rightarrow & Senx & = & \cfrac{2 \pm \sqrt[]{20}}{2 (4)} \\ \rightarrow & Senx & = & \cfrac{2 \pm \sqrt[]{20}}{2 (4)} \\ \rightarrow & Senx & = & \cfrac{2 \pm 2\sqrt[]{5}}{2 (4)} \\ \rightarrow & Senx & = & \cfrac{1 \pm \sqrt[]{5}}{4} \\ \rightarrow & Senx & = & \Bigg\{ \begin{matrix} \frac{1 - \sqrt[]{5}}{4} \approx -0.3\\ \frac{1 + \sqrt[]{5}}{4} \approx 0.8 \\ \end{matrix} \end{matrix} \)

Vemos que el \( Senx \) puede tomar 2 valores uno positivo y otro negativo.
Sabemos que todas las Razones Trigonométricas son positivas cuando el ángulo se encuentra en el primer cuadrante, como x vale \( 18^{o} \) obviamente se encuentra en el primer cuadrante por tanto:

\( Sen18^{o} = \cfrac{1 + \sqrt[]{5}}{4} \)

TRIGONOMETRIA: Sector Circular

2020-02-09T22:57:00.000-05:00

Problema
[Nivel: Básico]

En un sector circular se tiene que su ángulo central es (x+1), su longitud es (5x+1) y todo mide 9 metros cuadrados. Hallar "x"
Sug. Sustituir datos en las formulas de área y longitud del sector circular.

Sector Circular
En el sector circular:
Recordemos que la longitud de su arco y su área son:
\( Longitud = (ángulo)(radio) \quad ...(i) \\ Area = \cfrac{1}{2} (ángulo)(radio)^{2} \quad ...(ii) \)
También: A = (1/2)Lr

Solución
De datos tenemos:
\( Longitud = 5x+1 \\ ángulo = x + 1 \\ Area = 9 \)

De \( (i) \) y \( (ii): \)
\( 5x+1= ( x + 1)(radio) \quad ...(iii) \\ 9= \cfrac{1}{2} (x + 1)(radio)^{2} \quad ...(iv) \)

Resolviendo el sistema de ecuaciones, ecuación \( (iii) \) y \( (iv) \), calcularás x.
Nota: Tendrás 2 variables y 2 ecuaciones, es decir el sistema tendrá solución.

ARITMETICA: Máximo Común Divisor

2020-02-07T01:01:00.001-05:00

Problema
[Nivel: Básico]

Una sala de 30m por 24m debe embaldosarse con baldosas cuadradas y las mayores posibles, sin que haya que romper ninguna. ¿Cuál será la dimensión de una de esas baldosas? ¿Cuántas harán falta?

Sug. Aplicar el MCD a las dimensiones.

Solución
Por dato sabemos que las baldosas son cuadradas, es decir los lados de una baldosa tienen la misma longitud.

Al embaldosar el piso un número de baldosas debe encajar en los 30m de largo del piso y a la vez otro número de baldosas debe encajar en los 24m de ancho del piso.

Es decir la longitud del lado de la baldosa debe ser submúltiplo de 30 y 24 a la vez, por tanto para calcular esto bastará con calcular el MCD de 30 y 24.

\begin{matrix} 30 & - & 24 \\ 15 & - & 12 \\ 5 & - & 4 \end{matrix}

\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \\ \end{matrix}

Por tanto: \( MCD(30,24) = 6 \)
Es decir la longitud del lado de cada baldosa es 6 m.

Luego las baldosas se distribuyen de la siguiente forma.

Es decir la cantidad de baldosas son 5 x 4 = 20 baldosas.

Otra forma de calcular la cantidad de baldosas es:

\( \begin{matrix} \textrm{Cantidad de baldosas} & = & \cfrac{\textrm{Area total de la sala}}{\textrm{Area de una baldosa}} \\ & = & \cfrac{\textrm{30x24}}{\textrm{6x6}} \\ \textrm{Cantidad de baldosas} & = & 20 \end{matrix} \)

TRIGONOMETRIA: Funciones trigonometricas

2020-02-05T20:05:00.000-05:00

Generación de la función Seno

Empezemos recordando conceptos de la circunferencia trigonométrica, para ello les invito a que pulsen el botón pausa que se encuentra en la parte inferior izquierda de la animación.
Supongamos que esa circunferencia es una circunferencia trigonométrica, por tanto el radio de esa circunferencia es 1, luego notamos que se forma el triángulo rectángulo PHO, aqui por resolución de triángulos facilmente podemos calcular la longitud del segmento PH, vemos que es igual al valor que toma la función seno evaluado en θ.

Nota: PH = Senθ

Animación de la función Seno

En la animación, en la circumferencia trigonométrica vemos que varia tanto la longitud del segmento PH como la medida del ángulo θ, luego la gráfica de la función trigonométrica seno resulta por la variación conjunta de estos 2 parametros.

En la animación también vemos que el segmento PH es paralelo al eje Y, es decir el valor que toma el Senθ se colocará a lo largo del eje Y (la altura del punto Q respecto al eje X muestra ese valor); además el valor que toma el Senθ es generado por el ángulo θ, es decir la variable independiente es θ, por tanto el ángulo θ viajará sobre el eje X, el tamaño del segmento TL mostrará el valor del ángulo θ.

Vemos en la circunferencia trigonométrica conforme va variando el punto P y el ángulo θ se va generando la gráfica de la función seno. En la animación el ángulo θ inicia en cero, el punto L esta en ese momento en el origen de coordenadas, pero luego de un instante θ crece, la abcisa del punto L nos muestra cuánto creció el ángulo θ, mientras que el punto Q nos muestra la variación en el eje Y.
Nota: Recordar que θ toma todos los reales.

ALGEBRA: Mezclas

2020-02-04T20:31:00.000-05:00

Problema
[Nivel: Básico]

En un cilindro se tiene 72 litros de mezcla de alcohol y agua en relación de 3 a 5 respectivamente, ¿Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que la relación sea de 8 a 9?

Solución 1:

Si asumimos que:
A: representa la cantidad de litros de alcohol que contiene el cilindro
H: representa la cantidad de litros de agua que contiene el cilindro.
Luego del enunciado:

... se tiene 72 litros de mezcla de alcohol y agua ...
es decir:
\( A + H = 72 \quad ...(i) \)

... de mezcla de alcohol y agua en relación de 3 a 5 respectivamente
es equivalente a:
\( \cfrac{A}{H} = \cfrac{3}{5} \quad ...(ii) \)

Recordando la propiedad:
\( \cfrac{a}{b} = \cfrac{c}{d} \\ \rightarrow \cfrac{a+b}{b} = \cfrac{c+d}{d} \)

Aplicando en \( (ii) \)

\( \cfrac{A+H}{H} = \cfrac{3+5}{5} \\ \rightarrow \cfrac{A+H}{H} = \cfrac{8}{5} \)

Considerando \( (i) \)

\( \cfrac{72}{H} = \cfrac{8}{5}\\ \rightarrow H = \cfrac{5(72)}{8} = 45 \)

Luego: ... Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que la relación sea de 8 a 9

Si: X: representa la cantidad de litros de alcohol a agregar para conseguir la nueva relación

\( \cfrac{A+X}{H} = \cfrac{8}{9} \quad ...(iii) \)

Recordando la propiedad:
\( \cfrac{a+b}{c} = \cfrac{a}{c} + \cfrac{b}{c} \\ \)
Aplicando en \( (iii) \)

\( \cfrac{A+X}{H} = \cfrac{A}{H}+\cfrac{X}{H} = \cfrac{8}{9} \)

Considerando \( (i) \) y que H vale 45

\( \cfrac{3}{5}+\cfrac{X}{H} = \cfrac{8}{9} \\ \rightarrow \cfrac{X}{H} = \cfrac{8}{9} - \cfrac{3}{5} \\ \rightarrow \cfrac{X}{H} = \cfrac{8(5)-3(9)}{5(9)} \\ \rightarrow \cfrac{X}{H} = \cfrac{8(5)-3(9)}{5(9)} \\ \rightarrow \cfrac{X}{45} = \cfrac{13}{45} \\ \rightarrow X = 13 \)

Solución 2:

Como el alcohol y agua estan en relación de 3 a 5 respectivamente podemos considerar que el alcohol es múltiplo de 3 y el agua múltiplo de 5, es decir juntos son múltiplo de 8.
Del enunciado se conoce que entre alcohol y agua suman 72 litros.
Dado que entre alcohol y agua son multiplo de 8, hay que buscar un factor que cuando se le multiplique a 8 se obtenga 72, obviamente el factor es 9.
Como el alcohol es multiplo de 3 entonces 3 multiplicado por el factor, que es 9, se obtiene 27.
Tambien se menciono que el agua es multiplo de 5, multiplicado por el factor se obtienen 45.

Del enunciado: ... Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que la relación sea de 8 a 9

Si: X: representa la cantidad de litros de alcohol a agregar para conseguir la nueva relación

\( \cfrac{A+X}{H} = \cfrac{8}{9} \)
Reemplazando la cantidad de agua y alcohol encontrados.

\( \cfrac{27+X}{45} = \cfrac{8}{9} \)
Se obtiene que X vale 13.

ALGEBRA: Funciones

2020-02-03T20:02:00.000-05:00

Problema
[Nivel: Intermedio]

¿Cuales son las edades, en años, de tres amigos, si su suma es 72 y su producto resulta mayor que 13600? Al mayor de ellos le falta una pierna.

Sug. Poner la edad de uno de ellos como constante de ahi calcular las otras edades.

Solución

Supongamos que las edades de los amigos son: x,y,z.
De datos tenemos:
\( x + y + z = 72 \quad...(i)\)
\( x y z > 13600 \quad...(ii)\)

De \((i)\) tenemos:
\( z = 72 - (x + y) \quad...(iii)\)
Reemplazando \((iii)\) en \((ii)\):
\( x y [72 - (x + y)] > 13600 \quad...(iv)\)

Dado que \(x\) e \(y\) representan edades y estas tienen que ser mayores que cero para cumplir la inecuación \((iv)\), sin embargo si estas fueran igual a 1 se observa que no se cumpliría la inecuación lo mismo para el valor de 2, 3, ... , por tanto supongamos que:
\( x = y \quad...(v)\)
Reemplazando \((v)\) en \((iv)\)
\( y^2 [72 - (2y)] > 13600 \quad...(vi)\)
Resolviendo \((vi)\):
\( 23 \leq y \leq 25 \quad...(vii)\)

Busquemos los valores de las demás incognitas según \((vii)\), si \( y = 23 \) entonces en \((iv)\):
\( 23 x [ 49 - y)] > 13600 \quad...(vii)\)
Resolviendo \((vii)\) encontrarás los posibles valores de \(x\), por ejemplo se obtiene \(x = 22\)
Por tanto tendríamos:
\(x = 22\)
\(y = 23\)
De \((i)\) \(z = 27\)
Al reemplazarlos en \((ii)\) se confirma la inecuación por tanto son valores válidos.

De manera análoga puedes conseguir otra ternas de valores que cumplen las condiciones, por ejemplo tenemos:
\begin{matrix} x & y & z \\ 21 & 24 & 27 \\ 21 & 25 & 26 \\ 22 & 23 & 27 \\ 22 & 24 & 26 \\ 22 & 25 & 25 \end{matrix} \begin{matrix} 23 & 23 & 26 \\ 23 & 24 & 25 \\ 24 & 24 & 24 \end{matrix} En total son 8 ternas de valores que cumplen las condiciones.

ALGEBRA: Probabilidades

2020-01-29T22:27:00.000-05:00

Problema

Posterior al partido final de la Liga de Campeones (Champions League) se toman fotografias entre los jugadores del equipo ganador que acabaron jugando el partido y 3 miembros del cuerpo técnico, si las fotografias se toman en el cesped y en cada una de ellas entran 5 personas entre jugadores y personal del cuerpo técnico. ¿Cuántas fotografias habrán distintas en que entren 2 miembros del cuerpo técnico del equipo ganador de la Liga de Campeones (Champions League)?

Solución

Del enunciado:
... en cada una de ellas entran 5 personas entre jugadores y personal del cuerpo técnico ...
... en que entren 2 miembros del cuerpo técnico del equipo ganador de la Liga de Campeones ...

La foto estará conformada por 3 jugadores y 2 miembros del cuerpo tecnico.

\( \underbrace{|\quad|\quad | \quad|}_{jugadores}\underbrace{\quad|\quad |}_{tecnicos} \)
Si consideramos los siguientes elementos:
\( T_{1} \) : Representa al primer tecnico del equipo de futbol.
\( T_{2} \) : Representa al segundo tecnico del equipo de futbol.
\( T_{3} \) : Representa al tercer tecnico del equipo de futbol.

Ensayemos la forma en que pueden aparecer en la foto los miembros del cuerpo tecnico

\( \begin{matrix} |T_{1}|T_{2}| & \quad,\quad & |T_{2}|T_{1}| \\ |T_{1}|T_{3}| & \quad,\quad & |T_{3}|T_{1}| \\ |T_{2}|T_{3}| & \quad,\quad & |T_{3}|T_{2}| \\ \end{matrix} \)
Entonces tenemos 6 formas o grupos en los que pueden ir los tecnicos del equipo de futbol ganador en la foto.
Además por ejemplo en \( |T_{1}|T_{2}| \quad,\quad |T_{2}|T_{1}| \) se observa dos formas o grupos donde se repiten los elementos pero en distinto orden.
Sin embargo en este caso no es importante el orden en que vayan en la foto los tecnicos, es suficiente que solo aparezcan en la foto.
Es decir no importa si el tecnico en la foto sale de esta forma \( |T_{1}|T_{2}| \) o si sale asi \( |T_{2}|T_{1}| \), es suficiente tomar una sola forma o grupo.
Por lo tanto podemos indicar que hay 3 formas o grupos en los que los tecnicos del equipo ganador de la Liga de Campeones aparecen en la foto y es:

\( \begin{matrix} |T_{1}|T_{2}| \\ |T_{1}|T_{3}| \\ |T_{2}|T_{3}| \\ \end{matrix} \)

Lo anterior también se puede indicar del siguiente modo:
Se toman fotos a 2 miembros del cuerpo tecnico de un total de 3 miembros. ¿Cuántas fotos se tomarán?

Como no importa el orden de los elementos que forman el grupo y además que dos grupos no tengan los mismos elementos, entonces estamos hablando de una Combinación sin repetición.
... ¿Cuántas fotos se tomarán? es equivalente a decir cuantos grupos de dos elementos de un total de 3 elementos se formarán y esto es \( C_{3}^{2} \)

\( \begin{matrix} C_{3}^{2} & = & \cfrac{3!}{2!(3-2)!} \\ & = & \cfrac{3!}{2!1!} \\ & = & \cfrac{(3)2!}{2!1} \\ C_{3}^{2} & = & 3 \\ \end{matrix} \)

También de los 11 jugadores que acabaron el partido final de la Liga de Campeones (Champions League) se toman fotos de 3 de ellos, entonces se formarán grupos de 3 elementos de un total de 11 donde no importa el orden de los elementos que forman el grupo y además que dos grupos no tengan los mismos elementos, por tanto el número de grupos formados son \( C_{11}^{3} \)
\( \begin{matrix} C_{11}^{3} & = & \cfrac{11!}{3!(11-3)!} \\ & = & \cfrac{(11)(10)(9)8!}{3!8!} \\ & = & \cfrac{(11)(10)(9)}{3!} \\ & = & \cfrac{(11)(10)(9)}{(3)(2)} \\ C_{11}^{3} & = & 165 \end{matrix} \)

Luego tenemos que:
\( \underbrace{|\quad\quad|\quad\quad | \quad\quad|}_{jugadores\\ \textrm{#Grupos: } 165}\underbrace{\quad\quad|\quad\quad |}_{tecnicos\\ \textrm{#Grupos: } 3} \)

Dado que el grupo formado por los jugadores que ganaron la Liga de Campeones(Champions League) y el grupo de los miembros del cuerpo tecnico del equipo de futbol se unirán en un solo grupo.
La cantidad de grupos distintos de este nuevo grupo vendrá dado por la multiplicación de los grupos que lo conforman.

... ¿Cuántas fotografias habrán distintas en que entren 2 miembros del cuerpo técnico del equipo ganador de la Liga de Campeones (Champions League)?

\( \textrm{# Fotografias }= (165)(3) = 495 \)

ALGEBRA: Factorial de un número

2020-01-27T20:10:00.003-05:00

Problema

Simplificar:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!(n!-1)!(n-1)!n} \)

Solución

Simplifiquemos en partes:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!(n!-1)!\underbrace{(n-1)!n}_{(*)}} \)

Sabemos que: \( n(n-1)! = n! \) por lo tanto \( (*) = n! \)
Es decir:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!(n!-1)!n!} \)

Luego:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!\underbrace{(n!-1)!n!}_{(**)}} \)

Si suponemos que: \( n! = a \), entonces:
\( \begin{matrix} (n!-1)!n! & = & (\underbrace{n!}_{a}-1)!\underbrace{n!}_{a} \\ & = & (a-1)!a \\ & = & a! \\ & = & \underbrace{a}_{n!}! \\ (n!-1)!n! & = & n!! \end{matrix} \)

Es decir:
\( E = \cfrac{n!!!}{(n!!-1)!n!!} \)

Luego:
\( E = \cfrac{n!!!}{\underbrace{(n!!-1)!n!!}_{(***)}} \)

Realizando el procedimiento analogo al anterior, si suponemos que: \( n!! = b \), entonces:
\( \begin{matrix} (n!!-1)!n!! & = & (\underbrace{n!!}_{b}-1)!\underbrace{n!!}_{b} \\ & = & (b-1)!b \\ & = & b! \\ & = & \underbrace{b}_{n!!}! \\ (n!!-1)!n!! & = & n!!! \end{matrix} \)

Es decir:
\( E = \cfrac{n!!!}{n!!!} \)

Simplificando:
\( E = 1 \)

ALGEBRA: Planteo de ecuaciones

2020-01-25T20:16:00.000-05:00

Problema

Compré el cuádruple de números de celulares Iphone que de celulares Samsung. Si hubiera comprado \( 5 \) celulares Iphone más y \( 5 \) celulares Samsung más tendria el triple de número de celulares Iphone que el de celulares Samsung ¿cuántos celulares Iphone y cuántas celulares Samsung compre?
Solución

Se compró …
# de celulares Samsung : \( S \)
# de celulares Iphone : \( I \)

El cuádruple de números de celulares Iphone que de celulares Samsung :\( I = 4S \quad....( i ) \)

Si hubiera comprado …
# de celulares Samsung : \( S’ \)
# de celulares Iphone : \( I’ \)

El triple de número de celulares Iphone que el de celulares Samsung :\( I’ = 3S’ \)

Si hubiera comprado \( 5 \) celulares Iphone más y \( 5 \) celulares Samsung más…
\( S’ = S+5 \)
\( I’ = I+5 \)

Sabemos que :
\( I’ = 3S’ \)
es decir:
\( I+5 = 3(S+5) \\ I+5 = 3S+15 \\ I = 3S+10 \quad....( ii ) \)

de \( ( I ) \) en \( ( II ) \):
\( I = 3S+10 \\ 4S = 3S+10 \\ S = 10 \quad....( ii ) \)

de ( i ):
\( I = 40 \)

Por lo tanto se compró:
# de celulares Samsung : \( 10 \)
# de celulares Iphone : \( 40 \)

ARITMETICA: Fracciones

2020-01-24T20:23:00.000-05:00

Problema

Un hombre compra una botella de \( \frac{3}{4} \) de vino; si se toma \( \frac{3}{8} \). entonces ¿Cuánto le queda?

Solución

\( Volumen_{Inicial} = Volumen_{Final} + Volumen_{Consumido} \quad ...(i) \\ Volumen_{Inicial} = \cfrac{3}{4} Vino \quad ...(ii) \\ Volumen_{Consumido} = \cfrac{3}{8} Vino \quad ...(iii) \)

Luego reemplazando \( (ii) \) y \( (iii) \) en \( (i) \) obtendrás el volumen que queda.

ALGEBRA: Planteo de ecuaciones

2020-01-23T20:16:00.000-05:00

Problema

Un gaseosa Coca Cola de \( 3 \) litros está lleno \( \frac{4}{5} \) de su capacidad.
Se saca la mitad de la gaseosa Coca Cola que contiene.
¿Qué fracción de la capacidad del recipiente se ha sacado?
¿Cuántos litros de Coca Cola quedan en el envase?

Solución

Asumamos que:
La capacidad del envase donde esta la gaseosa Coca Cola es \( V \)
La cantidad de gaseosa Coca Cola que contiene es \( C \)
La cantidad que se extrae de gaseosa Coca Cola es \( E \)
La cantidad que que queda de Coca Cola luego de la extracción \( Q \)

Del enunciado:
... está lleno \( \frac{4}{5} \) de su capacidad ... : \( C = \frac{4}{5} V \quad....( i ) \)
... Se saca la mitad de la gaseosa Coca Cola que contiene. ... : \( E = \frac{1}{2} C \quad....( ii )\)
\( ( ii )\) en \( ( i ) \):
\( E = \frac{1}{2} C \\ \rightarrow E = \frac{1}{2} (\frac{4}{5}) V \\ \rightarrow E = \frac{2}{5} V \quad....( iii )\\ \)

Luego, ¿Qué fracción de la capacidad del recipiente se ha sacado?
es decir preguntan el valor de \( \frac{E}{V} \)
De \( ( iii ) \):
\( \frac{E}{V} = \frac{2}{5} \)

Luego, ¿Qué fracción de la capacidad del recipiente se ha sacado?
Obviamente la cantidad de gaseosa Coca Cola que contiene menos la cantidad que se extrae es lo que queda de gaseosa Coca Cola, es decir de \( ( i )\) en \( ( iii ) \):
\( Q = \frac{4}{5} V - \frac{2}{5} V \\ \rightarrow Q = \frac{2}{5} V\\ \)
Dado que la capacidad del envase donde esta la gaseosa Coca Cola es de \( V = 3 \) litros, entonces:
\( Q = \frac{2}{5} (3)\\ \rightarrow Q = \frac{6}{5} \textrm{litros} \)

ALGEBRA: Planteo de ecuaciones

2020-01-22T22:15:00.000-05:00

Problema

Un arquitecto compró cierta cantidad de ceramicos cuadrados para cubrir pisos de un Homecenter. Se da cuenta de que puede cubrir un piso con \( x \) ceramicos por lado y le sobran \( 74 \) piezas; pero si quiere cubrir un piso más grande agregando \( 3 \) ceramicos por lado le faltan \( 79 \) piezas ¿cuantos ceramicos compró el arquitecto en el Homecenter?

Solución

Supongamos que sea:
\( n \) : número de ceramicos comprados en el Homecenter
Del enunciado: ... puede cubrir un piso con \( x \) ceramicos por lado ...
Se define un primer área cubierta de \( x^{2} \)
Del enunciado: ... cubrir un piso más grande agregando \( 3 \) ceramicos por lado ...
Se tiene una segunda área cubierta de \( (x+3)^{2} \)

Del enunciado: ... puede cubrir un piso con \( x \) ceramicos por lado y le sobran \( 74 \) piezas ..., tenemos:
\( x^{2} = n - 74 \quad....( i )\)
Del enunciado: ... cubrir un piso más grande agregando \( 3 \) ceramicos por lado le faltan \( 79 \) piezas ..., es decir:
\( (x+3)^{2} = n + 79 \quad....( ii )\)
Restando: \( ( ii ) - ( i ) \)
\( x = 24 \)
reemplazando en \( ( i ) \), tendremos que :
\( n = 650 \)

ALGEBRA: Planteo de ecuaciones

2020-01-21T20:53:00.000-05:00

Problema

Un gamer compró cierto número de videojuegos de PlayStation por \( 240 \). Si hubíera comprado \( 4 \) videojuegos más por el mismo dinero, cada juego de PlayStation le hubiera costado \( 2 \) menos. ¿Cuántos videojuegos de PlayStation compró y a qué precio?.

Solución

PRIMERA FORMA

Si asumimos que:
\( p \): precio unitario de cada juego de PlayStation
\( n \): nùmero de videojuegos que compra

Del enunciado:
Un gamer compró cierto número de videojuegos de PlayStation por \( 240 \) ... : \( np = 240 \quad....( i )\)

... Si hubíera comprado \( 4 \) videojuegos más por el mismo dinero, cada juego de PlayStation le hubiera costado \( 2 \) menos ... : \( (p-2)(n+4) = 240 \quad....( ii ) \)

De \( ( i )\) y \( ( ii ) \):
\( np = (p-2)(n+4) = 240 \\ \rightarrow np = (p-2)(n+4) \\ \rightarrow \frac{p}{p-2} = \frac{n+4}{n} \quad....( iii ) \)

Recordando la propiedad:
\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \rightarrow \quad \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} \)
Aplicando en \( ( iii ) \)
\( \frac{p}{p-2} = \frac{n+4}{n} \rightarrow \frac{2}{p-2} = \frac{4}{n} \rightarrow \frac{1}{p-2} = \frac{2}{n} \rightarrow n = 2p-4 \quad....( iv ) \)

En estos casos primero vale dar valores a azar a las variables, considerando que \( p \) y \( n \) son números positivos y a la vez que cumplan con \( ( i ) \) y \( ( iv ) \); si no logramos hallar los valores al tantear entonces procederemos como en la SEGUNDA FORMA.

Por tanteo hallamos:
\( p = 12 \) y \( n = 20 \) ; cumplen con las 2 ecuaciones anteriores
El gamer pago 12 por cada juego de PlayStation y compró 20 videojuegos.

SEGUNDA FORMA

De \( ( i )\) y \( ( iv ) \):
\( p(2p-4)= 240 \\ \rightarrow p(p-2) = 120 \\ \rightarrow p^{2}- 2p = 120 \\ \rightarrow p^{2}- 2p - 120 = 0 \)

Factorizando:
\begin{matrix} p^{2} & - 2p & - 120 \\ p & & - 12 \\ p & & + 10 \end{matrix}
\( \rightarrow (p - 12)(p + 10) = 0 \)

Vemos que \( p \) toma dos valores uno positivo y otro negativo, dado que \( p \) denota el precio unitario del juego de PlayStation no puede ser un número negativo por ello se elige el número positivo, es decir \( p = 12\).
Reemplazando el valor de \( p \) en la ecuación \( (i) \) se tiene que la cantidad de videovideojuegos de PlayStation que compró el gamer fue de \( 20 \).

ALGEBRA: Planteo de ecuaciones

2020-01-20T21:14:00.000-05:00

Problema

La dirigencia de una selección del fultbol que participara en la Copa America para que los jugadores entrenen encontró dos terremos de forma rectangular de igual area. En el primer terreno el largo excede en \( 6 \) metros al ancho, en el segundo terreno el ancho es el doble y el largo disminuye en \( 8 \) metros respecto a las dimensiones del primer terreno. Si el entrenador de selección del fultbol solicitó que sus jugadores puedan correr la mayor distancia en el menor número de vueltas. ¿Qué terreno eligió la dirigencia de selección del fultbol que participara en la Copa America? ¿cual es el perimetro del terreno elegido?

Solución

Si asumimos que:
\( a_{1} \): ancho del primer terreno
\( l_{1} \): largo del primer terreno
\( a_{2} \): ancho del segundo terreno
\( l_{2} \): largo del segundo terreno

Del enunciado:
... primer terreno el largo excede en \( 6 \) metros al ancho ... : \( l_{1} = a_{1} + 6 \quad....( i )\)
... segundo terreno el ancho es el doble ... respecto a las dimensiones del primer terreno ... : \( a_{2} = 2a_{1} \quad....( ii )\)
... segundo terreno ... el largo disminuye en \( 8 \) metros respecto a las dimensiones del primer terreno ... : \( l_{2} = l_{1} - 8 \quad....( iii )\)
De \( ( i )\) y \( ( iii ) \):
\( l_{2} = (a_{1} + 6) - 8 \\ l_{2} = a_{1} - 2 \quad....( iv ) \)
es decir, tenemos:

Primer area = \( a_{1} (a_{1}+6) \)
Segunda area = \( 2a_{1} (a_{1}-2) \)

Dado que ambas areas son iguales:
\( a_{1} (a_{1}+6) = 2a_{1} (a_{1}-2) \\ \rightarrow a_{1}+6 = 2 (a_{1}-2) \rightarrow a_{1}+6 = 2a_{1} - 4 \rightarrow a_{1} = 10 \)

Reemplazando en \( ( i )\),\( ( ii )\) y \( ( iii ) \), tenemos:
\( l_{1} = 16 \)
\( a_{2} = 20 \)
\( l_{2} = 8 \)
Luego:
El perimetro del primer terreno es \( l_{1} + a_{1} = 26\) metros.
El perimetro del segundo terreno es \( l_{2} + a_{2} = 28\) metros
Del enunciado:
... solicitó que sus jugadores puedan correr la mayor distancia en el menor número de vueltas ... : es decir el perimetro del terreno donde entrenaran los jugadores del futbol debe ser el mas grande posible.
Por lo tanto la dirigencia de una selección del fultbol que participara en la Copa America eligirá el Segundo terreno para que entrenen los jugadores que participaran en la Copa America .

RAZONAMIENTO MATEMATICO

2020-01-20T00:22:00.000-05:00

Problema

En la serie The Big Bang Thoery, Sheldon Cooper sube 20 peldaños para subir un piso.
Sheldon decide cambiar la alfrombra que cubre los escalones, debido a que le incomoda el color verde de la misma, para ello realiza mediciones y encuentra que el alto del escalon es de 15cm, el ancho es de 30cm y el largo de 60cm.
Suponiendo que todos los escalones son rectos, ¿Cuántos metros cuadrados de alfrombra debe comprar?

Solución 1

En la vista 3D vemos que el escalón tiene 2 áreas, el área relacionada a la altura pintada de color celeste y el área relacionada a la base pintada de color azul.

En una vista superior vemos el area de la base(\( A_{base} \)).

\( A_{base} = (30 \textrm{cm}) X (60 \textrm{cm}) = 1800\textrm{cm}^{2} \)
En una vista frontal el area relacionada a la altura(\( A_{altura} \)).

\( A_{altura} = (15 \textrm{cm}) X (60 \textrm{cm}) = 900\textrm{cm}^{2} \)

A modo de ejemplo supongamos que tenemos 4 peldaños.

De aqui vemos que son necesarios 3 \( A_{base} \) y 4 \( A_{altura} \) para cubrir con la alfombra los peldaños.

Por tanto en 20 peldaños seran necesario comprar 19 \( A_{base} \) y 20 \( A_{altura} \) que será el área de la alfombra(\( A_{alfombra} \)).
\( A_{alfombra} = (19 X 1800\textrm{cm}^{2} + 20 X 900\textrm{cm}^{2} = 52200\textrm{cm}^{2} \)

Dado que:
\( 1\textrm{cm}^{2} = 10^{-4}\textrm{m}^{2} \)
Entonces:
\( A_{alfombra} = 5.2200\textrm{m}^{2} \)

Solución 2
Si Sheldon Cooper extiende la alfombra encontrará que sus dimensiones son:

Es decir: \( A_{alfombra} = \textrm{largo del escalón} [ 19 (\textrm{Ancho del área de la base}) + 20 \textrm{Altura del escalón} ] \\ A_{alfombra} = 60\textrm{cm}^{2} [ 19 (30\textrm{cm}^{2}) + 20 (15\textrm{cm}^{2})] \\ A_{alfombra} = 52200\textrm{cm}^{2} \)

ARITMETICA: Fracciones

2020-01-19T14:45:00.003-05:00

Problema

Despues de vender los \( \frac{3}{5} \) de una pieza de tela quedan \( 40 \) metros ¿Cuánto era la longitud de la pieza?

Solución

Si asumimos que: \( \textrm{Longitud de la tela} : 1 L \)
Dado que 1 puede ser expresado como 5 entre 5, entonces es equivalente decir que:
\( \textrm{Longitud de la tela} : \frac{5}{5} L \)
Pero como 5 entre 5 tambien es equivalente a:
\( \cfrac{5}{5} = \cfrac{1}{5} + \cfrac{4}{5} \)
ó:
\( \cfrac{5}{5} = \cfrac{2}{5} + \cfrac{3}{5} \)
Por tanto:
\( \textrm{Longitud de la tela} : L = \frac{2}{5} L + \frac{3}{5} L ....(i) \)
De \( (i) \) vemos que despues de vender \( \frac{3}{5} \) de la tela lo que queda por vender es \( \frac{2}{5} \) de la tela, es decir:
\( \frac{2}{5} L = 40 ....(ii) \)
Resolviendo \( (ii) \) se obtendrá la longitud total de la tela.

RAZONAMIENTO MATEMATICO

2020-01-18T19:47:00.000-05:00

Problema

Se adhieren \(1000 \) cubos pequeños de \( 1 \textrm{cm} \) de arista para formar un cubo experimental mas grande de Rubik cuya arista mide \( 1 \textrm{m} \), en este cubo de Rubik se pintan todas las caras y luego se vuelven a separar los cubos pequeños originales ¿Cuantos cubos pequeños quedaron sin ninguna cara pintada?

Solución

En una vista 3D practicamente podemos considerar que tenemos 2 cubos de Rubik, supongamos que el cubo más grande de Rubik esta pintado de color rojo y el cubo que se encuentra en su interior de color azul.

Si ahora vemos el cubo frontalmente:

Con el color Rojo denotamos las caras pintadas, por lado vemos que hay \(10 \) cubos rojos y con el color azul denotamos los cubos internos que no fueron pintados, por lado vemos que hay \(8 \) cubos azules.

Si vemos el cubo por arriba, observaremos también la figura anterior. Por lo tanto el número de cubos no pintados formarán un cubo que por lado tendra \(8 \) cubos azules.

# de cubos no pintados \(= 8 x 8 x 8 = 512 \) cubos

ARITMETICA: Fracciones

2020-01-17T23:34:00.000-05:00

Problema

Se adhieren \(1000 \) cubos pequeños de \( 1 textrm{cm} \) de arista para formar un cubo experimental mas grande de Rubik cuya arista mide \( 1 textrm{m} \), en este cubo de Rubik se pintan todas las caras y luego se vuelven a separar los cubos pequeños originales ¿Cuantos cubos pequeños quedaron sin ninguna cara pintada?

Solución

En una vista 3D practicamente podemos considerar que tenemos 2 cubos de Rubik, supongamos que el cubo más grande de Rubik esta pintado de color rojo y el cubo que se encuentra en su interior de color azul.

Si ahora vemos el cubo frontalmente:

Con el color Rojo denotamos las caras pintadas, por lado vemos que hay \(10 \) cubos rojos y con el color azul denotamos los cubos internos que no fueron pintados, por lado vemos que hay \(8 \) cubos azules.

Si vemos el cubo por arriba, observaremos también la figura anterior. Por lo tanto el número de cubos no pintados formarán un cubo que por lado tendra \(8 \) cubos azules.

# de cubos no pintados \(= 8 x 8 x 8 = 512 \) cubos

ARITMETICA: Fracciones

2020-01-16T20:11:00.000-05:00

Problema

Un grupo de segadores debía segar dos prados, uno tenía doble superficie que otro. Durante medio día trabajó todo el personal de segadores en el prado grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en el prado grande; y la otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde fueron terminados los dos tajos, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador.
¿Con cuántos segadores se contaba?

Sug. Considerar el área de un prado como una unidad.

Solución 1
Asumamos que el area de los prados son como \(1\) y \( \frac{1}{2} \).

En el prado grande, todos trabajan por la mañana y la mitad de los segadores por la tarde y acaban de segar el prado grande, es como si tres veces la mitad de los segadores trabajarón mediodía y acabaron de segar el prado grande, es decir:

La mitad de los segadores sega \( \frac{1}{3} \) del prado.

En el prado pequeño trabajaron la mitad de los segadores durante mediodía, es decir segaron \( \frac{1}{3} \) del prado y falto segar \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) del prado.

De acuerdo al enunciado del problema \( \textrm{ un segador segó en un día ese} \) \( \frac{1}{6} \) \( \textrm{del prado.} \)

Luego:

Luego se segó \( 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \), o que también puede ser expresado como \( \frac{8}{6} \).

Es decir aquel día se segó \( \frac{8}{6} \), pero como un segador puede segar en un día ese \( \frac{1}{6} \) entonces se concluye que aquel día el grupo de segadores estaba conformado por 8 personas.

Puedes ver la otra forma de resolver este problema aquí

También se obtiene que el área del prado grande es 24 unidades cuadradas.